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3.2.1单调性与最大（小）值（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：利用定义法判断或证明函数的单调性
重点题型二：求函数的单调区间
角度1：利用图象求函数的单调区间
角度2：求复合函数的单调区间
重点题型三：函数单调性的应用
角度1：利用函数的单调性比较大小
角度2：利用函数的单调性解不等式
角度3：利用函数的单调性求参数的取值范围
重点题型四：求函数的最值
角度1：利用函数的单调性求最值
角度2：利用函数的图象求最值
重点题型五：二次函数的最值问题
角度1：不含参数的二次函数最值问题
角度2：含参数的二次函数最值问题
重点题型六：恒成立与能成立问题
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：函数的单调性
1、增函数与减函数
1.1增函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
1.2减函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
3、常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数（） 当时，在上单调递增
当时，在上单调递减
反比例函数（） 当时，在和上单调递减
当时，在和上单调递增
二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增
当时，在上单调递增； 在上单调递减
知识点二：函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；
（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；
（3）和的公共定义区间，有如下结论；
增 增 增 不确定
增 减 不确定 增
减 减 减 不确定
减 增 不确定 减
知识点三：函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最大值；
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最小值；
知识点四：复合函数的单调性（同增异减）
一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：
：令：和
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）所有函数在定义域上都具有单调性．( )
（2）因为，所以函数在上是增函数．( )
（3）若为R上的减函数，则．( )
（4）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．( )
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的递减区间是( )
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）函数，则的最大值为___________，最小值为___________．
4．（2022·全国·高一课时练习）设函数，则( )
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
5．（2022·全国·高一课时练习）函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．，0 B．0，2
C．，2 D．，2
重点题型一：利用定义法判断或证明函数的单调性
典型例题
例题1．（2022·新疆喀什·高一期末）已知函数
判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；
例题2．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）已知函数．
试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）已知函数.
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
2．（2022·广东·信宜市第二中学高一开学考试）已知.
(1)用定义证明在区间上是增函数；
重点题型二：求函数的单调区间
角度1：利用图象求函数的单调区间
典型例题
例题．（2021·全国·高一专题练习）已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·高一）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）如果函数的图象如图所示，那么此函数的减区间为__________.
2．（2022·湖南·高一课时练习）如图是函数的图象．列出的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值．
3．（2022·湖南邵阳·高一期末）已知函数．
(1)画出的图象，并根据图象写出的递增区间和递减区间；
4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）已知函数.
（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；（不用列表，直接画出草图．
（2）根据图象，直接写出函数的单调区间；
角度2：求复合函数的单调区间
典型例题
例题1．（2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习）函数的单调减区间为__________．
例题2．（2022·河南安阳·高一期末（理））函数的单调递增区间为___________.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是________.
2．（2022·全国·高一）已知函数，则的单调递增区间为______.
重点题型三：函数单调性的应用
角度1：利用函数的单调性比较大小
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）设偶函数的定义域为，当时，是减函数，试确定，，之间的大小关系．
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）画出函数的图象，并根据图象回答下列问题.
(1)比较，，的大小；
角度2：利用函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏·高一）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
同类题型演练
1．（2022·江苏·高一）已知是定义在上的增函数，且，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·云南·高一阶段练习）已知是定义在上的减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·高一）设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是______．
角度3：利用函数的单调性求参数的取值范围
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）已知在为单调函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数是上的增函数，则的取值范围为（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
例题3．（2022·河南·高二期末（理））已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·四川省泸县第一中学高一开学考试）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数在上是减函数.则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·海淀实验中学高一期中）已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二阶段练习（理））已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重点题型四：求函数的最值
角度1：利用函数的单调性求最值
典型例题
例题1．（2022·广东·广州市天河中学高一阶段练习）函数在的值域为__________．
例题2．（2022·天津益中学校高一期中）函数在区间的最大值是______．
例题3．（2022·全国·高一期中）函数，的值域是（ ）．
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·陕西西安·高二期末（文））设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
2．（2022·河南·高一期中）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一阶段练习）函数，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建·漳州三中高一期中）函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．-1
角度2：利用函数的图象求最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在边长为4的正方形上有一点，沿着折线由点(起点)向点(终点)移动，设点移动的路程为，的面积为．
(1)求的面积与移动的路程间的函数关系式；
(2)作出函数的图象，并根据图象求的最大值．
同类题型演练
1．（2022·广西·容县高级中学高二开学考试（文））已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补充完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间及值域；
2．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）已知函数f（x）=|x﹣1|+1
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）在上边所给的坐标系中画出该函数的图象；
（3）写出该函数的单调区间及值域(不要求证明).
重点题型五：二次函数的最值问题
角度1：不含参数的二次函数最值问题
典型例题
例题1．（2022·上海市延安中学高一期末）函数的最大值为___________.
例题2．（2022·山东临沂·高一期中）已知二次函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)求在区间上的值域．
同类题型演练
1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）函数
(1)当时，求函数的值域；
2．（2022·广东·兴宁市叶塘中学高一期中）求下列函数的最小值与最大值：
3．（2022·广西·平桂高中高一阶段练习）已知函数．
(1)求函数的定义域和值域；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
角度2：含参数的二次函数最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
例题2．（2022·山西·高一期末）已知是二次函数，且满足，，.
(1)求函数的解析式；
(2)当时，表示出函数的最小值，并求出的最小值.
例题3．（2022·陕西安康·高一期末）已知二次函数．
(1)当时，求的最大值和最小值，并指出此时的取值；
(2)求的最小值，并表示为关于的函数．
同类题型演练
1．（2022·江西赣州·高二期末（文））已知函数，且满足.
(1)求函数在区间上的值域；
(2)设，若对于任意，都有，求的取值范围.
2．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数 ( 为实常数).
(1)设 在区间 上的最小值为 ， 求 的表达式;
3．（2022·浙江·慈溪中学高二阶段练习）已知函数.
求函数在上的最小值；
4．（2022·四川·宁南中学高一开学考试）已知函数，．
(1)当时，求函数的最大值和最小值．
(2)当时，求函数在区间上的最小值．
重点题型六：恒成立与能成立问题
典型例题
例题1．（2022·广西北海·高二期末（文））已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立；求实数的取值范围；
例题2．（2022·上海徐汇·高一期末）已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.
例题3．（2022·江苏·高一）已知
(1)求二次函数的值域：
(2)当时，若二次函数的值恒大于0，求的取值范围．
例题4．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知函数．
(1)已知m=-3，求函数在区间上的最大值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
同类题型演练
1．（2022·河北武强中学高二期末）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数．
(1)若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围．
1．（2020·全国·高三阶段练习（理））历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法错误的是（ ）
A．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
2．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·山东济南·二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.2.1单调性与最大（小）值（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：利用定义法判断或证明函数的单调性
重点题型二：求函数的单调区间
角度1：利用图象求函数的单调区间
角度2：求复合函数的单调区间
重点题型三：函数单调性的应用
角度1：利用函数的单调性比较大小
角度2：利用函数的单调性解不等式
角度3：利用函数的单调性求参数的取值范围
重点题型四：求函数的最值
角度1：利用函数的单调性求最值
角度2：利用函数的图象求最值
重点题型五：二次函数的最值问题
角度1：不含参数的二次函数最值问题
角度2：含参数的二次函数最值问题
重点题型六：恒成立与能成立问题
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：函数的单调性
1、增函数与减函数
1.1增函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
1.2减函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
3、常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数（） 当时，在上单调递增
当时，在上单调递减
反比例函数（） 当时，在和上单调递减
当时，在和上单调递增
二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增
当时，在上单调递增； 在上单调递减
知识点二：函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；
（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；
（3）和的公共定义区间，有如下结论；
增 增 增 不确定
增 减 不确定 增
减 减 减 不确定
减 增 不确定 减
知识点三：函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最大值；
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最小值；
知识点四：复合函数的单调性（同增异减）
一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：
：令：和
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）所有函数在定义域上都具有单调性．( )
（2）因为，所以函数在上是增函数．( )
（3）若为R上的减函数，则．( )
（4）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．( )
【答案】 错误 错误 正确 错误
（1）不是所有函数在定义域上都具有单调性，如不具有单调性，故错误；
（2）因为，所以函数在上是增函数是不正确的，两个数的比较不能代表区间内任意的变量都成立，故错误；
（3）由为R上的减函数，又因为，则，故正确；
（4）若函数在区间和上均为增函数，此时可能有分段函数情况，但函数在区间上为增函数不成立，故错误.
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的递减区间是( )
A． B． C． D．
【答案】A
作出函数图象的图象，
由图象可知图象的减区间为
故选：A
3．（2022·全国·高一课时练习）函数，则的最大值为___________，最小值为___________．
【答案】 1
因为函数在区间上为减函数，
则
即
故最大值为1，最小值为
故答案为：1；
4．（2022·全国·高一课时练习）设函数，则( )
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
【答案】D
由题意可知函数单调递增，但定义域为，取不到最大值，也没有最小值；
故选：D
5．（2022·全国·高一课时练习）函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．，0 B．0，2
C．，2 D．，2
【答案】C
由图可得，函数在处取得最小值，在处取得最大值，
故选：C
重点题型一：利用定义法判断或证明函数的单调性
典型例题
例题1．（2022·新疆喀什·高一期末）已知函数
判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；
【答案】(1)减函数，证明见解析
任取，， 且
则 -
因为，所以，
所以，即，
所以在区间上是减函数．
例题2．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）已知函数．
试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
【答案】（1）在上单调递减，证明见解析；
（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设，
∵，
∴，，，
∴，
∴在区间上单调递减；
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）已知函数.
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明见解析
在区间上单调递增，证明如下：
，，且，
有.
因为，，且，所以，.
于是，即.
故在区间上单调递增.
2．（2022·广东·信宜市第二中学高一开学考试）已知.
(1)用定义证明在区间上是增函数；
【答案】(1)见解析
证明：任取，，，且，
则．
，，而，，
，即，
在区间，上是增函数；
重点题型二：求函数的单调区间
角度1：利用图象求函数的单调区间
典型例题
例题．（2021·全国·高一专题练习）已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
对于A，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故A不符合题意；
对于C，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故C不符合题意；
对于D，函数分别在及上单调递减，
但存在，，使，故D不符合题意；
只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.
故选:B.
例题2．（2022·全国·高一）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：函数，
画出函数的图象，如图所示：
函数的单调递减区间是，，
故选：B
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）如果函数的图象如图所示，那么此函数的减区间为__________.
【答案】
解：由函数的图象得此函数的减区间为：，
故答案为：.
2．（2022·湖南·高一课时练习）如图是函数的图象．列出的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值．
【答案】答案见解析.
观察图象知，函数的递减区间是：，，，单调递增区间是，，
函数的最大值点是，最小值点是，
函数的最大值是，最小值是.
3．（2022·湖南邵阳·高一期末）已知函数．
(1)画出的图象，并根据图象写出的递增区间和递减区间；
【答案】(1)作图见解析，递增区间为，递减区间为；
(1)
由函数，图象如图：
递增区间为，递减区间为；（注：写成也可以）
4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）已知函数.
（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；（不用列表，直接画出草图．
（2）根据图象，直接写出函数的单调区间；
【答案】（1）作图见解析 ；（2）增区间为和；减区间为和；
（1）由题意，函数，
所以的图象如右图所示：
（2）由（1）中的函数图象，
可得函数的单调增区间为和，单调减区间为和．
角度2：求复合函数的单调区间
典型例题
例题1．（2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习）函数的单调减区间为__________．
【答案】##
解：函数的定义域为，
令，，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.
故答案为：.
例题2．（2022·河南安阳·高一期末（理））函数的单调递增区间为___________.
【答案】
由可得，解得：，
所以函数的定义域为，
因为是由和复合而成，
对称轴为，开口向下，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为，
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是________.
【答案】
令，解得或，所以函数的定义域为，
而函数的对称轴是，
故函数的单调递增区间是.
故答案为：.
2．（2022·全国·高一）已知函数，则的单调递增区间为______.
【答案】
，
解得.
函数的对称轴为，开口向下，
根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间为.
故答案为：
重点题型三：函数单调性的应用
角度1：利用函数的单调性比较大小
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）设偶函数的定义域为，当时，是减函数，试确定，，之间的大小关系．
【答案】
因为当时，是减函数，故，
而为偶函数，故，
故.
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）画出函数的图象，并根据图象回答下列问题.
(1)比较，，的大小；
【答案】(1)
(1)函数的定义域为R，
列表：
x －1 0 1 3
y 0 3 4 0
描点，连线，得函数图象如图.
根据图象，容易发现，，
所以.
角度2：利用函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
例题2．（2022·江苏·高一）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
【答案】A
因为在定义域上是减函数，
所以由，
故选：A
同类题型演练
1．（2022·江苏·高一）已知是定义在上的增函数，且，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为是定义在上的增函数，且，
所以，即，解得，
所以x的取值范围为，
故选：B
2．（2022·云南·高一阶段练习）已知是定义在上的减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
∵是定义在上的减函数，且，
则，解得.
故选：A.
3．（2022·江苏·高一）设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是______．
【答案】.
由题意，函数是定义在区间上的严格增函数，
因为，可得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
角度3：利用函数的单调性求参数的取值范围
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）已知在为单调函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，
故选：D
例题2．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数是上的增函数，则的取值范围为（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
【答案】B
解：因为且在上单调递增，
所以，解得，即
故选：B
例题3．（2022·河南·高二期末（理））已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
2．（2022·四川省泸县第一中学高一开学考试）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为函数，对称轴为，开口向上，要使函数在区间上是减函数，所以，解得
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）函数在上是减函数.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，函数在上是减函数，
根据一次函数的性质，则满足，解得.
故选：B.
4．（2022·北京·海淀实验中学高一期中）已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：若是上的增函数，则应满足，解得，即.
故选：C
5．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二阶段练习（理））已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为函数，在上是增函数，
所以，
解得，
故选：D
重点题型四：求函数的最值
角度1：利用函数的单调性求最值
典型例题
例题1．（2022·广东·广州市天河中学高一阶段练习）函数在的值域为__________．
【答案】
因为的对称轴为
所以在上单调递增，
因为，所以值域为
故答案为：
例题2．（2022·天津益中学校高一期中）函数在区间的最大值是______．
【答案】1
∵函数，
∴函数在区间上为单调增函数
∴当时，函数取得最大值，为.
故答案为：.
例题3．（2022·全国·高一期中）函数，的值域是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
任取，且，则
，
当，且时，，，所以，即，
当，且时，，，所以，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，
所以在上的值域为
故选：A
同类题型演练
1．（2022·陕西西安·高二期末（文））设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
【答案】C
因为f(x)= =2+，
所以f(x)在[3，4]上是减函数.
所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.
所以.
故选：C.
2．（2022·河南·高一期中）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为函数、在区间上均为增函数，故函数在上为增函数，
当时，.
故选：B.
3．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一阶段练习）函数，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意得，，
显然函数在上为减函数，
所以，当时，函数取得最大值，且最大值为，当接近时，接近，
所以的值域为.
故选：D.
4．（2022·福建·漳州三中高一期中）函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
∵函数在上为减函数，
∴.
故选：A.
角度2：利用函数的图象求最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域.
【答案】(1)(2)或(3)图象见解析，
(1)因为，所以
(2)当时，，不合题意，应舍去
当时，
解得或（舍）
当时，，则
综上，或
(3)值域为
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在边长为4的正方形上有一点，沿着折线由点(起点)向点(终点)移动，设点移动的路程为，的面积为．
(1)求的面积与移动的路程间的函数关系式；
(2)作出函数的图象，并根据图象求的最大值．
【答案】（1）；（2）8.
(1)这个函数的定义域为(0,12)，
当0＜x≤4时，S＝f(x)＝2x；
当4＜x≤8时，S＝f(x)＝8；
当8＜x＜12时，S＝f(x)＝·4·(12－x)＝24－2x.
∴这个函数的解析式为
(2)其图形如下，由图知，
[f(x)]max＝8.
同类题型演练
1．（2022·广西·容县高级中学高二开学考试（文））已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补充完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间及值域；
【答案】(1)作图见解析；
(2)单调递增区间为(－1,1)，值域R；
(1)由题图及y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得左侧图象如下：
(2)由（1）所得函数图象知：单调递增区间为(－1,1)，值域R.
2．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）已知函数f（x）=|x﹣1|+1
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）在上边所给的坐标系中画出该函数的图象；
（3）写出该函数的单调区间及值域(不要求证明).
【答案】（1）；（2）答案见详解；（3）单调减区间为，单调增区间为，值域为.
解：（1）当时，f（x）=|x﹣1|+1，当时，f（x）=|x﹣1|+1，；
（2）由（1）中解析式，作图如下：
（3）由（2）中f（x）图像可知，单调减区间为，单调增区间为，值域为.
重点题型五：二次函数的最值问题
角度1：不含参数的二次函数最值问题
典型例题
例题1．（2022·上海市延安中学高一期末）函数的最大值为___________.
【答案】
由，则开口向上且对称轴为，又，
∴，，故函数最大值为.
故答案为：.
例题2．（2022·山东临沂·高一期中）已知二次函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)求在区间上的值域．
【答案】(1)(2)
(1)因为二次函数，
所以，
，
又，∴，
解得，，，
故；
(2)由（1）的结论知，，所以在上单减，在上单增；所以当时，取得最小值，且其最小值；
而3到对称轴的距离比0到对称轴的距离远，所以当时，取得最大值，且其最大值；
故在上的值域为．
同类题型演练
1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）函数
(1)当时，求函数的值域；
【答案】(1)
解：由题意，函数，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
综上函数在上的值域为.
2．（2022·广东·兴宁市叶塘中学高一期中）求下列函数的最小值与最大值：
【答案】最小值为f()=，最大值为f(-3)=7；
由，对称轴为且开口向上，
∴在上有，.
3．（2022·广西·平桂高中高一阶段练习）已知函数．
(1)求函数的定义域和值域；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)定义域为，值域为
(2)，
(1)定义域为，值域为；
(2)因为图象开口向上，对称轴为，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
又，，所以．
4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
【答案】(1)最小值是1，最大值是37
当时,
此时函数的对称轴为；
在上单调递减，上单调递增
当时，取最小值，且最小值为，
当时，取最大值，且最大值为．
角度2：含参数的二次函数最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
【答案】(1)最大值是，最小值是
(2)当时，最小值为；
当时，最小值为；
当时，最小值为.
(3)或
(1)时，，结合函数图像得：
在上的最大值是，最小值是；
(2)的对称轴是，
①当，即时，函数在上递增，
当时，取到最小值；
②当，即时，函数在上先递减后递增，
当时，取到最小值；
③当，即时，函数在上递减，
当时，取到最小值，
综上所得，当时，最小值；
当时，取到最小值；
当时，取到最小值.
例题2．（2022·山西·高一期末）已知是二次函数，且满足，，.
(1)求函数的解析式；
(2)当时，表示出函数的最小值，并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)；.
(1)解：设，
因为，所以函数关于对称，
所以，
又，，
所以，解得，
所以；
(2)解：由（1）得，函数关于对称，
当时，函数在上递增，
所以，
所以当时，，，
当，即时，函数在上递减，
所以，
所以当时，，，
当时，函数在上递减，在上递增，
所以，
所以当时，，
综上所述，，.
例题3．（2022·陕西安康·高一期末）已知二次函数．
(1)当时，求的最大值和最小值，并指出此时的取值；
(2)求的最小值，并表示为关于的函数．
【答案】(1)当时，的最小值为，当时的最大值为.
(2).
(1)当时，，对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，.
所以当时，的最小值为，当时的最大值为.
(2)的对称轴为，开口向上，
当即时，在上单调递增，
，
当即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，
当即时，在上单调递减，
，
所以.
同类题型演练
1．（2022·江西赣州·高二期末（文））已知函数，且满足.
(1)求函数在区间上的值域；
(2)设，若对于任意，都有，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)由题意知函数是二次函数，对称轴为，
因为，知其对称轴为，
所以，解得，则，
可知函数在上单调递减，在上单调递增.
则，，
所以函数的值域为.
(2)因为且，所以，
因为，
所以的最大值可能是或.
因为
，
所以，
要对任意，都有，只需，即，
则，解得，
又因为，所以，
所以的取值范围是.
2．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数 ( 为实常数).
(1)设 在区间 上的最小值为 ， 求 的表达式;
【答案】
若，则，该函数在上为减函数，故，
若，则的图象为开口向下的抛物线，且其对称轴为，
故在上为减函数，故，
若，则，故在上为减函数，
故，
若，则在上为减函数，在为增函数，
故，
若，则，故在上为增函数，
故，
综上，.
3．（2022·浙江·慈溪中学高二阶段练习）已知函数.
求函数在上的最小值；
【答案】(1)
由题意得，
当即时，，
当即时，，
当即时，，
故；
4．（2022·四川·宁南中学高一开学考试）已知函数，．
(1)当时，求函数的最大值和最小值．
(2)当时，求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)，；(2)答案见解析.
(1)当时，，又，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，．
(2)由题意得：，
∴函数图像开口向上，对称轴方程为，
①若，即，则在上单调递增，
∴；
②若，则在上单调递减，在上单调递增，；
③若，即，则在上单调递减，
∴．
重点题型六：恒成立与能成立问题
典型例题
例题1．（2022·广西北海·高二期末（文））已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立；求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
(1)由于是二次函数，可设，恒成立，
恒成立，
，
又，

；
(2)当时，恒成立，
即恒成立，
令，当时，单调递减，.
所以；
例题2．（2022·上海徐汇·高一期末）已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
(1)，则，又，则；
(2)，又存在使成立，即在上有解，
令，设，易得在单减，则，
即，故实数的取值范围为.
例题3．（2022·江苏·高一）已知
(1)求二次函数的值域：
(2)当时，若二次函数的值恒大于0，求的取值范围．
【答案】(1)[0，](2)
(1)等价于，．
解得
所以．
∴二次函数，
函数在区间单调递增，所以当时，y取最大值为，
当时，y取最小值为0，
所以二次函数．的值域是[0，]．
(2)由（1）知
∵恒成立．
即恒成立．
∴恒成立． ．
∵．∴
∵，∴．
当且仅当且时，即时，等号成立，．
∴，故a的取值范围为
例题4．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知函数．
(1)已知m=-3，求函数在区间上的最大值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)8(2)
(1)当时，函数的图象开口向上，对称轴为，区间的中心为，故当时取得
(2)恒成立，只需在区间上的最大值即可，所以，得，所以实数的取值范围是，即
同类题型演练
1．（2022·河北武强中学高二期末）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)f(x)＝4x2－8x＋2
(2)(－∞，－2)
(1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，
得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2．
(2)因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，
即m的取值范围为(－∞，－2)．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数．
(1)若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)解：因为在单调递增，
所以，
解得；
(2)因为在上恒成立，
所以在恒成立，
即在恒成立．
令，则，
当且仅当时等号成立．
所以．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
（Ⅰ）当时，，在区间上单调递减，符合题意；当时，对称轴为，因为在区间上单调递减，所以，得，所以；当时，函数在区间上单调递减，符合题意，综上，的取值范围为.
（Ⅱ），恒成立，即，恒成立，令，可知函数在上单调递增，所以，所以，所以，故的取值范围为
1．（2020·全国·高三阶段练习（理））历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法错误的是（ ）
A．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
【答案】B
解：设任意，，
则，，A选项正确；
易知的值域为，B选项错误；
若，则，所以，
若，则，所以，C选项正确；
由于实数的稠密性，任意两个有理数之间都有无理数，两个无理数之间也有有理数，
其函数值在和之间无间隙转换，所以无单调性；综上，
故选：B.
2．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2022·山东济南·二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为，所以二次函数的对称轴为，
又因为，所以，
又，所以.
故选：B.

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