资源简介

2.1.1倾斜角与斜率（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求直线的倾斜角
重点题型二：求直线的斜率
重点题型三：直线的倾斜角和斜率的综合应用
重点题型四：利用直线斜率处理共线问题
重点题型五：求斜率或倾斜角的取值范围
重点题型六：斜率公式的几何意义的应用
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：直线倾斜角的定义
以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；
特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点二：直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角时，直线的斜率不存在。
知识点三：斜率与倾斜角的联系
倾斜角 （范围）
斜率 （范围） 不存在
知识点四：直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
1．判断正误
（1）倾斜角为的直线的斜率为1．( )
（2）直线斜率的取值范围是．( )
2．若直线l经过原点和，则它的倾斜角是( )
A． B． C．或 D．
3．如图所示，直线l的倾斜角为( )
A． B． C． D．不存在
4．已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为( )
A． B． C．1 D．
5．已知经过两点和的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A．5 B．8 C． D．7
重点题型一：求直线的倾斜角
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二）下列命题中正确的是（ ）．
A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．平行于轴的直线的倾斜角为
D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线的倾斜角为，，垂足为．，与轴分别相交于点，，平分，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课前预习）如图所示，直线l的倾斜角为（ ）
A．45° B．135° C．0° D．不存在
2．（2021·全国·高二课时练习）若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是（ ）
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
3．（2021·河北·邢台市南和区实验中学高二阶段练习）直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
重点题型二：求直线的斜率
典型例题
例题1．（2022·全国·高二）如图所示，直线的频斜角，直线，则直线的斜率为________．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）（1）若直线的倾斜角，求直线斜率的范围；
（2）若直线的斜率，求直线倾斜角的范围.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）若直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为________.
2．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知直线l经过，两点，则l的斜率为___________.
3．（2022·全国·高二课时练习）若直线的一个法向量为，则若直线的斜率_____.
4．（2022·江苏·高二）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，求直线的斜率．
重点题型三：直线的倾斜角和斜率的综合应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是_________.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，，.
（1）若直线与直线平行，求实数的值；
（2）当时，求直线倾斜角的取值范围.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）直线过点，且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是______
2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为，求直线l的斜率和倾斜角．
4．（2022·江苏·高二）已知直线l1经过点A（3，a）、B（a－2，3），直线l2经过点C（2，3）、D（－1，a－2），
(1)若l1⊥l2，求a的值；
(2)若l1的倾斜角为锐角，求a的取值范围．
重点题型四：利用直线斜率处理共线问题
典型例题
例题1．已知点，判断三点是否共线．
例题2．在平面直角坐标系中，已知点，，.若三点共线，求实数的值；
同类题型归类练
1．已知三点共线，求实数a的值．
2．已知平面内有两两不重合的三点，，.若A，B，C三点共线，求实数a的值.
3．已知平面直角坐标系中，点为原点，，，．
若，，三点共线，求实数的值．
4．在平面直角坐标系中，设、、.
（1）若、、三点共线，求的值；
重点题型五：求斜率或倾斜角的取值范围
典型例题
例题1．（2022·四川达州·高一期末（理））已知，，过点且斜率为的直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·江苏·高二）过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）设点 ，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．
3．（2022·江苏·高二）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
4．（2022·江苏·高二）已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知A（1，0），B（﹣1，2），直线l：2x﹣ay﹣a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则实数a的取值范围是 ___________．
重点题型六：斜率公式的几何意义的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·河南·二模（文））2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·高二课时练习）如图，“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度，这个词与直线的斜率有何关系？坡度为4％的道路很陡吗？调查一些山路或桥面的坡度，并与同学交流．
1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（文））已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西渭南·一模（理））已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________．
2.1.1倾斜角与斜率（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求直线的倾斜角
重点题型二：求直线的斜率
重点题型三：直线的倾斜角和斜率的综合应用
重点题型四：利用直线斜率处理共线问题
重点题型五：求斜率或倾斜角的取值范围
重点题型六：斜率公式的几何意义的应用
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：直线倾斜角的定义
以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；
特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点二：直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角时，直线的斜率不存在。
知识点三：斜率与倾斜角的联系
倾斜角 （范围）
斜率 （范围） 不存在
知识点四：直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
1．判断正误
（1）倾斜角为的直线的斜率为1．( )
（2）直线斜率的取值范围是．( )
【答案】 × √
（1）倾斜角为的直线的斜率为-1
（2）直线斜率的取值范围是
2．若直线l经过原点和，则它的倾斜角是( )
A． B． C．或 D．
【答案】B
设倾斜角为
所以
故选：B
3．如图所示，直线l的倾斜角为( )
A． B． C． D．不存在
【答案】B
由图可知：该直线的倾斜角为150°
故选：B
4．已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为( )
A． B． C．1 D．
【答案】A
由题可知：斜率为
故选：A
5．已知经过两点和的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A．5 B．8 C． D．7
【答案】C
由题可知：
故选：C
重点题型一：求直线的倾斜角
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二）下列命题中正确的是（ ）．
A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．平行于轴的直线的倾斜角为
D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
【答案】D
对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确；
对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确；
对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确；
对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的.
故选：D
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线的倾斜角为，，垂足为．，与轴分别相交于点，，平分，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为直线的倾斜角为150°，所以，所以的倾斜角为．
故选：A.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课前预习）如图所示，直线l的倾斜角为（ ）
A．45° B．135° C．0° D．不存在
【答案】B
直线向上方向与轴正半轴的夹角为倾斜角，所以为135°
故选：B
2．（2021·全国·高二课时练习）若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是（ ）
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
【答案】C
由倾斜角和斜率的定义可知，直线AB的倾斜角为90°，而当倾斜角为90°时，斜率不存在．
故选：C.
3．（2021·河北·邢台市南和区实验中学高二阶段练习）直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由倾斜角的定义可知，直线l的倾斜角的取值范围是，
故选：D
重点题型二：求直线的斜率
典型例题
例题1．（2022·全国·高二）如图所示，直线的频斜角，直线，则直线的斜率为________．
【答案】
由题意知，直线的斜率，
因为，所以，所以的斜率．
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）（1）若直线的倾斜角，求直线斜率的范围；
（2）若直线的斜率，求直线倾斜角的范围.
【答案】（1）；（2）.
解：（1）因为，，，，
结合正切函数在的单调性得，
（2）直线l的斜率，，，
结合正切函数在的单调性得.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）若直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为________.
【答案】
因为直线l的倾斜角为，则.
故答案为：.
2．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知直线l经过，两点，则l的斜率为___________.
【答案】
利用斜率公式：
故答案为：
3．（2022·全国·高二课时练习）若直线的一个法向量为，则若直线的斜率_____.
【答案】
根据题意，设直线l的斜率为k，则其方向向量为（1，k），
若直线l的一个法向量为（2，1），则有 2+k＝0，解可得k＝﹣2；
故答案为：﹣2．
4．（2022·江苏·高二）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
【答案】
解：由题意，设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
由已知得，
所以直线的斜率为.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，求直线的斜率．
【答案】
解：因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，又直线的倾斜角比直线的倾斜角小，所以直线的倾斜角为，所以，
所以直线的斜率为；
重点题型三：直线的倾斜角和斜率的综合应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是_________.
【答案】
由图得当时，
故答案为：
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，，.
（1）若直线与直线平行，求实数的值；
（2）当时，求直线倾斜角的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
（1），，
，
解得或，
当时，与重合，舍去.
当时，，与不共线，
所以符合题意.
（2）由于，所以，所以直线的斜率存在，
且，
所以直线倾斜角的取值范围是.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）直线过点，且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是______
【答案】
当直线过点A且平行于轴时，直线斜率取得最小值；当直线过点与原点时，直线斜率取得最大值，所以直线的斜率的取值范围是.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.
【答案】
∵直线l过，两点，
∴直线l的斜率为，
设直线l的倾斜角为，则，且，
解得或
∴直线l的倾斜角的取值范围是.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为，求直线l的斜率和倾斜角．
【答案】直线l的斜率为，倾斜角为.
因为直线l的一个方向向量为，所以直线的斜率为
设直线的倾斜角为，则，又，所以.
4．（2022·江苏·高二）已知直线l1经过点A（3，a）、B（a－2，3），直线l2经过点C（2，3）、D（－1，a－2），
(1)若l1⊥l2，求a的值；
(2)若l1的倾斜角为锐角，求a的取值范围．
【答案】(1)0或5(2)（3，5）
(1)当a＝5时，直线l1的斜率不存在，此时直线l2的斜率为0，满足l1⊥l2；
当a≠5时，由l1⊥l2，可得k1×k2＝－1，即×＝－1，解得a＝0，
所以当l1⊥l2时，a的值是0或5；
(2)因为直线l1经过点A（3，a）、B（a－2，3），
所以直线l1的斜率k＝，
又因为直线l1的倾斜角为锐角，所以k＞0，即＞0，
即
解得3＜a＜5，
故a的取值范围是（3，5）．
重点题型四：利用直线斜率处理共线问题
典型例题
例题1．已知点，判断三点是否共线．
【答案】三点不共线.
因为，
又，所以与不共线，
所以三点不共线.
例题2．在平面直角坐标系中，已知点，，.若三点共线，求实数的值；
【答案】（1）或或；（2）或.
（1）由题意得：，，
三点共线，，
即，
解得：或或；
同类题型归类练
1．已知三点共线，求实数a的值．
【答案】
由题意，三点共线
故
即
解得：
2．已知平面内有两两不重合的三点，，.若A，B，C三点共线，求实数a的值.
【答案】
，
由于三点共线，所以，
所以，
解得或.
当时，两点重合，不符合题意.
经验证可知符合题意.
所以.
3．已知平面直角坐标系中，点为原点，，，．
若，，三点共线，求实数的值．
【答案】.
由题知，，.
若，，三点共线，则向量与共线，
有，解得.
4．在平面直角坐标系中，设、、.
（1）若、、三点共线，求的值；
【答案】（1）
（1）由题意：，，
由得：，解得；
重点题型五：求斜率或倾斜角的取值范围
典型例题
例题1．（2022·四川达州·高一期末（理））已知，，过点且斜率为的直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，
所以由图可知，或，
因为或，
所以或，
故选：D
例题2．（2022·江苏·高二）过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．
【答案】
如图所示，因为，，，
可得，，
要使得直线与以、为端点的线段有交点，
设直线的倾斜角为，其中，则满足或，
解得或，即直线的倾斜角的取值范围.
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）设点 ，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
如图所示：
，要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
2．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
解：直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．
故选：A．
3．（2022·江苏·高二）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】C
如图所示：∵过点C的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kBC或，
∴直线l的斜率 或，
∴直线l斜率k的取值范围：，
故选：C．
4．（2022·江苏·高二）已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
【答案】
解：设点，依题意，．
因为直线与线段有交点，
由图可知直线的斜率的取值范围是．
故答案为：．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知A（1，0），B（﹣1，2），直线l：2x﹣ay﹣a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则实数a的取值范围是 ___________．
【答案】
因为，且，
由图可知，点P的轨迹为线段AB，
将点A，B的坐标分别代入直线l的方程，可得a＝2，a＝，
由直线l的方程可化为：2x﹣a（y+1）＝0，所以直线l过定点C（0，﹣1），
画出图形，如图所示：
因为直线AC的斜率为kAC＝1，直线BC的斜率为kBC＝＝﹣3，
所以直线l的斜率为k＝，令，解得≤a≤2，
所以a的取值范围是[，2]．
故答案为：[，2]．
重点题型六：斜率公式的几何意义的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为点在函数的图象上，
所以时， ；当时，；
故设
而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率，
故时，,
而 ,所以
故选：B.
例题2．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，，
可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率，
当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为
故选：B.
1．（2022·河南·二模（文））2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为，可知，
过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，
故选：C
2．（2022·江苏·高二课时练习）如图，“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度，这个词与直线的斜率有何关系？坡度为4％的道路很陡吗？调查一些山路或桥面的坡度，并与同学交流．
【答案】答案见解析.
“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度，它与直线的斜率在时是相同的；
坡度为4%的道路是指100米的水平路程上升(或下降)4米，
是高速路规定的最大坡率，是很陡；
1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（文））已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
以正方形的顶点为坐标原点，建立如图坐标系，
根据题意，对角线的斜率为，设其倾斜角为，
则正方形的倾斜角分别为，
又，
所以两直角边的斜率分别为或.
故选: B.
2．（2022·陕西渭南·一模（理））已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________．
【答案】[1，2]
设，则可以看成过点与坐标原点的直线的斜率.
当点在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，如图所示.
又，，所以，即的取值范围是[1，2].
故答案为：[1，2]

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