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6.3.1平面向量的基本定理
本节课知识点目录：
平面向量基本定理概念；
基底理解：坐标系坐标轴合力。
基地基础：向量平行和绕三角形（基础）
基底：绕三角形“中线型”
基底：然三角形“中线上的中线型”
基底：“不正常基底型”
等和线与三点共线
向量最值范围
三角形内分点面积比值型（“奔驰定理”）
联赛、联考与自主招生题选
一、平面向量基本定理概念
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
【典型例题】
【例1】下列说法错误的是（ ）
A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示
B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
【例2】．设是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【例3】设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【例4】如果是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【例5】设向量与不共线，若，则实数的值分别为（ ）
A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4
【例6】设向量，若用表示，则________.
【对点实战】
1.设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2.设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
3.下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若，则.
C．若单位向量 的夹角为，则在方向上的投影向量是.
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.
4.给出以下说法，其中不正确的是（ ）
A．若，则；
B．若，则存在实数，使；
C．若，是非零向量，，那么；
D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底.
5.已知向量是一个基底，实数满足，则_________．
6.若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ）
A．不可以表示平面内的所有向量；
B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；
C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；
D．若存在实数使，则.
二、基底实战理解：就是坐标轴坐标系
1.共起点基底，理解成坐标轴。不一定是垂直的坐标轴。（可补充球面航海经纬度增加类比理解）
2.两基底所在直线区域，可以按照基底向量剪头方向对照直角坐标系四个象限。
3第3题，原解法涉及到老教材的“线性规划”，根据其概况，建议类比即将学习的圆内点和圆外点知识，适当的扩展一下。
【典型例题】
【例1】如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设=m+n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（ ）
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
【例2】向量，如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是（ ）
A． B． C． D．不能求
【例4】设，，是平面内共线的三个不同的点，点是，，所在直线外任意-点，且满足，若点在线段的延长线上，则（ ）
A．， B．， C． D．
【例5】．已知E，F分别是的边，的中点，若，则点P在四边形内（包括边界）的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、基底基础：共线和绕三角形（基础）
1.用基底表示三点向量共线关系
2.绕三角形（基础）
【典型例题】
【例1】已知和不共线，，并且共线，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】在边长为1的正方形中，为上靠近的三等分点，为的中点.若()，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
【例3】如图，在平行四边形中，E是的中点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例4】如图，在平行四边形中，E是的中点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例5】如图，在平行四边形中，E是的中点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知平行四边形中，，，，为的中点，则（ ）（用向量，表示）
A． B． C． D．
【例7】如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段与线段交于圆内一点P，若，则（ ）
A．当P为线段中点时， B．当P为线段中点时，
C．无论取何值，恒有 D．存在
【对点实战】
1.如图，已知，用，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2.若点D在的边BC上，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ）
A． B． C． D．
4.设分别是的边上的点，且，，，若记，则（ ）
A． B．
C． D．
5.已知在中，点，分别在边上，，且，，若，则的值为__________.
6.设为基底向量，已知向量，，，若三点共线，则实数的值等于（ ）
A．2 B．－2 C．10 D．－10
四、基底：绕三角形“中线型”
模型大致如图：
【典型例题】
【例1】已知△ABC的边BC上有一点D满足，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】已知为所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】在中，是的中点．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例4】如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例5】．如图，在中，、分别为边、的中点. 为边上的点，且，若，，则的值为___________.
【例6】已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【对点实战】
1.在中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（ ）
A． B．
C． D．
2.在三角形中，点，在边上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3.如图，已知，若点满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4.在平行四边形中，为的中点，交于点，若，则______．
5.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6.在平行四边形ABCD中O是对角线交点，E是OD的中点，连接AE交CD于F，设，＝，若，则x＝______，y＝______．
五、基底：绕三角形“中线上“中线”型”
模型之一如图
【典型例题】
【例1】如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3】在三角形中，点在直线上，且，点在直线上，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【例4】如图，在中，， ，若，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【例5】如图，在△ABC中， =,P是BN上的一点，若=m+，则实数的值为___________.
【例6】如图，四边形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【对点实战】
1.如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.
3.如图所示，在中，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4.在平行四边形中，与交于点，，的延长线与交于点.若，，则
A． B． C． D．
5.如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
六、基底：“不正常”型（起点不同的基底）
1.所给基底起点不同。
2.基底起点不同，可以平移，也可以列出“方程式子反解”，还可以用即将学的坐标系设点解决
【典型例题】
【例1】如图，在正方形中，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图所示，在矩形中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且＝，＝，那么为（ ）
A．＋ B．－ C．－ D．－＋
【例4】已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，，，则下列命题中正确命题为（ ）
A．； B．；
C．； D．
【例5】如图，在中，为线段上靠近点的四等分点，若，则______．
【对点实战】
1.在三角形中，已知是的中点，是三角形的重心．设向量，，则向量_______________________(结果用，表示)．
2.如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________
3.如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，，则的值为________．
4.如图所示，中，，点E是线段AD的中点，则　　
A． B．
C． D．
七、等和线与三点共线
1.等和线原理：
2.等和线计算：
【典型例题】
【例1】已知平面内有、、、四点，其中，，三点共线，且，则________.
【例2】如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设=，=，以{，}为基底来表示=____，=_____．
【例3】如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（ ）
A． B． C． D．
【例4】在平行四边形中，，，分别为边，，的中点，，，三点共线.若，则实数的值为______.
【例5】如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例6】在中，点满足，当点在线段上移动时，记，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【例7】在中，分别是边的中点，点是线段上，异于端点的一点，且，则____________.
【例8】如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为________．
【例9】如图，中，与交于，设，，，则为
A． B． C． D．
八、向量最值范围
【典型例题】
【例1】直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点 在过点P的直线上，若，，(，)，则下列结论正确的是（ ）
A．为常数 B．的最小值为3
C．的最小值为 D．的最小值为
【例2】在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值是________.
【例3】已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【例4】如图，矩形中，，，是对角线上一点，，过点的直线分别交的延长线，,于.若，，则的最小值是（ ）
B． C． D．
【例5】已知中，过中线的中点任作一条直线分别交边，于，两点，设，（），则的最小值 ．
【例6】在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为________．
九、三角形内分点面积比值型（“奔驰定理”）
三角形内分点结论
【典型例题】
【例1】已知为内一点，，则，的面积之比为______．
【例2】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
【例3】在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例4】设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（ ）
A． B． C． D．
十、联赛、联考与自主招生题选
【例1】在中，为角的平分线，点在上，为的中点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【例2】如图1，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图在平行四边形ABCD中，E为CD的中点， ，AE与BF交于O点.若，且AE与BF不垂直，则__________.
6.3.1平面向量的基本定理
本节课知识点目录：
平面向量基本定理概念；
基底理解：坐标系坐标轴合力。
基地基础：向量平行和绕三角形（基础）
基底：绕三角形“中线型”
基底：然三角形“中线上的中线型”
基底：“不正常基底型”
等和线与三点共线
向量最值范围
三角形内分点面积比值型（“奔驰定理”）
联赛、联考与自主招生题选
一、平面向量基本定理概念
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
【典型例题】
【例1】下列说法错误的是（ ）
A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示
B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
【答案】B
【分析】
根据共线向量的性质和基底的性质，结合平面向量基本定理逐一判断即可.
【详解】
由共线向量的性质可知选项A正确；
根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B不正确；
根据平面向量基本定理可知中：选项C、D都正确，
故选：B
【例2】．设是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】
利用向量可以作为基底的条件是，两个向量不共线，由此分别判定选项中的两个向量是否共线即可．
【详解】
对A，B，D，令，，均无法找到一个实数使得等式成立，故均不共线，可作为基底；
对C，，所以两个向量共线，所以不能当成基底，故选：C.
【例3】设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】根据基底不共线即可判断.
解：，是平面内不共线的两个向量，对A，与不共线，故可以作为基底，故A错误；
对B，与不共线，故可以作为基底，故B错误；
对C，，故与共线，
不可以作为基底，故C正确；
【例4】如果是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】
根据题意可得：两个向量满足平面的一组基底，需这两个向量不共线，由此逐一判断可得选项．
【详解】
对于A：设，则，所以无解；
对于B：设，则，所以无解；
对于C：设，则，所以无解；
对于D：设，则，解得，所以此两向量是共线向量；
故D中向量能作为平面内所有向量的一组基底，
故选：D．
【例5】设向量与不共线，若，则实数的值分别为（ ）
A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4
【答案】D
【分析】根据题意，由不共线向量和向量相等得出，即可求出的值.
解：已知向量与不共线，因为，
所以，解得：.故选：D.
【例6】设向量，若用表示，则________.
【答案】
【分析】根据平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】设，则有，
得，所以，故答案为：
【对点实战】
1.设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
逐项判断向量是否共线，若不共线，则可以作为基底
【详解】
解：对于A，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以A不合题意；
对于B，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以B不合题意；
对于C，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以且，所以不存在，所以不共线，所以可以作为基底，所以C符合题意；
对于D，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以D不合题意，
故选：C
2.设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
【答案】B
【分析】
根据基底为一组不共线的向量可得出结论.
【详解】
如下图所示：
①与不共线；②，则与共线；③与不共线；④，则与共线．
由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．
故选：B.
3.下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若，则.
C．若单位向量 的夹角为，则在方向上的投影向量是.
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.
【答案】ABC
【分析】
由平面向量基本定理，依次判定即可
【详解】
选项A：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此，一定都是非零向量，故A正确；
选项B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B正确；
选项C：在方向上的投影向量为：，故C正确；
选项D：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D错误
故选：ABC
4.给出以下说法，其中不正确的是（ ）
A．若，则；
B．若，则存在实数，使；
C．若，是非零向量，，那么；
D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底.
【答案】BCD
【分析】
由向量共线的定义即可知A、B的正误，当，为相反向量时C不成立，根据平面向量基本定理中基底的性质即可知D的正误.
【详解】
A：向量的数乘运算的几何意义，正确；
B：若，，有，但不存在实数，错误；
C：，为相反向量，则，此时，错误；
D：平面向量的基本定理，作为基底的两向量是不共线的非零向量，错误.
故选：BCD
5.已知向量是一个基底，实数满足，则_________．
【答案】3
【分析】
由相等向量可得关于x，y的方程组，解方程组即可.
【详解】因为是一组基底，所以与不共线，因为，
所以，解得，所以.故答案为：3
6.若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ）
A．不可以表示平面内的所有向量；
B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；
C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；
D．若存在实数使，则.
【答案】D
【分析】
根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C.
【详解】
由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；
对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，
那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；
对于C：当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，
或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在，故C错误；
故选：D.
二、基底实战理解：就是坐标轴坐标系
1.共起点基底，理解成坐标轴。不一定是垂直的坐标轴。（可补充球面航海经纬度增加类比理解）
2.两基底所在直线区域，可以按照基底向量剪头方向对照直角坐标系四个象限。
3第3题，原解法涉及到老教材的“线性规划”，根据其概况，建议类比即将学习的圆内点和圆外点知识，适当的扩展一下。
【典型例题】
【例1】如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设=m+n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（ ）
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
【答案】B
【分析】
应用向量的可分解性质，将分解到，所在直线上，结合图形判断参数的符号.
【详解】
如图所示，利用平行四边形法则，将分解到，上，有，
∴=m=n，
显然方向相同，则m>0；方向相反，则n<0．故选：B
【例2】向量，如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接向量的终点并观察图形即可得解.
【详解】
如图，连接向量的终点并指向的终点，于是得，观察图形得
所以等于.故选：C
【例3】如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是（ ）
A． B． C． D．不能求
【答案】A
【分析】由点是由线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，作的平行线，把中、所满足的不等式表示出来，然后作出不等式组所表示的可行域，并计算出可行域
在直线的右下侧部分的面积即可.
【详解】如下图，过作，交的延长线于，交的延长线于，
设，，，，
则，
所以，得，所以.
作出不等式组对应的可行域，如下图中阴影部分所示，
故所求面积为，故选：A.
【例4】设，，是平面内共线的三个不同的点，点是，，所在直线外任意-点，且满足，若点在线段的延长线上，则（ ）
A．， B．， C． D．
【答案】A
【详解】由题可得：，所以可化为：
整理得：，即：又点在线段的延长线上，所以与反向，
所以，故选：A
【例5】．已知E，F分别是的边，的中点，若，则点P在四边形内（包括边界）的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AD
【分析】
由题意可知点P在四边形内（包括边界），则，逐个判断即可求解
【详解】由题意可知点P在四边形内（包括边界），则，
对于A：，满足条件，故A正确；
对于B：，不满足条件，故B错误；
对于C：，不满足条件，故C错误；
对于D：，满足条件，故D正确；
故选：AD
三、基底基础：共线和绕三角形（基础）
1.用基底表示三点向量共线关系
2.绕三角形（基础）
【典型例题】
【例1】已知和不共线，，并且共线，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由向量共线，即存在一个实数使，结合题设列方程组求即可.
【详解】
由题意，有，即，可得.故选：B
【例2】在边长为1的正方形中，为上靠近的三等分点，为的中点.若()，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
以为基底表示出，由此求得，进而求得.
【详解】
，所以.故选：C
【例3】如图，在平行四边形中，E是的中点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量线性运算，即可用基底表示.
【详解】∵，∴.故选：D.
【例4】如图，在平行四边形中，E是的中点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量线性运算，即可用基底表示.
【详解】∵，∴.故选：D.
【例5】如图，在平行四边形中，E是的中点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据图形，利用向量的加，减，数乘运算，即可判断选项.
【详解】
.故选：A
【例6】已知平行四边形中，，，，为的中点，则（ ）（用向量，表示）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量加法的运算性质，结合平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】
，故选：B
【例7】如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段与线段交于圆内一点P，若，则（ ）
A．当P为线段中点时， B．当P为线段中点时，
C．无论取何值，恒有 D．存在
【答案】AC
【分析】
运用向量的加法表示向量，在用用平面向量的基本定理求得和的值，得到答案.
【详解】
由题意，可得，
因为与共线，所以，解得，所以C正确，D错误；
当为线段中点时，则，即，
则且，解得，所以A正确，B错误.
故选：AC.
【对点实战】
1.如图，已知，用，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量加法和数乘运算的几何意义，即可得答案；
【详解】
，故选：A.
2.若点D在的边BC上，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
用基底向量表示，再结合已知并借助平面向量基本定理即可作答.
【详解】
在中，因，则，
而不共线，且有，
于是得，进而得，所以等于.故选：C
3.如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.
【详解】根据题意：又
所以故选：C
4.设分别是的边上的点，且，，，若记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
把作为基底，利用平面向量基本定理逐个求解即可
解：因为，，，，
所以，所以A正确；
，所以B错误；
，所以C正确；
，所以D错误，
故选：AC
5.已知在中，点，分别在边上，，且，，若，则的值为__________.
【答案】
【分析】
利用向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.
【详解】
，因为，
所以，，所以，故答案为：
6.设为基底向量，已知向量，，，若三点共线，则实数的值等于（ ）
A．2 B．－2 C．10 D．－10
【答案】A
【分析】
根据题意得，进而根据三点共线得，再根据向量相等即可列方程求解.
【详解】
∵，，，∴ ，
∵三点共线，∴，即
∵为基底向量∴解得．故选：A
四、基底：绕三角形“中线型”
模型大致如图：
【典型例题】
【例1】已知△ABC的边BC上有一点D满足，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量的线性运算，由题意可得，整理即可得解.
【详解】
由，可得，整理可得，所以，故选：A
【例2】已知为所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得出答案.
【详解】
解：因为为所在平面内一点，，
所以.故选：A．
【例3】在中，是的中点．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减及数乘运算即可求出．
【详解】∵是的中点，∴，∴.故选：C
【例4】如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把作为基底，利用向量的加减法法则和平面向量基本定理把用基底表示出来，从而可得答案
【详解】
解：因为四边形为矩形，且为的中点，
所以，所以，
因为，所以，所以，故选：B
【例5】．如图，在中，、分别为边、的中点. 为边上的点，且，若，，则的值为___________.
【答案】.
【详解】
试题分析：为的中点，，，，，.
【例6】已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
过作，根据平面向量基本定理求得，即可求得与的面积之比.
【详解】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：
由，故，
所以与的面积之比为，故选：D．
【对点实战】
1.在中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
把向量作为基底，根据题意可得为的中点，然后根据向量的加减法法则和平面向量基本定理求解即可
【详解】
解：因为点为对角线上靠近点的三等分点，所以，因为四边形是平行四边形，所以∥，
所以，所以，所以，
,故选：B
2.在三角形中，点，在边上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量的加法、减法线性运算即可求解.
【详解】
，
故选：C.
3.如图，已知，若点满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将化为，整理后，结合题中条件，即可求出从而可得出结果.
【详解】
由得，即，
又，所以，因此.故选：C.
4.在平行四边形中，为的中点，交于点，若，则______．
【答案】
【分析】利用三角形相似可得，然后向量的加减法用表示，再与对比可求出的值，进而可得答案
【详解】由题意知，，
，
∴，∴．故答案为：
5.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可；
【详解】
由题意,
， 故选：D
6.在平行四边形ABCD中O是对角线交点，E是OD的中点，连接AE交CD于F，设，＝，若，则x＝______，y＝______．
【答案】
【分析】
由条件可知，又E、F三点共线，所以设，再由D、F、C三点共线可得，解得，从而表示出，求得x，y．
【详解】
如图：；
因为E是OD中点，O是AC中点，
则；
因为A、E、F三点共线，
所以设，
又因为D、F、C三点共线，
所以，解得；
所以
，所以，
故答案为：；
五、基底：绕三角形“中线上“中线”型”
模型之一如图
【典型例题】
【例1】如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出，得λ＝，μ＝，即得解.
【详解】
因为＋μ，
所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝＋＝.故选：B
【例2】如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把作为基底，利用向量的加减法法则和已知条件，把用基底表示即可
解：因为四边形为平行四边形，对角线与交于点，且，
所以，所以.故选:C.
【例3】在三角形中，点在直线上，且，点在直线上，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算可得的表示形式，从而可求的值.
【详解】
因为，故，故，
所以，故，则，
故选：B.
【例4】如图，在中，， ，若，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
又因为，所以，所以,
可得，所以,即，即.
故选：B.
【例5】如图，在△ABC中， =,P是BN上的一点，若=m+，则实数的值为___________.
【答案】
【详解】因为 =，=m+=
又P是BN上的一点，所以的值为．
【例6】如图，四边形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用，表示.
【详解】
，
．故选：A.
【对点实战】
1.如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在边AD上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出．
解：，点在边上，
，故选：．
2.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.
【答案】
【分析】解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值.
解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值.
解法1：因为，所以，又，所以
因为点三点共线，所以，解得：.
解法2：因为，设，所以，因为，所以，
又， 所以，所以，
又，所以 解得： ，所以.故答案为：.
3.如图所示，在中，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的加法、减法、数乘，利用基底表示所求向量即可.
【详解】
因为，
所以，故选：B
4.在平行四边形中，与交于点，，的延长线与交于点.若，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的线性运算律进行运算.
解：如图所示：由得，由得∽，∴，
又∵，∴，，
故选：B.
5.如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
结合图形，根据向量的线性运算结论用，表示，由此确定正确选项.
【详解】∵ E为线段AD的中点∴ ，又，
∴ ，故选：A.
六、基底：“不正常”型（起点不同的基底）
1.所给基底起点不同。
2.基底起点不同，可以平移，也可以列出“方程式子反解”，还可以用即将学的坐标系设点解决
【典型例题】
【例1】如图，在正方形中，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量的线性运算和平面向量基本定理得到,再与对比,得到1 即可.
【详解】
因为，，
所以，
所以1.故选:C.
【例2】如图所示，在矩形中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出，从而可求.
【详解】,而，故选：A.
【例3】在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且＝，＝，那么为（ ）
A．＋ B．－ C．－ D．－＋
【答案】A
【分析】
根据题意画出示意图，结合向量的线性运算，用基向量表示目标向量即可.
【详解】
根据题意，作图如下：，
整理可得：.故选：.
【例4】已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，，，则下列命题中正确命题为（ ）
A．； B．；
C．； D．
【答案】BCD
【分析】利用向量加法、减法、数乘运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】，A错误.
，B正确.
，C正确.
，D正确.
故选：BCD
【例5】如图，在中，为线段上靠近点的四等分点，若，则______．
【答案】
【分析】
利用向量的加减运算法则得，根据三点共线即可得解.
【详解】
三点共线，所以.故答案为：
【对点实战】
1.在三角形中，已知是的中点，是三角形的重心．设向量，，则向量_______________________(结果用，表示)．
【答案】；
【分析】
由于是三角形的重心，可得的三等分点，从而可得，而是的中点，可得，再利用向量的加减法法则可得结果
解：因为是的中点，所以，因为是三角形的重心，所以，所以，
故答案为：
2.如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________
【答案】　
【分析】解直角三角形求得的长，根据，用表示，由此得到的表达式，从而求出的值，进而求得的值.
【详解】.因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为BC＝3，所以BH＝BC．
因为点M为AH的中点，所以＝＝ (＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
3.如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，，则的值为________．
【答案】
【分析】利用平面向量基本定理分别把向量，用基底{，}表示出，结合得到含有系数，的的基底表示，与直接根据向量的线性运算得到的的基底表示比较，利用向量基本定理中的分解唯一性，即可求出，的关系，进而求得结论．
解：因为，，
所以，
又因为，且，不共线，所以，
两式相加得，显然,所以，故答案为：．
4.如图所示，中，，点E是线段AD的中点，则　　
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．
【详解】如图所示，
，，，，．故选：C．
七、等和线与三点共线
1.等和线原理：
2.等和线计算：
【典型例题】
【例1】已知平面内有、、、四点，其中，，三点共线，且，则________.
【答案】1
【分析】利用平面向量的基本定理计算即可.
【详解】因为，，三点共线，所以存在使得
由
所以即故答案为：1
【例2】如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设=，=，以{，}为基底来表示=____，=_____．
【答案】+
【分析】
由题设图形，结合向量加法的几何意义有、，进而可得、关于{，}为基底的表达式.
【详解】=+(-)=+，
=(-)=+．
故答案为：+，+.
【例3】如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题设易得，利用平面向量的三点共线定理即可求值.
【详解】由题设，，又，，
∴，而共线，
∴，可得.故选：C
【例4】在平行四边形中，，，分别为边，，的中点，，，三点共线.若，则实数的值为______.
【答案】
【分析】
将化为以为基底可得，由，，三点共线可知，计算即可.
【详解】，，，分别为边，，的中点，
,，，三点共线，
，解得：.故答案为：.
【例5】如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由为的重心，可得，结合，，根据三点共线，得到的关系式，即可得到答案
【详解】延长AG交BC与点H, H为BC中点,为的重心，
三点共线,故选:
【例6】在中，点满足，当点在线段上移动时，记，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】BD
【分析】
由可得，再根据点在线段上移动时，可得，再根据二次不等式的范围求解的最小值即可
【详解】
因为，所以．又，点在线段上移动，
所以，则，即，故A错误，B正确
所以，
当时，的最小值是．故C错误，D正确。故选：BD
【例7】在中，分别是边的中点，点是线段上，异于端点的一点，且，则____________.
【答案】
【分析】
利用向量线性运算可化简得到，设，整理可得，由向量不共线可构造方程求得结果.
【详解】
是中点，；同理可得：；
，
三点共线，可设，，
不共线，，解得：，.
故答案为：.
【例8】如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为________．
【答案】3
【分析】设，求出，，再根据P，G，Q三点共线得到，化简即得解.
解：设，由题意知，，由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，
即，从而消去，得．故答案为：3
【例9】如图，中，与交于，设，，，则为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】延长交于点；与交于，点是的重心，
，，
又 ，则为；故答案选A
八、向量最值范围
【典型例题】
【例1】直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点 在过点P的直线上，若，，(，)，则下列结论正确的是（ ）
A．为常数 B．的最小值为3
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】
根据 向量的线性运算和向量共线的推论，逐项分析计算即可得解.
【详解】
由，由共线可得，
对A，由，为常数，正确；
对B，，
当且仅当，即取等号，故B正确；
对C，，
当且仅当，即,此时取等号，故C错误；
对D，，可得，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：ABD.
【例2】在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值是________.
【答案】9
【分析】
利用平面向量共线的结论 , 得到，然后用“1”的代换后，用基本不等式即可解..
【详解】∵是线段上一点,∴三点共线， ∴ m ＋ n = 1 , 且 m > 0 , n > 0 ,
当且仅当 即
又∵ ∴时取等号，的最小值为 9 .故答案为：9
【例3】已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．
【详解】因为是内一点，且所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时
所以，即
当M与C重合时，最大，此时 所以，即
因为在内且不含边界所以取开区间，即。所以选B
【例4】如图，矩形中，，，是对角线上一点，，过点的直线分别交的延长线，,于.若，，则的最小值是（ ）
B． C． D．
【答案】C,设,则，又,所以，因此
，
【例5】已知中，过中线的中点任作一条直线分别交边，于，两点，设，（），则的最小值 ．
【答案】由已知可得
,由
.
【例6】在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为________．
【答案】由，得，即，因为点E在射线AD（不含点A）上移动，所以，又因为，所以，
则（当且仅当，即时取等号）；故填．
九、三角形内分点面积比值型（“奔驰定理”）
三角形内分点结论
【典型例题】
【例1】已知为内一点，，则，的面积之比为______．
【答案】
【分析】取的中点，的中点，然后利用已知化简得到，利用面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，由，得，
取为中点，为中点，则，所以．
故答案为：.
【例2】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
作出图形，结合三点共线性质可得，，同时设，联立解出，进而确定关系，同时满足，进而求出关系，即可求解两三角形面积之比.
【详解】
如图，延长交于，则，因为，，三点共线，所以，即，所以，则，故且，又，故，所以，，所以，所以．
故答案为：C
【例3】在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设AD交BC于E，然后根据条件得到点E的位置，进而根据向量关系得到线段间的比例，最后得出面积比.
【详解】如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得：
，∴，∴.
设，则，∴.
又，∴，∴.故选：B.
【例4】设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设为的中点，由为的中点.则,，由向量线性运算得，则三点共线，且，由此可得题中三角形面积比．
【详解】
由，所以，
设为的中点，由为的中点.则,
所以，则三点共线，且，如图.
所以,则点到的距离是点到的距离的倍.所以.
故选：C.
十、联赛、联考与自主招生题选
【例1】在中，为角的平分线，点在上，为的中点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质推导出，利用平面向量的加法法则可得出，再利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】如下图所示，
根据角平分线的性质可知，点到直线、的距离相等，故，故，
所以，，
为的中点，则，
因此，.故选：C.
【例2】如图1，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
画出图形，结合图形，得出求的最大值时，只需考虑图中以为起点，个顶点为终点向量，分别求出即得结论．根据其对称性，可知最小值，进而可知的取值范围，即可得正确选项.
【详解】
如下图所示，求的最大值，只需考虑下图中以为起点，个顶点为终点向量即可，讨论如下：
当，此时；
当，此时；
当，此时；
当，此时；
当，此时；
当，此时；
所以的最大值为，根据其对称性，可知的最小值为，
则的取值范围为，
由选项判断可知，选项BC正确，故选：BC.
【例3】如图在平行四边形ABCD中，E为CD的中点， ，AE与BF交于O点.若，且AE与BF不垂直，则__________.
【答案】
【分析】
设，分别表示，，利用向量相等求得，然后由求解.
【详解】
设，所以，，，
又，所以，所以，则，
则，解得，所以，因为，
所以,即，因为AE与BF不垂直，所以，
所以，即.故答案为：

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