资源简介
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(精讲)
目录
第一部分:思维导图(总览全局)
第二部分:知识点精准记忆
第三部分:课前自我评估测试
第四部分:典 型 例 题 剖 析
重点题型一:利用空间向量求点线距
重点题型二:利用空间向量求点面距
重点题型三:转化与化归思想在求空间距离中的应用
重点题型四:利用向量方法求两异面直线所成角
重点题型五:利用向量方法求直线与平面所成角
重点题型六:利用向量方法求两个平面的夹角
第五部分:高考(模拟)题体验
知识点一:用向量法求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为,是直线上的定点,是直线外一点.设,则向量在直线上的投影向量,在中,由勾股定理得:
2、点到平面的距离
如图,已知平面的法向量为,是平面内的定点,是平面外一点.过点作平面的垂线,交平面于点,则是直线的方向向量,且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
知识点二:用向量法求空间角
1、用向量运算求两条直线所成角
已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,a,b所成的角为,则
①
②.
2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,与的角为,则有
①
②.(注意此公式中最后的形式是:)
3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图,若于A,于B,平面PAB交于E,则∠AEB为二面角的平面角,∠AEB+∠APB=180°.
若分别为面,的法向量
①
②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;
若二面角为锐二面角(取正),则;
若二面角为顿二面角(取负),则;
1.(2022·全国·高二课时练习)判断正误
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( )
(2)直线l与平面的法向量的夹角的余角就是直线l与平面所成的角.( )
(3)二面角的大小为,平面,的法向量分别为,,则.( )
2.(2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试)若直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,则直线与所成的角为( )
A.30° B.150° C.60° D.120°
3.(2022·江苏·马坝高中高二期中)如图,在四棱锥中,,底面ABCD为长方形,,,Q为PC上一点,且,则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
4.(2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末(理))平面的法向量为,平面的法向量为,则下列命题正确的是( )
A.,平行 B.,垂直
C.,重合 D.,相交不垂直
5.(2022·江苏淮安·高二期中)已知向量为平面的法向量,点在内,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
重点题型一:利用空间向量求点线距
典型例题
例题1.(2022·江苏徐州·高二期末)已知直线过点,且方向向量为,则点到的距离为( )
A. B. C. D.
例题2.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)点是直线上一点,是直线的一个方向向量,则点到直线的距离是______.
例题3.(2022·江西南昌·高二期中(理))如图,在棱长为4的正方体中,为的中点,点在线段上,点到直线的距离的最小值为_______.
同类题型归类练
1.(2022·河北沧州·高二期末)在空间直角坐标系中,点关于轴的对称点为点,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.6
2.(2022·天津·静海一中高二期末)已知点P(5,3,6),直线l过点A(2,3,1),且一个方向向量为,则点P到直线l的距离为( )
A. B. C. D.
3.(2022·福建省同安第一中学高二阶段练习)已知,,,则点C到直线AB的距离为( )
A.3 B. C. D.
4.(2022·山东滨州·高二期末)已知空间直角坐标系中的点,,,则点P到直线AB的距离为( )
A. B. C. D.
重点题型二:利用空间向量求点面距
典型例题
例题1.(2022·江苏省扬州市教育局高二期末)已知是平面的一个法向量,点在平面内,则点到平面的距离为_________.
例题2.(2022·河南·高二阶段练习(理))已知平面的法向量为,点在平面内,若点到平面的距离为,则________.
同类题型归类练
1.(2022·河南·濮阳一高高二期中(理))如图,在棱长为1的正方体中,若E,F分别是上底棱的中点,则点A到平面的距离为______.
2.(2022·广东·高二阶段练习)在直三棱柱中,,,E,F分别为棱、的中点,G为棱上的一点,且,则点G到平面的距离为______.
3.(2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末)在棱长为1的正方体中,E为的中点,则点A到平面的距离为___________.
4.(2022·全国·高二期末)如图,已知长方体中,,,则点到平面的距离为__________.
重点题型三:转化与化归思想在求空间距离中的应用
典型例题
例题1.(2022·湖南·高二课时练习)在棱长为的正方体中,、分别是、的中点,求平面与平面之间的距离.
例题2.(2022·湖南·高二课时练习)在正方体中,,,,分别为,,,的中点,棱长为4,求平面与平面之间的距离.
同类题型归类练
1.(2022·江苏·高二课时练习)已知正方体的棱长为a,则平面与平面的距离为( )
A. B. C. D.
2.(2022·全国·高二)在棱长为的正方体中,则平面与平面之间的距离为
A. B.
C. D.
3.(2022·全国·高二课时练习)两平行平面 , 分别经过坐标原点 和点 ,且两平面的一个法向量 ,则两平面间的距离是
A. B. C. D.
4.(2022·山东·济南外国语学校高二期中)在棱长为的正方体中,平面与平面间的距离是________.
重点题型四:利用向量方法求两异面直线所成角
典型例题
例题1.(2022·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,平面,是边长为的正三角形,,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
例题2.(2022·全国·高三专题练习)如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长度为2,且.
(1)求的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
例题3.(2022·江苏盐城·高一期末)在四棱锥中,已知底面是菱形,,,,若点为菱形的内切圆上一点,则异面直线与所成角的余弦值的取值范围是___________.
同类题型归类练
1.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC,M、N分别为AC、AB的中点,则异面直线PN和BM所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2.(2022·河南安阳·高二阶段练习(理))在正三棱柱中,,点、分别为棱、的中点,则和所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.(2022·江苏省镇江中学高二期末)在空间直角坐标系O-xyz中,向量分别为异面直线方向向量,则异面直线所成角的余弦值为___________.
4.(2022·湖南岳阳·高二期末)如图,在直三棱柱中,侧面侧面分别为的中点,;
(1)求证:直线面;
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
5.(2022·浙江·效实中学高一期中)如图,在四棱锥中,底面为等腰梯形,,,面,,点为线段中点
(1)求证:面;
(2)求异面直线与所成角的大小.
重点题型五:利用向量方法求直线与平面所成角
典型例题
例题1.(2022·福建龙岩·高二期中)如图,正三棱柱的所有棱长都相等,,,分别为,,的中点,则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
例题2.(2022·全国·高二课时练习)如图,在四棱锥中,底面,四边形为正方形,且,为的重心,设与平面所成角的正弦值为_______.
例题3.(2022·全国·高三专题练习)如图,由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中,,,,,平面平面.为线段上一动点,当______时,直线与平面所成角的正弦值为.
同类题型归类练
1.(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(理))平行六面体中,,则与底面所成的线面角的正弦值是( )
A. B. C. D.
2.(2022·全国·高三专题练习)如图,正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
3.(2022·上海中学高一期末)在正方体中,棱与平面所成角的余弦值为__________.
4.(2022·江西省信丰中学高二阶段练习(理))一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中,以下命题正确的是___________.(填序号)
①;
②平面;
③与是异面直线且夹角为;
④与平面所成的角为;
⑤二面角的大小为.
5.(2022·浙江·高三期末)如图,已知菱形,,沿直线将翻折成,分别为的中点,与平面所成角的正弦值为,为线段上一点(含端点),则与平面所成角的正弦值的最大值为___________.
重点题型六:利用向量方法求两个平面的夹角
典型例题
例题1.(2022·四川省绵阳普明中学高二阶段练习(文))二面角的棱上有、两点,直线、分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,,,则该二面角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
例题2.(2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测)如图,在四棱锥中,,分别是,的中点,底面,,,,若平面平面,则二面角的正弦值是_________.
例题3.(2022·江苏·高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面中,,侧面平面,且,点在棱上,且.
则二面角的余弦值为____________
同类题型归类练
1.(2022·全国·高二课时练习)在一个二面角的两个半平面上,与二面角的棱垂直的两个向量分别为、,则这个二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.或
2.(2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习(理))已知矩形ABCD,,,将沿AC折起到的位置若,则二面角平面角的余弦值的大小为( )
A. B. C. D.
3.(2022·北京八中高二期末)已知长方体中,,,则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.(2022·全国·高三专题练习(理))如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1所成锐二面角的正弦值为________.
5.(2022·全国·高二课时练习)如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且平面ABCD,,点F为PC的中点,则二面角的正切值为__________
1.(2022·全国·高考真题)如图,是三棱锥的高,,,E是的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,,,求二面角的正弦值.
2.(2022·全国·高考真题(理))如图,四面体中,,E为的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)设,点F在上,当的面积最小时,求与平面所成的角的正弦值.
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(精讲)
目录
第一部分:思维导图(总览全局)
第二部分:知识点精准记忆
第三部分:课前自我评估测试
第四部分:典 型 例 题 剖 析
重点题型一:利用空间向量求点线距
重点题型二:利用空间向量求点面距
重点题型三:转化与化归思想在求空间距离中的应用
重点题型四:利用向量方法求两异面直线所成角
重点题型五:利用向量方法求直线与平面所成角
重点题型六:利用向量方法求两个平面的夹角
第五部分:高考(模拟)题体验
知识点一:用向量法求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为,是直线上的定点,是直线外一点.设,则向量在直线上的投影向量,在中,由勾股定理得:
2、点到平面的距离
如图,已知平面的法向量为,是平面内的定点,是平面外一点.过点作平面的垂线,交平面于点,则是直线的方向向量,且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
知识点二:用向量法求空间角
1、用向量运算求两条直线所成角
已知a,b为两异面直线,A,C与B,D分别是a,b上的任意两点,a,b所成的角为,则
①
②.
2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,与的角为,则有
①
②.(注意此公式中最后的形式是:)
3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图,若于A,于B,平面PAB交于E,则∠AEB为二面角的平面角,∠AEB+∠APB=180°.
若分别为面,的法向量
①
②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;
若二面角为锐二面角(取正),则;
若二面角为顿二面角(取负),则;
1.(2022·全国·高二课时练习)判断正误
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( )
(2)直线l与平面的法向量的夹角的余角就是直线l与平面所成的角.( )
(3)二面角的大小为,平面,的法向量分别为,,则.( )
【答案】 × × ×
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角或补角,错误;
(2)直线l与平面的法向量的夹角或余角就是直线l与平面所成的角,错误;
(3)或,错误.
2.(2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试)若直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,则直线与所成的角为( )
A.30° B.150° C.60° D.120°
【答案】C
依题意,,
设直线与所成角为,,所以.
故选:C
3.(2022·江苏·马坝高中高二期中)如图,在四棱锥中,,底面ABCD为长方形,,,Q为PC上一点,且,则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
因为平面,平面,故,
底面ABCD为长方形,故,所以DP,DC,DA两两互相垂直,
以D为原点,DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
,,,,,
所以,,
设异面直线AC与BQ所成的角为,则,
所以异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为.
故选:A.
4.(2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末(理))平面的法向量为,平面的法向量为,则下列命题正确的是( )
A.,平行 B.,垂直
C.,重合 D.,相交不垂直
【答案】B
因为,所以,所以,垂直.
故选:B.
5.(2022·江苏淮安·高二期中)已知向量为平面的法向量,点在内,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】B
因为,
所以,
因为平面的法向量,
所以点到平面的距离.
故选:B
重点题型一:利用空间向量求点线距
典型例题
例题1.(2022·江苏徐州·高二期末)已知直线过点,且方向向量为,则点到的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解:点,直线过点,且一个方向向量为,
,
所以直线的一个单位方向向量,
点到直线的距离为.
故选:.
例题2.(2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测)点是直线上一点,是直线的一个方向向量,则点到直线的距离是______.
【答案】
由题意,点和,可得,且,
所以点到直线的距离是.
故答案为:.
例题3.(2022·江西南昌·高二期中(理))如图,在棱长为4的正方体中,为的中点,点在线段上,点到直线的距离的最小值为_______.
【答案】##
在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,
因点P在线段上,则,,
,向量在向量上投影长为,
而,则点Р到直线的距离
,当且仅当时取“=”,
所以点Р到直线的距离的最小值为.
故答案为:
同类题型归类练
1.(2022·河北沧州·高二期末)在空间直角坐标系中,点关于轴的对称点为点,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.6
【答案】C
由题意,,,的方向向量,,则点到直线的距离为.
故选:C.
2.(2022·天津·静海一中高二期末)已知点P(5,3,6),直线l过点A(2,3,1),且一个方向向量为,则点P到直线l的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】B
由题意,,,
,,
,
到直线的距离为.
故选:B.
3.(2022·福建省同安第一中学高二阶段练习)已知,,,则点C到直线AB的距离为( )
A.3 B. C. D.
【答案】D
因为,,所以.
设点C到直线AB的距离为d,则
故选:D
4.(2022·山东滨州·高二期末)已知空间直角坐标系中的点,,,则点P到直线AB的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】D
,0,,,1,,,
,,,
在上的投影为,
则点到直线的距离为.
故选:D.
重点题型二:利用空间向量求点面距
典型例题
例题1.(2022·江苏省扬州市教育局高二期末)已知是平面的一个法向量,点在平面内,则点到平面的距离为_________.
【答案】##
由题可得,又是平面的一个法向量,
∴则点P到平面的距离为.
故答案为:.
例题2.(2022·河南·高二阶段练习(理))已知平面的法向量为,点在平面内,若点到平面的距离为,则________.
【答案】-1或-11##-11或-1
由题意,由空间中点到面距离的向量公式,
即,解得或-11.
故答案为:-1或-11
同类题型归类练
1.(2022·河南·濮阳一高高二期中(理))如图,在棱长为1的正方体中,若E,F分别是上底棱的中点,则点A到平面的距离为______.
【答案】1
以为坐标原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,
设平面的法向量,
则有,令得:,
故,
其中,
则点A到平面的距离为
故答案为:1
2.(2022·广东·高二阶段练习)在直三棱柱中,,,E,F分别为棱、的中点,G为棱上的一点,且,则点G到平面的距离为______.
【答案】
解法一:以为原点,AB为x轴,AC为y轴,为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,如图:
则,,,,
,,,
设平面的法向量,
则,
取,得,
∴点G到平面的距离为:.
解法二:∵,∴平面,
点G到平面的距离等于点到平面的距离,
易证平面平面,
在中,设点到的距离为d,
则,
∴,
∴.
故答案为:
3.(2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末)在棱长为1的正方体中,E为的中点,则点A到平面的距离为___________.
【答案】
以D点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),,,所以,,.设平面的一个法向量为,则即,令,得,.所以.
所以点A到平面的距离为.
故答案为:.
4.(2022·全国·高二期末)如图,已知长方体中,,,则点到平面的距离为__________.
【答案】
以为坐标原点的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则.
设,则,,
设平面的法向量为,则,
,即,所以,
可取.
又,
点到平面的距离为,即点到平面的距离为.
故答案为:.
重点题型三:转化与化归思想在求空间距离中的应用
典型例题
例题1.(2022·湖南·高二课时练习)在棱长为的正方体中,、分别是、的中点,求平面与平面之间的距离.
【答案】
解:以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、、,
,,则,
因为、不在同一条直线上,则,
平面,平面,则平面,
同理可证平面,,故平面平面,
设平面的法向量为,,,
由,取,可得,
又因为,因此,平面与平面之间的距离为.
例题2.(2022·湖南·高二课时练习)在正方体中,,,,分别为,,,的中点,棱长为4,求平面与平面之间的距离.
【答案】.
以为轴建立空间直角坐标系,如图,
则,,,
,
设平面的一个法向量是,
则,取得,
又,
,
所以平面MNA与平面EFBD之间的距离.
同类题型归类练
1.(2022·江苏·高二课时练习)已知正方体的棱长为a,则平面与平面的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】D
由正方体的性质,∥,∥,,,
易得平面平面,
则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离.
以D为坐标原点,DA,DC,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系,
则,,,,,
所以,,,.
连接,由,,且,可知平面,
得平面的一个法向量为,
则两平面间的距离.
故选:D
2.(2022·全国·高二)在棱长为的正方体中,则平面与平面之间的距离为
A. B.
C. D.
【答案】B
建立如图所示的直角坐标系,则,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量,则,
即,解得,故,
显然平面平面,
所以平面与平面之间的距离.
3.(2022·全国·高二课时练习)两平行平面 , 分别经过坐标原点 和点 ,且两平面的一个法向量 ,则两平面间的距离是
A. B. C. D.
【答案】B
两平行平面 , 分别经过坐标原点 和点 ,,且两平面的一个法向量两平面间的距离,故选B.
4.(2022·山东·济南外国语学校高二期中)在棱长为的正方体中,平面与平面间的距离是________.
【答案】
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、、,
设平面的法向量为,,,
由,取,可得,
设平面的法向量为,,,
由,取,可得,
因为,平面与平面不重合,故平面平面,
,所以,平面与平面间的距离为.
故答案为:.
重点题型四:利用向量方法求两异面直线所成角
典型例题
例题1.(2022·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,平面,是边长为的正三角形,,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
解法一:设E为BC的中点,连接FE,如图,
∵E是BC的中点,
∴∥,,,;
在中,由余弦定理可知
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为,
解法二:以A为坐标原点,AC,AM所在直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
易知,,,
所以,,
则,
∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为.
故选:D
例题2.(2022·全国·高三专题练习)如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,侧棱的长度为2,且.
(1)求的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)(2)
(1)由题意,,
,
,
.
(2),,
,
所以,
所以直线与所成角的余弦值为.
例题3.(2022·江苏盐城·高一期末)在四棱锥中,已知底面是菱形,,,,若点为菱形的内切圆上一点,则异面直线与所成角的余弦值的取值范围是___________.
【答案】
设,连接,
四边形为菱形,为中点,
,,,,
又,平面,平面;又,
则以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
四边形为菱形,为四边形各内角的平分线,
即为四边形的内切圆圆心,四边形内切圆的半径;
,,;
,,,
设,,,
,(其中),
,,
即异面直线与所成角的余弦值的取值范围为.
故答案为:.
同类题型归类练
1.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC,M、N分别为AC、AB的中点,则异面直线PN和BM所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
以点P为坐标原点,以,,方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
令,则,,,,
则,,
设异面直线PN和BM所成角为,则.
故选:B.
2.(2022·河南安阳·高二阶段练习(理))在正三棱柱中,,点、分别为棱、的中点,则和所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
取的中点,连接,设,
因为是边长为的等边三角形,则,
因为平面,以点为坐标原点,、、的方向分别为、、
轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
,,
,
因此,和所成角的余弦值为.
故选:A.
3.(2022·江苏省镇江中学高二期末)在空间直角坐标系O-xyz中,向量分别为异面直线方向向量,则异面直线所成角的余弦值为___________.
【答案】
因为,所以.
因为异面直线所成角的范围为,所以异面直线所成角的余弦值为.
故答案为:
4.(2022·湖南岳阳·高二期末)如图,在直三棱柱中,侧面侧面分别为的中点,;
(1)求证:直线面;
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明:取的中点P,连
因为分别为的中点,所以
且,又在直三棱柱中,
且,所以且 .
所以四边形为平行四边形,所以
因为平面平面,
所以直线平面;
(2)解在直三棱柱中平面,所以,又侧面侧面,平面平面,所以平面,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意可知,所以;
所以.
所以异面直线MC1与BN所成角的余弦值为.
5.(2022·浙江·效实中学高一期中)如图,在四棱锥中,底面为等腰梯形,,,面,,点为线段中点
(1)求证:面;
(2)求异面直线与所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明:
由面建立如图所示的直角坐标系,以A点为坐标原点,分别以,垂直于AD以及为方向建立轴,如图所示:
由底面是等腰梯形以及可知:,,
,
又由点为线段中点,可知
,,
设为平面的法向量,故可知:
,解得
令,可知平面的法向量一个法向量为:
根据线面平行的向量法判断法则可知面
(2)解:由题意得:由(1)分析可知,
可知向量互相垂直,故异面直线与所成角的大小为
重点题型五:利用向量方法求直线与平面所成角
典型例题
例题1.(2022·福建龙岩·高二期中)如图,正三棱柱的所有棱长都相等,,,分别为,,的中点,则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
设正三棱柱的棱长为2,取的中点,连接,,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,
,,
设平面的法向量为,
则,
取,则,,
故为平面的一个法向量,
EF与平面所成角为,则
EF与平面所成角的正弦值为,
故选:A.
例题2.(2022·全国·高二课时练习)如图,在四棱锥中,底面,四边形为正方形,且,为的重心,设与平面所成角的正弦值为_______.
【答案】
如图,以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则 ,
故 ,
设平面PAC的一个法向量为 ,
则 ,取 ,
可得,
故设PG与平面PAC所成角为 ,
则 ,
故答案为:
例题3.(2022·全国·高三专题练习)如图,由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中,,,,,平面平面.为线段上一动点,当______时,直线与平面所成角的正弦值为.
【答案】1
解:以为坐标原点,分别为,,轴建立空间直角坐标系.
所以,
所以.
设平面的法向量,所以
所以,
所以平面的一个法向量,
设,
所以,
所以,
解得或(舍,
所以.
因为,所以
故答案为:1
同类题型归类练
1.(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(理))平行六面体中,,则与底面所成的线面角的正弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解:如图所示,连接,相交于点,连接.
平行六面体中,且,
不妨令
,,都是等边三角形.
是等边三角形.
,,,平面
平面,平面,
平面平面,
是与底面所成角.
因为,,所以.
如图建立空间直角坐标系,则,,,,
其中的坐标计算如下,过 作交于点,
因为,,所以,
所以,,
因为
所以,所以,
显然平面的法向量为,
设与底面所成的角为,则
故选:A
2.(2022·全国·高三专题练习)如图,正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
解:设正三棱柱的棱长为2,取的中点,连接,,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,0,,,,0,,
,,,,.
设平面的法向量为,
则,
取,则,,
故为平面的一个法向量,
所以,
所以与平面所成角的正弦值为.
故选:A.
3.(2022·上海中学高一期末)在正方体中,棱与平面所成角的余弦值为__________.
【答案】
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则设正方体的边长为1,
,
则,设平面,
,
则,所以,
棱与平面所成角为,
所以,
则.
故答案为:.
4.(2022·江西省信丰中学高二阶段练习(理))一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中,以下命题正确的是___________.(填序号)
①;
②平面;
③与是异面直线且夹角为;
④与平面所成的角为;
⑤二面角的大小为.
【答案】①②③⑤
解:由正方体的平面展开图可得正方体(其中与重合),
如图建立空间直角坐标系,令正方体的棱长为,
则,,,,,,,,,
所以,,所以,所以,故①正确;
,,
所以,,即,,,
平面,所以平面,即②正确;
,显然与是异面直线,设与所成角为,
则,因为,所以,故③正确;
,平面的法向量可以为,
设与平面所成的角为,所以,故④错误;
,,设平面的法向量为,
则,令,所以,
设二面角为,显然二面角为锐二面角,
则,所以,故⑤正确;
故答案为:①②③⑤
5.(2022·浙江·高三期末)如图,已知菱形,,沿直线将翻折成,分别为的中点,与平面所成角的正弦值为,为线段上一点(含端点),则与平面所成角的正弦值的最大值为___________.
【答案】
解:设顶点在平面内的射影为点,
因为与平面所成角的正弦值为,,所以,
因为,所以,
又因为,所以,如图1,在平面中,为等边三角形,≌,
所以平分,即,
所以在中,,解得,(舍),
所以点为的中心,故三棱锥是棱长为的正四面体,
故如图2,以中点为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标
则,
设,
则,,
设平面的一个法向量为,
则,即,令,得,
因为,设与平面所成角为,
所以 ,
令,则,因为函数在上单调递增,
所以在上单调递减,
所以当时,与平面所成角的正弦值最大,最大值为
故答案为:
重点题型六:利用向量方法求两个平面的夹角
典型例题
例题1.(2022·四川省绵阳普明中学高二阶段练习(文))二面角的棱上有、两点,直线、分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,,,则该二面角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
【答案】C
由条件,知.
,
,即,
所以二面角的大小为
故选:C.
例题2.(2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测)如图,在四棱锥中,,分别是,的中点,底面,,,,若平面平面,则二面角的正弦值是_________.
【答案】##
设,则平面平面,
由重心的性质可得,
因为底面,,设,
,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
所以,,
,
设平面,的法向量为,
则,
,
所以,由图可知,
二面角的平面角为钝角,所以二面角的余弦值为,
正弦值为.
故答案为:
例题3.(2022·江苏·高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面中,,侧面平面,且,点在棱上,且.
则二面角的余弦值为____________
【答案】.
如图,取的中点,连接,.
由条件可知, ,两两垂直,以, ,所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则, , ,,
因为,所以.
所以, ,,
设平面的法向量为,
则即令,则.
设平面的法向量为,
则即令,则=,
,
结合图象可知二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.
故答案为:
同类题型归类练
1.(2022·全国·高二课时练习)在一个二面角的两个半平面上,与二面角的棱垂直的两个向量分别为、,则这个二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.或
【答案】D
解:在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为,,,,2,,
则这两个向量夹角的余弦值为,
这个二面角的余弦值为或.
故选:D.
2.(2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习(理))已知矩形ABCD,,,将沿AC折起到的位置若,则二面角平面角的余弦值的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解:作,垂足分别为,过点作交于点,则,
所以即为二面角的平面角,
由矩形ABCD,可得,
则,所以,
因为,
所以,
即,
所以,
因为,
所以.
所以二面角平面角的余弦值的大小为.
故选:C.
3.(2022·北京八中高二期末)已知长方体中,,,则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
建立如图所示空间直角坐标系:
则,
所以,
设平面的一个法向量为,
则,即,
令,则,
易知平面的一个法向量为,
所以,
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为,
故选:A
4.(2022·全国·高三专题练习(理))如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1所成锐二面角的正弦值为________.
【答案】##
以D为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系.设AB=2,则,,,,.设平面EFC1B的一个法向量为,则 取x=2,得.易知平面BCC1的一个法向量为.设平面EFC1B和平面BCC1所成的锐二面角为θ,则,所以.
故答案为:
5.(2022·全国·高二课时练习)如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且平面ABCD,,点F为PC的中点,则二面角的正切值为__________
【答案】
如图所示,连接BD,,连接OF,
以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
设,则.
所以,,,.
结合图形可知,,且为平面BOF的法向量,
由,,
可求得平面BCF的一个法向量为.
所以,,
所以.
故答案为:
1.(2022·全国·高考真题)如图,是三棱锥的高,,,E是的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,,,求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明:连接并延长交于点,连接、,
因为是三棱锥的高,所以平面,平面,
所以、,
又,所以,即,所以,
又,即,所以,,
所以
所以,即,所以为的中点,又为的中点,所以,
又平面,平面,
所以平面
(2)解:过点作,如图建立平面直角坐标系,
因为,,所以,
又,所以,则,,
所以,所以,,,,
所以,
则,,,
设平面的法向量为,则,令,则,,所以;
设平面的法向量为,则,
令,则,,所以;
所以.
设二面角的大小为,则,
所以,即二面角的正弦值为.
2.(2022·全国·高考真题(理))如图,四面体中,,E为的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)设,点F在上,当的面积最小时,求与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)与平面所成的角的正弦值为
(1)因为,E为的中点,所以;
在和中,因为,
所以,所以,又因为E为的中点,所以;
又因为平面,,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(2)连接,由(1)知,平面,因为平面,
所以,所以,
当时,最小,即的面积最小.
因为,所以,
又因为,所以是等边三角形,
因为E为的中点,所以,,
因为,所以,
在中,,所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,所以,
设平面的一个法向量为,
则,取,则,
又因为,所以,
所以,
设与平面所成的角的正弦值为,
所以,
所以与平面所成的角的正弦值为.
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