资源简介

§1.1空间向量及其应用
1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算.
2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
1．空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为0的向量 0
单位向量 长度(模)为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量
2空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，
当〈a，b〉＝0时，a与b方向相同；
当〈a，b〉＝π时，a与b方向相反，
当〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
解读：两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
③投影向量：
向量a向向量b投影，得到c=|a||b|=向量c称为向量a在向量b上的投影向量。
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得
p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余弦 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量：直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．
(3)
位置关系 向量表示 图 示
直线l，m的方向向量分别为a，b l∥m、 线线平行 a∥b a＝λb
l⊥m 线线垂直 a⊥b a·b＝0
直线l的方向向量为a， 平面α的法向量为n l∥α 线面平行 a⊥n a·n＝0
l⊥α 线面垂直 a∥n a＝λn
平面α，β的法向量分别为 n1，n2 α∥β 面面平行 n1∥n2 n1＝λn2
α⊥β 面面垂直 n1⊥n2 n1·n2＝0
1．共线向量与共面向量相同吗？
提示　不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．
2．零向量能作为基向量吗？
提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量
共线向量
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作.
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使.
(3) 三点共线：三点共线(其中)
(4) 与共线的单位向量为.
共面向量
(1) 定义 ：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.
(2) 共面向量定理
如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使.
(3) 四点共面
方法1 若要证明四点共面，只需要证明
方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中)
证明 若，则
，
，，
即共面，即四点共面
题型一 空间向量概念
1、给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
名师点拨　
①在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致.
②由于向量是由其大小和方向两方面确定的,因此解答空间向量有关概念问题时,要抓住这两点；
③零向量是一个特殊向量,其方向是任意的且与任意向量都共线,这一点说明共线向量不具备传递性
【对点练习】
3．给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量满足，则；
④若空间向量满足，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则 的长度相等且方向相同
C．若向量 满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则
题型二 空间向量的线性运算
1．空间四边形中， =（ ）
A． B． C． D．
2．若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，直三棱柱中，若，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
名师点拨　 运用法则进行向量的线性运算时注意的关键要素
(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；
(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；
(3)平行四边形法则：“起点重合”；
(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．
【对点练习】
5．三棱锥中，点在棱上，且，则为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在长方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行六面体中，设，则（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（ ）
B． C． D．
题型三 空间向量共线共面问题
1.设a,b是不共线的两个向量,且λa+μb=0,λ,μ∈R,则 (　　)
A.λ=μ=0 B．a=b=0 C.λ=0,b=0 D.μ=0,a=0
2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是 (　　)
A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
3.已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,下列能得到P,A,B,C四点共面的是 (　　)
A.=++ B.=++ C.=-++ D.以上都不对
4.有下列说法:
①若p=xa+yb,则p与a,b共面； ②若p与a,b共面,则p=xa+yb；
③若=x+y,则P,M,A,B共面； ④若P,M,A,B共面,则=x+y.
其中正确的是 (　　)
A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.②④
5.已知点P和不共线的三点A,B,C四点共面且对于空间任意一点O,都有=2++λ,则λ=　　　　.
6.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于　　　　.
7.如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,求证:E,F,B,D四点共面.
题型五 基底的判断
1．已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ．
2．已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（ ）
A． B． C． D．
名师点拨　 判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
【对点练习】
3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
题型六 用基底表示向量
1．在平行六面体中，设，，，则以为基底表示（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平行六面体中，点E，F分别是棱和的中点，以为基底表示．
3．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（ ）
A． B．
C． D．
名师点拨　 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求
【对点练习】
4．在平行六面体中，，记向量，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则 .
题型七 空间向量的坐标运算
1．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知则（ ）
A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．23
4．已知，若，则实数m的值分别是（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知向量，向量，若，则实数
A． B． C． D．
6．已知，，若，则常数（ ）
A．-6 B．6 C．-9 D．9
7．已知向量，，若，则的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．
8．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
10．在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 .
11．(多选题)已知向量，则与共线的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
12．已知空间三点，，，设，．
(1)求；
(2)与互相垂直，求实数的值．
13．已知空间中三点，，.设，.
(1)求和；
(2)若与互相垂直，求实数的值
名师点拨　
1、空间向量的坐标运算注意以下几点
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标．
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键.
2、利用空间向量坐标形式证明两直线平行或垂直的步骤
①建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;
②求出有关直线的方向向量;
③证明两直线平行即证明方向向量共线（特别注意：证明两直线平行要说明两条直线不重合）;证明两直线垂直即计算两直线方向向量的数量积为0；
④还原到几何问题，得出结论。
题型八 求平面的法向量
1．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．

名师点拨　 求平面法向量的步骤
1.设法向量n＝(x，y，z)；
2.在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
3.建立方程组
4.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
【对点练习】
2．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.
（1）求平面ABCD的一个法向量；
（2）求平面SAB的一个法向量；
（3）求平面SCD的一个法向量.
题型九 证明线线、线面、面面平行
1、在正方体中，若为中点，为中点.
求证：
(1)；
(2)平面；
(3)平面平面．
名师点拨　
1、证明两直线平行的方法
法一：平行直线的传递性；
法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.
法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，
m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
2、向量法证明线面平行的思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u,即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
3、证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β μ∥v.
【对点练习】2．如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：
(1)平面；
(2)平面平面．
题型十 证明线线、线面、面面垂直
1、如图，在正方体中，E，F分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面
2、如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．
(1)求证：；
(2)求证：平面平面．
名师点拨　
1、证明线线垂直
点拨：用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，只需证明两条直线的方向向量a·b＝0即可，具体方法如下：
1.坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可．
2.基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.
2、用向量法证明线面垂直的方法及步骤
(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直；
(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
3、利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个方法
一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；
二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直
3．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求证：平面
4.如图，在四棱锥中，平面，，，，点为棱的中点．证明：
(1)平面；
(2)平面⊥平面．
5．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点.
(1)求证：.
(2)已知点在平面内，且平面，试确定点的位置.
§1.1空间向量及其线性运算（答案）
题型一 空间向量概念
1．C 【分析】②可举出反例，①③④⑤可用向量的概念进行判断
【详解】对于①，，故①为真命题；
对于②，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题；
对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题；
对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故④为假命题；
对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题．故假命题的个数为4.故选：C
2．A 【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.
【详解】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误；
对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；
对于C，如果，则，C正确；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.故选：A.
3．D 【分析】根据空间向量的有关定义判断可得答案.
【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
4．D 【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.
【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；
若，则 的长度相等但方向不确定，B错误；向量不能比较大小，C错误；
由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.
题型二 空间向量的线性运算
1．C 【分析】根据空间向量的加减运算即可求解.
【详解】,故选：C
2．A 【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D，.故选：A.
3．A 【分析】利用空间向量加法法则直接求解．
【详解】连接BD，如图，
则
故选：A．
4．C 【分析】利用向量的平行四边形法则求解即可.
【详解】因为直三棱柱中，若，，，
所以，故选：C
5．D 【分析】利用向量加减运算及数乘运算求解即可．
【详解】由题得：===
6．B 【分析】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.
【详解】由长方体的结构特征，有，则.故选：B
7．B 【分析】由空间向量的线性运算求解.
【详解】故选：B
8．B 【分析】根据空间向量线性运算求解即可.
【详解】连接，如图所示：
.
故选：B
9．A 【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】-＝，
.故选：A．
10．A 【分析】根据空间向量的加减法进行求解.
【详解】解：在三棱锥中，E为OA的中点
，，
所以故选：A
题型三 空间向量共线共面问题
1.A　若λ≠0,则a=-b,与已知a,b不共线矛盾,故λ=0,同理μ=0,故选A.
2.A　因为+==2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线.
3..B　若点P,A,B,C共面,设=x+y+z,则x+y+z=1,满足条件的只有B,故选B.
4.C　若a,b共线,由p=xa+yb知p一定与a,b共面,若a,b不共线,则满足共面定理,p与a,b共面,①对；同理③对；若p与a,b共面,且a,b共线,则不一定有p=xa+yb,故②不对；同理④不对,故选C.
5.　-2 解析　对于空间不共线的三点A,B,C和点P,若四点共面,则对空间任意一点O,都有=x+y+z,其中x+y+z=1,所以λ=-2.
6.　解析　若向量a,b,c共面,则存在x,y∈R,使得a=xb+yc,
∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk),∴解得λ=.
7.证明　设=a,=b.则=+=b+a,=+=b+a=,
所以∥,而E,F,B,D四点不共线,
因此DB∥FE,故E,F,B,D四点共面
题型五 基底的判断
1． 【分析】由向量坐标的定义求解.
【详解】由向量坐标的定义可知，是空间的一个单位正交基底，．
故答案为：
2．B 【分析】利用基底的性质进行求解.
【详解】因为，所以是共面向量，不能构成基底，A不正确；
因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；
因为与平行，所以不能构成基底，C不正确；
因为，所以共面，不能构成基底，D不正确.故选：B.
3．D 【分析】根据空间向量共面定理逐一验证即可得出结果.
【详解】根据题意可知，对于选项A，假设存在一组实数对满足，可知无解，即向量，，不共面；
选项B假设存在一组实数对满足可知无解即向量，，不共面；
选项C，假设存在一组实数对满足，可知无解，即向量，，不共面；
只有D选项存在一组实数对满足，即，，是共面向量.
4．D 【分析】根据空间向量共面定理和基底的概念，逐项检验，即可得到正确结果.
【详解】由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；
由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；
由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；
假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，所以,因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；
题型六 用基底表示向量
1．A
【分析】由向量的加法法则可得，再将已知条件代入即可得答案.
【详解】因为.故选：A.
2． 【详解】利用空间向量基本定理以及平行六面体的图形性质得出结果.
【分析】利用平行六面体的性质，空间向量的线性运算即得.在平行六面体中，
，又点E，F分别是棱和的中点，∴，
∴.
3．A 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.故选：A
4．C 【分析】先得到是的中点，利用空间向量基本定理求出答案.
【详解】因为平行六面体钟，，所以是的中点，
故.故选：C
5．A 【分析】利用空间向量基本定理求解即可
【详解】由于M是的中点，所以
．
6． 【分析】由空间向量的线性运算即可求解.
【详解】，故答案为：
题型七 空间向量的坐标运算
1．B 【分析】利用平面向量的坐标计算可得答案．
【详解】故选：B
2．A 【解析】求出向量的坐标，利用空间向量的减法运算可得答案．
【详解】，故选：A
3．C 【分析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可.
【详解】，.
4．A 【分析】根据空间向量共线的坐标表示列方程组，由此求得m的值.
【详解】因为，则，则，解得.故选：A
5．D 【解析】由得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解出即可.
【详解】，，，，解得.故选：D.
6．A 【分析】等价转化为,利用空间向量的坐标运算得到关于的方程，解之即可.
【详解】解：由得，又∵，，,
解得,故选：A.
7．B 【解析】首先求得，，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】因为，，所以由有：
所以.故选：B
8．C 【分析】根据空间向量数量积的运算性质和定义，结合投影向量进行求解即可.
【详解】因为空间向量，，所以向量在向量上的投影向量为：
，故选：C
9．A 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】向量，，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A
10．
【详解】根据题意可得，所以，
则；因此向量在上的投影向量为，因此投影向量的坐标为.
11．AD 【分析】与共线的单位向量为或，从而求出答案.
【详解】，则与共线的单位向量为或，其中，.故选：AD
12．(1) (2)或
【分析】（1）应用向量线性关系坐标运算得，，根据向量夹角的坐标公式求夹角余弦值；
（2）首先求出，的坐标，再根据向量垂直列方程求参数．
【详解】（1）由题设，，
所以．
（2）由，，而，
所以，
可得或
题型八 求平面的法向量
1．【详解】∵⊥底面，底面是直角梯形 且，∴两两垂直．
以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
则，易知向量是平面的一个法向量．
设为平面的法向量，
则即，
取，则，所以平面的一个法向量为.
2．（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1).
【分析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系：
（1）由法向量的定义可知，是平面ABCD的一个法向量；
（2）可证AD⊥平面SAB，所以是平面SAB的一个法向量；
（3）设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，根据⊥，⊥，计算可得结果.
【详解】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.
（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴=，0，0是平面SAB的一个法向量.
（3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1).
设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴
得方程组令，则，，∴=(2，-1，1).
所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.
题型九 证明线线、线面、面面平行
1．【分析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明；
（2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明；
（3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行.
【详解】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．
依题意知：，，，，
∴，，∴，
∴，即.
（2）设平面ACD1的法向量为，∵，，，
∴，，由可得，，即，
令，则，∴，又，
∴，∴，
又平面，∴平面．
（3）证法一 ∵，∴，又，
∴，∴，又平面，平面，
∴平面，又由（2）知平面，而，
且平面，平面,∴平面平面.
证法二 设平面的法向量为则即∴
令，得，∴，由（2）知平面ACD1的一个法向量，
∴，∴，∴平面平面.
2．【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证；
（2）证明也是平面MNP的一个法向量即可.
【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，，，．
由正方体的性质，知平面，所以为平面的一个法向量．由于，则，
所以．又平面，所以平面．
（2）证明：因为为平面的一个法向量，
由于，，则，即也是平面MNP的一个法向量，
所以平面平面．
题型十 证明线线、线面、面面垂直
1．【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究空间位置关系即可.
【详解】（1）
如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，
则，所以，
有；
（2）由（1）知，设平面的一个法向量为，则，令，即，又，显然，故平面.
2．【分析】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明．
（2）运用线面垂直的性质定理可证得，进而运用线面垂直的判定定理可证得平面PAC，进而可证得面面垂直.
【详解】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
所以，，
所以，所以．
（2）连接，，如图所示，
因为面，面，所以，
又因为四边形为正方形，所以，
又因为，、面，所以面，
又因为面，所以平面平面．
3．【分析】（1）先由面面垂直的性质定理及正方形的性质推得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得，，由此利用空间向量垂直的坐标表示即可得证；
（2）结合（1）中结论得到，，，从而利用空间向量垂直的坐标表示证得，，由此利用线面垂直的判定定理证得平面.
【详解】（1）因为面面，面面，，面，
所以面，又面，所以，又因为在正方形中，，所以两两垂直，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为M为EC的中点，所以，
故，，所以，故即.
（2）由（1）得，，，
所以，则即，
又，故即，又，平面，
所以平面.
4．【详解】（1）因为平面，且平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
依题意，以点为原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，由为棱的中点，得，则，所以为平面的一个法向量，又，所以，又平面，所以平面．
（2）由（1）知平面的法向量，，，
设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，所以，
又，所以，所以平面⊥平面．
5．【详解】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），设，则，，，，，，
所以，，所以，所以.
（2）因为平面PAD，设，所以.
由（1），知，.因为平面PCB，
所以，
，所以，，
所以点G的坐标为，即点G为AD的中点

展开更多......

收起↑