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第一章 空间向量与立体几何单元总结
要点一：空间向量的有关概念
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；
空间向量的表示：一种是用有向线段表示，叫作起点，叫作终点；
一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．
向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．
向量的夹角：过空间任意一点作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作，规定．如图：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．
单位向量：长度为1的空间向量，即．
相等向量：方向相同且模相等的向量．
相反向量：方向相反但模相等的向量．
共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．
平行于记作，此时．=0或=．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
要点诠释：
（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；
（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作．与同向．
（4）当=0或时，向量平行于，记作；当 =时，向量垂直，记作．
要点二：空间向量的基本运算
空间向量的基本运算：
运算类型 几何方法 运算性质
向量的加法 1平行四边形法则： 加法交换率：加法结合率：
2三角形法则：
向量的减法 三角形法则：
向量的乘法 是一个向量，满足：>0时，与同向；<0时，与异向；=0时， =0 ∥
向量的数量积 1．是一个数：；2．，或=0．
要点三：空间向量基本定理
共线定理：两个空间向量、（≠），//的充要条件是存在唯一的实数，使．
共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使．
要点诠释：
（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．
（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．
空间向量分解定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.
要点诠释：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
要点四：空间向量的直角坐标运算
空间两点的距离公式
若，，则
①；
②；
③ 的中点坐标为．
空间向量运算的的坐标运算
设，，则
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ，；
⑥ ．
空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①，，；
②．
要点诠释：
（1）空间任一点的坐标的确定：
过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则．如图：
（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中θ的范围是．
（３）与任意空间向量平行或垂直．
要点五：用向量方法讨论垂直与平行
图示 向量证明方法
线线平行（//） //（分别为直线的方向向量）
线线垂直（） （分别为直线的方向向量）
线面平行（//） ，即（是直线的方向向量，是平面的法向量）．
线面垂直（） //（是直线的方向向量，是平面的法向量）
面面平行（//） （分别是平面，的法向量）
面面垂直（） ，即（，分别是平面，的法向量）
要点诠释：
（１）直线的方向向量：若、是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．
（２）平面的法向量：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．
要点六：用向量方法求角
图示 向量证明方法
异面直线所成的角 （，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点）
直线和平面的夹角 （其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）
二面角 （平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）
要点诠释：
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。
②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。
要点七：用向量方法求距离
图示 向量证明方法
点到平面的距离 （为平面的法向量）
与平面平行的直线到平面的距离 （是平面的公共法向量）
两平行平面间的距离 （是平面，的一个公共法向量）
要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择．
（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．
（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．
要点八：立体几何中的向量方法
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）
3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题）
用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤
1．建立适当的空间直角坐标系；
2．写出相关点的坐标及向量的坐标；
3．进行相关的计算；
类型1 利用空间向量证明线、面位置关系
空间中的线、面位置关系的证明问题主要包含两类，即平行与垂直．平面问题包括线线平行、线面平行、面面平行；垂直问题包括线线垂直、线面垂直和面面垂直．利用向量法解决位置关系问题，实际上是将复杂的几何问题转化为代数问题解决，突出了向量这一工具的便捷性，在高考中，若能将向量方法融入到立体几何的线、面位置关系的证明中，将会使问题的解答过程更加简捷明了．
例1 如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证：、
（1）平面；（2）平面平面．
分析：结合已知条件平面，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标．（1）利用向量共面的充要条件将用平面中两个不共线向量线性表示即可得证；（2）先分别求出平面与平面的法向量，再证两法向量垂直即可．
证明：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．设，则有．
（1）因为分别为的中点，所以．
所以．所以．
又因为平面，所以平面．
（2）由（1），知，所以．
设平面的一个法向量为
则，即．解得．令，
则．设平面的一个法向量为，则，即．
得．令，则，因为，所以．故平面平面．
解后反思：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
（2）证明线面平行的方法；
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明平面内存在一个向量与已知直线的方向向量共线；
（3）证明面面平行的方法：
①转化为线线平行或线面平行处理；
②证明两个平面的法向量是共线向量．
（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．
（5）证明线面垂直的方法：
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；
②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
（6）证明面面垂直的方法：
①转化为线线垂直或线面垂直处理；
②证明两个平面的法向量互相垂直．
类型2 利用空间向量求空间角
空间角包括：异面直线所成的角（线线角）、直线与平面所成的角（线面角）、二面角（面面角）．用向量法求空间角，把复杂的作角、证明、求角问题代数化，降低了思维难度，是近年来高考的一个方向．
例2 如图①，在中，，是边上的高，沿把折起，得如图3-3②所示的三棱锥，其中．
（1）证明：平面平面；（2）设为的中点，求与夹角的余弦值．
分析：（1）先确定图形在折起前后不变的量，如角的大小不变，线段长度不变、线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．
（1）证明：因为折起前是边上的高，所以当折起后，．又因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．
（2）解：由及（1），知两两垂直．不妨设，以为坐标原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图3-4所示的空间直角坐标系，
易得．因为为中点，所以．
所以．所以．
故与夹角的余弦值是．
解后反思：求一对异面直线所成的角的方法：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种方法，都应注意对异面直线所成角的范围的限定．
例3如图，在等腰直角三角形中，，分别是上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图3-6所示的四棱锥，其中．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
分析：（1）用勾股定理可证，从而证得平面；
（2）用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．
（1）证明：由题意，得．
如图3-7，连接，在中，由余弦定理，得．由翻折不变性，知．所以，所以．同理可证．又因为，所以平面．
（2）解：方法1：如图3-8，过点作交的延长线于点，连接．
因为平面，，所以．所以为二面角的平面角．结合图3-5可知．为的中点，故，从而．所以．所以二面角的平面角的余弦值为．
方法2：以点为原点，建立空间直角坐标系，如图3-9所示（为的中点）．
易知，所以．
设平面的法向量．则，即，解得．
令，得．由（1），知为平面的一个法向量
所以，即二面角的平面角的余弦值为．
解后反思：求二面角的大小时，也可以先作出垂直于棱的两个向量，再转化为求这两向量的夹角，但应注意此时两向量的起点应在二面角的棱上．
例4在平面四边形中，．将沿折起，使得平面平面，如图所示．
（1）求证：；
（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
分析：（1）根据面面垂直、线面垂直的性质，证明线线重起；（2）利用（1）的结论，先建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，再用向量法求线面角的正弦值．
（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面．又因为平面，所以．
（2）解：过点在平面内作，如图3-11所示．
由（1），知平面，平面，平面，所以．以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图3-11所示．依题意，得．则
．设平面的法向量，则，即，取，得平面的一个法向量．设直线与平面所成角为．则，即直线与平面所成角的正弦值为．
解后反思：求直线与平面所成的角的方法：
设为平面的斜线，为直线的方向向量，为平面的法向量，为与所成的角，则．
类型3 利用空间向量求距离
求距离是一类常见的题型，是近几年高考的一个热点．常见的距离问题有：点点距、点线距、点面距、线距、线面距、面面距，其中求线面距、面面距及多面体的体积也常转化为求点到面的距离问题．用向量法求点面距的具体步骤为：
（1）求出该平面一个法向量；
（2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
（3）先求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模．
例5 如图，已知正方形的边长为1，平面，且，分别为的中点．求：
（1）点到平面的距离； （2）直线到平面的距离．
分析：（1）根据平面，四边形为正方形建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标．利用距离（为过点的向量，为平面的一个法向量）来求点到平面的距离；（2）求直线到平面的距离时，根据平面，转化为点到平面的距离．
解：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
（1）．则．设为平面的一个法向量，则有，即，所以．令，则．所以．
（2）．由（1），知平面的一个法向量，则点到平面的距离为．因为平面，所以直线到平面的距离为．
解后反思：两点间距离一般利用向量模求解，即利用两点间的距离公式，而点面距主要利用平面的法向量求解，有时也利用等体积转化法求解．
空间向量与立体几何
空间向量及其运算
空间向量在立体几何中的应用
空间向量的线性运算
空间向量的基本定理
两个向量的数量积
空间向量的直角坐标运算
共线向量定理
共面向量定理
空间向量分解定理
平行与垂直的条件
直线的方向向量与直线的向量方程
平面的法向量与平面的向量表示
直线与平面的夹角
二面角及其度量
距离
A
B
C
D
M
N
P
y
z
A
B
C
D
M
N
P
x
D
C
B
A
①
A
B
C
D
E
②
x
y
z
A
B
C
D
E
图3-4
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
B
C
D
E
O
图3-7
图3-8
H
B
C
D
E
O
F
x
y
z
图3-9
B
C
D
E
O
A
B
C
D
M
图3-11
E
x
y
z
A
B
C
D
M
A
B
C
D
E
F
P
x
y
z
A
B
C
D
E
F
P

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