资源简介
1.3空间向量及其运算的坐标表示(精讲)
目录
第一部分:思维导图(总览全局)
第二部分:知识点精准记忆
第三部分:课前自我评估测试
第四部分:典 型 例 题 剖 析
重点题型一:空间向量的坐标表示
重点题型二:空间向量的坐标运算
重点题型三:空间向量的平行与垂直
重点题型四:空间向量夹角的计算
重点题型五:空间向量模的计算
重点题型六:空间向量的投影
重点题型七:利用向量证明垂直关系
第五部分:新定义问题
第六部分:高考(模拟)题体验
知识点一:空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系:在空间选定一点和一个单位正交基底,以为原点,分别以 的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念:叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面、平面、平面,它们把空间分成八个部分.
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标:在空间直角坐标系中,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标.
2.2空间向量的坐标:在空间直角坐标系中,给定向量,作.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作.
知识点二:空间向量运算的坐标表示
设,空间向量的坐标运算法则如下表所示:
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
知识点三:空间向量平行与垂直的条件,几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行()
垂直() (均非零向量)
特别提醒:在中,应特别注意,只有在与三个坐标平面都不平行时,才能写成.例如,若与坐标平面平行,则,这样就没有意义了.
2、向量长度的坐标计算公式
若,则,即
空间向量长度公式表示的是向量的长度,其形式与平面向量长度公式一致,它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设,则
4、两点间的距离公式
已知,则
1.(2022·全国·高二课时练习)判断正误
(1)空间直角坐标系中,在轴上的点的坐标一定是的形式.( )
(2)空间直角坐标系中,在平面内的点的坐标一定是的形式.( )
(3)空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为.( )
2.(2022·全国·高二课时练习)设是空间向量的一个单位正交基底,,则,的坐标分别为_________.
3.(2022·全国·高二课时练习)与向量共线的向量是( )
A. B. C. D.
4.(2022·全国·高二课时练习)已知,若,则_________.
5.(2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末)已知向量,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
重点题型一:空间向量的坐标表示
典型例题
例题1.(2022·北京房山·高二期末)如图,长方体,若,则的坐标为___________.
例题2.(2022·全国·高二课时练习)如图,建立空间直角坐标系.正方体的棱长为1,顶点位于坐标原点.
(1)若是棱的中点,是棱的中点,是侧面的中心,则分别求出向量,,的坐标;
同类题型归类练
1.(2022·江苏·高二课时练习)已知正方体的棱长为2,分别为棱,的中点,如图所示建立空间直角坐标系.
(1)写出各顶点的坐标;
(2)写出向量的坐标.
2.(2022·湖南·高二课时练习)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的三等分点,且PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.
重点题型二:空间向量的坐标运算
典型例题
例题1.(2022·湖南·高二课时练习)已知,,求,,.
例题2.(2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习)已知向量,,,若,,共面,则___________.
同类题型归类练
1.(2022·江苏连云港·高二期末)已知 =(3,2,-1), (2,1,2),则=___________.
2.(2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中)已知,,则_______.
3.(2022·全国·高二课时练习)已知点,,,,求:
(1),,;
(2);
重点题型三:空间向量的平行与垂直
典型例题
例题1.(2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习)向量,若,则的值为( )
A.2 B.1 C. D.
例题2.(2022·全国·高二)已知,,且与垂直,则的值为___________.
例题3.(2022·全国·高二课时练习)已知,.
(1)当时,求实数的值;
(2)当时,求实数的值.
例题4.(2022·全国·高三专题练习)若,.
(1)若,求;
(2)若,求.
同类题型归类练
1.(2022·江苏徐州·高二期中)已知向量,,若,则实数的值为( )
A.2 B.4 C. D.
2.(2022·安徽滁州·高二期中)已知,,若,则m的值为( )
A.-2 B.2 C. D.
3.(2022·上海市奉贤中学高二阶段练习)向量,向量,若,则实数________.
4.(2022·全国·高二课时练习)已知,,且与平行,求实数m的值.
5.(2022·全国·高二课时练习)已知向量,.
(1)若,试求实数x,y的值;
(2)若,且x,y均为正数,试求xy的最大值.
6.(2022·全国·高二课时练习)已知向量,.
(1)若,求实数x,y的值;
(2)若,且,求实数x,y的值.
重点题型四:空间向量夹角的计算
典型例题
例题1.(2022·江苏宿迁·高二期中)若向量,,则向量与的夹角为( )
A.0 B. C. D.
例题2.(2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试)在空间直角坐标系中,若,,与的夹角为,则的值为( )
A.1 B. C.或 D.17或
例题3.(2022·四川·阆中中学高二阶段练习(理))若向量若与的夹角为锐角,则的范围为_________.
例题4.(2021·四川省平昌中学高一阶段练习)已知,且的夹角为钝角,则实数的范围_______
同类题型归类练
1.(2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习(理))已知,,且,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
2.(2022·浙江丽水·高二开学考试)已知向量,,若与夹角为,则的值为( )
A. B. C.-1 D.1
3.(2022·四川达州·高一期末(理))若向量,且与的夹角是锐角,则实数x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.(2022·全国·高三专题练习)已知,,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.(2022·全国·高二课时练习)已知、、,与的夹角为 ,则实数______.
6.(2022·湖北·高二学业考试)已知平面内两个向量,,若与的夹角为钝角,则实数的取值范围是_________.
7.(2022·福建省长汀县第一中学高二阶段练习)设向量,,计算以及与所成角的余弦值.
8.(2022·北京市第十二中学高一阶段练习)已知.
(1)求与夹角的余弦值.
(2)当与的夹角为钝角时,求的取值范围.
重点题型五:空间向量模的计算
典型例题
例题1.(2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练习(理))设、,向量,,且,,则( )
A. B. C. D.
例题2.(2022·全国·高二单元测试)若向量,,且,则实数______.
例题3.(2022·全国·高二课时练习)若两点,,当取最小值时,的值等于__________.
同类题型归类练
1.(2022·江苏徐州·高二期末)已知向量,,若,则( )
A.1 B. C. D.2
2.(2022·福建龙岩·高二期中)已知向量,,则( )
A. B.40 C.6 D.36
3.(2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末)向量,,,且,,则______.
4.(2022·全国·高二课时练习)在棱长为1的正方体中,E为的中点,P、Q是正方体表面上相异两点.若P、Q均在平面上,满足,.
(1)判断PQ与BD的位置关系;
(2)求的最小值.
重点题型六:空间向量的投影
典型例题
例题1.(2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习)已知,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
例题2.(2022·全国·高二课时练习)已知向量,,则在的方向上的数量投影为( )
A. B. C. D.
例题3.(2022·全国·高三专题练习)已知,在上的投影为1,则在上的投影为( )
A.-1 B.2 C.3 D.
例题4.(2022·上海市建平中学高一期末)已知、的夹角为,设,则在上的数量投影为___.
同类题型归类练
1.(2022·广东惠州·高二期末)已知,,则在上的投影向量为( )
A.1 B. C. D.
2.(2022·全国·高二期末)已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3.(2022·全国·高三专题练习)已知,,则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.(2022·全国·高二课时练习)已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.(2022·江西南昌·高一期末)在等腰中,若,,则向量在向量方向上的投影为( )
A. B. C.1 D.
重点题型七:利用向量证明垂直关系
典型例题
例题1.(2022·湖南·高二课时练习)如图,在正方体中,,分别是,的中点,求证:平面.
例题2.(2022·全国·高二课时练习)如图所示,在直三棱柱中,,,棱,、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决如下问题:
(1)求的模;
(2)求的值;
(3)求证:平面.
同类题型归类练
1.(2022·全国·高二课时练习)如图,在棱长为的正方体中,是的中点,是的中点,是的中点.
(1)试建立适当的坐标系,并确定、、三点的坐标;
(2)求证:.
2.(2022·全国·高三专题练习)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求 的模;
(2)求cos〈,〉的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
3.(2022·全国·高二课时练习)如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求的长;
(2)求cos<>的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
1.《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除,它下广六尺,上广一丈.深三尺,末广八尺,袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE,如图,四边形ABCD,ABEF均为等腰梯形,,平面平面ABEF,梯形ABCD,梯形ABEF的高分别为3,7,且,,,则________.
2.空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标:分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴 y轴 z轴)正方向的单位向量,若向量,则与有序实数组(x,y,z)相对应,称向量的斜60°坐标为[x,y,z],记作.
(1)若,,求的斜60°坐标;
(2)在平行六面体中,AB=AD=2,AA1=3,,如图,以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若,求向量的斜坐标;
②若,且,求.
1.(2022·河南·模拟预测(理))在正方体中,为正方形ABCD的中心,则直线与直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2.(2022·浙江·模拟预测)在四棱台中,侧棱与底面垂直,上下底面均为矩形,,,则下列各棱中,最长的是( )
A. B. C. D.
3.(2022·全国·模拟预测(理))已知向量,,,若,则实数( )
A.-2 B.2 C.1 D.-1
4.(多选)(2022·江苏苏州·模拟预测)设,为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有( ).
A. B.
C. D.
1.3空间向量及其运算的坐标表示(精讲)
目录
第一部分:思维导图(总览全局)
第二部分:知识点精准记忆
第三部分:课前自我评估测试
第四部分:典 型 例 题 剖 析
重点题型一:空间向量的坐标表示
重点题型二:空间向量的坐标运算
重点题型三:空间向量的平行与垂直
重点题型四:空间向量夹角的计算
重点题型五:空间向量模的计算
重点题型六:空间向量的投影
重点题型七:利用向量证明垂直关系
第五部分:新定义问题
第六部分:高考(模拟)题体验
知识点一:空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系:在空间选定一点和一个单位正交基底,以为原点,分别以 的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念:叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面、平面、平面,它们把空间分成八个部分.
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标:在空间直角坐标系中,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标.
2.2空间向量的坐标:在空间直角坐标系中,给定向量,作.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作.
知识点二:空间向量运算的坐标表示
设,空间向量的坐标运算法则如下表所示:
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
知识点三:空间向量平行与垂直的条件,几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行()
垂直() (均非零向量)
特别提醒:在中,应特别注意,只有在与三个坐标平面都不平行时,才能写成.例如,若与坐标平面平行,则,这样就没有意义了.
2、向量长度的坐标计算公式
若,则,即
空间向量长度公式表示的是向量的长度,其形式与平面向量长度公式一致,它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设,则
4、两点间的距离公式
已知,则
1.(2022·全国·高二课时练习)判断正误
(1)空间直角坐标系中,在轴上的点的坐标一定是的形式.( )
(2)空间直角坐标系中,在平面内的点的坐标一定是的形式.( )
(3)空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为.( )
【答案】 √ √
(1).空间直角坐标系中,在轴上的点的坐标一定是的形式.
(2)√.在平面内的点,坐标必为.
(3)√.空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为.
2.(2022·全国·高二课时练习)设是空间向量的一个单位正交基底,,则,的坐标分别为_________.
【答案】
由题可知:
故答案为:
3.(2022·全国·高二课时练习)与向量共线的向量是( )
A. B. C. D.
【答案】D
由题可知:
故选:D
4.(2022·全国·高二课时练习)已知,若,则_________.
【答案】1
由题可知:
故答案为:1
5.(2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末)已知向量,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
由题可知:,,,
故选;D
重点题型一:空间向量的坐标表示
典型例题
例题1.(2022·北京房山·高二期末)如图,长方体,若,则的坐标为___________.
【答案】
由题设,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,
由,知点,知长方体长2,宽2,高1
则,,
故答案为:
例题2.(2022·全国·高二课时练习)如图,建立空间直角坐标系.正方体的棱长为1,顶点位于坐标原点.
(1)若是棱的中点,是棱的中点,是侧面的中心,则分别求出向量,,的坐标;
【答案】(1),,;
(1)因为是棱的中点,是棱的中点,是侧面的中心,
所以,,,.
所以,,,.
同类题型归类练
1.(2022·江苏·高二课时练习)已知正方体的棱长为2,分别为棱,的中点,如图所示建立空间直角坐标系.
(1)写出各顶点的坐标;
(2)写出向量的坐标.
【答案】(1),,,;
(2).,.
解:(1)设轴、轴、轴的单位向量分别为.
因为正方体的棱长为2.所以,
因为,所以.
又因为,所以.
同理可得,.
(2)因为分别为棱,的中点
由中点坐标公式,得.
所以.,
2.(2022·湖南·高二课时练习)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的三等分点,且PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.
【答案】
由题意得PA垂直于平面ABCD,AD⊥AB,
所以PA ⊥AD,PA ⊥AB,
所以PA,AD,AB两两垂直.
又PA=AB=AD=1,
所以可设,分别以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
因为,
所以.
因此的坐标为.
重点题型二:空间向量的坐标运算
典型例题
例题1.(2022·湖南·高二课时练习)已知,,求,,.
【答案】,,
,
,
.
例题2.(2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习)已知向量,,,若,,共面,则___________.
【答案】2
因为,,共面,设,则,则,解得.
故答案为:2.
同类题型归类练
1.(2022·江苏连云港·高二期末)已知 =(3,2,-1), (2,1,2),则=___________.
【答案】2
因为,
故答案为:2
2.(2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中)已知,,则_______.
【答案】6
由,,得
,,
.
.
故答案为:.
3.(2022·全国·高二课时练习)已知点,,,,求:
(1),,;
(2);
【答案】(1),,;(2);
(1)由题设,,,.
(2)由(1),.
重点题型三:空间向量的平行与垂直
典型例题
例题1.(2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习)向量,若,则的值为( )
A.2 B.1 C. D.
【答案】C
由题意可得知,则,因此,所以,
故选:C.
例题2.(2022·全国·高二)已知,,且与垂直,则的值为___________.
【答案】
因为,,
所以,
,
因为与垂直,所以,
解得:,所以的值为,
故答案为:.
例题3.(2022·全国·高二课时练习)已知,.
(1)当时,求实数的值;
(2)当时,求实数的值.
【答案】(1)(2)
(1)解:因为,,
所以,
,
解得;
(2)因为,
所以,
所以,
解得.
例题4.(2022·全国·高三专题练习)若,.
(1)若,求;
(2)若,求.
【答案】(1);(2).
,
,
(1)∵,
∴,解得;
(2)∵,
∴,解得.
同类题型归类练
1.(2022·江苏徐州·高二期中)已知向量,,若,则实数的值为( )
A.2 B.4 C. D.
【答案】C
因为向量,,且,
所以,解得:.
故选:C
2.(2022·安徽滁州·高二期中)已知,,若,则m的值为( )
A.-2 B.2 C. D.
【答案】C
因为,所以,解得,
故选:C.
3.(2022·上海市奉贤中学高二阶段练习)向量,向量,若,则实数________.
【答案】-2
因为向量,,且,
所以,解得:t=-2.
故答案为:-2
4.(2022·全国·高二课时练习)已知,,且与平行,求实数m的值.
【答案】
因为,所以,
所以,
因为与不平行,所以,
所以.
5.(2022·全国·高二课时练习)已知向量,.
(1)若,试求实数x,y的值;
(2)若,且x,y均为正数,试求xy的最大值.
【答案】(1)x=-4,y=-1;(2)1
(1)因为向量,所以.
又向量,,所以,解得:.
因此x=-4,y=-1;
(2)因为向量,所以.
又向量,,所以,.
因为x,y均为正数,所以当且仅当,即时取等号.所以所以,即xy的最大值为1.
6.(2022·全国·高二课时练习)已知向量,.
(1)若,求实数x,y的值;
(2)若,且,求实数x,y的值.
【答案】(1),(2)或
(1)由∥可得,存在实数使,
即,解得,,;
(2)若,则①,
由,则②,
两式联立解得或.
重点题型四:空间向量夹角的计算
典型例题
例题1.(2022·江苏宿迁·高二期中)若向量,,则向量与的夹角为( )
A.0 B. C. D.
【答案】D
设向量与的夹角为,且,
所以,,
所以,
故选:D
例题2.(2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试)在空间直角坐标系中,若,,与的夹角为,则的值为( )
A.1 B. C.或 D.17或
【答案】D
由题意,向量,,
可得,,,
因为与的夹角为,可得,即,
整理得,解得或.
故选:D.
例题3.(2022·四川·阆中中学高二阶段练习(理))若向量若与的夹角为锐角,则的范围为_________.
【答案】
因为向量若与的夹角为锐角,
所以,且、不同向共线.
只需满足,解得:或.
所以的范围为.
故答案为:.
例题4.(2021·四川省平昌中学高一阶段练习)已知,且的夹角为钝角,则实数的范围_______
【答案】
由于与的夹角为钝角,则且与不共线,
,,,解得且,
因此,实数的取值范围是且,
故答案为:且.
同类题型归类练
1.(2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习(理))已知,,且,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】A
设向量与的夹角为,
因为,,且,
所以,得,
所以,
所以,
因为,所以,
故选:A
2.(2022·浙江丽水·高二开学考试)已知向量,,若与夹角为,则的值为( )
A. B. C.-1 D.1
【答案】A
解:因为,,且与夹角为,
则,,
所以,
可知,解得:.
故选:A.
3.(2022·四川达州·高一期末(理))若向量,且与的夹角是锐角,则实数x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
解:因为与的夹角是锐角,
所以且与不共线,
即:,解得且.
故选:D.
4.(2022·全国·高三专题练习)已知,,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
由与的夹角为锐角知且与不共线,即且,即且.
故选:D.
5.(2022·全国·高二课时练习)已知、、,与的夹角为 ,则实数______.
【答案】
由题意得,,
故 ,
解得 ,
故答案为:
6.(2022·湖北·高二学业考试)已知平面内两个向量,,若与的夹角为钝角,则实数的取值范围是_________.
【答案】
由题意, ,
当 反向时,有 ,解得 ,
∴k的取值范围是 ;
故答案为:.
7.(2022·福建省长汀县第一中学高二阶段练习)设向量,,计算以及与所成角的余弦值.
【答案】,,,
.
.
∵,,
∴
8.(2022·北京市第十二中学高一阶段练习)已知.
(1)求与夹角的余弦值.
(2)当与的夹角为钝角时,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1),,,
,
解得
(2)由(1)知,
当与的夹角为钝角时, ,
即,
解得,
当与反向共线时,有 ,
即,解得,此时不满足题意.
综上,实数的取值范围.
重点题型五:空间向量模的计算
典型例题
例题1.(2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练习(理))设、,向量,,且,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
因为,则,解得,则,
因为,则,解得,即,
所以,,因此,.
故选:D.
例题2.(2022·全国·高二单元测试)若向量,,且,则实数______.
【答案】
,,
解得:或,又,.
故答案为:.
例题3.(2022·全国·高二课时练习)若两点,,当取最小值时,的值等于__________.
【答案】
由题意,
所以时,取得最大值.
故答案为:.
同类题型归类练
1.(2022·江苏徐州·高二期末)已知向量,,若,则( )
A.1 B. C. D.2
【答案】D
由,则,即,
有,
所以,
所以,则
故选:D
2.(2022·福建龙岩·高二期中)已知向量,,则( )
A. B.40 C.6 D.36
【答案】C
由题设,则.
故选:C
3.(2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末)向量,,,且,,则______.
【答案】
因,,而,则有,解得,即
又,且,则有,解得,即,
于是得,,
所以.
故答案为:
4.(2022·全国·高二课时练习)在棱长为1的正方体中,E为的中点,P、Q是正方体表面上相异两点.若P、Q均在平面上,满足,.
(1)判断PQ与BD的位置关系;
(2)求的最小值.
【答案】(1)PQ与BD的位置关系是平行(2)
(1)以D为原点,以射线DA,DC,分别为x,y,z轴的正向建立空间直角坐标系,,,.
因为P、Q均在平面上,所以设,,
则,,.
因为,,
所以
解得:
所以,,
即,,
所以PQ与BD的位置关系是平行.
(2)由(1)可知:,,
所以.
当时,有最小值,最小值为.
重点题型六:空间向量的投影
典型例题
例题1.(2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习)已知,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】B
因为,所以,
所以,
所以在上的投影向量为
故选:B
例题2.(2022·全国·高二课时练习)已知向量,,则在的方向上的数量投影为( )
A. B. C. D.
【答案】C
由题意知:在的方向上的数量投影为.
故选:C.
例题3.(2022·全国·高三专题练习)已知,在上的投影为1,则在上的投影为( )
A.-1 B.2 C.3 D.
【答案】C
在上的投影为,即,
在上的投影为,
故选:C
例题4.(2022·上海市建平中学高一期末)已知、的夹角为,设,则在上的数量投影为___.
【答案】
由分别表示在、方向上的单位向量,且、的夹角为,
由知:且、的夹角为,
所以在上的数量投影为.
故答案为:
同类题型归类练
1.(2022·广东惠州·高二期末)已知,,则在上的投影向量为( )
A.1 B. C. D.
【答案】C
解:因为,,所以,
所以,
所以在上的投影向量为
故选:C
2.(2022·全国·高二期末)已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
【答案】C
因空间向量,,,,
所以向量在向量上的投影向量是.
故选:C
3.(2022·全国·高三专题练习)已知,,则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
【答案】C
因为,0,,,2,,
则向量在向量上的投影为,
所以向量在向量上的投影向量是.
故选:.
4.(2022·全国·高二课时练习)已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解:向量,
则,,,
所以向量在向量上的投影向量为.
故选:.
5.(2022·江西南昌·高一期末)在等腰中,若,,则向量在向量方向上的投影为( )
A. B. C.1 D.
【答案】A
易得,则向量在向量方向上的投影为.
故选:A.
重点题型七:利用向量证明垂直关系
典型例题
例题1.(2022·湖南·高二课时练习)如图,在正方体中,,分别是,的中点,求证:平面.
【答案】证明见解析.
设,,,则.
则,
.
∴.
∴,即.
同理.∵,
∴平面.
例题2.(2022·全国·高二课时练习)如图所示,在直三棱柱中,,,棱,、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决如下问题:
(1)求的模;
(2)求的值;
(3)求证:平面.
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
(1)解:因为平面,,
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则,,所以,,则.
(2)解:依题意得、、、,
所以,,,,
又,,
所以,.
(3)证明:依题意得、、、、,
则,,,
所以,,,
则,,即,,
又因为,所以,平面
同类题型归类练
1.(2022·全国·高二课时练习)如图,在棱长为的正方体中,是的中点,是的中点,是的中点.
(1)试建立适当的坐标系,并确定、、三点的坐标;
(2)求证:.
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
(1)解:以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、.
(2)证明:依题意可得、,则,,
所以,,所以.
2.(2022·全国·高三专题练习)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求 的模;
(2)求cos〈,〉的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
【答案】(1);(2);(3)证明见解析.
(1)如图,以点C作为坐标原点O,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系. 由题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴==.
(2)由题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴=(1,-1,2),=(0,1,2),
·=3,||=,||=,
∴cos〈,〉==.
(3)由题意得C1(0,0,2),M,=(-1,1,-2),=,
∴·=-++0=0,
∴⊥,即A1B⊥C1M.
3.(2022·全国·高二课时练习)如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求的长;
(2)求cos<>的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
【答案】(1);(2);(3)证明见解析.
解:以为原点,分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
(1)
(2)
(3)
1.《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除,它下广六尺,上广一丈.深三尺,末广八尺,袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE,如图,四边形ABCD,ABEF均为等腰梯形,,平面平面ABEF,梯形ABCD,梯形ABEF的高分别为3,7,且,,,则________.
【答案】14
如图示:
过分别作,的高,垂足分别为,,
平面平面,,
平面平面,故平面,
故,,又,
故,,两两垂直,
以为坐标原点,,,分别为,,轴的正方向,
建立空间直角坐标系,则由题意可知:
,0,,,0,,,7,,,0,,
故,7,,,0,,
故,
故答案为:14
2.空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标:分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴 y轴 z轴)正方向的单位向量,若向量,则与有序实数组(x,y,z)相对应,称向量的斜60°坐标为[x,y,z],记作.
(1)若,,求的斜60°坐标;
(2)在平行六面体中,AB=AD=2,AA1=3,,如图,以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若,求向量的斜坐标;
②若,且,求.
【答案】(1)
(2)①;②2
(1)解:由,,知,,
所以,
所以;
(2)解:设分别为与同方向的单位向量,
则,
①
②由题,
因为,所以,
由知
则
1.(2022·河南·模拟预测(理))在正方体中,为正方形ABCD的中心,则直线与直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
如图,以D为坐标原点,DA,DC, 分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体棱长为2,
则 ,
则 ,
故 ,
故线与直线所成角的余弦值为,
故选:B
2.(2022·浙江·模拟预测)在四棱台中,侧棱与底面垂直,上下底面均为矩形,,,则下列各棱中,最长的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
由四棱台可得,故.
因为平面,而平面,
故,而,故可建立如图所示的空间直角坐标系.
故,
故,
故选:B.
3.(2022·全国·模拟预测(理))已知向量,,,若,则实数( )
A.-2 B.2 C.1 D.-1
【答案】B
,因为,所以,所以,所以2.
故选:B
4.(多选)(2022·江苏苏州·模拟预测)设,为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有( ).
A. B.
C. D.
【答案】AD
由数量积的性质和运算律可知AD是正确的;
而运算后是实数,没有这种运算,B不正确;
,C不正确.
故选:AD.
展开更多......
收起↑