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第二章 直线和圆的方程单元总结
要点1.直线的倾斜角的斜率
令直线的倾斜角为，斜率为，
（1），其中，当时，斜率不存在；
（2）过的直线斜率.
要点2.直线方程的几种形式
（1）点斜式
注意：①表示不含才是整条直线方程。
②当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为.
③在解题时若选用点斜式的话，应单独考虑斜率不存在时的情况.
（2）斜截式
.
注意：在解题时若选用斜截式的话，应单独考虑斜率不存在时的情况.
（3）两点式
注意：①两点式方程的条件是，即不能表示平行（或重合）于坐标轴的直线。
②若把两点式写成：，则可适用任何位置的直线.
（4）截距式
.
注意：①截距是坐标而不是长度.
②当斜率不存在或为零时，或直线过原点时，都不能用截距式，因此用截距式时应单独考虑这几种情形.
（5）一般式
.
要点3.两直线的位置关系
（1）两直线的位置关系
设.（都存在）
①与相交，特别地；
②且；
③与重合且.
设
①与相交，特别地；
②且；
③与重合且.
（2）点到直线的距离
设，直线，点到直线的距离，特别地，.
注意：①当在上时，则；
②当在上方，则；
③当在下方，则.
（3）两平行线间距离
设.
，与间的距离.
（4）直线系方程
①平行直线系：（为常数，为变数），表示一组斜率为的平行直线。
②共点直线系：[定点为为变数]，表示一束过定点的直线（不包括直线）.
③过直线交点的直线系：设，则表示一束过交点的直线（不包括）.
（5）中心对称和轴对称
①中心对称：设点关于点对称，则.
②轴对称：设关于直线对称，则
a.时，有，且 ；
b. 时，有，且 ；
c.时，有且.
要点4.几个值得注意的问题
（1）关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意：
①直线斜率往往是求直线的关键，若不能判定直线有斜率，必须分两种情况讨论；
②在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离”；
③当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式表示直线的局限性。
（2）关于两条直线的位置关系要注意：
①判断垂直或平行时，要考虑两条直线中一条无斜率或都无斜率的情况；
②区分“到角”与“夹角”的异同，以及“到的角”与“到的角”的不同；
③利用公式，要注意将直线方程化为一般形式，利用公式求平行线间的距离，要注意把对应项的系数化为相同.
（3）关于直线倾斜角要注意：
①注意与斜率概念的区别
直线的斜率是直线倾斜角的正切值，任何一条之下都有倾斜角，但并不是任何一条直线都有斜率，当直线的斜率不存在时，其倾斜角等于；
②注意倾斜角的取值范围
直线倾斜角的取值范围是，且当时，；当时.在通过斜率的范围求倾斜角的范围时，应特别注意，否则容易出现错误.
要点5．圆的方程
（1）标准式：圆心为点，半径为的圆的标准方程为．特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为；
（2）一般式：；
（3）值得关注的几个问题
①在二元二次方程中，和的系数相等摒弃没有项，只是表示圆的必要条件，而不是充分条件．
②如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程．
③在一般方程中，当时．方程表示一个点；当时，无轨迹．
④由于圆的方程均含有三个参变（、、或、、），而确定这三个参数必须有三个独立条件，因此，三个独立条件确定一个圆．
⑤待定系数是求圆的方程的常用方法．
要点6．点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．
注意：若点是圆为一定点，则该点与圆上的点的最大距离：，最小距离：．
要点7．直线一与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有相交、相离、相切三种，其判别方法有：
①代数法：通过解直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究．若有两组不同的实数解(即)，则相交；若有两组相同实数解(即)，则相切；若无实数解，则相离．
②几何法：由圆心到直线的距离与半径的大小来判断．当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．
（2）值得关注的几个问题
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离，最小距离．其中为圆心到直线的距离．
②当直线与圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为，则有．
③当直线与圆相交时，设弦长为，则．
④当直线与圆相切时，切线的求法有如下几种：
a．若点在圆上，则切线方程为．
若点在圆上，则切线方程为．
b．斜率为且与圆相切的切线方程为．
斜率为且与圆相切的切线方程的求法，可以设切线为，然后变成一般式，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求．
c．若点在圆外，则设切线方程为，变成一般式因为直线与圆相切，所以有．由此解出，若此方程有一个实根，则还有一条斜率不存在的切线，务必要补上．
要点8．圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系共有外离、外切、相交、内切、内含五种，其判别方法有：
①代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组．若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切(内切或外切)；若
无实数解，则两圆外离或内含．
②几何法：设两圆半径分别为两圆心分别为、，两圆心分别为、，则
当时，两圆相离；
当时，两圆外切；
当时，两圆内切；
当时，两圆相交；
当时，两圆内含．
(2)值得关注的几个问题
共交点圆系：已知两圆相交，则与两圆共交点的圆系方程为，其中为的任意常数，此圆系不包括第二个圆．
当时，为根轴方程，即两圆公共弦所在的直线方程为．
专题一 直线的倾斜角与斜率的问题
例1 已知坐标平面内的三点．
（1）求直线的斜率和倾斜角；
（2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围．
解：（1）由斜率公式，得，，．
因为，所以的倾斜角为；因为，所以的倾斜角为；因为，
所以的倾斜角为．
（2）如图，当斜率变化时，直线绕点旋转，当直线由逆时针旋转到过程中，直线
与恒有交点，即在的边上，此时由增大到，所以的取值范围是．
解后反思：在解答直线的倾斜角和斜率问题时，注意结合有关概念和公式，注意斜率不存在时的情况不能
忽略．
专题二 直线方程的五种形式
例2 求与直线垂直,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线的方程．
解：方法1:由直线与直线垂直,可设直线方程为,则直线在轴,轴上的截距分别为．又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以，即，，解得或．故所求直线方程为或，即或．
方法2:设直线的方程为，则直线的斜率．因为与直线垂直，所以，即．又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以，即．
所以或．所以直线的方程为或，即或．
解后反思：直线的方程由五种形式，在求直线方程时要选择恰当的形式，其中以点斜式、斜截式最为常用，通常采用待定系数法求直线的方程．
专题三 两条直线的位置关系
例3 已知点，若为直角三角形，则必有（ ）
A． B． C． D．
解析：若以为直角顶点，则在轴上，则必为0，此时重合，不符合题意；
若，则；若，根据斜率关系可知，，所以，即，综上，只有C满足条件．故选C．
解后反思：由于直角的位置不确定故而应分类讨论求解，对于特殊位置不要遗漏．
例4 已知两条直线，．求分别满足下列条件的的值．
（1）直线过点，并且直线与直线垂直；
（2）直线与直线平行，并且坐标原点到，的距离相等．
解：（1）因为，所以，即．①
又因为点在上，所以．②
由①②解得．
（2）因为直线与直线平行，且的斜率为，即，故与的方程可分别表示为，，因为原点到，的距离相等，所以，所以，或．
解后反思：考查两条直线的平行与垂直的关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在轴上的截距来处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在轴上的截距来处理，也可直接利用系数处理．
专题四 距离问题
例5 已知和直线，求一点，使，且点到直线的距离等于2．
解：方法1：设点，因为，所以．①
又因为点到直线的距离等于2，所以．②
由①②联立方程组解得或．
方法1：设点，因为，所以点在线段的垂直平分线上，由题意知，线段的中点为，所以线段的垂直平分线的方程是．所以可设点．
因为点到直线的距离等于2，所以，解得或．
所以或．
解后反思：解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置，所以只要将题目中的几何条
件用坐标表示出来，即可转化为方程的问题，其中方法2是利用了点的几何特征产生的结果，所以解题
时注意多发现，多思考．
专题五 直线中的最值问题
例6 在平面直角坐标系中，到点的距离之和最小的点的坐标是 ．
解析：由题意可知，设为平面直角坐标系的任意一点，则，等号成立的条件是点在线段上．，等号成立的条件是点在线段上，所以到，，，四点的距离之和最小的点为和的交点．直线的方程为，直线的方程为，所以由，得，即所求点的坐标为.
答案：
解后反思：利用几何图形，借助三角形的三边关系，将所求点与已知四点之间的距离最小问题转化为两线段之和最小的问题，本例充分体现了数形结合思想在解决直线中的最值问题的作用，在学习中要注意借鉴.
例7 有两条直线和，当在区间内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值．
解：解方程，得．所以两直线的交点为，如图3-2．
在中，令，得；在中，令，得．
所以四边形．
因为，所以当时，四边形面积取最小值．
解后反思：求不规则四边形的面积，可以先将四边形分成若干个小三角形，利用三角形的面积公式来求解．本题根据已知条件，结合图形可知四边形，因此只需要求出两三个三角形的面积．因为，，，，，，所以只需要求出两直线的交点，以及两直线与,轴的交点．根据四边形及，即可求出四边形的最小面积．
专题六 对称问题
对称问题包括点关于点、点关于直线、直线关于点、直线关于直线以及曲线关于点、直线的对称．其中点关于点、点关于直线对称式所有对称中的两种最基本的对称，应该重点掌握，并能够把其他对称都转化为这两种对称．由于对称问题综合运用了两直线垂直、平行的判定，点到直线的距离公式等知识点，因此对称问题一直是高考考查的重点．对称是图形的一种几何特征，如角的平分线，入（反）射光线，在一条定直线上求一个点到两个定点的距离之和最小，差的绝对值最大等问题都隐含着对称关系，因此，要注意对称在解题中的重要作用．
（1）点关于点的对称点的坐标是．
（2）点不在直线：上，点关于直线的对称点的求法是利用垂直平分线段，即，解出即可．
（3）曲线（直线）关于点的对称可以转化为点关于点的对称．
（4）曲线（直线）关于直线的对称可以转化为点关于直线的对称．
例8　已知直线：，求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线关于直线的对称直线的方程；
（3）直线关于点的对称直线的方程．
解：（1）设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线．
所以，解得．
所以点的得坐标为．
（2）设直线：关于直线对称的直线为，则上任一点关于的对称点一定在上，反之也成立．
故，解得，把代入，整理得，所以直线的方程为．
（3）设直线关于点的对称直线为，由∥可设为．
由点到直线的距离公式，得，即．解得或（舍去）．
所以直线的方程为，即对称直线的方程为．
解后反思：中心对称问题可分为点的中心对称与直线的对称问题；轴对称是关于直线的对称问题．
专题七　求圆的方程
求圆的方程，主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解．用待定系数法求圆的方程的一般步骤：
第一步：选择圆的方程的某一形式；
第二步：由题意，得（或）的方程（组）；
第三步：解出（或）；
第四步：代入圆的方程．
在高考中单独求圆的方程的问题不多，一般在考查直线与圆的位置关系中间接考查．
例9　若圆经过坐标原点和点．且与直线相切，则圆的方程是______．
解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过原点和，所以设圆心为．又因为圆与直线相切，所以，所以，解得，所以圆的方程为．
答案：
解后反思：确定圆的方程关键在于确定圆心和半径．本例先通过圆经过两点确定圆心的位置，再利用和圆相切表示出半径，最后建立方程求解．
例10　　有一圆与直线相切于点，且经过点，求此圆的方程．
解：方法1：由题意可设所求圆的方程为，又圆过点．代入求得．故所求圆的方程为．
方法2：设圆的方程为，则圆心为，由，垂直于直线，
得解得
故所求圆的方程为．
方法3 :设所求圆的方程为，圆心为，由垂直于直线，在圆上，得，解得．故所求圆的方程为．
方法4：设圆心为，则垂直于直线，又设与圆的另一交点为，则所在直线的方程为，即．又因为，所以．所以直线的方程为．解方程组，得．所以．所以圆心为的中点，半径长为，故所求圆的方程为．
解后反思：求圆的方程，主要是联系圆系方程、圆的标准方程、圆的一般方程等，利用待定系数法求解．
专题八　　直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系是本章的重点内容，在处理直线与圆的位置关系时，常用的方法有几何法和代数法．此部分在高考中也是考查重点，其中切线问题是重点中的重点．在处理直线与圆位置关系时要注意圆的几何性质的应用，以达到简化解题过程的目的．
例11已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．相切　　　　B．相交　　　　C．相离　　　　D．不确定
解析：由题意，知点在圆外，则．圆心到直线的距离，故直线与圆相交．
答案：B
解后反思：确定直线与圆的位置关系可用几何法，也可用代数法，但代数法计算较为繁琐，而几何法的关键在于比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，几何法应熟练掌握．
例12 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为_____________．
解析：由圆的方程可知，圆心为，半径为2．如图4-1所示，设已知直线被圆截得的弦为，取弦的中点，连接，则，圆心到直线的距离．在中，，故直线被圆截得的弦长．
答案：
解后反思：求直线与圆相交形成的弦长问题，一般不采用代数法，而是利用圆的几何性质构造相应的直角三角形，利用数形结合求解．
专题九　圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系与是本章的重点和难点，圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，从外离到内含，圆心距逐渐变小．判断圆与圆的位置关系时有两种方法：代数法和几何法，具体应用时以几何法为主．在高考中，圆与圆的位置关系也是重点，常以选择题或填空题形式考查，解题时要注意圆与圆的平面几何性质的应用．
例13 已知两圆和．⑴ 取何值时两圆外切？⑵ 取何值时两圆内切？
解：圆：可化为：.圆：可化为.两圆心之间的距离.
⑴两圆外切时，，所以.所以.
⑵两圆内切时，，因为，所以.所以，所以.
解题反思：解决圆与圆的位置关系问题的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心之间的距离与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系.
专题十　与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题是本章中的一个难点，常见的类型包括以下几种：
⑴求圆上一点到圆外一点的最大、最小距离：，；
⑵求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为，则，；
⑶已知某点的运动轨迹是，求①；②；③等式子的最值，一般运用几何法求解.
例14.已知实数,满足方程，求的最大值和最小值.
解：设，由题意，知直线与圆有公共点,所以，即.所以.所以的最小值为，最大值为.
解后反思：在解决直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方法求出最值或范围.

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