资源简介

6.2 向量的加、减法和数乘运算
本节课知识点目录：
向量加法运算之首尾相连计算型；
向量加法运算之“自由平移”计算型。
向量加法运算之“矢量三角形（四边形）”计算型
向量减法运算
向量的数乘运算
向量共线定理应用
绕三角形（重点）
四心与面积（难点基础）
向量模与向量三角不等式应用
联赛、模考与自主招生
一、向量的加法运算之首尾相连计算型
向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
加法：首尾相连，方向为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（符合三角形法则）；
即：＋＋＋…＋＝.
【典型例题】
【例1】向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】化简（ ）
A． B． C． D．
【例3】下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】点是平行四边形的两条对角线的交点，等于（ ）
A． B． C． D．
【例5】如图所示，四边形是梯形，，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】下列各式不一定成立的是
A． B．
C． D．
【对点实战】
1.式子化简结果是（ ）
A． B． C． D．
2.（ ）
A． B． C． D．
3.在平行四边形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
4.化简的结果等于（ ）
A． B．
C． D．
二、向量的加法运算之“自由平移”计算型
利用向量相等的另一，通过图形的“平行四边形”可以自由平移向量。
【典型例题】
【例1】如图，在正六边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】在中，，，分别为，，的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例4】如图所示，在正六边形中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【例5】如图，在矩形中，为中点，那么向量等于　　
A． B． C． D．
【例6】在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是.
A． B． C． D．
三、向量的加法运算之“矢量三角形（四边形）”运算
【典型例题】
【例1】在四边形ABCD中，下列结论不正确的是（ ）
A．++= B．+++=
C．+= D．+=
【例2】在中，、、分别为、、的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】当两人提起重量为的旅行包时，夹角为，两人用力都为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例4】在中，是的中点.若，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知正方形的边长为，则＝（ ）
A．2 B．6 C．4 D．
【例6】设、、分别为三边、、的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【例7】已知为三角形所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【对点实战】
1.在四边形中，，则（ ）
A．是矩形 B．是菱形 C．是正方形 D．是平行四边形
2.如图，在矩形ABCD中，=
A． B．
C． D．
3.在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（ ）
A． B． C．12 D．6
4.如图，D，E，F分别为的边AB，BC，CA的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5.已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ）
A．0 B． C． D．
四、向量的减法运算
＝a，＝b，则向量a－b＝
【典型例题】
【例1】化简：（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中，则=（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【例4】下列等式中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．3 B．4 C．5 D．6
【例5】如图，平行四边形的对角线交于点，若，，用、表示为
A． B． C． D．
【例6】已知分别是的边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【例7】在中，，分别是，的中点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例8】已知中，，则（ ）
A． B． C． D．
【对点实战】
1.已知平面内作用于点O的三个力，，，且它们的合力为，则三个力的分布图可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中，是上一点，则（ ）
A． B． C． D．
4.在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
5.如图，设＝，＝，＝，则等于（ ）
A．－＋ B．－(＋) C．＋＋ D．－＋
五、向量的数乘运算
1.|λa|＝|λ||a|
2.设λ，μ为任意实数
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
【典型例题】
【例1】等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（ ）
A．不共线 B．方向相反
C．方向相同 D．
【例3】下列算式中，正确的个数为（ ）
①；
②；
③.
A． B． C． D．
【例4】若，与的方向相反，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】若，则下列各式中不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【例7】正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【对点实战】
1.已知，且，则实数___________.
2.已知，求.
3.若，，则___________，___________，___________.
4.设，若用与表示，求的表达式.
设为实数，已知点P在直线MN上，且，，求的值．
六、向量共线定理应用
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
【典型例题】
【例1】已知向量，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【例2】若，，则以下向量中与共线的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【例5】已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【例6】如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的为（ ）
A．当时， B．当P是线段的中点时，，
C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 D．的最大值为
【例7】已知向量是两个非零向量，在下列条件中，一定能使共线的是（ ）
A．且
B．存在相异实数，使
C．（其中实数x，y满足）
D．已知梯形ABCD，其中
【对点实战】
1.已知三角形，以下各式可以确定P点在线段延长线上的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知与是两个不共线的向量，且向量(+λ)与(-3)共线，则λ的值为_____.
七、绕三角形（重点）
“绕三角形”是指实战中把加减法运算，放到三角形中，通过：。。。三角形。。。。数乘。。。三角形。。。数乘。。。这样的转化，得出最终的向量线性关系。
【典型例题】
【例1】在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】．如图所示，在中，．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3】在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0 B． C． D．3
【例4】在中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，AD、BE、CF交于点G，则：①；②；③；④．上述结论中，正确的序号是______．
【例5】已知平面内一点及△，若，则点与△的位置关系是（ ）
A．点在线段上 B．点在线段上
C．点在线段上 D．点在△外部
【例6】如图，△中，延长到，使，当点在线段上移动时，若，则的最大值是_______.
【例7】已知，，，用，表示，则（ ）
A． B． C． D．
【对点实战】
1.如图所示，已知，则用表示为_______．
2.已知D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，，．给出下列五个命题：①；②；③；④；⑤．其中正确的命题是________．（填序号）
3.在中，若，为线段上且满足，则实数的值为__________．
4.在△中，为边上一点，且满足，设，则________
5.如图，已知，，，用表示，则________．
八、四心与面积（难点基础）
三角形的四心与向量关系：
（1）是重心，
是平面内任一点， 是重心．
（2）是垂心，
若是垂心，则．
（3）是外心，
【例1】在中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则______．
【例2】若，，则平分线上的向量可以表示为________．
【例3】已知为内的一点，满足，则与的面积之比为________．
【例4】已知为所在平面内的点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的中点
B．若，则为的重心
C．若，则为的垂心
D．若，则在的中位线上
【例5】瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心 垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O H G分别是外心 垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】已知点是所在平面内的一点，若，则__________．
【例7】已知点M是所在平面内的一点，若满足，且，则实数的值是______.
【例8】已知点是的内心，若，则______.
九、向量模与向量三角不等式应用
【典型例题】
【例1】在平行四边形中，，则必有（ ）.
A． B．或
C．是矩形 D．是正方形
【例2】设，是任一非零向量，则在下列结论中:
①；②；③；④；⑤.
正确结论的序号是（ ）
A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤
【例3】在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【例4】设、是非零向量，则“、共线”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
十、联赛、模考与自主招生
【典型例题】
【例1】在中,，若点D为所在平面内一点,且满足条件:①；②，则________(用表示).
【例2】若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图，等腰梯形中，，与交于点，，若，则以下所有结论中正确的序号是______.
①若，则
②三角形的面积为4
③
④若，是直线上的动点，
6.2向量的加减法和数乘运算
本节课知识点目录：
向量加法运算之首尾相连计算型；
向量加法运算之“自由平移”计算型。
向量加法运算之“矢量三角形（四边形）”计算型
向量减法运算
向量的数乘运算
向量共线定理应用
绕三角形（重点）
四心与面积（难点基础）
向量模与向量三角不等式应用
联赛、模考与自主招生
一、向量的加法运算之首尾相连计算型
向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
加法：首尾相连，方向为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（符合三角形法则）；
即：＋＋＋…＋＝.
【典型例题】
【例1】向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由向量加法运算法则直接计算可得结果.
【详解】
故选：C.
【例2】化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由向量加法法则，求即可.
【详解】
，故选：C
【例3】下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面向量的加法法则,即可求解.
【详解】
A.,故A成立;
B.根据向量加法满足交换律,可知,故B成立;
C.,故C不成立;
D.利用向量的加法法则,可知,故D成立.故选:C.
【例4】点是平行四边形的两条对角线的交点，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据几何图形，结合向量线性运算的几何含义，即可知所表示的向量.
【详解】
由题意，如上图示，又，∴.故选：A
【例5】如图所示，四边形是梯形，，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量加法的三角形法则可得结果.
【详解】
.故选：B.
【例6】下列各式不一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量加法的运算法则即可求解.
【详解】
A成立，A为向量加法交换律；
B显然成立；
C成立，即向量加法的三角形法则；
D不一定成立，只有当西同向或至少有一个为零向量时，才有.
故选：D
【对点实战】
1.式子化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】
由
.故选：B.
2.（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量加法的运算法则可得.
【详解】
，
故选：C.
3.在平行四边形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用向量加法法则即可求出答案.
【详解】
画出图形，如图所示：.
故选：D.
4.化简的结果等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
运用平面向量加法运算性质进行求解即可.
【详解】
，
故选：B
二、向量的加法运算之“自由平移”计算型
利用向量相等的另一，通过图形的“平行四边形”可以自由平移向量。
【典型例题】
【例1】如图，在正六边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.
【详解】
，.
故选：A.
【例2】如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量的线性运算，直接可得出结果.
【详解】
因为在矩形中，为中点，
所以.故选：B.
【例3】在中，，，分别为，，的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形中位线性质得,再根据向量相等以及加法法则得结果.
【详解】
因为，，分别为，，的中点，所以,
因此。故选:C
【例4】如图所示，在正六边形中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【分析】由正六边形性质可得,进而由向量的加法法则求解即可
【详解】
由题,可知,所以,故选:B
【例5】如图，在矩形中，为中点，那么向量等于　　
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用是相等向量及为中点可得正确的选项．
【详解】
因为，故选A．
【例6】在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项.
【详解】
画出图像如下图所示.对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确.对于C选项，由于，故结论错误.对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.故选C.
三、向量的加法运算之“矢量三角形（四边形）”运算
【典型例题】
【例1】在四边形ABCD中，下列结论不正确的是（ ）
A．++= B．+++=
C．+= D．+=
【答案】C
【分析】
由向量加法法则依次判断即可得出结果.
【详解】
由向量的三角形法则可得++=，+++=，+=，ABD正确，只有当四边形ABCD为平行四边形时，+=才成立，故C错误.
故选：C
【例2】在中，、、分别为、、的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分析可知四边形为平行四边形，利用向量加法的平行四边形法则可得结果.
【详解】
如下图所示：
因为、、分别为、、的中点，则，，
故四边形为平行四边形，所以，.故选：C.
【例3】当两人提起重量为的旅行包时，夹角为，两人用力都为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据力的平衡或平面向量的和为零向量即可求出．
【详解】
由题意作出示意图，由可知，
，四边形为菱形，且都是正三角形，所以．
故选：D．
【例4】在中，是的中点.若，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由于，，从而得，而由是的中点，可得，进而可得结果
【详解】
解：因为，，所以，
因为是的中点，所以，
所以，所以，故选：B
【例5】已知正方形的边长为，则＝（ ）
A．2 B．6 C．4 D．
【答案】B
【分析】
先求出，再利用向量的平行四边形法则得到，再利用向量的模求解即可.
【详解】
由正方形的边长为，可得正方形的对角线长，利用向量的平行四边形法则可得：
，则.故选：B.
【例6】设、、分别为三边、、的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
运用平面向量的加法的几何意义求解即可.
【详解】
因为、、分别为的三边、、的中点，
所以.
故选：A
【例7】已知为三角形所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
题目考察三角形四心的问题，易得：为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系
【详解】
如图所示，由得：为三角形的重心，是中线的交点，
且，所以，，底边为，所以，故选：B
【对点实战】
1.在四边形中，，则（ ）
A．是矩形 B．是菱形 C．是正方形 D．是平行四边形
【答案】D
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则可得，以为邻边做平行四边形ABCD，可得，进而可判断.
【详解】
根据向量加法的平行四边形法则可得，以为邻边做平行四边形ABCD，如图，
可得，所以四边形ABCD为平行四边形.故选：D
2.如图，在矩形ABCD中，=
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题意， 故选B.
3.在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（ ）
A． B． C．12 D．6
【答案】B
【分析】
结合向量运算求得正确答案.
【详解】因为，所以的长度为的模的2倍．
又，所以向量的长度为故选：B
4.如图，D，E，F分别为的边AB，BC，CA的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量的线性运算法则计算可得；
【详解】
解：，，分别是的边，，的中点，
，，，
则，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：A．
5.已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，分析易得正方形中，由向量加法的性质可得
，由向量模的公式计算可得答案.
【详解】
如图，因为正方形的边长为1， , ,，
，
， 故选：D
四、向量的减法运算
＝a，＝b，则向量a－b＝
【典型例题】
【例1】化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量加减法公式直接结算结果.
【详解】
.故选：C
【例2】已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由图形可得，从而可得正确的选项.
【详解】
，故选：D.
【例3】如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平面向量的加减法法则结合图形即可得到答案.
【详解】
如图，
.故选：D.
【例4】下列等式中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
利用向量加减法的运算性质，转化各项表达式即可知正误.
【详解】
由向量加减法的运算性质知：①；②；③；④；⑤，正确；⑥，错误.故选：C
【例5】如图，平行四边形的对角线交于点，若，，用、表示为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用、表示出向量，再由可得出结果.
【详解】
由平面向量减法的三角形法则可得，
平行四边形的对角线交于点，则点为的中点，
因此，.故选：D.
【例6】已知分别是的边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由条件有,再由向量的减法可得答案.
【详解】
因为分别是的边的中点所以.
又.所以.故选：C
【例7】在中，，分别是，的中点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量减法的三角形法则，得到，即可求解.
【详解】
在中，，分别是，的中点，若，，
可得.故选：C.
【例8】已知中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由可得D为BC中点，即可得出结果
【详解】
由可得D为BC中点，.故选：C.
【对点实战】
1.已知平面内作用于点O的三个力，，，且它们的合力为，则三个力的分布图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面向量的加法和减法的几何意义进行判断即可.
【详解】
根据平面向量加法和减法的几何意义可知选项C符合题意，
故选：C
2.化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面向量加法和减法的运算法则进行求解即可.
【详解】
故选：C
3.如图，在中，是上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解.
解：由图形可知：.故选：C.
4.在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由平行四边形的性质可得，从而可求得答案
【详解】
解：因为四边形为平行四边形，所以,
所以，故选：D
5.如图，设＝，＝，＝，则等于（ ）
A．－＋ B．－(＋) C．＋＋ D．－＋
【答案】A
【分析】由向量的线性运算即可得出.
【详解】
.故选：A.
五、向量的数乘运算
1.|λa|＝|λ||a|
2.设λ，μ为任意实数
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
【典型例题】
【例1】等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面向量的线性运算可得结果.
【详解】.故选：C
【例2】已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（ ）
A．不共线 B．方向相反
C．方向相同 D．
【答案】B
【分析】
根据两者之间的数乘关系可判断两者之间的关系.
【详解】
因为，，所以，
故向量与向量共线反向.故选：B.
【例3】下列算式中，正确的个数为（ ）
①；
②；
③.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由平面向量的线性运算和数乘运算可判断①②③的正误.
【详解】
对于①，，①正确；
对于②，，②正确；
对于③，，③错误.
故选：C.
【例4】若，与的方向相反，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由向量反向可知，即，由此构造方程求得，即可得到结果.
【详解】
与的反向，，，即，解得：，
.故选：B.
【例5】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用向量的加法以及数乘运算即可求解.
【详解】
，所以，
所以.故.故选：B
【例6】若，则下列各式中不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量的数乘的定义判断．
【详解】
如图，由知在延长线上，且，
因此由向量数乘定义知ABC三个选项均正确，D错误．
故选：D．
【例7】正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
【详解】
在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且．
在A中，，故A正确；
在B中，，故B错误；
在C中，，故正确；
在D中，，
若，则，不合题意，故D错误．
故选：AC
【对点实战】
1.已知，且，则实数___________.
【答案】
【分析】
根据向量共线和向量数乘求解即可.
【详解】
解：因为，
所以三点共线，其位置关系如图，
其中点在线段的四等分点靠近点的位置，
所以，所以
故答案为：
2.已知，求.
【答案】
【分析】
利用向量线性运算的运算律可求.
【详解】
因为，所以，
所以.
3.若，，则___________，___________，___________.
【答案】 ##
【分析】
根据平面向量线性运算可求出结果.
【详解】
因为，，
所以，，.
故答案为：，，
4.设，若用与表示，求的表达式.
【答案】
【分析】
利用向量加法的三角形法则及数乘向量运算律求解即得.
【详解】
因，
则，
所以.
5.设为实数，已知点P在直线MN上，且，，求的值．
【答案】
【分析】
分别分析点P位于MN之间和之外两种情况，数形结合，即可得答案.
【详解】
若点P位于MN之间，因为，所以，故，
若点P位于点MN之外，因为，则N为MP的中点，
所以，故.
综上：
六、向量共线定理应用
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
【典型例题】
【例1】已知向量，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【答案】A
【分析】
利用向量共线定理依次判断即可.
【详解】
∵向量，，
∴=2，即点A，B，D三点共线.
故选：A.
【例2】若，，则以下向量中与共线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先由，得，，再利用平面向量共线定理判定.
【详解】
若，，则
.
所以向量与共线.故选：B.
【例3】设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量与向量共线，由求解.
【详解】
因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，
所以，即，所以，解得，故选：D
【例4】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】
根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线.
【详解】
对于①，，，故两向量共线；
对于②，，，故两向量共线；
对于③，，
假设存在，因为，是不共线向量，
故得到无解.故选：A.
【例5】已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】
根据三点共线的知识确定正确选项.
【详解】
依题意，
，所以共线，即三点共线，A正确.
，则不共线、不共线，BD错误.
，则不共线，C错误.
故选：A
【例6】如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的为（ ）
A．当时， B．当P是线段的中点时，，
C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 D．的最大值为
【答案】BCD
【分析】
利用向量共线的充要条件判断出A错，C对；利用向量的运算法则求出，求出，判断出B对，过作，交于，作，交的延长线于，则，然后可判断出D正确.
【详解】
当时，，则在线段上，故，故A错
当是线段的中点时，
，故B对
为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故C对
如图，过作，交于，作，交的延长线于，则：；
又；，；
由图形看出，当与重合时：；
此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故D正确
故选：BCD
【例7】已知向量是两个非零向量，在下列条件中，一定能使共线的是（ ）
A．且
B．存在相异实数，使
C．（其中实数x，y满足）
D．已知梯形ABCD，其中
【答案】AB
【分析】
选项A：根据，即可得出，从而得出共线；选项B：可得出都不等于0，并得出，从而得出共线；选项C：当，时，满足选项的条件，显然得不出共线；对于选项D：显然得不出共线．
【详解】
解：A．联立和消去向量可得出 ，
∴，且，所以共线.
B．∵都是非零向量，且，，
∴都不为0，所以，所以共线.
C．当 时，满足，此时对任意的向量都有，∴得不出共线；
D．∵在梯形中AB与CD不一定平行，∴得不出共线．
故选：A B．
【对点实战】
1.已知三角形，以下各式可以确定P点在线段延长线上的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
首先将，化简为共线向量，利用共线向量的几何意义，判断选项.
【详解】
，
即，当时，P点在线段上，当时，P点在线段延长线上，时，P点在线段延长线上，故B正确，A不正确；
当时，点在线段延长线上，此时点是的中点，故C正确；
时，P点在线段延长线上，故D不正确.
故选：BC
2.已知与是两个不共线的向量，且向量(+λ)与(-3)共线，则λ的值为_____.
【答案】-
【分析】
由向量共线可得+λ=k((-3)，计算即可.
【详解】
由向量共线可得+λ=k((-3)，
即+λ=k-3 k，∴解得λ=-.
故答案为：-
七、绕三角形（重点）
“绕三角形”是指实战中把加减法运算，放到三角形中，通过：。。。三角形。。。。数乘。。。三角形。。。数乘。。。这样的转化，得出最终的向量线性关系。
【典型例题】
【例1】在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算直接运算.
【详解】
如图所示：
，故选：A.
【例2】．如图所示，在中，．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据．且，，利用平面向量的加法,减法和数乘运算求解.
【详解】
因为．且，，所以， ，
，.故选：C
【例3】在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据，利用平面向量的基本定理求解.
【详解】
因为点D在CB的延长线上，且，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以，故选：C
【例4】在中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，AD、BE、CF交于点G，则：①；②；③；④．上述结论中，正确的序号是______．
【答案】②③④
【分析】
对①结合中位线性质以及向量的加法运算和数乘运算即可判断；对②③结合图形中的线段的关系以及向量加法运算和数乘运即可判断；对④结合重心的性质以及向量加法运算和数乘运即可判断.
【详解】
因为分别为CA、AB的中点，所以，且，所以，故①错误；
，故②正确；
故③正确；
因为三边的中线交于点，故是的重心，所以，所以
，故④正确；
故答案为：②③④.
【例5】已知平面内一点及△，若，则点与△的位置关系是（ ）
A．点在线段上 B．点在线段上
C．点在线段上 D．点在△外部
【答案】C
【分析】
将化为，然后合并得，则点在线段上.
【详解】
由，得，即，
故点在线段上．
故选：.
【例6】如图，△中，延长到，使，当点在线段上移动时，若，则的最大值是_______.
【答案】3
【解析】
试题分析：设==，0≤k≤1；
又；∴；∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1；∴k=1时t取最大值3．
即t=λ﹣μ的最大值为3．
【例7】已知，，，用，表示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
因为，
所以，
又因为，，
所以，故选：D.
【对点实战】
1.如图所示，已知，则用表示为_______．
【答案】
【分析】
由，，结合已知即可得关于的线性表达式.
【详解】
．
答案：
2.已知D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，，．给出下列五个命题：①；②；③；④；⑤．其中正确的命题是________．（填序号）
【答案】②③④⑤
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，，所以，
，，
，
，即，即正确的有：②③④⑤
故答案为：②③④⑤
3.在中，若，为线段上且满足，则实数的值为__________．
【答案】
【分析】
利用三点共线的性质即可得解
【详解】
，
又三点共线，，解得
故答案为：
4.在△中，为边上一点，且满足，设，则________
【答案】1
【分析】
依题意可得，进而可得结果.
【详解】
依题意可得，所以，因此，所以.
故答案为：.
5.如图，已知，，，用表示，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的加法运算，减法运算以及共线向量基本定理即可用表示。
【详解】
．
故答案为：
八、四心与面积（难点基础）
三角形的四心与向量关系：
（1）是重心，
是平面内任一点， 是重心．
（2）是垂心，
若是垂心，则．
（3）是外心，
【例1】在中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则______．
【答案】.
【分析】
先根据中点关系化简原式，然后根据重心的特点进行向量运算，由此求解出结果.
【详解】
因为，
又因为为重心，所以，所以，故答案为：.
【例2】若，，则平分线上的向量可以表示为________．
【答案】，
【分析】
根据题意，以，为邻边作平行四边形则四边形为菱形，根据平面向量加法的平行四边形法则得，由，共线，最后根据向量共线定理得，从而得出答案.
解：，，，，以，为邻边作平行四边形则为菱形，
平分，
根据向量加法的平行四边形法则可得：，，共线，
由共线定理可得存在唯一的实数使得：.故答案为：，.
【例3】已知为内的一点，满足，则与的面积之比为________．
【答案】
【分析】
取中点，利用向量的线性运算可求得，从而得到的值，根据可求得结果.
【详解】
分别取的中点，连接，
，，即，
，，；
又为中点，，.
故答案为：.
【例4】已知为所在平面内的点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的中点
B．若，则为的重心
C．若，则为的垂心
D．若，则在的中位线上
【答案】ABD
【分析】
通过向量加法、减法、数乘运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
A选项，，，所以为的中点，A正确.
B选项，如下图所示，设是的中点，由得，即三点共线，且，所以是的重心.
C选项，由，得，
所以，所以在边的高上，不一定是垂心，C错误.
D选项，如下图所示，设分别是的中点，，即，，，即三点共线，且，所以在的中位线上.
故选：ABD
【例5】瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心 垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O H G分别是外心 垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
根据欧拉线定理、外心 垂心和重心的性质以及平面向量的线性运算对四个选项逐个分析可得答案.
【详解】
如图：根据欧拉线定理可知，点O H G共线，且
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，取的中点为，则，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，显然不正确.
故选：ABC
【例6】已知点是所在平面内的一点，若，则__________．
【答案】
【分析】
设为的中点，为的中点，为的中点，由得到，再进一步分析即得解.
【详解】
如图，设为的中点，为的中点，为的中点，因为，
所以可得，整理得.又，
所以，所以，又，所以．故答案为
【例7】已知点M是所在平面内的一点，若满足，且，则实数的值是______.
【答案】
【分析】
点M是所在平面内的一点，若满足，根据向量的概念，运算求解得：，，再根据与的关系，求出与之比，得出.
解：记，.
又，从而有.
【例8】已知点是的内心，若，则______.
【答案】
【分析】
根据已知条件用表示出，判断出的位置关系，利用三角形内心的特点结合角平分线定理即可计算出的值.
【详解】
因为，即，
取中点，连接，则，故，故点共线，
又，故，且，所以.
故答案为：.
九、向量模与向量三角不等式应用
【典型例题】
【例1】在平行四边形中，，则必有（ ）.
A． B．或
C．是矩形 D．是正方形
【答案】C
【分析】
根据题意，由平面向量的线性运算法则，得出，进而可求出结果.
【详解】
在平行四边形中，
因为，
所以，即对角线相等，
因为对角线相等的平行四边形是矩形，
所以是矩形.
故选：C.
【例2】设，是任一非零向量，则在下列结论中:
①；②；③；④；⑤.
正确结论的序号是（ ）
A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤
【答案】D
【分析】
根据向量线性运算可确定为零向量，由此可判断得到结果.
【详解】
，
又是任一非零向量，，，，①③⑤正确.
故选：D.
【例3】在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】
根据向量的加减法法则可得，结合题意即可得出结果.
【详解】
因为，，所以，
所以为等边三角形．故选：A．
【例4】设、是非零向量，则“、共线”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
利用特例法结合共线向量的性质以及充分条件、必要条件的定义判断了得出结论.
【详解】
解：已知、是非零向量，若、共线，取，则，
另一方面，若，则、方向相同，
即“”“、共线”，
因此，“、共线”是“”的必要而不充分条件.故选：B.
十、联赛、模考与自主招生
【典型例题】
【例1】在中,，若点D为所在平面内一点,且满足条件:①；②，则________(用表示).
【答案】
【分析】
由①②可知,为的角平分线，利用的面积关系，即可求出.
【详解】
，共线，且有一公共点，
三点共线，即在边上.由=
向量在的角平分线上，，所以为的角平分线.
.故答案为:
【例2】若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用向量减法的几何意义，即可判断.
【详解】
，
所以.故选：D
【例3】如图，等腰梯形中，，与交于点，，若，则以下所有结论中正确的序号是______.
①若，则
②三角形的面积为4
③
④若，是直线上的动点，
【答案】③④
【分析】
利用解三角形和向量的线性运算求解即可
【详解】
如图，由已知得，， 又由，得到，
则有，所以，①错，
过作，由得，，过作，明显地，，且，所以，，，所以，②错，
又因为在中，所以，，且在等腰梯形中，所以，又由，得，而由根据正弦定理，得，所以，成立，③对，
对于④若，是直线上的动点，又由等腰梯形可得，，可得，
，④对
答案：③④

展开更多......

收起↑