资源简介

1.3空间向量及其运算的坐标表示（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：空间向量的坐标表示
重点题型二：空间向量的坐标运算
重点题型三：空间向量的平行与垂直
重点题型四：空间向量夹角的计算
重点题型五：空间向量模的计算
重点题型六：空间向量的投影
重点题型七：利用向量证明垂直关系
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
知识点二：空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
知识点三：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
4、两点间的距离公式
已知，则
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是的形式．( )
（2）空间直角坐标系中，在平面内的点的坐标一定是的形式．( )
（3）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为．( )
2．（2022·全国·高二课时练习）设是空间向量的一个单位正交基底，，则，的坐标分别为_________．
3．（2022·全国·高二课时练习）与向量共线的向量是( )
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，若，则_________．
5．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）已知向量，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
重点题型一：空间向量的坐标表示
典型例题
例题1．（2022·北京房山·高二期末）如图，长方体，若，则的坐标为___________.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图，建立空间直角坐标系．正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点．
（1）若是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，则分别求出向量，，的坐标；
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）已知正方体的棱长为2，分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系．
（1）写出各顶点的坐标；
（2）写出向量的坐标．
2．（2022·湖南·高二课时练习）已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的三等分点,且PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.
重点题型二：空间向量的坐标运算
典型例题
例题1．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，求，，．
例题2．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）已知向量，，，若，，共面，则___________.
同类题型归类练
1．（2022·江苏连云港·高二期末）已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则=___________．
2．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知，，则_______.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，，，求：
(1)，，；
(2)；
重点题型三：空间向量的平行与垂直
典型例题
例题1．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量，若，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
例题2．（2022·全国·高二）已知，，且与垂直，则的值为___________.
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知，.
(1)当时，求实数的值;
(2)当时，求实数的值.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）若，．
（1）若，求；
（2）若，求．
同类题型归类练
1．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，则m的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
3．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）向量，向量，若，则实数________．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，，且与平行，求实数m的值.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，．
(1)若，试求实数x，y的值；
(2)若，且x，y均为正数，试求xy的最大值．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，．
(1)若，求实数x，y的值；
(2)若，且，求实数x，y的值．
重点题型四：空间向量夹角的计算
典型例题
例题1．（2022·江苏宿迁·高二期中）若向量，，则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
例题2．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．17或
例题3．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.
例题4．（2021·四川省平昌中学高一阶段练习）已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______
同类题型归类练
1．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江丽水·高二开学考试）已知向量，，若与夹角为，则的值为（ ）
A． B． C．－1 D．1
3．（2022·四川达州·高一期末（理））若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知、、，与的夹角为 ，则实数______．
6．（2022·湖北·高二学业考试）已知平面内两个向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________．
7．（2022·福建省长汀县第一中学高二阶段练习）设向量，，计算以及与所成角的余弦值．
8．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）已知.
(1)求与夹角的余弦值.
(2)当与的夹角为钝角时，求的取值范围.
重点题型五：空间向量模的计算
典型例题
例题1．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练习（理））设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高二单元测试）若向量，，且，则实数______．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）若两点，，当取最小值时，的值等于__________.
同类题型归类练
1．（2022·江苏徐州·高二期末）已知向量，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
3．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末）向量，，，且，，则______.
4．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．
(1)判断PQ与BD的位置关系；
(2)求的最小值．
重点题型六：空间向量的投影
典型例题
例题1．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，则在的方向上的数量投影为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
例题4．（2022·上海市建平中学高一期末）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为___．
同类题型归类练
1．（2022·广东惠州·高二期末）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022·全国·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江西南昌·高一期末）在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C．1 D．
重点题型七：利用向量证明垂直关系
典型例题
例题1．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在正方体中，，分别是，的中点，求证：平面.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求证：平面.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.
(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；
(2)求证：.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
（1）求 的模；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
（1）求的长；
（2）求cos<>的值；
（3）求证：A1B⊥C1M．
1．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且，，，则________.
2．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴 y轴 z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.
(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求.
1．（2022·河南·模拟预测（理））在正方体中，为正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·模拟预测）在四棱台中，侧棱与底面垂直，上下底面均为矩形，，，则下列各棱中，最长的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量，，，若，则实数（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
4．（多选）（2022·江苏苏州·模拟预测）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
1.3空间向量及其运算的坐标表示（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：空间向量的坐标表示
重点题型二：空间向量的坐标运算
重点题型三：空间向量的平行与垂直
重点题型四：空间向量夹角的计算
重点题型五：空间向量模的计算
重点题型六：空间向量的投影
重点题型七：利用向量证明垂直关系
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
知识点二：空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
知识点三：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
4、两点间的距离公式
已知，则
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是的形式．( )
（2）空间直角坐标系中，在平面内的点的坐标一定是的形式．( )
（3）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为．( )
【答案】 √ √
（1）.空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是的形式.
（2）√.在平面内的点，坐标必为.
（3）√.空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为.
2．（2022·全国·高二课时练习）设是空间向量的一个单位正交基底，，则，的坐标分别为_________．
【答案】
由题可知：
故答案为：
3．（2022·全国·高二课时练习）与向量共线的向量是( )
A． B． C． D．
【答案】D
由题可知：
故选：D
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，若，则_________．
【答案】1
由题可知：
故答案为：1
5．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）已知向量，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
由题可知：，，，
故选；D
重点题型一：空间向量的坐标表示
典型例题
例题1．（2022·北京房山·高二期末）如图，长方体，若，则的坐标为___________.
【答案】
由题设，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
由，知点，知长方体长2，宽2，高1
则，，
故答案为：
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图，建立空间直角坐标系．正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点．
（1）若是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，则分别求出向量，，的坐标；
【答案】（1），，；
（1）因为是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，
所以，，，．
所以，，，．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）已知正方体的棱长为2，分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系．
（1）写出各顶点的坐标；
（2）写出向量的坐标．
【答案】（1），，，；
（2）．，.
解:（1）设轴、轴、轴的单位向量分别为．
因为正方体的棱长为2．所以，
因为，所以．
又因为，所以．
同理可得，．
（2）因为分别为棱，的中点
由中点坐标公式，得．
所以．，
2．（2022·湖南·高二课时练习）已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的三等分点,且PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.
【答案】
由题意得PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，
所以PA ⊥AD，PA ⊥AB，
所以PA，AD，AB两两垂直．
又PA=AB=AD=1，
所以可设，分别以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，
所以．
因此的坐标为．
重点题型二：空间向量的坐标运算
典型例题
例题1．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，求，，．
【答案】，，
，
，
．
例题2．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）已知向量，，，若，，共面，则___________.
【答案】2
因为，，共面，设，则，则，解得.
故答案为：2.
同类题型归类练
1．（2022·江苏连云港·高二期末）已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则=___________．
【答案】2
因为，
故答案为：2
2．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知，，则_______.
【答案】6
由，，得
，，
.
.
故答案为：.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，，，求：
(1)，，；
(2)；
【答案】(1)，，；(2)；
(1)由题设，，，.
(2)由（1），.
重点题型三：空间向量的平行与垂直
典型例题
例题1．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量，若，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
由题意可得知，则，因此，所以，
故选：C.
例题2．（2022·全国·高二）已知，，且与垂直，则的值为___________.
【答案】
因为，，
所以，
，
因为与垂直，所以，
解得：，所以的值为，
故答案为：.
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知，.
(1)当时，求实数的值;
(2)当时，求实数的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，，
所以，
，
解得；
(2)因为，
所以，
所以，
解得.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）若，．
（1）若，求；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）．
，
，
（1）∵，
∴，解得；
（2）∵，
∴，解得．
同类题型归类练
1．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
因为向量，，且，
所以，解得：.
故选：C
2．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，则m的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】C
因为，所以，解得，
故选：C.
3．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）向量，向量，若，则实数________．
【答案】-2
因为向量，，且，
所以，解得：t=-2.
故答案为：-2
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，，且与平行，求实数m的值.
【答案】
因为，所以，
所以，
因为与不平行，所以，
所以.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，．
(1)若，试求实数x，y的值；
(2)若，且x，y均为正数，试求xy的最大值．
【答案】(1)x=-4，y=-1；(2)1
(1)因为向量，所以.
又向量，，所以，解得：.
因此x=-4，y=-1；
(2)因为向量，所以.
又向量，，所以，.
因为x，y均为正数，所以当且仅当，即时取等号.所以所以，即xy的最大值为1.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，．
(1)若，求实数x，y的值；
(2)若，且，求实数x，y的值．
【答案】(1),(2)或
(1)由∥可得，存在实数使，
即，解得,,;
(2)若，则①，
由，则②，
两式联立解得或.
重点题型四：空间向量夹角的计算
典型例题
例题1．（2022·江苏宿迁·高二期中）若向量，，则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
设向量与的夹角为，且，
所以，，
所以，
故选：D
例题2．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．17或
【答案】D
由题意，向量，，
可得，，，
因为与的夹角为，可得，即，
整理得，解得或.
故选：D.
例题3．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.
【答案】
因为向量若与的夹角为锐角，
所以，且、不同向共线.
只需满足，解得：或.
所以的范围为.
故答案为：.
例题4．（2021·四川省平昌中学高一阶段练习）已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______
【答案】
由于与的夹角为钝角，则且与不共线，
，，，解得且，
因此，实数的取值范围是且，
故答案为：且.
同类题型归类练
1．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设向量与的夹角为，
因为，，且，
所以，得，
所以，
所以，
因为，所以，
故选：A
2．（2022·浙江丽水·高二开学考试）已知向量，，若与夹角为，则的值为（ ）
A． B． C．－1 D．1
【答案】A
解：因为，，且与夹角为，
则，，
所以，
可知，解得：.
故选：A.
3．（2022·四川达州·高一期末（理））若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：因为与的夹角是锐角，
所以且与不共线，
即：，解得且.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且.
故选：D.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知、、，与的夹角为 ，则实数______．
【答案】
由题意得，，
故 ，
解得 ，
故答案为：
6．（2022·湖北·高二学业考试）已知平面内两个向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________．
【答案】
由题意， ，
当 反向时，有 ，解得 ，
∴k的取值范围是 ；
故答案为：.
7．（2022·福建省长汀县第一中学高二阶段练习）设向量，，计算以及与所成角的余弦值．
【答案】，，，
．
.
∵，，
∴
8．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）已知.
(1)求与夹角的余弦值.
(2)当与的夹角为钝角时，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)，，，
，
解得
(2)由（1）知，
当与的夹角为钝角时, ,
即，
解得，
当与反向共线时，有 ，
即，解得，此时不满足题意.
综上，实数的取值范围.
重点题型五：空间向量模的计算
典型例题
例题1．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练习（理））设、，向量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高二单元测试）若向量，，且，则实数______．
【答案】
，，
解得：或，又，.
故答案为：.
例题3．（2022·全国·高二课时练习）若两点，，当取最小值时，的值等于__________.
【答案】
由题意，
所以时，取得最大值．
故答案为：．
同类题型归类练
1．（2022·江苏徐州·高二期末）已知向量，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
由，则，即，
有，
所以，
所以，则
故选：D
2．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
由题设，则.
故选：C
3．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末）向量，，，且，，则______.
【答案】
因，，而，则有，解得，即
又，且，则有，解得，即，
于是得，，
所以.
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．
(1)判断PQ与BD的位置关系；
(2)求的最小值．
【答案】(1)PQ与BD的位置关系是平行(2)
(1)以D为原点，以射线DA，DC，分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系，，，．
因为P、Q均在平面上，所以设，，
则，，．
因为，，
所以
解得:
所以，，
即，，
所以PQ与BD的位置关系是平行．
(2)由（1）可知：，，
所以．
当时，有最小值，最小值为．
重点题型六：空间向量的投影
典型例题
例题1．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：B
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，则在的方向上的数量投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意知：在的方向上的数量投影为.
故选：C.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．
【答案】C
在上的投影为，即，
在上的投影为，
故选：C
例题4．（2022·上海市建平中学高一期末）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为___．
【答案】
由分别表示在、方向上的单位向量，且、的夹角为，
由知：且、的夹角为，
所以在上的数量投影为.
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·广东惠州·高二期末）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
解：因为，，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：C
2．（2022·全国·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因空间向量，，，，
所以向量在向量上的投影向量是.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，0，，，2，，
则向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量是．
故选：．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：向量，
则，，，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：．
5．（2022·江西南昌·高一期末）在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
易得，则向量在向量方向上的投影为.
故选：A.
重点题型七：利用向量证明垂直关系
典型例题
例题1．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在正方体中，，分别是，的中点，求证：平面.
【答案】证明见解析.
设，，，则.
则，
.
∴.
∴，即.
同理.∵，
∴平面.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求证：平面.
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
(1)解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，所以，，则.
(2)解：依题意得、、、，
所以，，，，
又，，
所以，.
(3)证明：依题意得、、、、，
则，，，
所以，，，
则，，即，，
又因为，所以，平面
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.
(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；
(2)求证：.
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
(1)解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、.
(2)证明：依题意可得、，则，，
所以，，所以.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
（1）求 的模；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴＝＝.
（2）由题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
·＝3，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
（3）由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，
∴·＝－＋＋0＝0，
∴⊥，即A1B⊥C1M.
3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
（1）求的长；
（2）求cos<>的值；
（3）求证：A1B⊥C1M．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
解：以为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
（1）
（2）
（3）
1．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且，，，则________.
【答案】14
如图示：
过分别作，的高，垂足分别为，，
平面平面，，
平面平面，故平面，
故，，又，
故，，两两垂直，
以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则由题意可知：
，0，，，0，，，7，，，0，，
故，7，，，0，，
故，
故答案为：14
2．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴 y轴 z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.
(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求.
【答案】(1)
(2)①；②2
(1)解：由，，知，，
所以，
所以；
(2)解：设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
②由题，
因为，所以，
由知
则
1．（2022·河南·模拟预测（理））在正方体中，为正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
如图，以D为坐标原点，DA,DC, 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，
则 ,
则 ，
故 ，
故线与直线所成角的余弦值为，
故选：B
2．（2022·浙江·模拟预测）在四棱台中，侧棱与底面垂直，上下底面均为矩形，，，则下列各棱中，最长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由四棱台可得，故.
因为平面，而平面，
故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系.
故，
故，
故选：B.
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量，，，若，则实数（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
【答案】B
，因为，所以，所以，所以2.
故选：B
4．（多选）（2022·江苏苏州·模拟预测）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AD
由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
而运算后是实数，没有这种运算，B不正确；
，C不正确.
故选：AD.

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