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6.3.5平面向量数量积的坐标表示
本节课知识点目录：
向量数量积的坐标表示；
长度与距离：模的坐标表示。
垂直的坐标表示
利用坐标求夹角
投影的坐标表示
坐标应用：建系设点技巧
三角形中的向量坐标计算
利用向量坐标求向量最值（难点）
一、向量数量积的坐标表示
、
【典型例题】
【例1】已知，，求（ ）
A． B． C． D．
【例2】在平行四边形ABCD中，=(1，0)，=(2，2)，则等于（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【例3】若，，则______．
【例4】已知向量，，且，，求向量的坐标．
【例5】已知向量，满足，，求．
【对点实战】
1.已知向量，且，则的值等于（ ）
A． B．- C． D．-
2.若向量，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.已知点A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则的值为________．
4.已知，，，则（　　）
A． B． C．0 D．12
二、长度与距离：模的坐标运算
【典型例题】
【例1】已知向量，，那么（ ）
A．5 B． C．8 D．
【例2】已知向量则=______．
【例3】已知，，求：
（1）；（2）；（3）．
【例4】设，已知两个向量，，则向量长度的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【例5】.设平面向量，若的模等于，试求k值.
三、垂直
1..
2..
【典型例题】
【例1】．已知向量，，，则实数k的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【例2】设，向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【例4】设k为实数，已知，，若，求k的值．
【例5】已知向量，，，若，则______.
【例6】已知向量，求与向量垂直的单位向量的坐标．
【例7】已知向量，．
（1）求证：．
（2）是否存在不等于0的实数k和t，使向量，，且？如果存在，试确定k与t的关系；如果不存在，请说明理由．
【对点实战】
1.已知向量，，.若，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知向量，，若，则______．
3.若向量，，向量与向量垂直，则实数的值为____．
4.已知为坐标原点，，，与垂直，与平行，求点的坐标．
5.已知，，，求的坐标．
6.已知向量，，且，，则______
四、求夹角
非零向量与的夹角：.
【典型例题】
【例1】设向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B．1
C． D．
【例2】若向量，则与的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知向量，，.若，则与的夹角的大小为______.
【例4】已知且与的夹角为，则______
【例5】若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例7】已知，若与的夹角为，则实数________.
【例8】已知向量，，设.
（1）若，求当取最小值时实数的值;
（2）若，问:是否存在实数，使得向量与向量的夹角为 若存在，求出实数;若不存在，请说明理由.
【对点实战】
1.若向量，，则与的夹角为（ ）．
A． B． C． D．
2.已知，是单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3.设向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B．1
C． D．
4.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
A． B． C． D．
6.已知，，和的夹角为150°，则实数______．
7.已知向量
（1）若，求的值;
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
五、投影的坐标表示
向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.
【典型例题】
【例1】已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量的模为（ ）
A．1 B． C． D．
【例2】向量在向量上的射影为（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知点A（-1，1） B（1，2） C（-2，-1） D（3，4），则向量在方向上的投影为___________.
【例4】已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【例5】设向量，．若，，则______，向量在向量上的投影向量为______．
【例6】已知向量满足,,且在方向上的投影与在方向上的投影相等,则等于( )
A． B． C． D．
【对点实战】
1.已知，，则在方向上的数量投影为______．
2.已知向量，，若，在向量上的投影相等，且，则向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3.已知向量，，则在上的投影向量坐标为___________.
4.设，若 在方向上的投影为 , 且在 方向上的投影为3，则和 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
5.已知向量,在上的投影为______
六、坐标应用：建系设坐标技巧
有模长，可以适当的设置对应向量点的坐标，作为向量计算的一个有用的技巧
【典型例题】
【例1】已知平面向量，，满足，，则的最大值是_______
【例2】在矩形中，，顶点分别在轴 轴的正半轴上（含原点）滑动，且矩形位于第一象限，则的最大值为___________.
【例3】已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则的值为___________；的最大值为___________．
【例4】已知，向量满足，当向量，夹角最大时，_________．
【例5】在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】在平行四边形中，，，，且在边上，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【例7】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且，则cosA＝______，＝______.
【对点实战】
1.已知中是直角，，点是的中点，为上一点.
（1）设，，当，请用，来表示，.
（2）当时，求证：.
2.在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则的取值范围是（ ）
A．[2，14] B．[0，12]
C．[0，6] D．[2，8]
3.在中， ，，为线段的三等分点，则＝( )
A． B．
C． D．
4.已知向量，，满足，，，的最大值，最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知矩形ABCD，，，点P为矩形内一点，且，则的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6.已知平面向量，，满足，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
七、三角形中的计算
【典型例题】
【例1】已知点A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（m，﹣4），其中m∈R．
（1）当m＝﹣3时，求向量与夹角的余弦值；
（2）若A，B，C三点构成以A为直角顶点的直角三角形，求m的值．
【例2】在中，，，且的内角B为直角，则的值为______．
【例3】在中，，，，为边上的高，求与点的坐标．
【例4】在△ABC中，AB=6，AC=4，∠A=120°，，则的最小值为__________，若，则m=____________．
【例5】在中，底边上的中线，若动点满足．
（1）求的最大值；
（2）若，求的范围．
【例6】在中，，点.
（1）若，且A、B、C能构成直角三角形，求点B的坐标；
（2）x轴上是否存在点B、C，满足？若存在，求出点B、C的坐标；若不存在，请说明理由.
【例7】在直角三角形中，，，是斜边上的两点.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
八、向量最值（难点）
【典型例题】
【例1】已知平面向量，，，点M是直线OP上的一个动点，求的最小值及此时的坐标.
【例2】已知点为坐标原点，向量，且，则的最小值为____________.
【例3】已知是坐标原点
（1）当A，B，C三点共线时，求的值．
（2）当取何值时，取最小值？并求出最小值
【例4】点是边长为2的正六边形内或边界上一动点，则的最大值与最小值之差为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【例5】是边长为2的正方形的内切圆内部（含边界）的一动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例6】在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【例7】直角三角形中，，，点，分别为斜边上的两个动点，且，设的取值范围为，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例8】设直线，互相垂直于，，是直线上的两个定点，满足，、是直线上的两个动点，满足，若的最小值是，则______．
【对点实战】
1已知向量，，且，，求向量的坐标．
2．已知坐标平面内，，，P是直线OM上的一个动点．当取最小值时，求的坐标，并求的值．
3,。如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
4.已知是边长为2的正三角形，点为所在平面内的一点，且，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.在中，，，，点P是线段上一动点，则的最小值是______.
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
本节课知识点目录：
向量数量积的坐标表示；
长度与距离：模的坐标表示。
垂直的坐标表示
利用坐标求夹角
投影的坐标表示
坐标应用：建系设点技巧
三角形中的向量坐标计算
利用向量坐标求向量最值（难点）
一、向量数量积的坐标表示
、
【典型例题】
【例1】已知，，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量数量积的坐标运算即可得解.
【详解】∵，∴ ∴故选：C.
【例2】在平行四边形ABCD中，=(1，0)，=(2，2)，则等于（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】先求得，由此求得.
【详解】如图，由向量的加减，可得=(1，2)，
=(0，2).
故=(1，2)·(0，2)=0+4=4.故选：A
【例3】若，，则______．
【答案】
【分析】
根据向量数量积的运算直接可得.
【详解】
由已知的坐标表示为，的坐标表示为，
所以，故答案为：.
【例4】已知向量，，且，，求向量的坐标．
【答案】
【分析】
设向量的坐标为，用坐标表示，，联立方程组即得解
【详解】由题意，设向量的坐标为则，
解得：故向量的坐标为
【例5】已知向量，满足，，求．
【答案】
【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，求得和，利用数量积的坐标运算，即可求解.
【详解】由题意向量，满足，，因为，可得，
则，即，可得，
又由，可得，则，
即，可得，所以.
【对点实战】
1.已知向量，且，则的值等于（ ）
A． B．- C． D．-
【答案】D
【分析】
利用向量数量积公式列方程，由此求得的值.
【详解】
依题意.故选：D
2.若向量，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；
解：因为，，
所以，解得．故选：A
3.已知点A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则的值为________．
【答案】
【分析】
根据点的坐标求出向量的坐标，从而根据向量数量积的坐标运算求即可.
【详解】
因为A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，所以，
所以.故答案为：.
4.已知，，，则（　　）
A． B． C．0 D．12
【答案】B
【分析】
根据向量的坐标运算计算．
【详解】由已知，所以．故选：B．
二、长度与距离：模的坐标运算
【典型例题】
【例1】已知向量，，那么（ ）
A．5 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.
【详解】
因为向量，，所以.
故选：B.
【例2】已知向量则=______．
【答案】
【分析】先求出，再求.
【详解】因为向量所以,
所以.故答案为：
【例3】已知，，求：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据向量数量积的坐标运算即可直接求出答案；
（2）根据向量线性运算的坐标表示及向量数量积的坐标运算即可直接求出答案；
（3）根据向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标表示即可求出答案.
（1）
因为，，所以.
（2）
因为，，所以，
所以.
（3）
因为，，所以，
所以.
【例4】设，已知两个向量，，则向量长度的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
先求出的坐标，再利用坐标求模长，根据三角函数式的范围，得模长范围，便可确定结果.
【详解】由题得，，
，
，，，，长度的取值可以是，，．故选：ABC．
【例5】.设平面向量，若的模等于，试求k值.
【答案】或
【分析】
求出，表示出模，即可建立关系求解.
【详解】
因为，因为的模等于，
所以，化简得，解得或.
三、垂直
1..
2..
【典型例题】
【例1】．已知向量，，，则实数k的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】C
【分析】
由，得，根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：因为，，，
所以，即，解得，故选：C.
【例2】设，向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件利用向量垂直的坐标表示，求出即可计算作答.
【详解】
向量，，，则，解得，即，
所以.故选：A
【例3】已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出的坐标，利用坐标表示即可求解.
【详解】因为，，则，
因为，所以，解得：，故选：D.
【例4】设k为实数，已知，，若，求k的值．
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的坐标运算，由垂直条件构造方程可直接解出
【详解】∵, ∴
因为，所以
即,解得故答案为：
【例5】已知向量，，，若，则______.
【答案】
【分析】
利用向量的坐标运算求，然后结合已知条件利用向量的数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】因为，，所以，
又因为，，所以，解得.故答案为：.
【例6】已知向量，求与向量垂直的单位向量的坐标．
【答案】或.
【分析】
设与向量垂直的单位向量为，根据列出方程组即可求出答案.
【详解】设与向量垂直的单位向量为，
则，即，解得或，
所以与向量垂直的单位向量的坐标为或.
【例7】已知向量，．
（1）求证：．
（2）是否存在不等于0的实数k和t，使向量，，且？如果存在，试确定k与t的关系；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明详见解析（2）存在，且.
【分析】
（1）根据向量和的坐标，利用两个向量的数量积公式求得，可得．
（2）假设存在不等于0的实数k和t，使得成立，可得，根据向量的数量积公式化简即可求出结果．
（1）证明：向量，，∴，∴．
（2）
解：假设存在不等于0的实数k和t，使得成立，则
整理得，又∵，，
∴，即，
所以存在非零实数k和t，使得成立；其关系为且.
【对点实战】
1.已知向量，，.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依题意首先求出的坐标，再根据，得到，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为，，，所以，因为，所以，解得，故选：A
2.已知向量，，若，则______．
【答案】10
【分析】
根据，求得，进而得到的坐标求解.
【详解】
因为向量，，且，
所以，解得，
则，，
所以，故答案为：10
3.若向量，，向量与向量垂直，则实数的值为____．
【答案】
【分析】
利用向量垂直的坐标运算列方程，化简求得的值.
【详解】，，
由于与垂直，
所以.故答案为：
4.已知为坐标原点，，，与垂直，与平行，求点的坐标．
【答案】.
【分析】设，根据与垂直，与平行，列出方程组，解之即可得出答案.
解：设，则，
因为与垂直，与平行，所以，解得，
所以点的坐标为.
5.已知，，，求的坐标．
【答案】或
【分析】设，由题意列方程组，即可求出的坐标.
【详解】设.因为，，，
所以，解得：或，
即或
6.已知向量，，且，，则______
【答案】
【分析】
根据求得，根据求得，从而求得.
【详解】
由知，，解得，故，又
则，解得，
。故答案为：
四、求夹角
非零向量与的夹角：.
【典型例题】
【例1】设向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意先求出，再利用数量积关系即可求出.
【详解】设，则，所有，解得，
所以.故选：D.
【例2】若向量，则与的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解.
【详解】由，，则，，，
设与的夹角余弦值为，所以
.故选：C
【例3】已知向量，，.若，则与的夹角的大小为______.
【答案】##
【分析】由向量坐标运算可求得，代入向量夹角公式可求得，由此可得结果.
解：由题意得：，
设，则，即
故答案为：
【例4】已知且与的夹角为，则______
【答案】
【分析】
首先求出与的坐标，即可求出其模，再根据平面向量数量积的定义及坐标运算得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为，，，所以，，，因为与的夹角为，所以，即，即，解得
故答案为：
【例5】若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
不妨设，，则，，进而由夹角公式可求得结果.
【详解】
不妨设，，则，，
所以，，，
设的夹角为，则，又，所以.
故选：C.
【例6】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
本题首先可根据题意得出，然后根据与的夹角为锐角得出，解得，最后根据与不平行即可得出结果.
【详解】因为，，所以，因为与的夹角为锐角，
所以，解得，若与平行，则，解得，
则实数的取值范围是，故选：B.
【例7】已知，若与的夹角为，则实数________.
【答案】
【分析】
利用向量夹角的坐标公式计算即可.
【详解】
，则，由夹角公式可得：
整理得，且，解得.故答案为：
【例8】已知向量，，设.
（1）若，求当取最小值时实数的值;
（2）若，问:是否存在实数，使得向量与向量的夹角为 若存在，求出实数;若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）由题意可得，，从而可得，再利用二次函数的性质可得答案，
（2）由题意可得，再由可得，从而可求得，的值，从而可求出实数的值
【详解】（1）当时，，则，∴=，∴当时，取得最小值.
（2）假设存在满足条件的实数t.由条件得，∵，∴=，
=，，∴.∴，且，得.
∴存在满足条件.
【对点实战】
1.若向量，，则与的夹角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
运用向量的平方即为模的平方求模，再求出，的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得到．
【详解】，，，，，
设与夹角的余弦值为，，所以．故选：
2.已知，是单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量夹角坐标公式求解即可．
【详解】
由题意可知，，
则解得故选：A
3.设向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意先求出，再利用数量积关系即可求出.
【详解】设，则，所有，解得，
所以.故选：D.
4.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由已知得且与不平行，根据向量的坐标运算可得选项.
【详解】
因为与的夹角为锐角，所以且与不平行，即且，解得且，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
5.设为实数，已知向量，.若，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据得到，求得值，确定，再计算与的数量积及模长，即求得两向量夹角的余弦值.
【详解】
由题意可知，由，可得，即，解得，
所以，所以，
所以，又 ，
所以.
故选：A.
6.已知，，和的夹角为150°，则实数______．
【答案】
【分析】
根据和的夹角列方程，由此求得的值.
【详解】依题意，解得.故答案为：
7.已知向量
（1）若，求的值;
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）且.
【分析】
（1）由垂直的坐标表示可得；
（2）由且与不同向可得．
【详解】
解，
，
解得.
向量与的夹角为锐角，且与不同向
解得且. (没有扣2分）
五、投影的坐标表示
向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.
【典型例题】
【例1】已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量的模为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接根据在方向上的投影的计算公式求出，即可求出投影向量，从而求出向量的模即可求解．
解：，所以，
在方向上的投影为，所以在方向上的投影向量为，其模为故选：．
【例2】向量在向量上的射影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用数量积的几何意义直接求解即可
【详解】向量在向量上的射影为
，故选：D
【例3】已知点A（-1，1） B（1，2） C（-2，-1） D（3，4），则向量在方向上的投影为___________.
【答案】
【分析】
求出，，再根据投影的定义即可得出答案.
解：，
所以向量在方向上的投影为.故答案为：.
【例4】已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据所给点的坐标求出向量，的坐标及模长，再求出与同向的单位向量，最后根据投影向量的定义求解.
【详解】
由题知点，，，，
有， ，
，.
与同向的单位向量为.
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：B.
【例5】设向量，．若，，则______，向量在向量上的投影向量为______．
【答案】13
【分析】
由向量的坐标运算求出向量、的坐标，由向量数量积的坐标运算即可求的值，根据投影向量的计算公式即可求向量在向量上的投影向量.
【详解】因为向量，，所以，
，所以，
由，可得：，，所以，
向量在向量上的投影向量为：，
故答案为：；.
【例6】已知向量满足,,且在方向上的投影与在方向上的投影相等,则等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量数量积的几何意义可得，进而求出向量的夹角，再利用向量数量积求出向量的模即可.
【详解】
设两个向量的夹角为,则,
从而,,所以.
故选：A.
【对点实战】
1.已知，，则在方向上的数量投影为______．
【答案】
【分析】
根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.
【详解】
根据题意，可知在方向上的数量投影为.
故答案为：.
2.已知向量，，若，在向量上的投影相等，且，则向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
设，根据，在向量上的投影相等，得到，进而得到，再由，得到，联立求解.
【详解】设，因为，在向量上的投影相等，所以，即 ，
所以 ，即 ，即，因为，
所以，即，所以，
解得，所以.故选：AC
3.已知向量，，则在上的投影向量坐标为___________.
【答案】
【分析】
根据平面向量的坐标运算与数量积定义，计算投影即可得到答案
【详解】向量，，则在上的投影为
又在轴上，故在上的投影向量坐标为.故答案为：
4.设，若 在方向上的投影为 , 且在 方向上的投影为3，则和 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
试题分析：由向量的数量积可知，由 在 方向上的投影为 ，解得 ，在 方向上的投影为 ，解得 ，则 ．
所以和的夹角等于．故选：A
5.已知向量,在上的投影为______
【答案】-1
【分析】
由已知及向量数量积性质,结合可求，然后代入可求在上的投影．
【详解】
，，
,
,
在上的投影为，故答案为-1．
六、坐标应用：建系设坐标技巧
有模长，可以适当的设置对应向量点的坐标，作为向量计算的一个有用的技巧
【典型例题】
【例1】已知平面向量，，满足，，则的最大值是_______
【答案】##
【分析】
先求出向量，的夹角，从而可设，得到点在圆上，由，根据直线与圆的位置关系可得答案.
【详解】设向量，的夹角为 则。，则，则
则不妨设。由可得,即点在圆上。，则。即当满足时，求的最大值.
由直线，可得当直线在轴上的截距最大时，取得最大值.
又当直线与圆相切时，直线在轴上的截距取得最值.
由，解得，所以的最大值为.
故答案为：
【例2】在矩形中，，顶点分别在轴 轴的正半轴上（含原点）滑动，且矩形位于第一象限，则的最大值为___________.
【答案】6
【分析】
如图建立平面直角坐标系，设，表示两点坐标，计算，结合同角三角函数关系以及辅助角公式，即得解
【详解】如图所示，设
则由于故
其中：
故，当，即时等号成立
故的最大值为6。故答案为：6
【例3】已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则的值为___________；的最大值为___________．
【答案】4 4
【分析】
分别以为轴建立平面直角坐标系，设，得出向量，，的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出答案.
【详解】如图分别以为轴建立平面直角坐标系.
则，设
所以，, 则
，由所以当时，的最大值为4
故答案为：4，4
【例4】已知，向量满足，当向量，夹角最大时，_________．
【答案】
【分析】
设=（1，0），=（x，y），把已知等式用坐标表示得出的关系，从而把用表示，再求出两向量夹角的余弦值，由换元法和函数的性质得出最小值即得向量夹角的最大值，由此可得.
【详解】设=（1，0），=（x，y），∵，∴，化简后可得，，
∴，∴
设t=，即0取得最小值，即向量，夹角最大，
∴．故答案为：
【例5】在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设, 得到是的中点，根据已知求出再根据即得解.
【详解】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为因为，所以,即是的中点，
所以所以，由题知.
故故选：D
【例6】在平行四边形中，，，，且在边上，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据向量的数量积的运算，求出，再建立坐标系，得到的表达式，利用二次函数的性质求出函数的最小值，问题得以解决．
解：平行四边形中，，，，点在边上，，
，，，以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，
建立如图所示的坐标系，，，，、、设，则，，，，
设，则在上单调递减，在上单调递增，
，则的最小值是，故选：．
【例7】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且，则cosA＝______，＝______.
【答案】
【分析】
可取边的中点为，然后以点为原点，以直线为轴，建立平面直角坐标系，并设，然后可得出，，的坐标，进而根据定比分点坐标公式即可得出，，，的坐标，从而得出向量的坐标，从而根据即可求出，然后即可求出向量的坐标，从而可求出和的值．
【详解】
取的中点为，以点为原点，直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，则：，，
，，
，，解得，
，，，
，．故答案为：．
【对点实战】
1.已知中是直角，，点是的中点，为上一点.
（1）设，，当，请用，来表示，.
（2）当时，求证：.
【答案】（1），（2）证明见解析
【分析】
（1）利用向量的线性运算求解；
（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．
（1）∵，，点是的中点，∴，∴，
∵.
（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设，∴点坐标为，另设点坐标为，∵点是的中点，
∴点坐标为，又∵，∴，∴，，
所以，，所以，∴.
2.在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则的取值范围是（ ）
A．[2，14] B．[0，12]
C．[0，6] D．[2，8]
【答案】A
【分析】
建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，转化为一次函数，根据单调性求范围即可.
【详解】如图建立平面直角 ，
则A(0，0)，E(2，1)，设F(x，2)(0≤x≤2)，所以=(2，1)，=(x，2)，因此=2x+2，
设f(x)=2x+2(0≤x≤2)，f(x)为增函数，则f(0)=2，f(2)=14，故2≤f(x)≤14，的取值范围是[2，14].
故选：A
3.在中， ，，为线段的三等分点，则＝( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意得出⊥，建立平面直角坐标系，表示出、，求出数量积的值．
【详解】
中，||＝||，∴22，
∴0，∴⊥，
建立如图所示的平面直角坐标系，
由E，F为BC边的三等分点，则A（0，0），B（0，4），C（2，0），E（，），F（，），
∴（，），（，），∴+．故选：C
4.已知向量，，满足，，，的最大值，最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由可计算向量，夹角，设，结合夹角和可求的坐标，设，根据已知条件可得出向量所对的点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解，，即可求解.
【详解】设向量，夹角为，由可得，即
所以解得：，因为，所以，
设，则，设，则，，
，
即，以向量所对的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，所以，，
所以，故选：B.
5.．已知矩形ABCD，，，点P为矩形内一点，且，则的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】
建立平面直角坐标系写出各点坐标，因为，所以点P在单位圆上，设出P点坐标，再利用向量的加法、乘法坐标运算求得三角函数表达式，结合角的范围求得最大值即可．
【详解】以点A为原点，AB所在直线为为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
因为，所以点P在第一象限内的单位圆上，可设P，，
又，则，，，则，所以
，而，所以当，即时，取得最大值为2.故选：B.
6.已知平面向量，，满足，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
根据数量积可求出向量与的夹角，然后利用坐标法求解即可.
【详解】
设与的夹角为，，
因为，所以，所以，
设，，设，则，，
由，得，即，
所以，所以，所以的最大值为.
故选：D
七、三角形中的计算
【典型例题】
【例1】已知点A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（m，﹣4），其中m∈R．
（1）当m＝﹣3时，求向量与夹角的余弦值；
（2）若A，B，C三点构成以A为直角顶点的直角三角形，求m的值．
【答案】（1） ；（2）．
【分析】
（1）求出向量，的坐标，运用向量的夹角公式，计算即可得到；
（2）运用向量垂直的条件，即为数量积为0，计算即可得到m．
【详解】
解：（1）点A（﹣2，4），B（3，﹣1），C（﹣3，﹣4），
则，，，
则向量与夹角的余弦值为；
（2）A，B，C三点构成以A为直角顶点的直角三角形，
则有⊥，由于，，
则，解得．
【例2】在中，，，且的内角B为直角，则的值为______．
【答案】
【分析】
根据题意，求出向量的坐标，结合，即可求解.
【详解】
根据题意，得，因为为直角，所以，即.
故答案为：.
【例3】在中，，，，为边上的高，求与点的坐标．
【答案】，.
【分析】
设，由与共线、可构造关于的方程组，解方程组即可求得点坐标，由向量模长坐标运算可求得.
【详解】
设，则，，，
在直线上，即与共线，存在实数，使得，
即，，即，；
，，即，；
由得：，即，，；
，.
【例4】在△ABC中，AB=6，AC=4，∠A=120°，，则的最小值为__________，若，则m=____________．
【答案】
【分析】
以A为原点，方向为x轴正方向建立坐标系，由可得，即得解.
【详解】
以A为原点，方向为x轴正方向建立坐标系，则A（0，0），B（6，0），，
由可得，
则，即最小值为，当时等号成立；
当时，，解得.
故答案为：；.
【例5】在中，底边上的中线，若动点满足．
（1）求的最大值；
（2）若，求的范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由已知条件可知A、P、D三点共线，结合D为中点，可表达出的函数关系为一个二次函数，再配成顶点式可求出最值；
（2）建系，将转化为坐标运算，可得到一个二次函数，根据P的范围可求得答案.
【详解】
∵，
∴A、P、D三点共线
又∵，
∴在线段上.
∵为中点，设，则，，
∴====，
∴的最大值为2
（2）如图，以D为原点，BC为轴，为轴，建立坐标系，
∵，，∴，
设，则∴=，
∵，∴
【例6】在中，，点.
（1）若，且A、B、C能构成直角三角形，求点B的坐标；
（2）x轴上是否存在点B、C，满足？若存在，求出点B、C的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）点B的坐标为或或或；
（2）存在，、或、.
【分析】
(1)根据题意，分别讨论和两种情况，结合向量的坐标公式，即可求解；
(2)根据题意，设点B，C的坐标，结合向量的坐标运算公式列出方程组，即可求解.
【详解】
(1)设点，则，，.
∵，∴，∴.
∵，∴.
当时，，∴.
又∵，∴或2.
∴点B的坐标为或.
当时，，∴.
又∵，∴.
∴点B的坐标为或.
综上所述，点B的坐标为或或或.
(2)依题意可设点，，则，.
∵，，∴，，
∴或，∴点B、C的坐标分别为、或、.
【例7】在直角三角形中，，，是斜边上的两点.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量基本定理即线性运算将用表示，从而求得；
（2）以点为原点，，为，轴建系，设，，，利用坐标求出数量积，即可得出的取值范围.
【详解】
解：（1）∵，∴，∴，
所以，故.
（2）以点为原点，，为，轴建系，，，，
直线所在方程为，设，，
由，得，不妨设，∴，.
，
当或时，取得最大值，当时，取得最小值，所以的取值范围为.
八、向量最值（难点）
【典型例题】
【例1】已知平面向量，，，点M是直线OP上的一个动点，求的最小值及此时的坐标.
【答案】取最小值，此时
【分析】
设.由与共线求得，把表示成关于y的函数，利用二次函数求最值即可.
【详解】
设.
因为与共线，所以，即.
由，，
得.
当时，点取最小值，此时.
【例2】已知点为坐标原点，向量，且，则的最小值为____________.
【答案】
【分析】
由已知列出关于和的等式，再结合消去或者得到根号下关于或者二次函数，转化为求二次函数的最小值再开根号即可.
【详解】
解：因为，且
则，即
而
当时，故答案为：.
【例3】已知是坐标原点
（1）当A，B，C三点共线时，求的值．
（2）当取何值时，取最小值？并求出最小值
【答案】（1）（2）时，最小值为
【分析】
（1）首先求出向量、的坐标，依题意，根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先表示出向量，的坐标，再根据数量积的坐标表示得到关于的二次函数，根据函数的性质计算可得；
（1）
解：因为，所以，，因为三点共线，所以，交集，解得
（2）解：因为，所以，所以
所以当时，
【例4】点是边长为2的正六边形内或边界上一动点，则的最大值与最小值之差为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，将向量的运算转化为坐标的运算以实现简化.
解：如图，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，设，
在中，∵，，∴，高，∴，∴，，
∵，，∴，∵，∴，
∴最大值与最小值之差为8.故选：D.
【例5】是边长为2的正方形的内切圆内部（含边界）的一动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
法1：利用向量数量积的几何意义求最值；（2）以圆的圆心为原点建立如图所示坐标系，转化为向量数量积的坐标表示求取值范围.
【详解】
法1：几何意义为在方向上的投影与的乘积，由图可知，当与重合时，在上的投影最大，最大值为1，当与重合时，在上的投影最小，最小值为，所以．
法2：如图，以圆的圆心为原点建立如图所示坐标系，则，，，设，则，，则.
故选：A．
【例6】在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出，即可求出答案
解：如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得，设，其，则，所以，
所以，所以当时，取最小值，故选：C
【例7】直角三角形中，，，点，分别为斜边上的两个动点，且，设的取值范围为，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
建立坐标系，根据向量积的坐标运算，再结合二次函数求最值即可.
详解】以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系如右图所示：
则，，，设，，，
则，，所以，
结合，所以，，所以，所以的取值范围为.
又因为函数在上为增函数，所以当时，该函数取得最大值，故选：B
【例8】设直线，互相垂直于，，是直线上的两个定点，满足，、是直线上的两个动点，满足，若的最小值是，则______．
【答案】2
【分析】
根据题意，设直线，分别为平面直角坐标系中的轴与轴，结合向量的坐标运算即可求解.
【详解】
根据题意，设直线，分别为平面直角坐标系中的轴与轴，
设，，由，得，由，得，
故，
因此当时，取最小值，故 ，即，
因此.故答案为：.
【对点实战】
1已知向量，，且，，求向量的坐标．
【答案】
【分析】
设向量的坐标为，用坐标表示，，联立方程组即得解
【详解】由题意，设向量的坐标为则，
解得：故向量的坐标为
2．已知坐标平面内，，，P是直线OM上的一个动点．当取最小值时，求的坐标，并求的值．
【答案】；
【分析】
由点在直线上，设，再计算出的坐标，由数量积的坐标运算求出的最小值时的的值，即可求出的坐标，再根据向量的夹角公式可求出的值
【详解】
点在直线上，即与共线，
设，则，，
当时，取得最小值，此时，，
.
3,。如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先以为原点，直线，分别为轴，建立直角坐标系，设，，，，得到，再利用三角函数的性质求解最值即可.
【详解】
以为原点，直线，分别为轴，建立直角坐标系，如图所示：
设，，由题知：，，
所以，，所以
，.
当时，取得最小值，.
故选：C
4.已知是边长为2的正三角形，点为所在平面内的一点，且，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
通过建立直角坐标系，利用向量的坐标表示结合基本不等式解决向量模长问题.
【详解】
如图，以的中点为原点，，所在直线分别为轴，
轴建立直角坐标系，即，，，
则，.
设，，，，
所以.设，，解得，，
则，所以长度的最小值为.故选：B
5.在中，，，，点P是线段上一动点，则的最小值是______.
【答案】
【分析】
建立如图所示的直角坐标系，根据题意求得各点坐标，利用向量的坐标运算求得数量积，再结合二次函数求最值即可得解.
【详解】
在中，由余弦定理得，所以是直角三角形，
以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设点P坐标为，，，，，直线对应一次函数为，
所以，，，
，对称轴，当时，取得最小值.故答案为：

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