资源简介

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：平面的法向量及其求法
重点题型二：利用向量方法证明线线平行
重点题型三：利用向量方法证明线面平行
重点题型四：利用向量方法证明面面平行
重点题型五：利用向量方法证明线线垂直
重点题型六：利用向量方法证明线面垂直
重点题型七：利用向量方法证明面面垂直
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：用向量表示点、直线、平面的位置
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即
3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①
或②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4、用向量表示空间平面的位置
根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.
知识点二：平面的法向量及其应用
1、平面法向量的概念
如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．
2、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取)
得结论：得到平面的一个法向量.
知识点三：空间中直线、平面的平行
设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则
线线平行 ()
线面平行
面面平行
知识点四：空间中直线、平面的垂直
设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则
线线垂直
线面垂直
面面垂直
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）直线l的方向向量是唯一的．( )
（2）若点A，B是平面上的任意两点，是平面的法向量，则．( )
（3）若向量为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )
2．（2022·全国·高二课时练习）设平面法向量为，平面的法向量为，若，则k等于( )
A．2 B． C．4 D．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是直线的一个方向向量．若，则( )
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是( )
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知两平面，的法向量分别为，，则平面，的位置关系为_________．
6．（2022·全国·高二单元测试）若直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面的位置关系是__________________．
重点题型一：平面的法向量及其求法
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4） B．（，1，）
C．（2，，1） D．（1，2，）
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）
例题3．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，．
建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标；
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知向量，，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面，写出平面的一个法向量______．
4．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，.
(1)建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标；
重点题型二：利用向量方法证明线线平行
典型例题
例题1．在棱长为1的正方体中，为的中点，、是正方体表面上相异两点．若、均在平面上，满足，．判断与的位置关系；
例题2．如图，在正方体中，点，分别在线段，上，且，，为棱的中点．求证：．
例题3．在长方体中，，，，点在棱上，且，点在上，且，点，分别为，的中点.求证：.
重点题型三：利用向量方法证明线面平行
典型例题
例题1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面：
例题2．已知正方体中，棱长为，是棱的中点.求证：平面.
例题3．如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，．求证：平面．
同类题型归类练
1．如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？
2．如图，在四棱锥中，平面ABCD．，四边形ABCD满足，，，点M为PC的中点，求证：平面PAB．
3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E是的中点，，.求证：平面；
重点题型四：利用向量方法证明面面平行
典型例题
例题1．如图，正方体中，、分别为、的中点．
用向量法证明平面平面；
例题2．如图，已知棱长为4的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，求证：平面∥平面.
同类题型归类练
1．如图，在正方体中，点E，F，G，H，M，N分别是该正方体六个面的中心，求证：平面平面HMN．
2．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：
（1）PB//平面EFG；
（2）平面EFG//平面PBC.
重点题型五：利用向量方法证明线线垂直
典型例题
例题1．在棱长为1的正方体中， 分别是棱 上的动点，且.
求证：；
例题2．已知空间四边形中，，求证：.
例题3．如图，已知长方体中，，判断满足下列条件的点，是否存在：.
同类题型归类练
1．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．证明：.
2．如图，在空间直角坐标系Axyz中，底面ABCD为矩形，P（0，0，2），．
（1）求证：；
3．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
5．如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.
求证:(1)BC1⊥AB1.
重点题型六：利用向量方法证明线面垂直
典型例题
例题1．如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求证：平面.
例题2．在棱长为1的正方体中，分别是 的中点.
(1)判断向量与 是否共面；
(2)求证：平面.
例题3．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，分别是棱的中点.求证：平面；
同类题型归类练
1．如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
2．如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．
3．如图，在直三棱柱中，，，，点E在棱上，，D，F，G分别为，，的中点，EF与相交于点H．
(1)求证：平面ABD．
4．如图，在多面体中，四边形是梯形，四边形为矩形，面，，，．
(1)求证：平面；
(2)点为线段的中点，求证面．
重点题型七：利用向量方法证明面面垂直
典型例题
例题1．如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角.
（1）平面；
（2）平面平面.
例题2．已知正方体中，为棱上的动点．
（1）求证：；
（2）若平面平面，试确定点的位置．
同类题型归类练
1．如图，四棱锥中，底面，E为棱上的点，且．
（1）证明：平面平面；
2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面．
3．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面.
4．如图所示，在直三棱柱中，，，，点为的中点，证明：平面平面.
1．（2022·全国·高考真题（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
2．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
3．（2022·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
4．（多选）（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）如图，正方体的棱长为 ，线段上有两个动点，，且，以下结论正确的有（ ）
A．
B．正方体体积是三棱锥的体积的6倍
C．
D．异面直线，所成的角为定值
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：平面的法向量及其求法
重点题型二：利用向量方法证明线线平行
重点题型三：利用向量方法证明线面平行
重点题型四：利用向量方法证明面面平行
重点题型五：利用向量方法证明线线垂直
重点题型六：利用向量方法证明线面垂直
重点题型七：利用向量方法证明面面垂直
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：用向量表示点、直线、平面的位置
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即
3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①
或②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4、用向量表示空间平面的位置
根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.
知识点二：平面的法向量及其应用
1、平面法向量的概念
如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．
2、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取)
得结论：得到平面的一个法向量.
知识点三：空间中直线、平面的平行
设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则
线线平行 ()
线面平行
面面平行
知识点四：空间中直线、平面的垂直
设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则
线线垂直
线面垂直
面面垂直
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）直线l的方向向量是唯一的．( )
（2）若点A，B是平面上的任意两点，是平面的法向量，则．( )
（3）若向量为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )
【答案】 × √ √
（1）由于向量的模唱没有确定，所以直线l的方向向量有无数个；
（2）由平面法向量概念可知正确；
（3）由向量为平面的法向量，所以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行，正确.
2．（2022·全国·高二课时练习）设平面法向量为，平面的法向量为，若，则k等于( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
由题可知：，所以
故选：C
3．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是直线的一个方向向量．若，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
由题可知：
故选：D
4．（2022·全国·高二课时练习）若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是( )
A． B． C． D．
【答案】C
对A，，不符合
对B，，不符合
对C，，符合
对D，，不符合
故选：C
5．（2022·全国·高二课时练习）已知两平面，的法向量分别为，，则平面，的位置关系为_________．
【答案】垂直
由题可知：，所以
所以平面，的位置关系为垂直
故答案为：垂直
6．（2022·全国·高二单元测试）若直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面的位置关系是__________________．
【答案】平行
由题可知：，所以，所以直线l与平面的位置关系是平行
故答案为：平行
重点题型一：平面的法向量及其求法
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4） B．（，1，）
C．（2，，1） D．（1，2，）
【答案】B
解：设正方体的棱长为2，则，，
∴，
设向量是平面的法向量，
则取，得，
则是平面的一个法向量，
结合其他选项，只需和共线即可，
检验可知，ACD选项均不与共线.
所以能作为平面的法向量只有选项B
故选：B．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
解：，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以，
所以平面的法向量可以是.
故答案为：（答案不唯一）.
例题3．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，．
建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标；
【答案】解法1：在底面ABCD内，过D作于E，
∵ABCD为平行四边形，∴，
又∵平面ABCD，∴，，
以D为坐标原点，DE，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，则平面PCD的一个法向量为；
解法2：在△ADB内，有，，，
所以，
故，∴，
又∵平面ABCD，∴，，
以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，
，，∴，，
设平面PCD的法向量，
则，
令，得，，
所以平面PCD的一个法向量的坐标为；
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）过空间三点，，的平面的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，．
设平面的法向量为．
由题意知，，
所以，解得，
令，得平面的一个法向量是．
故选：A
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知向量，，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设平面的法向量为，
则 ，令，可得，
即平面的法向量为.
故选：D.
3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面，写出平面的一个法向量______．
【答案】（答案不唯一）
设法向量为，
则有，
令得：，所以
故答案为：
4．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，.
(1)建立空间坐标系，写出平面的一个法向量的坐标；
【答案】(1)空间坐标系见解析，平面的一个法向量
证明：因为平面，平面，平面，
所以，，
又由，所以、、两两垂直，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，，所以，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量，
则，取，可得，即，
所以平面的一个法向量的坐标为.
重点题型二：利用向量方法证明线线平行
典型例题
例题1．在棱长为1的正方体中，为的中点，、是正方体表面上相异两点．若、均在平面上，满足，．判断与的位置关系；
【答案】(1)PQ与BD的位置关系是平行
以D为原点，以射线DA，DC，分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系，，，．
因为P、Q均在平面上，所以设，，
则，，．
因为，，
所以
解得:
所以，，
即，，
所以PQ与BD的位置关系是平行．
例题2．如图，在正方体中，点，分别在线段，上，且，，为棱的中点．求证：．
【答案】证明见解析
证明：．
因为，，
所以，
，
．
又因为P为中点，
所以，
从而与为共线向量．
因为直线MN与BP不重合，
所以．
例题3．在长方体中，，，，点在棱上，且，点在上，且，点，分别为，的中点.求证：.
【答案】证明见解析.
证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
则，分别为MN，RS的方向向量，
所以＝，＝，
所以＝，所以∥，因为M RS，
所以MN∥RS.
方法二　设，
则＝＋＋＝，
＝＋＋＝.
所以＝，所以∥.
又R MN，所以MN∥RS.
重点题型三：利用向量方法证明线面平行
典型例题
例题1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面：
【答案】(1)证明见解析
如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，
则
若，则，
因为平面ABCD，所以
又因为
所以平面PAB
平面PAB的其中一个法向量为
所以，即
又因为平面
所以平面
例题2．已知正方体中，棱长为，是棱的中点.求证：平面.
【答案】证明见解析
以点D为原点，分别以 与的方向为x y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.则 ，M是棱的中点得，.设面的一个法向量为，，，则令，则.又，因为平面，所以平面.
例题3．如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，．求证：平面．
【答案】(1)证明见解析；
因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，显然两两垂直，
则以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则得A1、E、
由上得、、．
设=x·+y·得，
解得x=，y=1，∴，
∵BC∩PB=B，A1E平面PBC，面，∴A1E∥平面PBC．
同类题型归类练
1．如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？
【答案】存在；P为的中点时，平面
以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A，C，的坐标分别为，，，所以
，．
设是平面的法向量，则，，即
，所以，
取，则，．所以，是平面的一个法向量．
由，C，的坐标分别为，，，得，．设点P满足，则，所以．
令，得，解得，这样的点P存在．
所以，当，即P为的中点时，平面．
2．如图，在四棱锥中，平面ABCD．，四边形ABCD满足，，，点M为PC的中点，求证：平面PAB．
【答案】证明见解析
证明：因为平面ABCD，
所以，．
又，
所以PA，AB，AD两两垂直．
以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，．
因为点M为PC的中点，所以，故．
又，，
所以．
所以，，为共面向量．
又平面PAB，
所以平面PAB．
3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E是的中点，，.求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
如图，由已知得 两两垂直，
以A为坐标原点， 所在的直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∵点E是的中点，∴点E的坐标为，
∴，.
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
又，
∴，∴，
∵平面，∴平面.
重点题型四：利用向量方法证明面面平行
典型例题
例题1．如图，正方体中，、分别为、的中点．
用向量法证明平面平面；
【答案】(1)证明见解析
如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，，，
故，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
所以，即，
故平面平面；
例题2．如图，已知棱长为4的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，求证：平面∥平面.
【答案】证明见解析
由正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，,,,,
,
设平面的一个法向量为，则
即，令，解得
所以
设平面的一个法向量为，则
即，令，解得
所以
所以
∴平面∥平面.
同类题型归类练
1．如图，在正方体中，点E，F，G，H，M，N分别是该正方体六个面的中心，求证：平面平面HMN．
【答案】证明见解析.
由题意知，
建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，
得，
所以，即，
又平面HMN，平面HMN，
所以平面HMN，平面HMN，
又平面EFG，平面EFG，，
所以平面EFG平面HMN.
2．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：
（1）PB//平面EFG；
（2）平面EFG//平面PBC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直.
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0).　
法一：
设平面EFG的法向量为，
则,即,令z＝1，则为平面EFG的一个法向量，
∵，
∴，所以，
∵PB 平面EFG，
∴PB//平面EFG.
法二：，，.
设，
即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)，
所以解得s＝t＝2.
∴，又与不共线，所以，与共面.
∵PB 平面EFG，
∴PB∥平面EFG.
（2）由（1）知：，
∴，所以BC//EF.
又EF 平面PBC，BC 平面PBC，所以EF//平面PBC，
同理可证GF//PC，从而得出GF//平面PBC.
又EF∩GF＝F，EF 平面EFG，GF 平面EFG，
∴平面EFG//平面PBC.
重点题型五：利用向量方法证明线线垂直
典型例题
例题1．在棱长为1的正方体中， 分别是棱 上的动点，且.
求证：；
【答案】(1)证明见解析
如图所示，以点O为原点，分别以 与的方向为x y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，其中.
由已知条件 ，则，，所以，
所以，即；
例题2．已知空间四边形中，，求证：.
【答案】证明见解析
证明：设
则
于是可得
，即
例题3．如图，已知长方体中，，判断满足下列条件的点，是否存在：.
【答案】存在点满足
解：假设存在满足条件.在长方体中以D为原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
不妨设则
在中，
，
又
解得：
即存在点满足
同类题型归类练
1．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．证明：.
【答案】(1)证明见解析；
在正方体，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：
依题意，，，
，则，
所以.
2．如图，在空间直角坐标系Axyz中，底面ABCD为矩形，P（0，0，2），．
（1）求证：；
【答案】（1）证明见解析；（2）3.
（1）因为底面ABCD为矩形，，所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以.
3．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
【答案】证明见解析
在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
【答案】证明见解析.
证明：(方法1)以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，
于是F.
∵E在BC上，∴设E(m，1，0)，∴=(m，1，-1)，.
∵=0，∴PE⊥AF.
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF.
(方法2)因为点E在边BC上，可设=λ，
于是=()·)=+λ)·()
=+λ+λ)=(0-1+1+0+0+0)=0，
因此.
故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
5．如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.
求证:(1)BC1⊥AB1.
【答案】见解析
如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AC=BC=BB1=2,
则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),
C1(0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于=(0,-2,-2),
=(-2,2,-2),
所以·=0-4+4=0,
因此⊥,
故BC1⊥AB1.
重点题型六：利用向量方法证明线面垂直
典型例题
例题1．如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求证：平面.
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，.
于是，，
设异面直线A1P与BC1所成的角为，
则，
异面直线与所成的角的余弦值大小等于.
(2)过作交于，在中，，，则，，，
，
，.又，平面.
例题2．在棱长为1的正方体中，分别是 的中点.
(1)判断向量与 是否共面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)向量与 共面；(2)证明见解析.
(1)因为，所以向量与 共面；
(2)，
因为，
所以，即，
，
所以，即，
又因为， 平面，
所以平面.
例题3．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，分别是棱的中点.求证：平面；
【答案】(1)证明见解析；
∵三棱柱的侧棱垂直于底面，，
∴以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
∵，分别是棱的中点，
∴，
,
∵，，∴，，
∵,平面,平面，∴平面.
同类题型归类练
1．如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
【答案】证明见解析
设，，，则为空间的一个基底且，，.
因为AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，
所以，.
在平面BDD1B1上，取、为基向量，则对于面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得.
所以，.
所以是平面BDD1B1的法向量．
所以A1C⊥平面BDD1B1.
2．如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．
【答案】证明见解析
建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的边长为，则，
，，
由于，所以平面.
3．如图，在直三棱柱中，，，，点E在棱上，，D，F，G分别为，，的中点，EF与相交于点H．
(1)求证：平面ABD．
【答案】(1)证明见解析
证明：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，
所以，．
又，所以平面ABD．
4．如图，在多面体中，四边形是梯形，四边形为矩形，面，，，．
(1)求证：平面；
(2)点为线段的中点，求证面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)证明：如图，建立空间坐标系，则，，，，，
面，，且，
又，
面，为面的法向量，
，，
又平面，
平面．
(2)证明：由（1）可知，，，，
，，
，
又，
面．
重点题型七：利用向量方法证明面面垂直
典型例题
例题1．如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角.
（1）平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
证明以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、 轴建立如
图所示的空间直角坐标系
∵平面
∴为与平面所成的角 .
∴， ∵ ∴，
∴
( 1 ) 设 为平面 的一个法向量 ,
由即
令 ，得
又平面 ∴平面
( 2 ) 如图 , 取的中点 连接
则
∵
又
∴
又 ∴平面
又平面 ∴平面⊥平面
例题2．已知正方体中，为棱上的动点．
（1）求证：；
（2）若平面平面，试确定点的位置．
【答案】（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点.
以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴，即A1E⊥BD；
（2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)
∴， ， ，.
∴,　
取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．
由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
同类题型归类练
1．如图，四棱锥中，底面，E为棱上的点，且．
（1）证明：平面平面；
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）如图，以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则令，则，，
所以，
因为，所以，
所以平面平面；
2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】
证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
（Ⅰ）因为是的中点，所以的坐标为，
所以，
又因为，
所以，
所以，即有；
（Ⅱ）因为底面是正方形，所以，
因为底面，平面，
所以，
因为，
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
由，取，，，
所以平面的一个法向量为，
因为，
所以，所以平面平面.
3．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面.
【答案】证明见解析.
取的中点，的中点，连接，则，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
又，所以，
以点为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
设，，则，，，
，，
所以，，，
设是平面的法向量，是平面的法向量，
则由，，得
令，则，即，
同理，，令，可得，即.
因为，所以平面平面.
4．如图所示，在直三棱柱中，，，，点为的中点，证明：平面平面.
【答案】证明见解析.
由题意得两两垂直. 以点为原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
则.
设平面的一个法向量为.
则，
令，得.
设平面的一个法向量为.
则，
令，得，
，
，∴平面平面.
1．（2022·全国·高考真题（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
故选：A.
2．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
【答案】A
连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；
由正方体的性质可知，所以平面平面，
又平面，所以直线平面，故A正确；
以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线与直线不平行，故B不正确；
直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
直线与直线异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
3．（2022·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
4．（多选）（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）如图，正方体的棱长为 ，线段上有两个动点，，且，以下结论正确的有（ ）
A．
B．正方体体积是三棱锥的体积的6倍
C．
D．异面直线，所成的角为定值
【答案】AC
解：对于A选项，易知，，所以，所以A正确；
对于B项，连接交于点，则，又平面，平面，
所以，，平面，所以平面，
所以三棱锥的体积，
所以正方体体积是三棱锥的体积的倍，所以B错误；
对于C项，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
因为，平面，
所以平面，而平面，所以，所以C正确；
对于D项，当点在处，为的中点时，异面直线所成的角是，
当在的中点时，F在的位置，异面直线所成的角是，显然两个角不相等，所以D错误；
故选：AC．

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