资源简介

1.1.1空间向量及其线性运算（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：空间向量及相关概念的理解
重点题型二：空间向量的线性运算
重点题型三：空间共线向量定理及其应用
重点题型四：空间共面向量定理及其应用
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
知识点二：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
知识点三：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
的范围 的方向 的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．
知识点四：共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.2空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
1．判断正误
（1）若，则存在唯一的实数，使．( )
（2）空间中任意三个向量一定是共面向量．( )
2．如果与不平行，那么与、共面的充要条件是______．
3．已知，则下列命题正确的是( )
A． B． C． D．
5．空间两个向量，互为相反向量，已知，则下列结论不正确的是( )
A． B． C．与方向相反 D．
5．已知，且，则_____________．
重点题型一：空间向量及相关概念的理解
典型例题
例题1．（2022·山西大附中高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．经过空间中任意三点的平面有且仅有一个
B．如果一条直线垂直于平面中的无数条直线，那么该直线垂直于该平面
C．两个单位向量的长度相等
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）模为的向量是______；
（2）的相等向量是______；
（3）的相反向量是______；
（4）的共线向量（平行向量）为______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（ ）
①在同一条直线上的单位向量都相等；
②只有零向量的模等于0；
③在正方体中，与是相等向量；
④在空间四边形中，与是相反向量；
⑤在三棱柱中，与的模一定相等的向量一共有3个
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·江西·奉新县第一中学高二阶段练习（理））与向量同方向的单位向量的坐标是_____________.
重点题型二：空间向量的线性运算
典型例题
例题1．（2022·全国·高二期末）直三棱柱中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二阶段练习（理））在正方体中，底面的对角线交于点，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）在平行六面体中，用向量，，表示______．
同类题型归类练
1．（2022·重庆·高二期末）在长方体中，（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京大兴·高二期末）如图，在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海黄浦·二模）在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________．
重点题型三：空间共线向量定理及其应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，为的中点，在上，且，为的中点.求证：，，三点共线.
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）若与平行，则______．
2．（2022·全国·高二期末）已知，，若与为共线向量，则x＝_________．
3．（2022·浙江丽水·高二期末）已知，若，则_____________
4．（2022·全国·高二课时练习）A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线．
重点题型四：空间共面向量定理及其应用
典型例题
例题1．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四边形，从平面外一点引向量，，，.
求证：四点共面；
例题2．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，三点不共线，对空间任意一点，当（其中）时，点是否与，，共面？
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知、、是空间中不共线的三点，是空间中任意一点，求证：在平面内的充要条件是：存在满足的实数、、，使得.
同类题型归类练
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·全国·高二）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关
4．（2022·全国·高二）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建厦门·高二期末）已知是空间的一个基底，，，，若四点共面．则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，有，则A，B，C，M四点__________（填“共面”或“不共面”）．
7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高二期末）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.
1．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.
4．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为___________.
1.1.1空间向量及其线性运算（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：空间向量及相关概念的理解
重点题型二：空间向量的线性运算
重点题型三：空间共线向量定理及其应用
重点题型四：空间共面向量定理及其应用
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
知识点二：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
知识点三：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
的范围 的方向 的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．
知识点四：共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.2空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
1．判断正误
（1）若，则存在唯一的实数，使．( )
（2）空间中任意三个向量一定是共面向量．( )
【答案】 × ×
（1）当时，不成立；
（2）空间中任意三个向量不一定是共面向量，错误.
2．如果与不平行，那么与、共面的充要条件是______．
【答案】存在唯一的有序实数对，使.
根据共面向量定理，如果与不平行，
那么与、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
故答案为：存在唯一的有序实数对，使.
3．已知，则下列命题正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
由题可知：对A，当时，不成立，对B，左边是实数，右边为向量，错误；
对C，正确；对D，，不成立
故选：C
5．空间两个向量，互为相反向量，已知，则下列结论不正确的是( )
A． B． C．与方向相反 D．
【答案】B
由题可知：向量，互为相反向量且，所以ACD正确， ，所以B错误，故选：B
5．已知，且，则_____________．
【答案】2
因为，所以，解得.
故答案为：2
重点题型一：空间向量及相关概念的理解
典型例题
例题1．（2022·山西大附中高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．经过空间中任意三点的平面有且仅有一个
B．如果一条直线垂直于平面中的无数条直线，那么该直线垂直于该平面
C．两个单位向量的长度相等
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】C
对于A，若三点共线，则过这三点的平面有无数个，A错误；
对于B，若一条直线垂直于平面中的无数条互相平行的直线，则该直线未必垂直于该平面，B错误；
对于C，所有单位向量的模长均为，C正确；
对于D，两个单位向量平行，则两个单位向量可能同向或反向，则可能两个向量为相等向量或相反向量，D错误.
故选：C.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）模为的向量是______；
（2）的相等向量是______；
（3）的相反向量是______；
（4）的共线向量（平行向量）为______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．
【答案】 ，，，，，，， ，， ，，， ，，，，，， 不共面
【解析】
(1)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，．
(2)与相等的向量有，，．
(3)的相反向量为，，，．
(4)的共线向量（平行向量）为，，，，，，．
(5)因为，向量，，有一个公共点，而点，，都在平面内，点在平面外，所以向量，，不共面．
故(1)答案为：，，，，，，，；
(2)答案为：，，；
(3)答案为：，，，；
(4)答案为：，，，，，，；
(5)答案为：不共面.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（ ）
①在同一条直线上的单位向量都相等；
②只有零向量的模等于0；
③在正方体中，与是相等向量；
④在空间四边形中，与是相反向量；
⑤在三棱柱中，与的模一定相等的向量一共有3个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，所以不一定相等；
②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；
③正确，由正方体的性质知：与的模相等，方向相同；
④错误，空间四边形中，与的模不一定相等，方向也不一定相同；
⑤错误，三棱柱中与的模一定相等的向量是共5个.故选：A
2．（2022·江西·奉新县第一中学高二阶段练习（理））与向量同方向的单位向量的坐标是_____________.
【答案】
由已知，所以与同方向的单位向量的坐标是．
故答案为：．
重点题型二：空间向量的线性运算
典型例题
例题1．（2022·全国·高二期末）直三棱柱中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由已知得，
故选：A.
例题2．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二阶段练习（理））在正方体中，底面的对角线交于点，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
如下图所示：
.
故选：A.
例题3．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）在平行六面体中，用向量，，表示______．
【答案】
解：，
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·重庆·高二期末）在长方体中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
在长方体中，易知，
所以.
故选：D.
2．（2022·北京大兴·高二期末）如图，在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
故选：C
3．（2022·上海黄浦·二模）在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________．
【答案】
由题意，
故答案为：
重点题型三：空间共线向量定理及其应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，为的中点，在上，且，为的中点.求证：，，三点共线.
【答案】证明过程见解析.
由图作出如图所示长方体
由题可得，，
，
所以，所以，E，N三点共线.
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
【答案】
，，
，
三点共线，存在实数，使得，即，
，解得：．
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）若与平行，则______．
【答案】3
与平行，则，所以，
所以，解得：，所以.
故答案为：3.
2．（2022·全国·高二期末）已知，，若与为共线向量，则x＝_________．
【答案】
解：因为，且与共线，
所以存在，使得，即，所以，解得；
故答案为：
3．（2022·浙江丽水·高二期末）已知，若，则_____________
【答案】##-0.5
由，可知存在实数使得，
即，
有，解得.
当时，，符合题意.
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线．
【答案】C、E、F三点共线
解：设，，，
，
，
，
，
因为，
所以，
又因为、有公共点C，
所以C、E、F三点共线．
重点题型四：空间共面向量定理及其应用
典型例题
例题1．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四边形，从平面外一点引向量，，，.
求证：四点共面；
【答案】(1)证明见解析
∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴、、、四点共面；
例题2．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，三点不共线，对空间任意一点，当（其中）时，点是否与，，共面？
【答案】点P与A，B，C共面，理由见解析
因为，所以
，则，即，因为A，B，C三点不共线，所以向量不共线，由平面向量基本定理可知：共面，因为三个向量有公共点C，所以直线AP在两相交直线AB，AC所确定的平面内，故P与A，B，C共面.
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由．
【答案】向量共面，理由见解析.
设，则，故，解得：，故，由空间向量共面定理得：向量共面.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知、、是空间中不共线的三点，是空间中任意一点，求证：在平面内的充要条件是：存在满足的实数、、，使得.
【答案】证明见解析
证明：若在平面内，则存在实数、，使得，
对于空间中的任意一点，则，
可得，
因为，则，
所以，在平面内存在满足的实数、、，使得；
若存在满足的实数、、，使得，
则，即，
所以，，即、、共面，故在平面内，
即在平面内存在满足的实数、、，使得.
因此，在平面内的充要条件是：存在满足的实数、、，使得.
同类题型归类练
1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
若，，，四点共面，则，则
故选：D．
2．（2022·全国·高二）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
设，
若点与点共面，
则，
对于选项A：，不满足题意；
对于选项B：，不满足题意；
对于选项C：，不满足题意；
对于选项D：，满足题意.
故选：D.
3．（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关
【答案】B
由
，
所以A，B，C，P四点共面，
故选：B
4．（2022·全国·高二）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线
可得，解之得
故选：D
5．（2022·福建厦门·高二期末）已知是空间的一个基底，，，，若四点共面．则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为四点共面，设存在有序数对使得，则，即，所以得.
故选：A
6．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，有，则A，B，C，M四点__________（填“共面”或“不共面”）．
【答案】共面
，
因为A，B，C三点不共线
则不共线，
则共面
则A，B，C，M四点共面.
故答案为：共面.
7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高二期末）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.
【答案】
P，A，B，C四点共面,则存在实数，使得
所以
即
所以 ，解得
故答案为：
1．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题意可得
.
故选：D
2．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
选项A，因为，所以共面；
选项B，因为，所以共面；
选项C，在构成的平面内，不在这个平面内，不符合.
选项D，因为共线，所以共面.
故选：ABD
3．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.
【答案】2
解：因为
，
又，
所以，，
则.
故答案为：2.
4．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为___________.
【答案】
连接AC,BD交于点O，则O是底面的中心，连接PO，PO垂直于底面ABCD，
连接AF，交PO于H，可得H为PO的三等分点（靠近O）,连接EH并延长，与PD的交点即为G，
在平面内作出三角形PBD，作,垂足分别为S，T，如图，
由题意，,所以，，
设，则，
又由三角形相似得，,
所以，解得：.
解得：故答案为：.

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