资源简介

4.1指数（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：根式的概念
重点题型二：根式的化简(求值)
重点题型三：分数指数幂的简单计算
重点题型四：条件求值
知识点一：整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：，其中，
2、正整数指数幂的运算法则：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知识点二：根式
1、次根式定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特别的：
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().
③负数没有偶次方根；
④的任何次方根都是，记作
2、根式：
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
在根式符号中，注意：
①，
②当为奇数时，对任意都有意义
③当为偶数时，只有当时才有意义.
3、与的区别：
①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
知识点三：分式指数幂
1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
知识点四：有理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
知识点五：无理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）．( )
（2）．( )
（3）．( )
（4）．( )
2．（2022·全国·高一课时练习）若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）可化为( )
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一课时练习（理））化简为( )
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一课时练习）当时，___________．
重点题型一：根式的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知，那么等于（ ）
A．3 B． C．或3 D．不存在
例题2．（2022·全国·高一专题练习）下列等式中成立的个数是（ ）
①（且）；②（为大于的奇数）；③（为大于零的偶数）.
A．个 B．个
C．个 D．个
同类题型演练
1．（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（ ）
①当n为奇数时，x的n次方根为a；
②当n为奇数时，a的n次方根为x；
③当n为偶数时，x的n次方根为±a；
④当n为偶数时，a的n次方根为±x.
A．1 B．2
C．3 D．4
重点题型二：根式的化简(求值)
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）若，，则的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）化简下列各式：
（1）；（2）；（3）.
同类题型演练
1．（2022·青海西宁·高一期末）若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）______．
重点题型三：分数指数幂的简单计算
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））化简.
例题2．（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)．
同类题型演练
1．（2022·江苏·高一）计算下列各式：
(1).
(2).
2．（2022·全国·高三专题练习（文））化简.
重点题型四：条件求值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知,，则的值为______.
例题2．（2022·四川雅安·高一期末）已知，则____________________.
例题3．（2022·江苏·高一单元测试）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）已知，则____________.
2．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）（1）已知，求的值；
3．（2022·湖南·高一课时练习）若，求的值．
4．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）（1）已知，求、的值；
4.1指数（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：根式的概念
重点题型二：根式的化简(求值)
重点题型三：分数指数幂的简单计算
重点题型四：条件求值
知识点一：整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：，其中，
2、正整数指数幂的运算法则：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知识点二：根式
1、次根式定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特别的：
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().
③负数没有偶次方根；
④的任何次方根都是，记作
2、根式：
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
在根式符号中，注意：
①，
②当为奇数时，对任意都有意义
③当为偶数时，只有当时才有意义.
3、与的区别：
①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
知识点三：分式指数幂
1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
知识点四：有理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
知识点五：无理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）．( )
（2）．( )
（3）．( )
（4）．( )
【答案】 正确 正确 错误 正确
对于A：，故正确；
对于B，
，故正确；
对于C，，故错误；
对于D：，故正确；
故答案为：正确，正确，错误，正确
2．（2022·全国·高一课时练习）若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
对于根式，当a为奇数时，，有意义；
当a为偶数时，，有意义；
因此，当时，无意义
故选：D
3．（2022·全国·高一课时练习）可化为( )
A． B． C． D．
【答案】C
解：
故选：C
4．（2022·全国·高一课时练习（理））化简为( )
A． B． C． D．
【答案】B
，故B正确，A、C、D错误
故选：B
5．（2022·全国·高一课时练习）当时，___________．
【答案】1
解：当时，
，
又，
故原式=
故答案为：1
重点题型一：根式的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知，那么等于（ ）
A．3 B． C．或3 D．不存在
【答案】C
∵，∴．
故选：C．
例题2．（2022·全国·高一专题练习）下列等式中成立的个数是（ ）
①（且）；②（为大于的奇数）；③（为大于零的偶数）.
A．个 B．个
C．个 D．个
【答案】D
对于①，当且时，，①对；
对于②，当为大于的奇数时，，②对；
对于③，当为大于零的偶数时，，③对.
故选：D.
同类题型演练
1．（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：由根式的定义知，则.
故选：B.
2．（2022·全国·高一课时练习）若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（ ）
①当n为奇数时，x的n次方根为a；
②当n为奇数时，a的n次方根为x；
③当n为偶数时，x的n次方根为±a；
④当n为偶数时，a的n次方根为±x.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于（±x）n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的，
故选：B.
重点题型二：根式的化简(求值)
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）若，，则的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
依题意，，，
则，
所以的值为1.
故选：A
例题2．（2022·全国·高一课时练习）化简下列各式：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）（2）（3）
（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
同类题型演练
1．（2022·青海西宁·高一期末）若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，，
所以.
故选：D
2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）______．
【答案】
故答案为：
重点题型三：分数指数幂的简单计算
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））化简.
【答案】
原式．
例题2．（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
(1)
(2)
同类题型演练
1．（2022·江苏·高一）计算下列各式：
(1).
(2).
【答案】(1)；(2)；(3).
(1)原式.
(2)原式.
2．（2022·全国·高三专题练习（文））化简.
【答案】
.
重点题型四：条件求值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知,，则的值为______.
【答案】47
由，得，即，
所以，则.
故答案为：.
例题2．（2022·四川雅安·高一期末）已知，则____________________.
【答案】7
因为，
所以,两边平方可得，
所以，故答案为7.
例题3．（2022·江苏·高一单元测试）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3） 或.
，即 .
（1）;
（2）；
（3），故
或，
或.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）已知，则____________.
【答案】14
，两边平方得：，即，即
故答案为：14
2．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）（1）已知，求的值；
【答案】（1）11；
解：（1），，
，.
3．（2022·湖南·高一课时练习）若，求的值．
【答案】23.
因为，则有，
所以的值23.
4．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）（1）已知，求、的值；
【答案】（1）， ；
（1）∵，
两边平方得，∴，，
∴．

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