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6.1平面向量的概念
本节课知识点目录：
向量概念；
向量的几何表示。
相等向量
零向量和单位向量
平行向量
向量的模
向量应用题
一、向量概念
1.向量：有大小有方向。
2.区分标量和矢量
3.向量表示，可以用有向线段
4.向量字母表示,注意的区别
【典型例题】
【例1】下列说法中正确的个数是
①身高是一个向量；②的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【例2】给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【例3】下列说法中，正确的个数是(　　)
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量与b不共线，则与b都是非零向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】给出下列说法：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④；⑤.其中正确说法的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5】下列各命题中假命题的个数为(　　)
①向量的长度与向量的长度相等．
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量．
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
A．2 B．3
C．4 D．5
【对点实战】
1.以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度
2.下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3.向量的两个要素为______和______.
4.下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是数量（即标量）？
（1）密度 （2）体积 （3）电阻 （4）推进力 （5）长度 （6）加速度
向量：__________；数量：____________.（填写相应编号）.
5.下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
二、向量的几何表示
1.有向线段
2.线段可以自由平移（保持方向、长度不变）
3.注意向量平移和旋转之间的关系。
【典型例题】
【例1】某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100 米，则此人位移的方向是(　　)
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
【例2】分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
【例3】设四边形ABCD中，有，且，则这个四边形是
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
【例4】在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（ ）
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
【例5】在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标
（1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是.
【对点实战】
1.如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
2.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
3.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
4.如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.
三、相等向量
1.相等向量：长度相等方向相同
2、因为向量可以自由平移，所以相等向量不受位置限制。
【典型例题】
【例1】两个非零向量相等，则下列说法中不一定成立的是（ ）
A．它们的方向相同 B．它们的大小相同 C．它们的起点和终点相同 D．它们的负向量相等
【例2】命题“若，，则” 的真假性为（________）
【例3】如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【例4】如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（ ）
A．9 B．11
C．18 D．24
【例5】如图，在中，点D E F分别是边BC CA AB的中点，在以A B C D E F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________.
四、零向量和单位向量
1.零向量的长度为0。
2.零向量方向是任意的，因而可以与任何向量平行（共线），
3.单位向量长度是一个单位。
4.引入向量单位化计算公式：注意同向与方向
【典型例题】
【例1】已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则上述命题中，假命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3】若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
【例4】下列命题中正确的个数是
①向量就是有向线段 ②零向量是没有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正实数
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5】设是与向量同向的单位向量，是与向量反向的单位向量，则下列式子中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例6】下列命题：
①若是单位向量，也是单位向量，则与的方向相同或相反；
②若向量是单位向量，则向量也是单位向量；
③以坐标平面上的定点为起点，所有单位向量的终点的集合是以为圆心的单位圆其中正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【对点实战】
1.下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
2.下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
3.下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
4.若向量和都是单位向量，并且夹角大小为，则以和为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度为____________.
五、平行向量（共线向量）
1.平行向量：方向相同或者相反
2.平行向量长度之间没有关系。
3.因为向量可以自由平移，所以平行向量，也可以在一条直线上
【典型例题】
【例1】向量___________.
【例2】如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有_____个.
【例3】下列命题中，正确的是（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线
B．“”的充要条件是且
C．若与共线，与共线，则与共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
【例4】下面命题说法正确的个数是
（1）向量，共线，向量、共线，则与也共线；
（2）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；
（3）向量与不共线，则与都是非零向量；
（4）有相同起点的两个非零向量不平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例5】为非零向量，“”为“共线”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件
【例6】设是任一向量，是单位向量，且，则下列表达式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例7】下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
【对点实战】
1.下列说法不正确的是（ ）
A．平行向量也叫共线向量
B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合
C．若为非零向量，则是一个与同向的单位向量
D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同
2.下列命题中，正确的是（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线
B．“”的充要条件是且
C．若与共线，与共线，则与共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
3.给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的命题有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4.下列说法中正确的是（ ）
A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形
B．零向量与单位向量的模相等
C．若 和 都是单位向量，则或
D．零向量与任何向量都共线
5.如图，在中，向量是（ ）
A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量
6.下列说法正确的是
A．与向量共线的单位向量只有
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C．向量与向量是两平行向量
D．单位向量都相等
向量的模
1.模：向量的长度
2.记作：
3.向量的模是有向线段的长度。
【例1】如图，网格纸上小正方形的边长为1，，分别是的边，的中点，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【例2】下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线
【例3】下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【例4】下列说法错误的是
A．向量与的长度相同 B．单位向量的长度都相等
C．向量的模是一个非负实数 D．零向量是没有方向的向量
【例5】将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且时，________.
【例6】若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________.
七、向量应用题
【例1】一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去.
（1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？
（2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作.
【例2】某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点
（1）作出向量，，(表示200m)；
（2）求的模.
【例3】一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
【例4】飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？
6.1平面向量的概念
本节课知识点目录：
向量概念；
向量的几何表示。
相等向量
零向量和单位向量
平行向量
向量的模
向量应用题
一、向量概念
1.向量：有大小有方向。
2.区分标量和矢量
3.向量表示，可以用有向线段
4.向量字母表示,注意的区别
【典型例题】
【例1】下列说法中正确的个数是
①身高是一个向量；②的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
本题首先可根据是否有方向判断出①③是否正确，然后根据有没有大小来判断②是否正确，最后即可得出结果．
【详解】
身高只有大小，没有方向，故不是向量，①错误；
同理③中温度不是向量，③错误；
对于②，的两条边只有方向，没有大小，不是向量，②错误；
④中加速度是向量，④正确，故选B．
【例2】给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【分析】
根据向量的定义，既有大小，又有方向的量，即可选出结果．
【详解】
由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D
【例3】下列说法中，正确的个数是(　　)
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量与b不共线，则与b都是非零向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据向量的定义，以及相等相等向量和向量的模的概念，逐项判定，即可得到答案．
【详解】
对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
故选B.
【例4】给出下列说法：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④；⑤.其中正确说法的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据平面向量的基本概念，逐一判定每个命题是否正确，从而得出答案．
【详解】
①正确，与是方向相反、模相等的两个向量;
②错误，方向不同包括共线反向的向量；
③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；
④错误，是一个向量，而0为一个数，应为；
⑤错误，向量不能比较大小.
只有①正确，故选B.
【例5】下列各命题中假命题的个数为(　　)
①向量的长度与向量的长度相等．
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量．
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】
①向量的长度与向量的长度相等，真命题；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反，假命题，因为向量由可能为零向量．
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，，真命题；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量，假命题；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．假命题；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．假命题
故选C.
【对点实战】
1.以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度
【答案】D
【分析】
根据向量的定义判断．
【详解】
表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，
故选：D．
2.下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】
根据向量的基本概念分析即可.
【详解】
有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;②向量不能比较大小,故②错误;③由零向量方向的任意性知③错误;④向量相等是向量模相等,且方向相同,故④错误.
故选：A.
3.向量的两个要素为______和______.
【答案】大小 方向
【分析】
根据平面向量的定义可知两个要素为大小和方向.
【详解】
根据平面向量的定义可知，向量的两个要素为大小和方向.
故答案为大小；方向
4.下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是数量（即标量）？
（1）密度 （2）体积 （3）电阻 （4）推进力 （5）长度 （6）加速度
向量：__________；数量：____________.（填写相应编号）.
【答案】（4）（6） （1）（2）（3）（5）
【分析】
根据向量的概念进行判断即可.
【详解】
密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推进力、加速度是既有大小又有方向的量，是向量.
故答案为：（4）（6）；（1）（2）（3）（5）.
5.下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】
①错误，只有速度，位移是向量．
②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．
③错误，
④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向．
故选：A.
二、向量的几何表示
1.有向线段
2.线段可以自由平移（保持方向、长度不变）
3.注意向量平移和旋转之间的关系。
【典型例题】
【例1】某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100 米，则此人位移的方向是(　　)
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
【答案】C
【分析】
由题意，此人从点A出发，经由点B，到达点C，求得∠BAC＝60°，即可得到答案．
【详解】
如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，则tan∠BAC＝ ，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.
故选C．
【例2】分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
【答案】C
【分析】
由图形一一列出可得答案.
【详解】
如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为：
，共8个．故选：C．
【例3】设四边形ABCD中，有，且，则这个四边形是
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
【答案】D
【分析】
由向量的关系得出线段的平行和相等关系，从而可判断四边形的形状.
【详解】
由，可知且，所以四边形是平行四边形.
又，所以平行四边形是菱形.
【例4】在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（ ）
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
【答案】A
【分析】
根据单位向量的概念，以及圆的定义，即可得出结果.
【详解】
平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是单位圆．
故选：A.
【例5】在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标
（1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是.
【答案】见解析
【分析】
利用向量的定义直接求解即可
【详解】
如图所示.
（1）终点坐标为
（2）终点坐标为
（3）终点坐标为
【对点实战】
1.如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【答案】（1）5；（2）2.
【分析】
根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】
解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
2.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由点A在点O北偏东45°处和||＝，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量；
（2）由点B在点A正东方向处，且＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量；
（3）由点C在点B北偏东30°处，且＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，作出向量．
【详解】
（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．
（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．
3.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
【答案】（1）见解析；（2）米
【分析】
（1）利用方位根据向量的定义作出向量.
（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.
【详解】
（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
4.如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.
【答案】见解析
【分析】
位移即起点位置指向终点位置的有向线段.
【详解】
解：如图，表示此人上午的位移；表示此人下午的位移；表示此人这一天内的位移.
三、相等向量
1.相等向量：长度相等方向相同
2、因为向量可以自由平移，所以相等向量不受位置限制。
【典型例题】
【例1】两个非零向量相等，则下列说法中不一定成立的是（ ）
A．它们的方向相同 B．它们的大小相同 C．它们的起点和终点相同 D．它们的负向量相等
【答案】C
【分析】
利用两个非零向量相等的概念对每个选项一一判断即可.
【详解】
由两个非零向量相等的概念，可以推出两个向量的大小相等，方向相同，故选项A，B正确；
它们的起点和终点不一定相同，当起点相同时，则终点也相同，故选项C错误；
则两个非零向量相等的负向量也相等，故选项D正确；
故选C．
【例2】命题“若，，则” 的真假性为（________）
【答案】√
【分析】
向量的相等具有传递性，即可判断.
【详解】
向量的相等具有传递性，故此命题是真命题
故答案为：√
【例3】如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【答案】（1）5；（2）2.
【分析】
根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】
解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
【例4】如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（ ）
A．9 B．11
C．18 D．24
【答案】D
【分析】
由图形，根据共线和平行关系，先求所有方向上的相等向量，再改变方向，即可得到所有情形.
【详解】
如图，
由已知可得，
，，，，
有12对相等的向量，
改变其方向，又有12对相等的向量，共24对，
故选：D.
【例5】如图，在中，点D E F分别是边BC CA AB的中点，在以A B C D E F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________.
【答案】5
【分析】
由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数.
【详解】
由图知：与向量的模相等的向量有，
∴共有5个.
故答案为：5.
四、零向量和单位向量
1.零向量的长度为0。
2.零向量方向是任意的，因而可以与任何向量平行（共线），
3.单位向量长度是一个单位。
4.引入向量单位化计算公式：注意同向与方向
【典型例题】
【例1】已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据单位向量的概念进行分析即可.
【详解】
单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确，
故选：C．
【例2】设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则上述命题中，假命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
本题可根据与的方向不一定相同判断出①是假命题，然后根据当与的方向相反时得出②③也是假命题，即可得出结果。
【详解】
向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题，
若与平行，则与的方向相同或相反，反向时，故②③也是假命题，
综上所述，假命题的个数是3，故选D。
【例3】若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④
【答案】D
【分析】
根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、④；根据单位向量的概念可判断⑤.
【详解】
①｜｜＞｜｜不正确，是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；
②∥，则与为共线向量，故不正确；
③，向量的模长是非负数，故正确；
④｜｜=1，故正确；
⑤是单位向量，是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确.
故选：D.
【例4】下列命题中正确的个数是
①向量就是有向线段 ②零向量是没有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正实数
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据平面向量的基本概念，对每一个命题进行分析、判断即可．
【详解】
有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；
零向量有方向，其方向是任意的，故②错，③正确；
零向量的模等于0，故④错.
故选：B.
【例5】设是与向量同向的单位向量，是与向量反向的单位向量，则下列式子中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据单位向量的性质对四个选项进行判断，得到答案.
【详解】
因为是与向量同向的单位向量，是与向量反向的单位向量
所以与以及都共线，得到，所以A选项正确；
因为是的模长，且是与向量同向的单位向量，所以有，所以B选项正确；
因为和是方向相反的单位向量，所以，所以C选项错误；
因为因为是的模长，且是与向量反向的单位向量，所以有，整理得到，所以D选项正确；
故选：C.
【例6】下列命题：
①若是单位向量，也是单位向量，则与的方向相同或相反；
②若向量是单位向量，则向量也是单位向量；
③以坐标平面上的定点为起点，所有单位向量的终点的集合是以为圆心的单位圆其中正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
利用单位向量概念判断即可；
【详解】
由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确.因为，所以当是单位向量时，也是单位向量，故②正确.因为向量是单位向量，故，所以点是以为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点是以为圆心的单位圆上的任意一点，则因为，所以向量是单位向量，故③正确.
故选C
【对点实战】
1.下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】
根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.
【详解】
①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D
2.下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
【答案】B
【分析】
由零向量的性质：长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，即可判断各项正误.
【详解】
A：由零向量的模为0，故正确；而由零向量的长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，故B错误，C、D正确；
故选：B
3.下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
【答案】B
【分析】
由平面向量的相关概念判断.
【详解】
A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；
B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；
C.平行向量就是共线向量，故正确；
D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；
故选：B
4.若向量和都是单位向量，并且夹角大小为，则以和为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度为____________.
【答案】
【分析】以和为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度即是，利用 可求对角线的长度．
【详解】
以和为邻边的平行四边形的较长的对角线的长度即是，
而．
故答案为：．
五、平行向量（共线向量）
1.平行向量：方向相同或者相反
2.平行向量长度之间没有关系。
3.因为向量可以自由平移，所以平行向量，也可以在一条直线上
【典型例题】
【例1】向量___________.
【答案】-
【分析】
根据相等向量和相反向量的概念即可写出答案.
【详解】
和是相反向量，故填-
故答案为：-
【例2】如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有_____个.
【答案】24
【分析】
每个小正方中有两个符合条件，找到正方形个数即可.
【详解】
由题意知，的格点图中包含12个小正方形，每个小正方形的对角线长为
与平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.
故答案为：24.
【例3】下列命题中，正确的是（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线
B．“”的充要条件是且
C．若与共线，与共线，则与共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
【答案】D
【分析】
由平面向量的定义及零向量的应用可依次对选项判断
【详解】
解：对于A，有相同起点的两个非零向量可能共线，A错误；
对于B，“”的充要条件是且与方向相同，故B错误；
对于C，若，则与不一定共线，故C错误；
对于D，若与中有一个是零向量，则与共线，故D正确，
故选：.
【例4】下面命题说法正确的个数是
（1）向量，共线，向量、共线，则与也共线；
（2）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；
（3）向量与不共线，则与都是非零向量；
（4）有相同起点的两个非零向量不平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】
对于（1），由于零向量与任意向量共线，当向量为零向量时，（1）不正确；对于（2），任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点或四点共线，故（2）不正确；对于（4），向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故（4）不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，否则，不妨设为零向量，则//，与、不共线矛盾，从而（3）正确．故选A．
【例5】为非零向量，“”为“共线”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.
【详解】
分别表示与同方向的单位向量，
，则有共线，
而共线，则是相等向量或相反向量，
“”为“共线”的充分不必要条件.
故选:B.
【例6】设是任一向量，是单位向量，且，则下列表达式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题中所给条件，逐一对四个选项分析即可.
【详解】
对于A，当时，没有意义，错误．对于B，C，D，当时，选项B，C，D都正确；当时，由可知，与同向或反向，且，故B，C不全面.
故选：D
【例7】下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
【答案】D
【分析】
根据向量的概念逐一判断即可.
【详解】
解：零向量与它的相反向量相等，故（1）错误；
当向量为零向量时，其方向是任意的，不能说与的方向相同或相反，故（2）错误；
相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确；
向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误.
故选：D.
【对点实战】
1.下列说法不正确的是（ ）
A．平行向量也叫共线向量
B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合
C．若为非零向量，则是一个与同向的单位向量
D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同
【答案】D
【分析】
根据共线向量的定义判断AB；由的模长为，得出是一个与同向的单位向量；举例排除D.
【详解】
由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A正确；
两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B正确；
的模长为，，则是一个与同向的单位向量，C正确；
从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D错误；
故选：D
2.下列命题中，正确的是（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线
B．“”的充要条件是且
C．若与共线，与共线，则与共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
【答案】D
【分析】
由平面向量的定义及零向量的应用可依次对选项判断
【详解】
解：对于A，有相同起点的两个非零向量可能共线，A错误；
对于B，“”的充要条件是且与方向相同，故B错误；
对于C，若，则与不一定共线，故C错误；
对于D，若与中有一个是零向量，则与共线，故D正确，
故选：.
3.给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的命题有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】
利用零向量定义判断①，利用共线向量判断②③④
【详解】
①忽略了0与的区别，；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当时，可以为任意向量，故不一定平行于.
故选：A
4.下列说法中正确的是（ ）
A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形
B．零向量与单位向量的模相等
C．若 和 都是单位向量，则或
D．零向量与任何向量都共线
【答案】D
【分析】
根据共线向量,零向量,单位向量的概念逐一分析可得.
【详解】
对于选项A，A，B，C，D四点可能共线，故A不正确；
对于选项B，零向量的模为0，单位向量的模为1，不相等，故B不正确；
对于选项C，因为和都是单位向量，所以，但它们的方向是任意的，故C不正确；
对于选项D，零向量与任何向量都共线，故D正确，
故选:D.
5.如图，在中，向量是（ ）
A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量
【答案】C
【分析】
向量是既有大小又有方向的量，通过大小和方向两个方面逐一判断即可.
【详解】
解：起点并不全相同，故A错误；
的方向均不相同，也不相反，故BD 错误；
圆的半径，故C正确，
故选C．
6.下列说法正确的是
A．与向量共线的单位向量只有
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C．向量与向量是两平行向量
D．单位向量都相等
【答案】C
【分析】
由单位向量的概念判断A,D;利用平行向量判断B,C
【详解】
与向量共线的单位向量有，故A项错误.因为零向量与任一向量平行，因此，若与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误.因为向量与方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确;单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D项错误.
故选：C
向量的模
1.模：向量的长度
2.记作：
3.向量的模是有向线段的长度。
【例1】如图，网格纸上小正方形的边长为1，，分别是的边，的中点，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】
根据方格中的点线位置关系判定是的中位线，根据中位线关系，结合勾股定理求解.
【详解】
因为是的中位线，所以，即.
根据勾股定理可求得.
故选：B
【例2】下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线
【答案】C
【分析】
利用共线向量、模的计算公式，即可得出.
【详解】
因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同 大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误；
两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；
无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.
故选：C
【例3】下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】
根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错.
【详解】
模为零的向量是零向量，所以A项正确；
时，只说明向的长度相等，无法确定方向，
所以B，C均错；
时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.
故选：A.
【例4】下列说法错误的是
A．向量与的长度相同 B．单位向量的长度都相等
C．向量的模是一个非负实数 D．零向量是没有方向的向量
【答案】D
【分析】
根据零向量、向量的模，以及单位向量的概念，即可判定得到答案.
【详解】
A中，向量与相反向量，则，所以是正确的；
B中，单位向量的长度都是1，所以是正确的；
C中，根据向量的模的定义，可知向量的模是一个非负实数，所以是正确的；
D中，零向量方向是任意的，所以“零向量是没有方向的向量”是错误的，故选D.
【例5】将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且时，________.
【答案】3或1
【分析】
利用向量共线的定义，按与的方向相同或相反分类讨论，计算即可.
【详解】
与是平行向量，且，，，
当与同向时，；
当与反向时,.
故答案为：3或1
【例6】若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________.
【答案】
【分析】
由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量长度最小，问题得以解决．
【详解】
根据题意，在正三角形中，有向线段的长度最小时，应与边垂直，有向线段的长度的最小值为正三角形的高，
即向量的模的最小值为.
故答案为：
七、向量应用题
【例1】一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去.
（1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？
（2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作.
【答案】（1）8次（2）答案不唯一，具体见解析
【分析】
（1）位移为0表明赛车最后回到了出发点，作图时要弄清题意；
（2）讨论不同的的值求解即可.
【详解】
解：记出发点A.
（1）当时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，最少操作8次可使赛车的位移为0，赛车所行路程是8m.
（2）当时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，最少操作3次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为3m；
当时，如图③，赛车行进路程构成一个正方形，最少操作4次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为4m；
当时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，最少操作6次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为6m.
【例2】某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点
（1）作出向量，，(表示200m)；
（2）求的模.
【答案】（1）见解析；（2）450m
【分析】
（1）利用具体方位，用有向线段表示向量；
（2）借助相反向量模相等，得到.
【详解】
（1）根据题意，如图所示.
（2）由题意及（1）可得，四边形为平行四边形,所以.
【例3】一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
【答案】（1）（2）；约为北偏东53°
【分析】
（1）根据题意画出示意图，根据路程的定义求出巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）根据位移的定义，利用勾股定理、锐角三角函数的定义，求出位移的大小及方向.
【详解】
解：（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即.
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为.
由于，故方向约为北偏东53°.
【例4】飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？
【答案】C地在A地北偏东方向上，距A地
【分析】
根据题意画出示意图，根据方位角的定义、结合三角形内角和定理，最后求出问题.
【详解】
解：由题图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则.
表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则.
所以为飞机从A地到C地的位移.
在中，，且，
故为等边三角形，所以，.
所以C地在A地北偏东方向上，距A地.

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