资源简介

1.1.2空间向量的数量积运算（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求空间向量的数量积
重点题型二：利用数量积求夹角
重点题型三：向量投影
重点题型四：利用数量积证明垂直问题
重点题型五：利用数量积求距离或长度
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：空间两个向量的夹角
1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
2、范围：．
特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．
3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<，
(2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，.
知识点二：空间向量的数量积
1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
3、向量的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．
4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.
5、数量积的运算：
（1），.
（2）(交换律)．
（3）(分配律).
知识点三：空间向量数量积的性质
（1）
（2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，．
（3）.
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）向量与的夹角等于向量与的夹角．( )
（2）若，则或．( )
（3）对于非零向量，，与相等．( )
（4）若，且，则．( )
（5）若，均为非零向量，则是与共线的充要条件．( )
2．（2022·全国·高二课时练习）在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为的是( )
A．与 B．与 C．与 D．与
3．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习（理））已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
4．（2022·全国·高二期末）在正四面体中，，若，则________．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，，，，则________．
重点题型一：求空间向量的数量积
典型例题
例题1．（2022·全国·高二）在棱长为1的正方体中，___________.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则=_________.
例题3．（2022·浙江·乐清市第二中学高二阶段练习）正方体的棱长为，正方体所在空间的动点满足，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·江苏宿迁·高二期中）三棱锥A BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　)
A．－2 B．2 C． D．
2．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥中，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
5．（2022·安徽·高二开学考试）已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，则___________.
6．（2022·北京昌平·高二期末）已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
重点题型二：利用数量积求夹角
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·福建厦门·高二期末）在四面体中，，，，则与所成角的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
2．（2021·全国·高二课时练习）已知，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A．60° B．30° C．135° D．45°
3．（2021·全国·高二课时练习）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
重点题型三：向量投影
典型例题
例题1．（2022·江苏连云港·高一期末）已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一）在中，，，，则在方向上的投影为__．
例题3．（2022·上海市虹口高级中学高一期末）已知，则向量在向量方向上的数量投影为___________.
同类题型归类练
1．（2022·江西南昌·高一期末）在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
3．（2021·天津西青·高一期末）若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B．48 C． D．
4．（2021·河北沧州·高一期末）等腰梯形中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东济宁·高一期中）已知向量，且，则向量在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·上海徐汇·高一期末）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为___________
重点题型四：利用数量积证明垂直问题
例题1．已知四面体的各棱长均为1，是棱的中点，是棱的中点．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)判断与是否垂直；
例题2．已知平行六面体的各棱长均为1，且．
(1)求证：；
例题3．如图，四面体各棱的棱长都是1，，分别是，的中点，记，，.
重点题型五：利用数量积求距离或长度
典型例题
例题1．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·福建宁德·高二期中）如下图，在平行四边形中，，，将沿对角线折起，使，则点，间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
例题3．（2022·广东汕头·高二期末）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·福建泉州·高二期末）在棱长均为1的平行六面体中，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
2．（2022·安徽·合肥市第八中学高二开学考试）已知在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
3．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点 满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022·江西师大附中高二阶段练习（理））在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·南京市第五高级中学高二阶段练行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
1．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵中，，P为的中点，则（ ）．
A．6 B． C．2 D．
2．（多选）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体的棱长为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：
（i）为同时与，垂直的向量；
（ii），，三个向量构成右手系（如图1）；
（iii）.
如图2，在长方体中，，.给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④.其中，正确结论的序号是______________.
4．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则___________，___________.
1．（2021·黑龙江·哈师大附中三模（理））三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．与点位置有关系
2．（2021·陕西渭南·一模（理））设，是非零向量，“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
1.1.2空间向量的数量积运算（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求空间向量的数量积
重点题型二：利用数量积求夹角
重点题型三：向量投影
重点题型四：利用数量积证明垂直问题
重点题型五：利用数量积求距离或长度
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：空间两个向量的夹角
1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
2、范围：．
特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．
3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<，
(2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，.
知识点二：空间向量的数量积
1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
3、向量的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．
4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.
5、数量积的运算：
（1），.
（2）(交换律)．
（3）(分配律).
知识点三：空间向量数量积的性质
（1）
（2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，．
（3）.
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）向量与的夹角等于向量与的夹角．( )
（2）若，则或．( )
（3）对于非零向量，，与相等．( )
（4）若，且，则．( )
（5）若，均为非零向量，则是与共线的充要条件．( )
【答案】 × × × × ×
(1)向量与的夹角与向量与的夹角互补，错误；
(2)比如，错误；
(3)由非零向量，，与互补，错误；
(4)不一定相等，错误；
(5)若，均为非零向量，，则，
若与共线，则或，错误.
2．（2022·全国·高二课时练习）在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为的是( )
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】A
对A，夹角为，正确；对B，夹角为，错误；
对C，夹角为，对D，夹角为，错误.
故选：A
3．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习（理））已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
．
故选：C.
4．（2022·全国·高二期末）在正四面体中，，若，则________．
【答案】6
.
故答案为：6.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，，，，则________．
【答案】
∵，∴．
故答案为：.
重点题型一：求空间向量的数量积
典型例题
例题1．（2022·全国·高二）在棱长为1的正方体中，___________.
【答案】1
如图，在正方体中，
，
故答案为：1
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则=_________.
【答案】1
如图，正方体中，与平行且相等，则是平行四边形，，且，，即，
平面，平面，则，
．
故答案为：1．
例题3．（2022·浙江·乐清市第二中学高二阶段练习）正方体的棱长为，正方体所在空间的动点满足，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为正方体的棱长为，所以，则由得点在以的中点为球心，为半径的球面上．当点与点重合时，点在直线上的射影为点，当点与点重合时，点在直线上的射影为点，则，
故选：A．
同类题型归类练
1．（2022·江苏宿迁·高二期中）三棱锥A BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　)
A．－2 B．2 C． D．
【答案】A
2．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为，，所以
所以，
所以，又，所以，
所以，因为，所以；
故选：C
3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥中，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
解：因为三棱锥中，，，，
所以，
故选：A.
4．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，则（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
故选：B
5．（2022·安徽·高二开学考试）已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，则___________.
【答案】
由题意，平行六面体中，底面是边长为的正方形，且，，
由，，
所以
.
故答案为：
6．（2022·北京昌平·高二期末）已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：设中点为,连接,设中点为,则
,
当与重合时，取最小值0.此时有最小值，
故选：A
重点题型二：利用数量积求夹角
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
例题2．（2022·福建厦门·高二期末）在四面体中，，，，则与所成角的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
在四面体OABC中，不共面，则，令，
依题意，，
设与AC所成角的大小为，则，而，解得，
所以与AC所成角的大小为.
故选：B
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【答案】D
设与的夹角为θ，
由，得，
两边平方，得，
因为，
所以，解得，
故选：D.
2．（2021·全国·高二课时练习）已知，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A．60° B．30° C．135° D．45°
【答案】D
因为与垂直，所以即，
所以，而，
故，
故选：D.
3．（2021·全国·高二课时练习）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
∵与垂直，∴，
∴
，
∴．∵，∴．
故选：D
重点题型三：向量投影
典型例题
例题1．（2022·江苏连云港·高一期末）已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
在上的投影向量是：
.
故选：A
例题2．（2022·全国·高一）在中，，，，则在方向上的投影为__．
【答案】
在中，，，，
由正弦定理得：，
又根据题意：向量与的夹角为，向量与的夹角为，
则在方向上的投影为．
故答案为：．
例题3．（2022·上海市虹口高级中学高一期末）已知，则向量在向量方向上的数量投影为___________.
【答案】
解：设向量与的夹角是，则向量在方向上的数量投影为：．
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·江西南昌·高一期末）在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
易得，则向量在向量方向上的投影为.
故选：A.
2．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
【答案】C
在上的投影为，即，
在上的投影为，
故选：C
3．（2021·天津西青·高一期末）若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B．48 C． D．
【答案】C
解：，，与的夹角为，
则向量在上的投影向量为：．
故选：C．
4．（2021·河北沧州·高一期末）等腰梯形中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由，可知，且，过点作，垂足为，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
5．（2022·山东济宁·高一期中）已知向量，且，则向量在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题设，，
则向量在上的投影向量.
故选：D
6．（2022·上海徐汇·高一期末）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为___________
【答案】
解：在方向上的投影向量为，
故答案为：.
重点题型四：利用数量积证明垂直问题
例题1．已知四面体的各棱长均为1，是棱的中点，是棱的中点．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)判断与是否垂直；
【答案】(1)，；(2)与不垂直；
(1)，
；
(2)
，
∴与不垂直；
例题2．已知平行六面体的各棱长均为1，且．
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
(1)证明： 由题意，平行六面体的各棱长均为1，，
因为，
所以 ，
所以；
例题3．如图，四面体各棱的棱长都是1，，分别是，的中点，记，，.
(1)用向量表示向量；(2)求证.
【答案】(1)(2)证明见解析.
(1)根据题意，
.
(2)根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，由（1）
，
所以.
重点题型五：利用数量积求距离或长度
典型例题
例题1．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：，
，
，
，
所以，
故选：B
例题2．（2022·福建宁德·高二期中）如下图，在平行四边形中，，，将沿对角线折起，使，则点，间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
由图可知， ，
向量 与向量 的夹角为 ，向量 与向量 的夹角为 ，
，
；
故选：D.
例题3．（2022·广东汕头·高二期末）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，
，
则
.
故选：D.
同类题型归类练
1．（2022·福建泉州·高二期末）在棱长均为1的平行六面体中，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
设，，，由已知，得，，，
，所以，
所以.
故选：C
2．（2022·安徽·合肥市第八中学高二开学考试）已知在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
由题设可得如下示意图，
∴，又为端点的三条棱长均为1，且彼此的夹角都是，
∴，即.
故选：B.
3．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点 满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
以向量为基底向量，
所以
所以
故选：D
4．（2022·江西师大附中高二阶段练习（理））在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题知，，
则
故选：D
5．（2022·江苏·南京市第五高级中学高二阶段练行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，作图如下：
令，，，
则，，，设，即，
由，得，
即，
解得：或（舍去），即.
故选：C.
1．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵中，，P为的中点，则（ ）．
A．6 B． C．2 D．
【答案】A
根据堑堵的几何性质知：，，．
因为，，
所以.
故选：A．
2．（多选）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体的棱长为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
如下图所示，O是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，OM是下底面内切圆的半径，则
， ，，
对于A：
由于 ，所以，故A错误；
对于B：
因为 ，所以 ，
所以，故B正确；
对于C：
因为 底面BCD， 底面BCD，所以，所以，故C正确；
对于D：
，故D正确.
故选：BCD
3．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：
（i）为同时与，垂直的向量；
（ii），，三个向量构成右手系（如图1）；
（iii）.
如图2，在长方体中，，.给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④.其中，正确结论的序号是______________.
【答案】①③④
解：，且分别与垂直，，故①正确；
由题意，，，故②错误；
，，且与共线同向，
，与共线同向，，与共线同向，
，且与共线同向，故③正确；
，故④成立．
故答案为：①③④．
4．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则___________，___________.
【答案】 6 -42
如图，延长MG，交的延长线于K，连接KN，显然平面，平面，
因此，平面MNG与AB的交点H，即为KN与AB交点，
在堑堵中，，则，即，
又，则，而，于是得，所以，
因，，所以.
故答案为：6；-42
1．（2021·黑龙江·哈师大附中三模（理））三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．与点位置有关系
【答案】A
如图所示，
取的中点，连接，
和都是等边三角形，
，
，
面，面，
，在中，
，，
由余弦定理，
.
故选：A
2．（2021·陕西渭南·一模（理））设，是非零向量，“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
3．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．

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