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6.3.2-6.3.4平面向量的正交分解及加、减、数乘
运算的坐标表示
本节课知识点目录：
向量的正交分解与坐标表示
向量加法、减法运算的坐标表示。
向量数乘运算的坐标表示
向量平行的坐标表示
单位向量与三角换元
定比分点
与均值不等式结合求最值
三角函数恒等变形与向量运算的坐标表示
一、向量的坐标表示
1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
2.正交分解的基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．
3．坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．
4．坐标表示：a＝(x，y)．
5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
6.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
【典型例题】
【例1】已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是（ ）
A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)
【例2】已知点，，向量，则向量（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（3，6） D．（﹣3，﹣5）
【例3】已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
【例4】如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知 分别是方向与x轴正方向 y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例6】在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示__．
【对点实战】
1.已知向量，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.已知点，则向量（ ）
A． B． C． D．
3.已知，A(1，－1)，B(－2，y)，且，求x，y的值．
4.平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________．
二、向量加法、减法运算的坐标表示
1.加法运算：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
2.1.加法运算：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
即a-b＝(x1-x2，y1-y2)
【典型例题】
【例1】已知，，那么=（ ）
A．（2，2） B．（3，0） C．（4，1） D．（3，2）
【例2】已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【例4】若，，，则=（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【例5】已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（ ）
A．（－7，－4） B．（7，4）
C．（－1，4） D．（1，4）
【例6】在平行四边形中，为一条对角线．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【例7】在平行四边形中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【例8】已知作用在原点的三个力，，，求它们的合力的坐标．
【对点实战】
1.已知向量，，则向量（ ）
A． B． C． D．
2.设向量，，则（ ）
A． B． C． D．
3.设，，则（ ）.
A． B． C． D．
4.在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ）
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
5.在平行四边形中，,,则点的坐标为
A． B． C． D．
6.如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标.
在平面直角坐标系中，的三个顶点是A(3，2)，，，D是BC的中点，求的坐标．
三、向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
【典型例题】
【例1】若，，则
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________；
（6）________．
【例2】已知点，，且，，求，两点及的坐标．
【例3】已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【例4】已知，，点是线段上的点，且，则点的坐标为.
A． B． C． D．
【例5】已知，若，则点的坐标为（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【对点实战】
1已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A． B．
C．(3，2) D．(1，3)
2.已知点M(5，－6)和向量，若，则点N的坐标为（ ）
A．(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
3.已知平面向量a＝(－2,0)，b＝(－1，－1)，则a－2b等于(　　)
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－1,2) D．(1，－2)
4.已知向量，，，则________．
四、向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．
【典型例题】
【例1】已知向量，若，则实数等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例2】已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知向量，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．与可以作为一组基底
C． D．与方向相反
【例4】已知向量，，设，，若∥，则实数k的值为（ ）
A．－1 B．－ C． D．1
【例5】已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（ ）
A． B．
C． D．
【例6】已知向量，，，中，相互平行的向量是______．
【例7】过不同两点，的直线l的一个方向向量坐标为，则实数m的值为______________．
【对点实战】
1.已知向量，，且与平行，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
2.已知平面向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．2
3.向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为（ ）
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
4.已知向量，，若与平行，则实数________
5.已知向量，，当实数k为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向的还是反向的．
6.已知向量，，，．
（1）写出平面向量基本原理的内容，并由此说明能否成为一组基底；
（2）若对于任意非0实数t，与均不共线，求实数k的取值范围．
五、单位向量与三角换元
单位向量的坐标：
（1）
（2）显然满足：
【典型例题】
【例1】若向量，则与其平行的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【例2】.已知，，是的单位向量，则的坐标为___________.
【例3】已知点，点，则与共线的单位向量为______.
【例4】如图，以为直径在正方形内部作半圆，为半圆上与不重合的一动点，下面关于的说法正确的是
A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值
C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值
【例5】已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为________.
【例6】在中，，，点，为所在平面内的一点，且满足，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例7】如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则
A． B． C． D．
【对点实战】
1.已知向量，向量，则与向量方向相同的单位向量的坐标为________．
2.已知两点，，则与向量同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
3.设，为单位向量，则的最大值是________
六、定比分点
课本P32例题9，涉及到求中点、三等分点，属于扩展的“定比分点”知识，所以授课时适当的增加定比分点知识以及定比分点推导公式
1.定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，则点坐标为，我们称为点分所成的比.
2.内分点和外分点：
①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；
②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.
3.若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；
特别地为的中点.
4.公式较复杂，不容易记忆，授课时可以利用向量关系推导。，
【典型例题】
【例1】已知，则线段的中点坐标为___________.
【例2】已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ）
A．或 B．
C． D．或
【例3】已知，，，点分的比为，点在线段上，且，求点的坐标.
【例4】已知点，，若直线与线段交于点C，且，则实数______．
【例5】已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______．
【例6】设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
【例7】已知点分的比为，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例8】已知向量，且点分有向线段所成的比为，则的坐标是
A．( B． C． D．
【对点实战】
1.在△ABC 中，已知，，若，则的坐标为_______.
2.已知，，，则P的坐标为______．
3.（1）已知，，三点共线，求的值；
（2）在（1）的条件下求线段的两个三等分点的坐标.
4,在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5.若点P分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比为
A．3 B． C． D．
6.若过两点P1(-1,2)，P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为
(A)－ (B) － (C) (D)
7.已知两点，点 分有向线段的比为，则的值为(　　)
A．－，8 B．，－8
C．－，－8 D．4，
8.设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则称，调和分割，．现已知平面上两点C，D调和分割A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．点C可能是线段的中点
B．点D不可能是线段的中点
C．点C，D可能同时在线段上
D．点C，D不可能同时在线段的延长线上
七、与均值不等式结合求最值
向量坐标表示与均值不等式结合
【典型例题】
【例1】设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【例2】已知向量，且，当，时，的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【例3】已知向量，若，则的最小值为（ ）.
A．12 B． C．16 D．
【对点实战】
1.已知向量，且，若实数均为正数，则的最小值是（ ）
A．24 B． C． D．8
2.已知向量，，，，若，则的最小值______.
八、三角函数恒等变形与向量运算
【典型例题】
【例1】已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知两个向量，则的最大值是
A． B． C． D．
【例3】已知向量，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例5】设两个向量和＝，其中为实数.若，则的取值范围是________.
【例6】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，，，.若向量与向量共线，常数，求的值域.
【例7】已知两个向量，满足，.
（1）若，求的值；
（2）设，将图像上所用点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，再把所得函数图像上的所有点，向右平移个单位，得到函数的图像.求当时值域.
【对点实战】
1.已知向量，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
2.设向量，，若，则___________.
3.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5.设点O为坐标原点，角，...，的始边与x轴非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边上分别有一点，...，，若，则+++...+（ ）
A． B． C． D．
6.3.2-6.3.4平面向量的正交分解及加、减、数乘
运算的坐标表示
本节课知识点目录：
向量的正交分解与坐标表示
向量加法、减法运算的坐标表示。
向量数乘运算的坐标表示
向量平行的坐标表示
单位向量与三角换元
定比分点
与均值不等式结合求最值
三角函数恒等变形与向量运算的坐标表示
一、向量的坐标表示
1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
2.正交分解的基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．
3．坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．
4．坐标表示：a＝(x，y)．
5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
6.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
【典型例题】
【例1】已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是（ ）
A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)
【答案】C
【分析】利用向量的坐标运算求解即可
【详解】因为A(3，1)，B(2，－1)，
所以＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．故选：C
【例2】已知点，，向量，则向量（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（3，6） D．（﹣3，﹣5）
【答案】A
【分析】
根据条件利用向量的减法和向量的坐标运算即可得解．
【详解】
设点，所以，即，解得，
于是得点，因此，，所以向量.故选：A
【例3】已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
【答案】C
【分析】设点的坐标为，根据，列出方程组，即可求解.
【详解】设点的坐标为，则，，
因为，即，所以，解得，所以
故选：C.
【例4】如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知点坐标写出的坐标，根据平面向量的基本定理，可写出表示的代数形式.
【详解】
由题意知：，∴.故选：A.
【例5】已知 分别是方向与x轴正方向 y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由向量的正交分解可得点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限.
【详解】
由题意得：
， 位于第四象限。故选：D.
【例6】在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示__．
【答案】
【分析】
根据平面向量的基本定理，结合已知基底，即可确定向量的坐标.
【详解】
在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示．
故答案为：．
【对点实战】
1.已知向量，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点的坐标为，则，再结合可求出的值，从而可求得点的坐标
【详解】
解：设点的坐标为，则，因为，所以，得，
所以点的坐标为，故选：B
2.已知点，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算直接得解.
【详解】，，故选：A
3.已知，A(1，－1)，B(－2，y)，且，求x，y的值．
【答案】，
【分析】根据向量的坐标表示列出关于的方程组解出即可.
【详解】
因为，
所以，即.
4.平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________．
【答案】
【分析】
根据向量的正交分解直接可得答案.
【详解】因为点，所以
故答案为：
二、向量加法、减法运算的坐标表示
1.加法运算：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
2.加法运算：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
即a-b＝(x1-x2，y1-y2)
【典型例题】
【例1】已知，，那么=（ ）
A．（2，2） B．（3，0） C．（4，1） D．（3，2）
【答案】D
【分析】
由向量加法的坐标运算即可求解.
解：因为，，所以，故选：D.
【例2】已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标的线性运算求的坐标.
【详解】由题设，.故选：C.
【例3】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量减法法则计算．
【详解】故选：A.
【例4】若，，，则=（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据向量的加减运算求解.
【详解】∵∴故选：A.
【例5】已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（ ）
A．（－7，－4） B．（7，4）
C．（－1，4） D．（1，4）
【答案】A
【分析】首先设，根据得到，再求的坐标即可.
【详解】设，则
所以，，即.所以.故选：A
【例6】在平行四边形中，为一条对角线．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用加法求.
【详解】
在平行四边形中， ，，所以，
所以.故选：B
【例7】在平行四边形中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量加减的坐标表示结合图示计算出的坐标.
【详解】
因为，所以.故选：C.
【例8】已知作用在原点的三个力，，，求它们的合力的坐标．
【答案】
【分析】
根据向量的几何意义和力的合成，只需将三个力的坐标相加，即可得到它们的合力．
【详解】
解：根据力的合成的意义，可知
．
故合力的坐标为．
【对点实战】
1.已知向量，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算法则求解.
【详解】因为向量，，所以故选：A.
2.设向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量减法的定义及坐标运算即可解得.
【详解】
.故选：B.
3.设，，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量坐标的减法运算可得答案.
【详解】因为，，
所以.故选：A
4.在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ）
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
【答案】A
【分析】利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.
【详解】
在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以.又，所以，，所以.故选:A.
5.在平行四边形中，,,则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求,再求,即可求D坐标
【详解】
，∴，则D(6,1)
故选A
6.如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标.
【答案】，
【分析】
依题意，分别是，角的终边与单位圆的交点，设，．由三角函数的定义，求出、的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得.
解：由题知，分别是，角的终边与单位圆的交点．设，．由三角函数的定义，
得，，∴．，，∴．
∴，．
∴，
7.在平面直角坐标系中，的三个顶点是A(3，2)，，，D是BC的中点，求的坐标．
【答案】
【分析】
根据中点坐标公式求出点D的坐标，从而可求出向量的坐标．
【详解】因为，，所以，
又因为A(3，2)，所以.故答案为：.
三、向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
【典型例题】
【例1】若，，则
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________；
（6）________．
【答案】； ； ； ； ； .
【分析】
根据向量线性运算的坐标表示即可求出答案.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，，所以；
（4）因为，，所以；
（5）因为，，所以；
（6）因为，，所以.
故答案为：；；；；；.
【例2】已知点，，且，，求，两点及的坐标．
【答案】，.
【分析】
根据数乘运算求出和的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减起点坐标即可求出的坐标.
【详解】
因为，，
所以，，
所以，.
【例3】已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
设点P的坐标为，表示出，的坐标，由且P在直线上，故分或两种情况讨论，根据向量相等得到方程组，解得．
解：设点P的坐标为，，则，．
由且点P在直线上，得或．
∴或解得或
∴点P的坐标为或．故选：
【例4】已知，，点是线段上的点，且，则点的坐标为.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
试题分析： 设，则，，
【例5】已知，若，则点的坐标为（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【答案】D
【分析】
设，根据平面向量的坐标运算得出，再根据，列出方程组可求出，从而得出点的坐标.
解：设，则，，根据，得，
即，解得：，所以点的坐标为.故选：D.
【对点实战】
1已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A． B．
C．(3，2) D．(1，3)
【答案】A
【分析】
先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，由横坐标和纵坐标分别相等，得到结果．
【详解】
设顶点的坐标为，，且，
故选：．
2.已知点M(5，－6)和向量，若，则点N的坐标为（ ）
A．(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
【答案】A
【分析】
N(x，y)，由题意结合向量相等的坐标表示即可求解
【详解】设N(x，y)，由，
可得(x－5，y＋6)＝(－3，6)，∴x＝2，y＝0.故选：A
3.已知平面向量a＝(－2,0)，b＝(－1，－1)，则a－2b等于(　　)
A．(1,2) B．(－1，－2)
C．(－1,2) D．(1，－2)
答案:A
解析:a－2b＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．
4.已知向量，，，则________．
【答案】
【分析】
由列方程组可求出的值
【详解】因为，，，
所以，所以，解得，故答案为：
四、向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．
【典型例题】
【例1】已知向量，若，则实数等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
利用平面向量的共线的坐标表示即可求解.
【详解】由题意可得，解得.故选：C
【例2】已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出的坐标，进而根据平面向量平行的坐标运算求得答案.
【详解】
由题意，，因为，所以.
故选：A.
【例3】已知向量，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．与可以作为一组基底
C． D．与方向相反
【答案】B
【分析】由条件可得，然后逐一判断即可.
【详解】因为，，所以；
所以，，A、C正确；
与不可以作为一组基底，B错误；
，所以与方向相反，D正确；故选：B
【例4】已知向量，，设，，若∥，则实数k的值为（ ）
A．－1 B．－ C． D．1
【答案】B
【分析】由向量平行的坐标关系即求.
【详解】∵＝(1，2)，＝(0，1)，
∴，，
∴即.故选：B
【例5】已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题首先可设点的坐标为，然后通过题意得出，再然后写出、，最后通过向量平行的相关性质即可列出算式并通过计算得出结果.
【详解】设点的坐标为，因为、、三点共线，所以，因为，，所以，，则，整理得，
将、、、代入中，只有满足，故选：C.
【例6】已知向量，，，中，相互平行的向量是______．
【答案】
【分析】
利用向量共线的坐标表示即得.
【详解】∵向量，， ∴，
∴，又， ∴，所以与不共线，
又∴，∴，
故答案为：
【例7】过不同两点，的直线l的一个方向向量坐标为，则实数m的值为______________．
【答案】-2
【分析】
由，，结合向量平行的关系即可求解.
【详解】由题知，，设直线的方向向量为，则，
即，得，解得或，
当时，，显然不满足题意，排除，当时，，符合题意.
故答案为：
【对点实战】
1.已知向量，，且与平行，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】
求出与的坐标，再借助向量共线的坐标表示列式计算即得.
【详解】因向量，，则，，
又与平行，于是得，解得，所以.故选：C
2.已知平面向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据，利用平面向量的共线向量定理求解.
【详解】因为向量，，，所以，
因为，所以，解得，故选：B．
3.向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为（ ）
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
【答案】C
【分析】求出的坐标即得解.
【详解】由题得＝(4－k，－7)，＝(6，k－5)，
由题知，故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2.故选：C
4.已知向量，，若与平行，则实数________
【答案】##
【分析】根据平面向量的坐标进行运算与共线定理，列方程即可求出.
【详解】，，，
∥，，.故答案为：
5.已知向量，，当实数k为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向的还是反向的．
【答案】,同向
【分析】求出向量与的坐标，利用平行的坐标表示列式计算可得实数k的值，在通过确定中的正负来判断同向的还是反向.
【详解】由已知，，
因为向量与平行，，解得，此时，
，则向量与同向.
6.已知向量，，，．
（1）写出平面向量基本原理的内容，并由此说明能否成为一组基底；
（2）若对于任意非0实数t，与均不共线，求实数k的取值范围．
【答案】（1）平面向量基本原理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任意向量，有且仅有一对实数，使得；可以成为一组基底；（2）.
【分析】
（1）根据平面向量基本原理即可得到答案；
（2）先假设与共线，然后建立等式关系，若不共线，则等式不成立，进而通过分参求出答案.
【详解】
（1）平面向量基本原理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任意向量，有且仅有一对实数，使得.
因为，所以不共线，可以成为一组基底.
（2）若与共线，则存在，使得，化简得：，
而与均不共线，所以对于任意非0实数t，方程无实根，
所以，因为，所以.
五、单位向量与三角换元
单位向量的坐标：
（1）
（2）显然满足：
【典型例题】
【例1】若向量，则与其平行的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用与已知向量平行的单位向量为，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，向量，可得，
所以与已知向量平行的单位向量为.故选：C.
【例2】.已知，，是的单位向量，则的坐标为___________.
【答案】
【分析】直接利用向量的线性运算，单位向量的应用求出结果.
解：已知，，则，
故向量的单位向量为故答案为：.
【例3】已知点，点，则与共线的单位向量为______.
【答案】或
【分析】
求出和，即可写出与共线的单位向量.
解：点，点，所以，所以，
所以与共线的单位向量为，
即或.故答案为：或
【例4】如图，以为直径在正方形内部作半圆，为半圆上与不重合的一动点，下面关于的说法正确的是
A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值
C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值
【答案】D
【详解】
设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，
则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）
,
∵cosθ∈（-1，1），∴∈（4，16）.故选D
【例5】已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】
以A点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设 ,根据向量的坐标运算和向量的模可得 ,再根据三角函数的性质即可求出范围.
解：以点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则 ,
,不妨设,
,
,,
的取值范围为：.故答案为：
【例6】在中，，，点，为所在平面内的一点，且满足，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，建立平面直角坐标系，由，根据向量坐标运算求出的坐标，设，由，得出点满足，根据圆的参数方程，可设点，根据，得出，最后利用化一公式和三角函数求最值，即可得出的最大值.
解：由题意，以原点，，所直线为轴，轴建立直角坐标系，
则，，，，，设，因为，
所以点满足，则可设点，则由，得，所以，
则的最大值为.故选：A.
【例7】如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可.
【详解】如图所示，以O为原点，OB为x轴，建立直角坐标系，
，，即，，，即，又，，
，解得，，故选：B
【对点实战】
1.已知向量，向量，则与向量方向相同的单位向量的坐标为________．
【答案】
【分析】
先求出的坐标和模，再根据单位向量的定义即可求得.
【详解】
，∴与方向相同的单位向量为.
故答案为：
2.已知两点，，则与向量同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由A、B的坐标求得，再求出即可.
【详解】因为，所以，
所以与同向的单位向量为.故选：A
3.设，为单位向量，则的最大值是________
【答案】
【分析】
用坐标表示，，化简，利用柯西不等式求得最大值.
【详解】
依题意，为单位向量，设，
则
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
六、定比分点
课本P32例题9，涉及到求中点、三等分点，属于扩展的“定比分点”知识，所以授课时适当的增加定比分点知识以及定比分点推导公式
1.定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，则点坐标为，我们称为点分所成的比.
2.内分点和外分点：
①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；
②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.
3.若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；
特别地为的中点.
4.公式较复杂，不容易记忆，授课时可以利用向量关系推导。，
【典型例题】
【例1】已知，则线段的中点坐标为___________.
【答案】
【分析】
由题意利用向量的坐标运算求出点的坐标，再根据中点坐标公式，即可求出结果．
【详解】设因为，所以，即，
所以，所以，∵，则线段的中点坐标为，
故答案为：．
【例2】已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】A
【分析】
由条件可知，或，再转化利用向量，表示，最后代入坐标运算.
【详解】
由线段的一个三等分点为，得或，若，则，所以；若，则，所以.
故选:A.
【例3】已知，，，点分的比为，点在线段上，且，求点的坐标.
【答案】
【分析】
先通过与面积的比，以及它们高的比，求出它们底边的比，即与的比，可得到，设出点坐标，将用坐标表示，列方程可求出点的坐标．
【详解】
解：如图，设点的坐标为，点到的距离为，点到的距离为，
由平行线分线段成比例得：，，，
，，，解得：，
点的坐标为．
【例4】已知点，，若直线与线段交于点C，且，则实数______．
【答案】4
【分析】设点为，则由，可求得，即，再将点的坐标代入直线可求得的值
【详解】设点为，则，，因为，
所以，所以，得，
所以点，因为点在直线上，所以，解得，故答案为：4
【例5】已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______．
【答案】
【分析】
由向量的减法法则及向量的坐标运算即得.
【详解】∵点P在延长线上，且，∴，
∴即，又，，
∴.故答案为：.
【例6】设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
【答案】（1）.（2）或.
【分析】（1）根据即可求出点P的坐标；
（2）通过分类讨论，点P满足两种情况或，然后利用向量加法的三角形法则即可求出答案.
解（1）如图，由向量的线性运算可知,
所以点P的坐标是.
（2）
当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，若，如图(1)，那么
，即点P的坐标是.
同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是.
【例7】已知点分的比为，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由点分的比为得,再将化为,由此可得答案.
【详解】
因为点分的比为,所以,
由得,得,得,
所以,解得.故选:D.
【例8】已知向量，且点分有向线段所成的比为，则的坐标是
A．( B． C． D．
【答案】C
【分析】
设出点的坐标，利用向量共线列方程，由此解得.
【详解】
设，依题意，即，所以，解得.过于.
【对点实战】
1.在△ABC 中，已知，，若，则的坐标为_______.
【答案】
【分析】由题意知是线段的中点，根据向量加法的几何意义有，结合向量线性运算的坐标表示求的坐标.
【详解】由题设，点是线段的中点，
∴.故答案为：
2.已知，，，则P的坐标为______．
【答案】
【分析】
根据向量线性运算的坐标表示计算．
【详解】设，由得，
即，解得．故答案为：．
3.（1）已知，，三点共线，求的值；
（2）在（1）的条件下求线段的两个三等分点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由三点共线可得，写出与，然后列方程组求解；（2）先计算出，设线段的两个三等分点为，计算出向量和，即可得的坐标.
【详解】
（1）因为，，三点共线，所以可得，又，，所以，所以的值为.
（2）由（1）得，，设线段的两个三等分点为，则，，所以，所以线段的两个三等分点的坐标为.
4,在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果.
【详解】由题意知：是的重心，设，则有解得
故.故选：C
5.若点P分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比为
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】
考点：线段的定比分点．
分析：本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法一般是，画出满足条件的图象，根据图象分析分点的位置：是内分点，还是外分点；在线段上，在线段延长线上，还是在线段的反向延长线上．然后代入定比分点公式进行求解．
解：本小题主要考查线段定比分点的有关计算．
如图可知，B点是有向线段PA的外分点
λ=-=，故选D．
6.若过两点P1(-1,2)，P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为
(A)－ (B) － (C) (D)
【答案】A
【解析】设P (x,0)，则。
7.已知两点，点 分有向线段的比为，则的值为(　　)
A．－，8 B．，－8
C．－，－8 D．4，
【答案】C
【分析】
由定比分点坐标公式,代入即可求得
【详解】依题意由定比分点坐标公式,可得的值.
,解方程可得所以选C
8.设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则称，调和分割，．现已知平面上两点C，D调和分割A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．点C可能是线段的中点
B．点D不可能是线段的中点
C．点C，D可能同时在线段上
D．点C，D不可能同时在线段的延长线上
【答案】BD
【分析】由题意设，，，，结合已知条件得，根据选项考查的解，用排除法选择答案即可.
【详解】由已知不妨设，，，，
由C，D调和分割A，B 可知，，，
代入得( )
对于AB，若C是线段AB的中点，则，代入( )得，d不存在，故C不可能是线段AB的中点，同理D不可能是线段的中点，故A错误，B正确；
对于C， 若C，D同时在线段AB上，则，代入( )得，，
此时C和D点重合，与已知矛盾，故C错误；
对于D，若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，，则，这与矛盾，所以C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确；
故选：BD.
七、与均值不等式结合求最值
向量坐标表示与均值不等式结合
【典型例题】
【例1】设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】
根据向量共线定理可得，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，，，A，B，C三点共线，
∴且，则，可得，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.故选：A
【例2】已知向量，且，当，时，的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】
根据平面向量的共线定理得出，再利用基本不等式求出的最小值．
解：向量，且，所以，即；
当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9．
故选：．
【例3】已知向量，若，则的最小值为（ ）.
A．12 B． C．16 D．
【答案】B
【分析】
根据向量的平行关系，得到间的等量关系，再根据“”的妙用结合基本不等式即可求解出的最小值.
【详解】
因为，所以，所以，
又因为，
取等号时即，所以.故选：B.
【对点实战】
1.已知向量，且，若实数均为正数，则的最小值是（ ）
A．24 B． C． D．8
【答案】D
【分析】
根据向量共线得等量关系，再根据基本不等式求最值.
【详解】
所以
当且仅当时取等号,
故选：D
2.已知向量，，，，若，则的最小值______.
【答案】
【分析】
首先根据向量平行的坐标表示得到，再根据“1”的变形，利用基本不等式求最值.
【详解】
，，
，
当且仅当，即时，等号成立.故答案为：
八、三角函数恒等变形与向量运算
【典型例题】
【例1】已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用题中的定义，可先计算，，结合已知，利用向量的减法，可求点坐标
【详解】由已知可得，，将点，绕点沿逆时针方向旋转，
得，，，故选：．
【例2】已知两个向量，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量的线性运算得2的表达式，再由向量模的求法，逆用两角差的正弦公式进行化简，即可求出答案．
解：∵向量，∴2（2cosθ，2sinθ+1），∴
＝4﹣4cosθ+4sinθ+4＝8sin（θ）+88+8＝16，当sin（θ）＝1时，取“＝”，
∴的最大值为4．故选C．
【例3】已知向量，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的共线关系求解出的值，然后利用两角差的正切公式计算出的值.
【详解】
因为，所以，所以，又因为，
故选：A.
【例4】已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量平行可构造方程求得，由同角三角函数关系求得；根据诱导公式可求得结果.
【详解】
，解得：
故选：
【例5】设两个向量和＝，其中为实数.若，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
由可得，且，整理得，结合三角函数和二次函数性质求出范围，即可得范围，同时将代换成关于表达式，即可求解.
【详解】∵2＝，，∴，且，
∴，即，又∵，，∴，∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
解得≤m≤2，∴，又∵λ＝2m－2，∴，∴，
∴的取值范围是.故答案为：.
【例6】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，，，.若向量与向量共线，常数，求的值域.
【答案】）当时的值域为.时的值域为.
【详解】
分析：由已知表示出向量，结合向量与向量共线，常数，建立的表达式，代入 ，对分类讨论，综合三角函数和二次函数的图象与性质，即可求出值域.
详解：
（2），∵向量与向量共线，常数，
∴，
∴ .
①当即时，当时，取得最大值，
时，取得最小值，此时函数的值域为.
②当即时，当时，取得最大值，
时，取得最小值，此时函数的值域为.
综上所述，当时的值域为.
时的值域为.
【例7】已知两个向量，满足，.
（1）若，求的值；
（2）设，将图像上所用点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，再把所得函数图像上的所有点，向右平移个单位，得到函数的图像.求当时值域.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由平面向量共线的坐标表示得到，即可得到，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
（2）首先根据向量数量积的坐标表示求出，即可得到，再根据三角函数的变换规则得到，最后根据正弦函数的性质求出函数的值域；
【详解】
解：（1）因为，且，所以，即，所以
（2）因为，
所以， 又
所以，将图像上所用点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，
得到，
再将函数的图像上的所有点，向右平移个单位，得到.
因为，所以，所以，所以
【对点实战】
1.已知向量，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量平行得到，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】
向量，且，则..
故选：.
2.设向量，，若，则___________.
【答案】
【分析】根据向量平行的坐标表示可求结果.
【详解】因为，所以，所以.故答案为：
3.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
表示出向量后，根据平面向量旋转公式可求得，由此可求得点坐标.
【详解】
，，，点绕点沿顺时针方向旋转等价于点绕点沿逆时针方向旋转，，.
故选：C.
4.设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，求得的坐标．
【详解】
根据题意，设，向量与轴正方向的夹角为，
又由点的坐标为，则，，
向量绕着点顺时针旋转后得到，则，．
而，
，
故的坐标为，故选：B
5.设点O为坐标原点，角，...，的始边与x轴非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边上分别有一点，...，，若，则+++...+（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量的坐标的定义和三角函数的定义求得，然后利用正弦函数的性质求解．
【详解】
因为，所以是射线上的点，
，所以，
所以+++...+
．故选：A．

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