资源简介

3.3幂函数（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：幂函数的概念
重点题型二：幂函数的定义域
重点题型三：幂函数的值域
重点题型四：幂函数的图象
重点题型五：幂函数的单调性
角度1:比较大小
角度2：解不等式
重点题型六：幂函数性质综合应用
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：幂函数的概念
1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
2、幂函数的特征
①中前的系数为“1”
②中的底数是单个的自变量“”
③中是常数
知识点二：幂函数的图象与性质
1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）
当时，我们得到五个幂函数：
；；；；
2、五个幂函数的性质
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减
定点
3、拓展：
①，当时，在单调递增；
②，当时，在单调递减.
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）幂函数的图象必过点和．( )
（2）幂函数的图象都不过第二、四象限．( )
（3）当幂指数取1，3，时，幂函数是增函数．( )
（4）若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内y随x的增大而增大．( )
2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中不是幂函数的是( )
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）是幂函数．( )
（2）函数是幂函数．( )
4．（2022·全国·高一）幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．
5．（2022·全国·高一专题练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
重点题型一：幂函数的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
例题2．（2022·四川雅安·高一期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
2．（2022·上海交大附中高二期末）幂函数的图象与轴没有交点，则___________.
3．（2022·吉林一中高二期中）幂函数在上单调递增，则m的值为______．
4．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））若幂函数在上为增函数，则实数m的值为______.
重点题型二：幂函数的定义域
典型例题
例题．（2022·山西吕梁·高一期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·上海·高三专题练习）函数的定义域为_______．
同类题型演练
1．（2022·浙江·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·高一）若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重点题型三：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·广西玉林·高二期末（文））函数的值域为________.
例题2．（2021·河北·石家庄市第九中学高一期中）若幂函数的图象过点，则的值域为____________．
例题3．（2021·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·广东·广州六中高一期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值是
A． B． C． D．
重点题型四：幂函数的图象
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）任意两个幂函数图象的交点个数是（ ）
A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个
C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个
例题2．（2022·江苏·高一）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
重点题型五：幂函数的单调性
角度1:比较大小
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2021·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是__．
同类题型演练
1．（2021·山东聊城一中高一期中）设幂函数的图像经过点，若实数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知，，则m与n的大小关系为________．
角度2：解不等式
典型例题
例题1．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期中）已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数过定点，且满足，则的范围为___________.
同类题型演练
1．（2021·福建三明·高一期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，＋∞） B．（－∞，] C．（，] D．[，]
2．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一课时练习）若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·河北·石家庄二中高一阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是________.
5．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数过点，且，则实数k的取值范围是_____．
重点题型六：幂函数性质综合应用
典型例题
例题1．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
例题2．（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））已知幂函数的图像关于轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
同类题型演练
1．（2022·北京房山·高一期末）已知幂函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数满足条件 ，试求实数的取值范围．
2．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数.
（1）求和的值；
（2）求满足的的取值范围.
1．（2022·四川绵阳·一模（理））“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·湖南湖南·二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·河南·模拟预测（文））若幂函数，且关于原点对称，则（ ）
A． B．
C．或 D．
4．（2022·上海黄浦·二模）已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则____________．
5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②当时，；
③；
3.3幂函数（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：幂函数的概念
重点题型二：幂函数的定义域
重点题型三：幂函数的值域
重点题型四：幂函数的图象
重点题型五：幂函数的单调性
角度1:比较大小
角度2：解不等式
重点题型六：幂函数性质综合应用
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：幂函数的概念
1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
2、幂函数的特征
①中前的系数为“1”
②中的底数是单个的自变量“”
③中是常数
知识点二：幂函数的图象与性质
1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）
当时，我们得到五个幂函数：
；；；；
2、五个幂函数的性质
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减
定点
3、拓展：
①，当时，在单调递增；
②，当时，在单调递减.
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）幂函数的图象必过点和．( )
（2）幂函数的图象都不过第二、四象限．( )
（3）当幂指数取1，3，时，幂函数是增函数．( )
（4）若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内y随x的增大而增大．( )
【答案】 × × √ ×
（1）例如：，不过，故错误；
（2）例如：，幂函数会过第二象限，故错误
（3）当幂指数取1，3，时，幂函数是增函数，正确；
（4）例如：，函数在递减，故错误；
2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中不是幂函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
A选项中，，故它是幂函数．
B选项是幂函数．
C选项的系数为3，所以它不是幂函数．
D选项是幂函数．
3．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）是幂函数．( )
（2）函数是幂函数．( )
【答案】 错误 正确
（1）可以改写成，其中的系数为，所以它不是幂函数．
（2）中，底数是自变量，指数位置为常数，所以它是幂函数．
4．（2022·全国·高一）幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．
【答案】A
因为是幂函数，
故，解得或，
又因为幂函数在上单调递减，所以需要，
则
故选：A
5．（2022·全国·高一专题练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
根据幂函数的性质，
在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，
故选：D
重点题型一：幂函数的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】D
设幂函数，幂函数的图象经过点，所以，
解得，所以，则．
故选：D.
例题2．（2022·四川雅安·高一期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
【答案】C
幂函数为偶函数，
，且为偶数，
则实数，
故选：C
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
【答案】D
因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上为减函数，不符合题意，
当时，在上为增函数，符合题意，
所以.
故选：D.
2．（2022·上海交大附中高二期末）幂函数的图象与轴没有交点，则___________.
【答案】0
根据幂函数的定义得，
解得或；
当时，，图象与轴有交点，不满足题意；
当时，，图象与轴没有交点，满足题意；
综上，，
故答案为：
3．（2022·吉林一中高二期中）幂函数在上单调递增，则m的值为______．
【答案】
解：因为函数是幂函数，
则有，解得或，
当时，函数在上单调递增，符合题意，
当时，函数在上单调递减，不符合题意.
所以的值为
故答案为：
4．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））若幂函数在上为增函数，则实数m的值为______.
【答案】1
由题设，即，可得或，
当时，在上为增函数，符合；
当时，在上为减函数，不符合.
所以.
故答案为：1
重点题型二：幂函数的定义域
典型例题
例题．（2022·山西吕梁·高一期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
设，因为的图象过点，
所以，解得，则，
故的定义域为．
故选：C
例题2．（2022·上海·高三专题练习）函数的定义域为_______．
【答案】
，所以，.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·浙江·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
对选项，则有：
对选项，则有：
对选项，定义域为：
对选项，则有：
故答案选：
2．（2022·江苏·高一）若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由负分数指数幂的意义可知，，
所以，即，因此的取值范围是．
故选：C.
重点题型三：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·广西玉林·高二期末（文））函数的值域为________.
【答案】
时，，
时，，
所以的值域为.
故答案为：
例题2．（2021·河北·石家庄市第九中学高一期中）若幂函数的图象过点，则的值域为____________．
【答案】
设，因为幂函数的图象过点，所以
所以，所以
故答案为：
例题3．（2021·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
由函数单调递增，
①当时，若，有，
而，此时函数的值域不是；
②当时，若，有，而，
若函数的值域为，必有，可得．
则实数的取值范围为．
故答案为：
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
幂函数的图像过点，
，解得，
，
的值域是.
故选：D.
2．（2022·广东·广州六中高一期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设，
代入点得
，
则，令，
函数的值域是.
故选：C.
3．（2021·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
由幂函数的性质,可知当时, 在上是减函数,
故在区间上是减函数,故.
故选C
重点题型四：幂函数的图象
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）任意两个幂函数图象的交点个数是（ ）
A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个
C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个
【答案】A
解：因为所有幂函数的图象都过，
所以最少有个交点，
如图所示：
当函数为和时，它们有个交点，
故选：．
例题2．（2022·江苏·高一）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
和在上单调递增，所以，，
当时，图象在上方，所以，
当时，图象在下方，所以，
所以，
故选：A.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由得，，即定点为，
设，则，，所以，图象为B．
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得
故选：B
重点题型五：幂函数的单调性
角度1:比较大小
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数，，对任意，，且，都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
对任意，，且，都有，即在上单调减，又是幂函数，知：
，解得或（舍去），
∴，是偶函数，
∴，，而，即，
故选：A
例题2．（2021·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是__．
【答案】
设幂函数为，
因为幂函数的图象过点，可得，解得，
所以幂函数为，
此时函数的偶函数，且当时，函数是减函数，
则，所以.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2021·山东聊城一中高一期中）设幂函数的图像经过点，若实数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】A
由题可设，代入点，则，解得，
则在单调递减，
因为，所以可得，则.
故选：A.
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知，，则m与n的大小关系为________．
【答案】
设，已知，则，
因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则，即，
故答案为：.
角度2：解不等式
典型例题
例题1．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期中）已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为函数为幂函数，所以，解得或，
又幂函数在上单调递增，
所以，此时在R上单调递增，
因为，所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：B.
例题2．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数过定点，且满足，则的范围为___________.
【答案】
设，则，解得，
所以，此时为上的递增函数，且为奇函数，
所以等价于，
所以 ，即，所以或.
故答案为：
同类题型演练
1．（2021·福建三明·高一期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，＋∞） B．（－∞，] C．（，] D．[，]
【答案】D
不等式可化为：
，解得：.
故选：D
2．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为幂函数的定义域为，且是定义域上的减函数，
所以若，则解得.
故选：D.
3．（2021·全国·高一课时练习）若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为幂函数在和上都是单调递减的，
所以，由可得或或
解得或，
即实数m的取值范围为.
故选：C.
4．（2021·河北·石家庄二中高一阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是________.
【答案】
因为幂函数过点，
所以 ，
解得，
所以在 上递增，
又，
所以，即，
解得 ，
所以实数的取值范围是
故答案为：
5．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数过点，且，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
由题设可得，故，所以，
所以为上的奇函数且为增函数，
而等价于，
所以，故.
故答案为：.
重点题型六：幂函数性质综合应用
典型例题
例题1．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得，
又因为，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；
综上所述，.
(2)解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，
即，即，解得，
所以满足的实数的取值范围为.
例题2．（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））已知幂函数的图像关于轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)(2)
(1)因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
(2)由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
同类题型演练
1．（2022·北京房山·高一期末）已知幂函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数满足条件 ，试求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为幂函数的图象经过点，则有，
所以，
所以；
(2)解：因为，所以函数为偶函数，
又函数在上递增，且 ，
所以 ，
所以，
解得，
所以满足条件 的实数 的取值范围为 .
2．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数.
（1）求和的值；
（2）求满足的的取值范围.
【答案】（1）或；；（2）
（1）函数为幂函数，，
即，解得或，
函数在上是减函数
，解得，
又函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数，
，当时，，函数不是偶函数，舍去；
当时，，函数为偶函数，满足条件；
当时，，函数不是偶函数，舍去；
综上所述，.
（2）由（1）可知，
因为在，上单调递减，
所以等价于
或或，
解得或.
故的取值范围为
1．（2022·四川绵阳·一模（理））“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
因为定义域为，且为增函数，又，所以，解得：，因为，而，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2022·湖南湖南·二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
解：因为是定义在上的增函数，又，
所以，解得，
因为由可推出，而由无法推出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022·河南·模拟预测（文））若幂函数，且关于原点对称，则（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
根据幂函数的概念，得，解得或，
①若，则，
令，其定义域为，且，
显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；
②若，则，
令，其定义域为，且，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.
所以.
故选：A.
4．（2022·上海黄浦·二模）已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则____________．
【答案】
因为幂函数图像不过坐标原点，故，又在区间上单调递增，故
故答案为：
5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②当时，；
③；
【答案】（答案不唯一）；
由所给性质：在上恒正的偶函数，且，
结合偶数次幂函数的性质，如：满足条件.
故答案为：（答案不唯一）

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