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6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法和向量的物理应用
本节课知识点目录：
平面几何中的向量方法1：长度；
平面几何中的向量方法2：角度。
平面几何中的向量方法3：判断三角形形状。
平面几何中的向量方法4：求面积
平面几何中的向量方法5：四心
平面几何中的向量方法6：证明题
物理应用：受力分析
物理应用：“渡河”等
一、平面几何中的向量方法1：长度
用向量方法解决平面几何问题：
1.适当的选择平面几何与向量的联系点，如建系、三角代换、几何意义等，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
3.把运算结果转化成几何关系．
【典型例题】
【例1】在平行四边形中，，，为的中点，若，则的长为
A．1 B． C． D．
【例2】已知是的重心，若，，则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【例3】已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.
【例4】矩形ABCD中，，，点P为矩形ABCD内（包括边界）一点，则的取值范围是________．
【例5】已知外接圆的圆心为O，半径为1.设点O到边，，的距离分别为，，.若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【例6】设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是
A．2 B．3 C． D．
【对点实战】
1.如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（ ）
A． B． C．或 D．或
2.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
3.已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
4.在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、平面几何中的向量方法2：角度
1.利用向量数量积计算公式：
2.最常用的计算思维：两边平方
【典型例题】
【例1】已知是外接圆的圆心，若，则_______
【例2】已知外接圆圆心为， G为所在平面内一点，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【例4】在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例5】在中，点D满足且，则当角A最大时，cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知的重心为点P，若，则角B为（ ）
A． B． C． D．
【对点实战】
1.已知向量与满足，则与的夹角为______.
2.已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3.直角三角形中，，，，M为的中点，，且P为与的交点，则（ ）
A． B． C． D．
三、平面几何中的向量方法3：判断三角形形状
【典型例题】
【例1】若，则为
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【例2】已知中，，则的形状为
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【例3】四边形ABCD中，，则四边形一定是（　　）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形
【例4】若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【例5】设平面上有四个互异的点，若，则的形状一定是_______.
【例6】在中，若，且，则的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
【例7】已知，若对任意，恒成立，则为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【例8】在中，为的中点，为边上靠近点的三等分点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【对点实战】
1.在中，角，，所对的边分别为，，且，，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定
2.在中,,,且,则是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3.中,设,若,则的形状是
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4.P是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
5.在中，若，则为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
6.在中，，则的形状为（ ）．
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不确定
7.已知在四边形中， ，则四边形的形状是
A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．以上都不对
8.已知在四边形ABCD中，，且||=||，tan D=，判断四边形ABCD的形状.
四、平面几何中的向量方法4：求面积
【典型例题】
【例1】在四边形中，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【例2】已知点P为内一点，若F为AC中点，G为BC中点，___________．的面积之比为_____________．
【例3】已知和分别为的外心和重心，且，若，则面积的最大值为___________
【例4】设点是所在平面内动点，不在上，满足，且（，）， ，若，则的面积的最大值______．
【例5】如图，在中，，分别为边，上的点，且，，为上任意一点，实数，满足，设，，，的面积分别为，，，，记，，，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知点O是内一点，满足，，则实数m为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【例7】已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为
A． B． C． D．
五、平面几何中的向量方法5：四心
四心的向量表示：
O是的外心；
O是的重心；
O是的垂心；
O是的内心.(其中 为的三边)
【典型例题】
【例1】在中，角，，所对的边分别为，，，点为所在平面内点，满足，下列说法正确的有（ ）
A．若，则点为的重心
B．若，则点为的外心
C．若，，，则点为的内心
D．若，，，则点为的垂心
【例2】已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【例3】设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【例4】已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【例5】过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【例6】在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
【例7】已知点是锐角的外心，，，，若，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
六、平面几何中的向量方法6：证明题
【典型例题】
【例1】如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：.
【例2】如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
【例3】△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC．
【例4】已知D，E，F分别为三边的中点.求证：相交于一点.
【例5】在△中，BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量的方法证明：．
【例6】如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.
七、物理应用：受力分析
1.物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
2.向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
3.动量mv是向量的数乘运算．
4.功是力F与所产生的位移s的数量积．
【典型例题】
【例1】在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当角越大时，用力越省 D．当时，
【例2】如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围.
【例3】体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为360N，则该学生的体重（单位kg）约为（ ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)
A． B．62 C． D．
【例4】(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变
【例5】两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
（1），分别对该质点做的功；
（2），的合力对该质点做的功.
【例6】已知三个力，，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则______.
【例7】如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端固定在墙上，端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小.
【对点实战】
1两个大小相等的共点力，当它们夹角为时，合力大小为，则当它们的夹角为时，合力大小为
A． B． C． D．
2.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2| =4N，方向为北偏东60°，|F3| =6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为(　　)
A．24 J B．24J
C．24J D．24J
3.如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50牛，且与小车的位移方向的夹角为60°，则在小车位移方向上的正射影的数量为 牛，力做的功为_____牛米．
4.如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.
5.已知力，满足，且，则________N.
6.如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知，求的大小.
八、物理应用：“渡河”等
【典型例题】
【例1】如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直 B．
C． D．该船到达对岸所需时间为分钟
【例2】一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（ ）
A．6 B．2 C．8 D．
【例3】某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
【例4】长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A． B． C． D．
【例5】如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是_____.（写出所有正确答案的序号）
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变.
【例6】某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
【对点实战】
1河中水流自西向东每小时10 km，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10 km，该小船行驶的方向和静水速度分别为(　　)
A．西偏北30°，速度为20 km/h
B．北偏西30°，速度为20 km/h
C．西偏北30°，速度为20 km/h
D．北偏西30°，速度为20 km/h
2.河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_______m/s．
3.若渡船在静水中的速度大小为，河宽为，水流的速度大小为，则（1）此船渡过该河所用时间的最小值是多少？（2）此船渡过该河的位移最小时，需要多长时间才能从此岸到达彼岸？
4.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
6.4.1-6.4.2-平面几何中的向量方法和向量的物理应用
本节课知识点目录：
平面几何中的向量方法1：长度；
平面几何中的向量方法2：角度。
平面几何中的向量方法3：判断三角形形状。
平面几何中的向量方法4：求面积
平面几何中的向量方法5：四心
平面几何中的向量方法6：证明题
物理应用：受力分析
物理应用：“渡河”等
一、平面几何中的向量方法1：长度
用向量方法解决平面几何问题：
1.适当的选择平面几何与向量的联系点，如建系、三角代换、几何意义等，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
3.把运算结果转化成几何关系．
【典型例题】
【例1】在平行四边形中，，，为的中点，若，则的长为
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
作出图形，根据平面向量基本定理，得到，再由题中数据，根据向量数量积的运算，即可求出结果．
【详解】
解：如图．
．∴，即．故选：D．
【例2】已知是的重心，若，，则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知，得出，，从而，利用不等式求其最小值，得出的最小值．
【详解】
，，，
为三角形的重心，，
，
从而的最小值是，
故选：D
【例3】已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.
【答案】7
【解析】
【分析】
以为轴的正方向建立直角坐标系，设，然后表示出，然后可得答案.
【详解】
以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：
设，
则
，当时取得最小值7
故答案为：7
【例4】矩形ABCD中，，，点P为矩形ABCD内（包括边界）一点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
由题意，取中点为，则有，可知求解的范围就是的范围.
【详解】
由题意，取中点为，则有，
，
如图所示，当点与点或者点重合时，取最大值
当点与点重合时，取最小值0
故答案为：
【例5】已知外接圆的圆心为O，半径为1.设点O到边，，的距离分别为，，.若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意：，则有，进而移项进行两两组合，
，进一步可以化简为：，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案.
【详解】
∵外接圆半径为1，∴，∴，
∴，
∴，设边，，的中点分别为M,N,P，
∴,同理：，如图1：
若点O不与M,N,P任何一点重合，则，同时成立，显然不合题意；
如图2：
不妨设点O与点M重合，由，根据中位线定理有由AB⊥AC，则，
∴.
故选：B.
【例6】设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数量积及建立不等式，即可求出最小值.
【详解】
是以为圆心的单位圆上的个点,
,
故
而，，
，
故，
当且仅当点与点重合时等号成立，
即的最小值是,
故选：B
【对点实战】
1.如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】
由条件可得，然后用、表示出，然后可算出答案.
【详解】
因为，，，所以.
因为，
所以
故选：B
2.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有.若，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【答案】D
【分析】
先根据M，N满足的条件，将化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将，左边用表示出来，结合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值.
【详解】当M，N分别是边BC，DC的中点时，
有
所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，则
则，又x+y＝3，所以λ+μ＝1.
故NC+MC＝4，则
（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）.故线段MN的最短长度为故选：D.
3.已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.
【详解】
如图:令，，则，故.
因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.
设，连接，因为，所以点在直线上.
因为，所以，即，所以.
结合图形可知，当时，即取得最大值，且.
故选：D
4.在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取中点O，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得.
【详解】
取中点O，连接，
，即，M为BC边上靠近C的三等分点，
，
，，，
又，，.故选：C.
5.已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】计算出的值，利用向量模的三角不等式可求得的最小值.
【详解】，所以，，
由平面向量模的三角不等式可得.
当且仅当与方向相反时，等号成立.
因此，的最小值为.故选：C.
二、平面几何中的向量方法2：角度
1.利用向量数量积计算公式：
2.最常用的计算思维：两边平方
【典型例题】
【例1】已知是外接圆的圆心，若，则_______
【答案】.
【解析】
设外接圆的半径为，根据，得到，然后两边平方化简得到，再由求解.
【详解】如图所示：设外接圆的半径为，
因为,所以，∴，
∴，∴，因为，
所以，解得.故答案为：
【例2】已知外接圆圆心为， G为所在平面内一点，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
取的中点，根据题意，可得为的重心，则G在AD上，又，可得，所以，，，四点共线，根据三角形的性质，设，即可求得答案.
【详解】
取的中点，连接AD， 由，知为的重心，则G在AD上，
所以，而，
所以，，，四点共线，所以，即，
不妨令，则，．所以．
故选：C．
【例3】中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、、，然后根据、、三点共线以及、、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果.
【详解】
如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，
因为，，所以，，，设，
因为、、三点共线，所以，，，因为，、、三点共线，所以，联立，解得，，，因为，，所以，，因为，所以，故选：A.
【例4】在中，，点满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取中点，由已知可确定，利用向量的运算和长度关系将转化为，由此构造方程求得，进而得到所求结果.
【详解】
取中点，连接，
，即，为边上靠近的三等分点；
，
，，，
又，，，
，即为等边三角形，.故选：C.
【例5】在中，点D满足且，则当角A最大时，cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意得到点的轨迹，利用圆的切线的几何性质求得最大时，的值.
【详解】由于，所以在以为直径的圆上（除两点）.所以当直线与圆相切时，最大.
当直线与圆相切时，，
由于，设，则，.
，.故选：C
【例6】已知的重心为点P，若，则角B为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由的重心，可得，代入题中等式，结合不共线，可得，进而可求得，，求得角B即可.
【详解】取的中点，由的重心为点P，可得，又，所以，
所以，即，
因为不共线，所以，故，
所以，故，又，所以，
因为，所以.故选：D.
【对点实战】
1.已知向量与满足，则与的夹角为______.
【答案】.
【分析】
根据向量的运算可将化简得,即.再根据即可求得与的夹角,即可求得与的夹角.
【详解】因为,两边同时平方可得,即所以
以与为长作矩形,如下图所示:则,。所以即为与的夹角
因为。则。所以
故答案为:
2.已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式可得答案.
【详解】
设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，，
∴，，则，
故选：D.
3.直角三角形中，，，，M为的中点，，且P为与的交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设， 且与的夹角为， 由此可表示出和；结合已知可求出和，由此可求出，接下来根据向量数量积的运算公式即可解答.
【详解】设， ，则，，，
设与的夹角为， ∵，，
∴，∴|，，
∴，.∵，∴.∵即为向量与的夹角，
∴，故.故选：C.
三、平面几何中的向量方法3：判断三角形形状
【典型例题】
【例1】若，则为
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】
根据数量积的运算法则推导得即可.
【详解】
,,,为直角三角形.
故选：A
【例2】已知中，，则的形状为
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则可得,可得，即，得到答案．
【详解】
根据向量的运算法则可得,所以，
所以，所以为直角三角形，故选B．
【例3】四边形ABCD中，，则四边形一定是（　　）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形
【答案】C
【分析】
根据及向量加法的平行四边形法则可判断四边形是平行四边形，再由，即可判断四边形是矩形.
解：因为，由向量加法的平行四边形法则知，线段是以为邻边的平行四边形的对角线，
所以四边形是平行四边形，
又因，
所以四边形是矩形.
故选：C.
【例4】若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】
首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断；
【详解】
解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形，
又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形；
故选：C
【例5】设平面上有四个互异的点，若，则的形状一定是_______.
【答案】等腰三角形
【分析】
根据的前式，可将进行拆解，利用向量减法公式进行化简即可
【详解】
∵
，
∴，∴为等腰三角形.
【例6】在中，若，且，则的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
【答案】A
【分析】
由题中，结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再根据几何关系进行求解
【详解】
如图所示.
，，.
∵，∴.作于，则，∴，∴为的中点，∴.同理可证，∴为等边三角形.答案选A
【例7】已知，若对任意，恒成立，则为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】C
【分析】
在直线上取一点，根据向量减法运算可得到，由垂线段最短可确定结论.
【详解】
在直线上取一点，使得，则，
.
对于任意，都有不等式成立，由垂线段最短可知：，即，
为直角三角形.故选：.
【例8】在中，为的中点，为边上靠近点的三等分点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形，用、表示向量、，由可得出，利用基本不等式求得的最小值，结合二倍角的余弦公式可求得的最小值.
【详解】
如下图所示：
，，
，则，
即，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.故选：D.
【对点实战】
1.在中，角，，所对的边分别为，，且，，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定
【答案】B
【解析】
由向量平行可得出a，b，c的关系，进而可判断出三角形的形状.
【详解】
，，可化简为：，
所以的形状为直角三角形.
故选：B.
2.在中,,,且,则是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】
根据数量积的公式分析B为钝角即可.
【详解】
因为,所以,
所以.因为,,所以,所以B为钝角,所以是钝角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.
故选：C.
3.中,设,若,则的形状是
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【解析】
有题意可得，从而可判断出，得为钝角，从而得出答案．
解：∵，∴，∴角为钝角，故选：C．
4.P是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】
根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.
【详解】
由，可得，即，
等式两边平方，化简得，，
因此，是直角三角形.故选：B.
5.在中，若，则为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
【答案】C
【分析】
利用平面向量的数量积的运算性质可得 ，从而可得答案．
【详解】
解：在中， ，
，为等腰三角形，故选：C．
6.在中，，则的形状为（ ）．
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不确定
【答案】B
【分析】
根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.
【详解】因为，所以，
即，
所以在中，与边上的中线垂直，则，
同理，，
所以，是等边三角形．故选：B
7.已知在四边形中， ，则四边形的形状是
A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．以上都不对
【答案】B
【解析】
计算得到，得到，为平行四边形，得到答案.
【详解】
，则.
设，故，为平行四边形，故为梯形.
故选：.
8.已知在四边形ABCD中，，且||=||，tan D=，判断四边形ABCD的形状.
【答案】四边形ABCD是菱形.
【解析】
【分析】
根据证得四边形ABCD是平行四边形，进而证出AB=BC，即可求出结果.
【详解】
∵在四边形ABCD中，，
∴AB//DC，且AB=DC
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵tan D=，由于，∴∠B=∠D=60°.
又||=||，∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC，故四边形ABCD是菱形.
四、平面几何中的向量方法4：求面积
【典型例题】
【例1】在四边形中，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解四边形的面积.
【详解】
因为，所以四边形为平行四边形，
又，则平分，则四边形为菱形.
且，由，则,
所以四边形的面积为.
故选：A.
【例2】已知点P为内一点，若F为AC中点，G为BC中点，___________．的面积之比为_____________．
【答案】 5：3：2
【分析】
整理原式可得，又，可得解第一空；易证GF为三角形ABC的中位线，且，结合第一空结论，可得解第二空
【详解】
因为，所以，
因为F为AC中点，G为BC中点，
所以，所以，
所以F、P、G三点共线，且
易知GF为三角形ABC的中位线，
设中PC边上的高为，中PC边上的高为，
所以，而，
所以的面积之比为。故答案为：，
【例3】已知和分别为的外心和重心，且，若，则面积的最大值为___________
【答案】
【分析】
根据重心和外心满足的几何性质，将进行转化，找到点满足的等量关系，然后求三角形的面积的最值．
【详解】因为，是三角形的外心和重心，设为的中点，．
①，，
将上式代入①式得，
，所以，点在以的中点为圆心，半径为的圆上．
故当时，面积的最大为．故答案为：．
【例4】设点是所在平面内动点，不在上，满足，且（，）， ，若，则的面积的最大值______．
【答案】9
【分析】
以所在直线为轴，的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：则，，设，，由得，由可得，，利用可得代入可得，利用换元法可得取得最大值，即中以为底的高的最大值为，由面积公式可得结果.
【详解】
以所在直线为轴，的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：
则，，
因为，所以为的外心，设，，
由得，化为，
由可得，
即为，，
联立以上两式解得，，
由可得，即，代入，可得，
令，则，
所以当即时，取得最大值，从而取得最大值，即中以为底的高的最大值为，
所以的面积的最大值为.故答案为：9
【例5】如图，在中，，分别为边，上的点，且，，为上任意一点，实数，满足，设，，，的面积分别为，，，，记，，，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由长度关系可确定，由，结合基本不等式可求得的最大值，并得到当时取得最大值，由此确定为中点；根据向量线性运算可得到，由此得到的值，代入可得结果.
【详解】
，；
，，且，
，即，，
又，即，（当且仅当时取等号），
当时，为中点，
则由得：，，
.
故选：D.
【例6】已知点O是内一点，满足，，则实数m为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【分析】
将已知向量关系变为：，可得到且共线；由和反向共线，可构造关于的方程，求解得到结果.
【详解】由得：设，则 三点共线
如下图所示：与反向共线
本题正确选项：
【例7】已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：由变形可得,即,所以,由变形可得,故,所以,同理可得:,所以,选D.
五、平面几何中的向量方法5：四心
四心的向量表示：
O是的外心；
O是的重心；
O是的垂心；
O是的内心.(其中 为的三边)
【典型例题】
【例1】在中，角，，所对的边分别为，，，点为所在平面内点，满足，下列说法正确的有（ ）
A．若，则点为的重心
B．若，则点为的外心
C．若，，，则点为的内心
D．若，，，则点为的垂心
【答案】AC
【分析】
若，结合图形以及平面向量的线性运算即可推出结果，若，，，结合图形以及平面向量的线性运算即可推出结果.
【详解】
解：若则，∴.取中点，连接，
∴.∴在的中线上，同理可得在其它两边的中线上，
∴是的重心.
若，，，则有，
延长交于，则，，
∴，设，则，
∵与共线，与，不共线，∴，，∴，
∴为的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线.∴是的内心.
故选：AC.
【例2】已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】C
利用向量的等式关系，转化成，利用向量加减法运算化简得到，即证，再同理证得，即得是的垂心．
【详解】
由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．故选：C.
【例3】设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】
设的中点分别为，可得，再由已知可得，得，同理可得，即可得出结论.
【详解】
设的中点分别为，
，
，
所以，点在线段的垂直平分线上，
同理点在线段的垂直平分线上，
所以为的外心.
故选:B.
【例4】已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设的坐标为，求出点的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.
解：以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则外接圆的方程为，设的坐标为，过点作垂直轴，
∵，∴，，∴，
∴，∵，∴，，
∵∴
∴，，∴，，
∴，其中，，
当时，有最大值，最大值为，故选B．
【例5】过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【答案】B
【分析】
本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.
【详解】
本题采用特殊位置法较为简单.
因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.
如图：
则有直线AM经过BC的中点，
同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，
所以点是的重心，
故选B.
【例6】在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
【答案】A
【分析】
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以，根据向量的线性运算法则，化简可得，根据三角形的性质，分析即可得答案.
【详解】过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得，
因为，所以，即，
即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，
所以点的轨迹一定通过的重心.故选：A
【例7】已知点是锐角的外心，，，，若，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】
由题干条件及几何关系，可得，，继而构造等式，即得解
【详解】
如图所示，过点分别作，，垂足分别为，；则，分别为，的中点，∴，
；又，∴，
∵，∴，，
化为①，②，联立①②解得，；
∴．
故选：B
六、平面几何中的向量方法6：证明题
【典型例题】
【例1】如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：.
【答案】证明见解析.
【分析】
以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，，依题意可求出点的坐标，再根据点A，P，D共线可得，由点B，P，C共线，可得，由点O，P，E共线，可得，即可解出，从而证出．
【详解】
以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设，，，，则.
因为点C分为，所以
因为点D为的中点，所以.
因为点A，P，D共线，所以.
又，，所以.
同理由点B，P，C共线，可得，
由点O，P，E共线，可得.解得.所以.
【例2】如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】
以为基底，表示，，结合向量的运算可知，进而证得结论.
【详解】
因为，所以，即，故.
【例3】△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
设，结合正弦定理求得，由此证得.
【详解】
设，则.
由解得，
所以，
在三角形中，由正弦定理得，
为锐角，所以.
，在中，，
.
在中，.
在三角形中，，
由正弦定理得.
而，结合图象可知均为锐角，
所以.
【例4】已知D，E，F分别为三边的中点.求证：相交于一点.
【答案】证明见解析.
【分析】
设，直线交于点G，利用平面向量基本定理可得，所以G在中线上，即可得到答案；
【详解】
设，直线交于点G.设，
则
，又，
所以解得
则.
又因为，所以，所以G在中线上，所以相交于一点.
【例5】在△中，BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量的方法证明：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据线段的几何关系有＝＋，将上式两边点乘，结合平面向量数量积的运算律及其定义、正弦定理的边角关系即可证结论.
【详解】
∵＝＋，
∴·＝(＋)·， 即||2＝||·||cosB＋||||cosC，
∴，则；
【例6】如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据＝，可得且，从而可得DE∥AF，即可证得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得证.
【详解】
证明：因为＝，所以且，故四边形AEDF是平行四边形，
所以DE∥AF，则∠C＝∠BDE，
由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，
故△BDE∽△DCF.
七、物理应用：受力分析
1.物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
2.向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
3.动量mv是向量的数乘运算．
4.功是力F与所产生的位移s的数量积．
【典型例题】
【例1】在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当角越大时，用力越省 D．当时，
【答案】B
【分析】
根据题意可得，则，再根据各个选项分析即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可得：，
则，
当时，，故A错误；
当时，，及，故B正确；
，因为在上递减，
又因行李包所受的重力为不变，所以当角越大时，用力越大，故C错误；
当时，即，解得，
又因，所以，故D错误.
故选：B.
【例2】如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围.
【答案】
【分析】
建立坐标系，设出坐标，把平衡关系转化为向量关系，然后根据三角的相关公式整理出正数关于角的函数，再进行恒等变换求出参数的取值范围.
【详解】
如图建立坐标系，记OB、OA与轴的正半轴的夹角
分别为，则由三角函数定义得，
，
由于系统处于平衡状态，∴
∴ ，
【方法一】
移项，（1）、（2）平方相加得：，
即 ，
而存在正数使得系统平衡，∴△＝，
∴.（因滑轮大小忽略，写成亦可，
不扣分．这时均为0）
由（*）解得，由（2）式知
∴，这是关于的增函数，
∴正数的取值范围为 .
【方法二】
（1）、（2）平方相加得：，
由（1）知，，而
∴ 随单调递增，∴
（这里的锐角满足，此时）
且（写成不扣分，这时均为0）
∴从而，
∴，即，
【例3】体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为360N，则该学生的体重（单位kg）约为（ ）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)
A． B．62 C． D．
【答案】B
【分析】
由题作出学生处于如图所示的平衡状态受力示意图，根据受力平衡知，两胳膊的受力的合力与学生所受的重力大小相等，解该等式即可.
【详解】
由题作出学生处于如图所示的平衡状态受力示意图，
记为与的合力，则有，
其中，(单位kg)为学生的体重，
因为，与的夹角为，
所以.
又取，所以，.
把代入，可得.
故选：B.
【例4】(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变
【答案】AC
【分析】
设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ()，则由题意可得|F|cos θ＝|f|，然后逐个分析判断即可
【详解】
设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ().则|F|cos θ＝|f|，
∴|F|＝.∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大.∵|F|sin θ增大，|F|sin θ加上浮力等于船的重力，
∴船的浮力减小.故选：AC
【例5】两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
（1），分别对该质点做的功；
（2），的合力对该质点做的功.
【答案】
（1）对该质点做的功为（），对该质点做的功（）；
（2）（）.
【分析】
（1）根据题意，求出位移，结合功的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求出合力，结合功的计算公式，即可求解.
（1）
根据题意，，，，
故对该质点做的功（）；
对该质点做的功（）.
（2）
根据题意，，的合力，
故，的合力对该质点做的功（）.
【例6】已知三个力，，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则______.
【答案】.
【解析】
根据平衡得合力为零，解得结果.
【详解】
由题意得
故答案为：
【例7】如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端固定在墙上，端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小.
【答案】
【分析】
设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，根据力矩平衡可得出，再由，可求得的值，即可得解.
【详解】
设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，
由已知得，由处于平衡状态，以为杠杆支点，有.
又，，，
所以绳的拉力为.
【对点实战】
1两个大小相等的共点力，当它们夹角为时，合力大小为，则当它们的夹角为时，合力大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
当它们夹角为时，结合平行四边形法则可知，，当和的夹角为时，结合平行四边形法则，可求出.
【详解】设合力为，由平行四边形法则可知，，
当和的夹角为时，由平行四边形法则，，
故选:B.
2.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2| =4N，方向为北偏东60°，|F3| =6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为(　　)
A．24 J B．24J
C．24J D．24J
【答案】D
【详解】
如图，建立直角坐标系，
则F1=(1，)，F2=(2，2)，F3=(-3，3)，
则F= F1+ F2+ F3=(2-2，2+4).
又位移s=(4，4)，
故合力F所做的功为W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J). 选D.
3.如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50牛，且与小车的位移方向的夹角为60°，则在小车位移方向上的正射影的数量为 牛，力做的功为_____牛米．
【答案】1000
【解析】
【详解】
∵||=50，且与小车的位移方向的夹角为60°，
∴在小车位移方向上的正射影的数量为||cos60°=50×=25（牛）．
∵力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，
∴力做的功w=25×40=1000（牛米）．
考点：向量在功、动量的计算中的应用.
4.如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.
【答案】大小为，方向与相同
【解析】
【分析】
从点处进行受力分析，进而画出受力图，即可得出结果.
【详解】
解：如图，在点处进行受力分析，由已知条件有，
根据平衡条件有，，
则，方向水平向右.
则边上点处的受力情况是大小为，方向与相同.
故答案为：大小为，方向与相同.
5.已知力，满足，且，则________N.
【答案】
【解析】
【分析】
将变形后平方得到相应结论，然后将平方即可计算对应的值.
【详解】
由，可得，所以，化简可得，
因为，所以，
所以.
故答案为
6.如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知，求的大小.
【答案】的大小为60N，的大小为.
【分析】
作出力的分解示意图，根据受力平衡以及解直角三角形，求得的大小.
【详解】
依题意，作出力的分解示意图.
在矩形OABC中，，
，
.
即的大小为60N，的大小为.
八、物理应用：“渡河”等
【典型例题】
【例1】如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直 B．
C． D．该船到达对岸所需时间为分钟
【答案】B
【分析】
分析可知，当船的航程最短时，，利用平面向量数量积可判断ABC选项的正误，利用路程除以速度可得航行时间，可判断D选项的正误.
【详解】
由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向，
由，可得，，A选项错误，B选项正确；
，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误.
故选：B.
【例2】一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（ ）
A．6 B．2 C．8 D．
【答案】D
【分析】
根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可.
【详解】
根据题意，得
，
的大小为.故选：D.
【例3】某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
【答案】实际风速的大小是，为西北风.
【解析】
【分析】
设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，作出对应的图形，根据向量的线性运算及向量的模长公式，即可得解.
【详解】
设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，
如图，设，，.
∵，∴，这就是速度为时感到的由正北方向吹来的风速.
∵，∴，这就是速度为时感到的由东北方向吹来的风速，
由题意知，，，∴为等腰直角三角形，
∴，，即.
∴实际风速的大小是，为西北风.
【例4】长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设船的实际速度为，根据题意作图，设与南岸上游的夹角为，由题意可得的值，再计算的值即可.
【详解】
设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示，
要使得游船正好到达处，则，即，
又因为，所以，
故选：D.
【例5】如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是_____.（写出所有正确答案的序号）
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变.
【答案】①③
【解析】
【分析】
小船匀速直线运动，处于平衡状态，结合物理知识可知小船水平方向和竖直方向所受合力大小为0，结合平面向量知识列出式子可选出答案.
【详解】
设水的阻力为，绳的拉力为，与水平方向夹角为，则，
∴.∵增大，∴减小，∴增大.∵增大，∴船的浮力减小.
故答案为：①③
【例6】某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
【答案】实际风速的大小是，为西北风.
【分析】
设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，作出对应的图形，根据向量的线性运算及向量的模长公式，即可得解.
【详解】
设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，
如图，设，，.
∵，∴，这就是速度为时感到的由正北方向吹来的风速.
∵，∴，这就是速度为时感到的由东北方向吹来的风速，
由题意知，，，∴为等腰直角三角形，
∴，，即.
∴实际风速的大小是，为西北风.
【对点实战】
1河中水流自西向东每小时10 km，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10 km，该小船行驶的方向和静水速度分别为(　　)
A．西偏北30°，速度为20 km/h
B．北偏西30°，速度为20 km/h
C．西偏北30°，速度为20 km/h
D．北偏西30°，速度为20 km/h
【答案】B
【解析】
【详解】
方向为北偏西30°，选B
2.河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_______m/s．
【答案】
【解析】
【分析】
“垂直于河岸方向10m/s的速度”是实际的速度，在数学中相当是和向量．“河水的流速为2m/s”是其中一个分向量，静水速度是另一个分向量．即10是和向量，是对角线，另外两个分向量是平行四边形的边长为2的边与对角线垂直，求另一边就是本题的静水速度．
【详解】
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，
河水速度v2=2m/s平行于河岸；
静水速度与河水速度的合速度v=10m/s指向对岸．
∴静水速度v1=m/s．
故答案为．
3.若渡船在静水中的速度大小为，河宽为，水流的速度大小为，则（1）此船渡过该河所用时间的最小值是多少？（2）此船渡过该河的位移最小时，需要多长时间才能从此岸到达彼岸？
【答案】此船渡过该河所用时间的最小值是；此船渡过该河的位移最小时，需要才能从此岸到达彼岸.
【分析】
（1）当船头方向与河岸垂直时，渡河时间最短，求解即可.
（2）当合速度的方向垂直于河岸时，此船渡过该河的位移最小，水流的速度为，船的速度为，合速度为，则，，设船速与合速度的夹角为，求解与，即可.
【详解】
（1）当船头方向与河岸垂直时，渡河时间最短，
最短时间.
（2）当合速度的方向垂直于河岸时，此船渡过该河的位移最小，
如图所示，水流的速度为，则，船的速度为，则，合速度为，合速度的大小为，则，
设船速与合速度的夹角为，则，
此时.
渡河时间为.
答：此船渡过该河所用时间的最小值是；此船渡过该河的位移最小时，需要才能从此岸到达彼岸.
4.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
【答案】帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为km/h
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20（km/h），水流的方向为正东，速度为|v2|＝20（km/h），设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2.
由题意，可得向量v1＝（20cos 60°，20sin 60°）＝（10,10），向量v2＝（20,0），
则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝（10,10）＋（20,0）＝（30,10），
所以|v|＝＝20（km/h）．
因为tan α＝ （α为v和v2的夹角，α为锐角），所以α＝30°.
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20km/h.

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