资源简介

3.2.2奇偶性（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：用定义法判断函数的奇偶性
重点题型二：分段函数奇偶性的判断
重点题型三：抽象函数的奇偶性
重点题型四：函数奇偶性的应用
角度1：求函数值
角度2：求函数解析式
角度3：求参数的值或取值范围
角度4：求函数的值域或最值
角度5：解不等式
重点题型五：奇、偶函数的图象特征的应用
重点题型六：函数性质的综合应用
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：函数的奇偶性
1、定义：
1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
2、函数奇偶性的判断
2.1定义法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：
①若是奇函数
②若是偶函数
③若既是奇函数又是偶函数
④若既不是奇函数也不是偶函数
2.2图象法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若的图象关于轴对称是偶函数
（3）若的图象关于原点对称是奇函数
2.3性质法：
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
知识点二：奇函数，偶函数的性质
1、奇函数，偶函数的图象特征
设函数的定义域为
（1）是偶函数的图象关于轴对称；
（2）是奇函数的图象关于原点对称；
（3）若是奇函数且，则
2、函数的奇偶性与单调性的关系
（1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性；
（2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性；
3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系
设函数的定义域为（其中）
（1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同；
（2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数；
知识点三：对称性
1、轴对称：
设函数的定义域为，且是的对称轴，则有：
①；
②
③
2、点对称
设函数的定义域为，且是的对称中心，则有：
①；
②
③
3、拓展：
①若，则关于对称；
②若，则关于对称；
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）是定义在R上的函数，若，则一定是偶函数．( )
（2）对于函数，若存在x，使，则函数一定是奇函数．( )
（3）不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
（4）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是偶函数的是( )
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）若为R上的偶函数，且，则___________．
4．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
5．（2022·北京·高三学业考试）已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
重点题型一：用定义法判断函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
例题．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数为偶函数，求的值．
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）下列函数中，既是奇函数又是增函数的有哪些？
①；②；③；④．
2．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性
(1)； (2)；
(3)； (4)．
重点题型二：分段函数奇偶性的判断
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝是奇函数.
求实数m的值；
2．（2022·北京平谷·高一期末）已知函数
(1)求，的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
(4)由简图得出函数的奇偶性，并证明.
重点题型三：抽象函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（文））已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且．
(1)求．
(2)证明：．
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数满足．
(1)求的值；
(2)求证：；
2．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数对任意的，都有，且当时，.
（1）若，证明：是奇函数.
重点题型四：函数奇偶性的应用
角度1：求函数值
典型例题
例题1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（理））已知函数为上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
例题2．（2022·四川凉山·高一期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则______.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，则（ ）
A． B． C．1 D．3
同类题型演练
1．（2022·云南普洱·高三期末（理））已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A．8 B． C．16 D．
2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是奇函数，当时，，则
A． B．
C． D．
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）已知是R上的奇函数，且当时，，则的值为___________.
角度2：求函数解析式
典型例题
例题1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（文））已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
例题2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期中（文））已知函数是上的偶函数，当时，
(1)当时，求解析式；
(2)画出函数的图象，并写出的值域.
同类题型演练
1．（2022·河南安阳·高一期末（理））已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
2．（2022·山西太原·高一开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则函数的解析式为_________．
3．（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，当时的解析式是，则当时，的最大值是______．
4．（2022·云南昆明·高一期中）定义在R上的函数满足.当时，，则______.
5．（2022·全国·高一专题练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
6．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）已知函数的图象关于原点对称，且当时，
(1)试求在R上的解析式；
角度3：求参数的值或取值范围
典型例题
例题1．（2022·河南新乡·高一期中）若函数在上为奇函数，则___________.
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是奇函数，则_____．
同类题型演练
1．（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ）
A．-8 B．8 C．-24 D．24
3．（2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习）若函数是偶函数，定义域为，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022·海南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.
角度4：求函数的值域或最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
例题2．（2022·湖南·长郡中学高二期中）已知是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的值域．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为_____.
2．（2022·安徽·高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且
(1)求的值
(2)用定义法证明在上的单调性，并求出在上的最大值和最小值．
角度5：解不等式
典型例题
例题1．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））定义在R上的偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·北京市第五中学高一期末）已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________．
同类题型演练
1．（2022·贵州遵义·三模（文））若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·广西南宁·高一期末）若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南平顶山·高一期末）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广西玉林·高二期末（文））已知奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是___________.
重点题型五：奇、偶函数的图象特征的应用
典型例题
例题1．（2021·北京市第四十三中学高一阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如图所示，那么不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·河南商丘·三模（理））已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
同类题型演练
1．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）已知奇函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高一专题练习）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在，上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
重点题型六：函数性质的综合应用
典型例题
例题1．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）已知定义在上的函数，满足为偶函数，若对于任意不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·北京市第十一中学高二期末）已知函数是奇函数，且.
(1)求实数的值；
(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
(3)当时，解关于的不等式：.
例题4．（2022·安徽·高一期中）已知函数满足，当时，成立，且．
(1)求，并证明函数的奇偶性；
(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
同类题型演练
1．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二阶段练习（文））函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式
(2)证明在上的单调性；
(3)解关于的不等式．
2．（2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
3．（2022·黑龙江双鸭山·高一期末）设函数是增函数，对于任意都有．
(1)写一个满足条件的；
(2)证明是奇函数；
(3)解不等式．
1．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海·模拟预测）若函数为奇函数，求参数a的值为___________；
5．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数的定义域为R，为奇函数，则___________.
3.2.2奇偶性（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：用定义法判断函数的奇偶性
重点题型二：分段函数奇偶性的判断
重点题型三：抽象函数的奇偶性
重点题型四：函数奇偶性的应用
角度1：求函数值
角度2：求函数解析式
角度3：求参数的值或取值范围
角度4：求函数的值域或最值
角度5：解不等式
重点题型五：奇、偶函数的图象特征的应用
重点题型六：函数性质的综合应用
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：函数的奇偶性
1、定义：
1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
2、函数奇偶性的判断
2.1定义法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：
①若是奇函数
②若是偶函数
③若既是奇函数又是偶函数
④若既不是奇函数也不是偶函数
2.2图象法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若的图象关于轴对称是偶函数
（3）若的图象关于原点对称是奇函数
2.3性质法：
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
知识点二：奇函数，偶函数的性质
1、奇函数，偶函数的图象特征
设函数的定义域为
（1）是偶函数的图象关于轴对称；
（2）是奇函数的图象关于原点对称；
（3）若是奇函数且，则
2、函数的奇偶性与单调性的关系
（1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性；
（2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性；
3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系
设函数的定义域为（其中）
（1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同；
（2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数；
知识点三：对称性
1、轴对称：
设函数的定义域为，且是的对称轴，则有：
①；
②
③
2、点对称
设函数的定义域为，且是的对称中心，则有：
①；
②
③
3、拓展：
①若，则关于对称；
②若，则关于对称；
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）是定义在R上的函数，若，则一定是偶函数．( )
（2）对于函数，若存在x，使，则函数一定是奇函数．( )
（3）不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
（4）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
【答案】 错误 错误 错误 错误
（1）要对任意的，都有，才是偶函数，故该结论错误．
（2）要对任意的，都有，才是奇函数，单是存在某个满足是不符合定义的，故该结论错误．
（3）存在既是奇函数，又是偶函数的函数，比如，故该结论错误．
（4）函数，定义域关于原点对称，但是它既不是奇函数又不是偶函数，故该结论错误．
2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是偶函数的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
A选项，，故它不是偶函数．
B选项，，故它是偶函数．
C选项 ，，故它不是偶函数．
D选项，该函数的定义域不关于原点对称，故它不是偶函数．
故选：B
3．（2022·全国·高一课时练习）若为R上的偶函数，且，则___________．
【答案】3
∵为R上的偶函数，
∴
故答案为：3
4．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
【答案】B
奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确；
定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误，
如函数的定义域是R，且有，但不是奇函数，D错误．
故选：B
5．（2022·北京·高三学业考试）已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
由题意，，即函数为偶函数.
故选：B
重点题型一：用定义法判断函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数
(1)的定义域为，它关于原点对称.
，故为偶函数.
(2)的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
(3)的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
(4)，
故，故为非奇非偶函数.
例题．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数为偶函数，求的值．
【答案】
解：根据题意，函数为偶函数，则有，
即，即，即，所以，解得；
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）下列函数中，既是奇函数又是增函数的有哪些？
①；②；③；④．
【答案】
对于①，设，其定义域为，但，故不是奇函数，
对于②，设，其定义域为，但为上的减函数，
对于③，设，其定义域为，此函数在上为减函数；
对于④，设，其定义域为，且，
故为上的奇函数，
当时，，此时在为增函数，故为上的增函数，
故既是奇函数又是增函数的函数为.
2．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)奇函数(2)偶函数(3)偶函数(4)非奇非偶函数
(1)函数的定义域为R
且
故函数为奇函数
(2)函数的定义域为R
且
故函数为偶函数
(3)函数的定义域为R
且
故函数为偶函数
(4)由于
且
故函数为非奇非偶函数
重点题型二：分段函数奇偶性的判断
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：
【答案】奇函数．
当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝是奇函数.
求实数m的值；
【答案】（1）2；
（1）设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
于是当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
2．（2022·北京平谷·高一期末）已知函数
(1)求，的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
(4)由简图得出函数的奇偶性，并证明.
【答案】(1)，；(2)作图见解析；
(3)；(4)为奇函数，证明见解析.
(1)由解析式知：，.
(2)由解析式可得：
0 1 2
0 0 1 0
∴的图象如下：
(3)由（2）知：的值域为.
(4)由图知：为奇函数，证明如下：
当，时，；
当，时，；
又的定义域为，则为奇函数，得证.
重点题型三：抽象函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（文））已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且．
(1)求．
(2)证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
(1)在中，
令，可得，
因为，
所以．
(2)在中，
令，得，
因为，
所以，即，
由于y的任意性，
则．
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数满足．
(1)求的值；
(2)求证：；
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)解：因为，令，则，所以；
(2)解：因为，令，则，又，所以，即；
2．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数对任意的，都有，且当时，.
（1）若，证明：是奇函数.
【答案】（1）证明见解析；
（1）由题意，函数满足，
令，可得，解得，
令，可得，即，
即，
因为，所以.
又因为的定义域也是关于原点对称，所以函数是奇函数.
重点题型四：函数奇偶性的应用
角度1：求函数值
典型例题
例题1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（理））已知函数为上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
解：因为函数为R上的奇函数，当时，，
所以.
故选：C.
例题2．（2022·四川凉山·高一期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则______.
【答案】
因为，所以有，
因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以，
因此由，
故答案为：
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
因为函数是偶函数，
所以，即①，
因为函数是奇函数，
所以，即②，
由①②可得：，
故选：A.
同类题型演练
1．（2022·云南普洱·高三期末（理））已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】D
由，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
故，
故选：D.
2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是奇函数，当时，，则
A． B．
C． D．
【答案】D
是奇函数，满足，
即.
故选：D
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）已知是R上的奇函数，且当时，，则的值为___________.
【答案】
因为是R上的奇函数，且当时，，
所以，所以
故答案为：
角度2：求函数解析式
典型例题
例题1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（文））已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
(1)设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，.
(2)作函数的图像如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
例题2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期中（文））已知函数是上的偶函数，当时，
(1)当时，求解析式；
(2)画出函数的图象，并写出的值域.
【答案】(1)
(2)图象见解析，值域为
(1)当时，，则，
为上的偶函数，，
即当时，.
(2)由（1）得：，
当时，；当时，；
结合二次函数性质可得图象如下图所示，
的值域为.
同类题型演练
1．（2022·河南安阳·高一期末（理））已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
【答案】
时，，是奇函数，
此时
故答案为：
2．（2022·山西太原·高一开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则函数的解析式为_________．
【答案】
设 -3-x>0，则有，又因为，所以，又，所以
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，当时的解析式是，则当时，的最大值是______．
【答案】
当时，，
∵时，，
∴，又为奇函数，
∴，
∴，
因为时，，
所以当时，取得最大值.
故答案为：
4．（2022·云南昆明·高一期中）定义在R上的函数满足.当时，，则______.
【答案】
由，所以为定义在R上的奇函数，可得，
所以，可得，
所以时，，
所以，
所以.
故答案为：
5．（2022·全国·高一专题练习）已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
【答案】，
解析： 以代替条件等式中的，则有，
又，分别是上的奇函数和偶函数，
故．
又，
联立可得，．
6．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）已知函数的图象关于原点对称，且当时，
(1)试求在R上的解析式；
【答案】(1)
解：的图象关于原点对称，
是奇函数，．
又的定义域为，，解得．
设，则，
当时，，
，
所以；
角度3：求参数的值或取值范围
典型例题
例题1．（2022·河南新乡·高一期中）若函数在上为奇函数，则___________.
【答案】
因为函数在上为奇函数，
所以，得，
又，即，即恒成立，
所以，所以.
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是奇函数，则_____．
【答案】2
当时，，，
又为奇函数，，而当时，，
所以．
故答案为：2
同类题型演练
1．（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.
故选：C.
2．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为（ ）
A．-8 B．8 C．-24 D．24
【答案】A
解：在上是奇函数，
，解得，
又时，，
．
故选：A．
3．（2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习）若函数是偶函数，定义域为，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
因为函数是偶函数，定义域为，
所以，即，
即，得，且，，
则，
故选：B.
4．（2022·海南·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.
【答案】
依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，
，
，
恒成立，所以，
所以.
故答案为：
角度4：求函数的值域或最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】B
由函数的图像关于直线对称，知是偶函数，
，即，
整理得总成立，得，
，
令，则，
当时，有最大值，即的最大值是．
故选：B．
例题2．（2022·湖南·长郡中学高二期中）已知是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的值域．
【答案】(1)(2)答案见详解.
(1)解:（1）当时，所以；
因为为R上的偶函数，所以；
又，所以
(2)解:作出的大致图象如下所示：
当时，在区间上单调递减，则在区间上的值域为，即；
当时，在区间上的最大值为，最小值为所以在上的值域为，即；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，则在区间上的值域为，即．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为_____.
【答案】
∵是定义在R上的奇函数，∴，
又∵，，∴，∴时，，
设，则，则，则，
即当x＞0时，，∴f（x）在上单调递减，
∴在上的最大值为．
故答案为：
2．（2022·安徽·高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且
(1)求的值
(2)用定义法证明在上的单调性，并求出在上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(1)解：由，
可得，
此时，符合题意；
(2)设，
，
，
由，
，
故，
所以在上单调递减，
此时.
角度5：解不等式
典型例题
例题1．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因为函数满足对任意的，有，
即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，函数的大致图像可如下所示：
所以当时，当或时，
则不等式等价于或，
解得或，即原不等式的解集为；
故选：C
例题2．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））定义在R上的偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：∵因为偶函数满足，∴，又∵在上单调递减，∴，即，∴.
故选：D
例题3．（2022·北京市第五中学高一期末）已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________．
【答案】
因为函数为奇函数，所以，而函数在R上为增函数，则.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·贵州遵义·三模（文））若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由是奇函数在单调递增，且可知：当 时，，当 时，，
又或，解得：或
满足的x的取值范围是或
故选：D
2．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
因为偶函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，
因为，
所以，解得：.
故选：A．
3．（2022·广西南宁·高一期末）若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由于函数是偶函数，所以，
由题意，当时，，则；
又因为函数是偶函数，图象关于轴对称，所以当时，，则，所以的解集为.
故选：C.
4．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为偶函数在区间上单调递增，所以在上单调递减，则等价于，解得，所以原不等式的解集为；
故选：A
5．（2022·河南平顶山·高一期末）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意得在上单调递增，且，
因为，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A
6．（2022·广西玉林·高二期末（文））已知奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是___________.
【答案】
因为奇函数在区间上单调递减，且，所以在上单调递减，且，
则不等式可转化为或，解得，或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
重点题型五：奇、偶函数的图象特征的应用
典型例题
例题1．（2021·北京市第四十三中学高一阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如图所示，那么不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题可得，当时，当时，
因为是定义在上的奇函数，
所以当时，当时，
所以不等式的解集是.
故选：C.
例题2．（2022·河南商丘·三模（理））已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
根据奇函数的图象特征，作出在上的图象如图所示，
由，得，
等价于或
解得，或，或．
故不等式解集为：.
故选: C
同类题型演练
1．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）已知奇函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由图像可知在时，
当，，当，，
由为奇函数，图象关于原点对称，
在时，
当，；当，，
又在时与同号，
在时与异号
故不等式的解集为：.
故选：D.
2．（2021·全国·高一专题练习）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在，上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
如图所示：当时，，，；当时，，，，故当时，其解集为，∵是偶函数，是奇函数，∴是奇函数，由奇函数的对称性可得：当时，其解集为，综上：不等式的解集是 ，
故选：C.
重点题型六：函数性质的综合应用
典型例题
例题1．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）已知定义在上的函数，满足为偶函数，若对于任意不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为是偶函数，所以 图像关于直线对称，
又因为当时，恒成立
即当时，；时，
所以在区间上单调递减.
解得.
故选：D.
例题2．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，且，又，所以.
由，得或
所以或
解得或.故x的取值范围是.
故选：D.
例题3．（2022·北京市第十一中学高二期末）已知函数是奇函数，且.
(1)求实数的值；
(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
(3)当时，解关于的不等式：.
【答案】(1)，，(2)证明见解析，(3)
(1)因为函数是奇函数，
所以，即，
，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，解得，
(2)证明：由（1）可知
任取，且，则
，
因为，且，
所以，，
所以，即，
所以在上单调递增；
(3)
当时，，
由（2）可知在上单调递增，
因为，
所以，即，解得（舍去），或，
所以不等式的解集为
例题4．（2022·安徽·高一期中）已知函数满足，当时，成立，且．
(1)求，并证明函数的奇偶性；
(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析；
(2).
(1)解：令，可得，
令，则，所以，
所以，
所以为奇函数；
(2)解：，即，
所以，
又当时，成立，所以为增函数，
所以在上恒成立，
令，可得在上恒成立，
又，，所以当时，，
所以，即.
同类题型演练
1．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二阶段练习（文））函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式
(2)证明在上的单调性；
(3)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)不等式解集为.
(1)根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得；
又由，则有，解可得；
则
(2)由（1）的结论，，
设，
则
又由，
则，，，，
则，即
则函数在上为增函数.
(3)由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.
，
解可得：，
即不等式的解集为.
2．（2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)在，上单调递增，证明见解析
(3)
(1)因为函数是定义在，上的奇函数，且（1），
则，解得，，
所以函数，
经检验，函数为奇函数，
所以，；
(2)在，上单调递增.
证明如下：设，
则，
其中，，
所以，即，
故函数在，上单调递增；
(3)因为对任意的，，总存在，，使得成立，
所以，
因为在，上单调递增，
所以，
当时，；所以恒成立，符合题意；
当时，在，上单调递增，则（1），
所以，解得；
当时，函数在，上单调递减，则，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
3．（2022·黑龙江双鸭山·高一期末）设函数是增函数，对于任意都有．
(1)写一个满足条件的；
(2)证明是奇函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
(1)因为函数是增函数，对于任意都有，这样的函数很多，其中一种为：，证明如下：
函数满足是增函数， ，所以满足题意.
(2)令，则由
得，
即得，故是奇函数．
(3)，所以，则
，因为，所以
，所以，又因为函数是增函数，所以
，所以或.所以的解集为：.
1．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
2．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
3．（2022·北京海淀·二模）若是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.
故选：C.
4．（2022·上海·模拟预测）若函数为奇函数，求参数a的值为___________；
【答案】1
因为为奇函数，所以，当时，，
所以，即，所以，解得.
故答案为：.
5．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数的定义域为R，为奇函数，则___________.
【答案】1
因为函数的定义域为R，为奇函数，
所以，即.
故答案为：1

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