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专题05复数的概念（五大考点）
思维导图
核心考点聚焦
考点一：复数的基本概念
考点二：复数相等
考点三：复数的几何意义
考点四：复数的模
考点五：复数的轨迹与最值问题
知识点一：复数的基本概念
1、虚数单位
数叫做虚数单位，它的平方等于，即．
知识点诠释：
①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
2、复数的概念
形如（）的数叫复数，记作：（）；
其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．
知识点诠释：
复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据．
3、复数的分类
对于复数（）
若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数．
分类如下：
（）
用集合表示如下图：
4、复数集与其它数集之间的关系
（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．）
5、共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
通常记复数的共轭复数为．
知识点二：复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：
如果，那么
特别地：．
知识点诠释：
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样．
根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．
一、复数的几何意义
1、复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．
知识点诠释：
实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2、复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义．
3、复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数．
设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．
复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
复数平面向量
这是复数的另一种几何意义．
4、复数的模
设（），则向量的长度叫做复数的模，记作．即．
知识点诠释：
①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等．
考点剖析
考点一：复数的基本概念
例1．
（2024·全国·高一课堂例题）
1．当为何实数时，复数分别是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数：
(4)0？
例2．
（2024·河北邢台·高一统考）
2．复数，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为
C．的实部为 D．的虚部为
例3．
（2024·云南·高二校联考）
3．已知，，若，则z的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
变式1．
（2024·浙江绍兴·高一绍兴市稽山中学校考）
4．设，则复数的虚部为（ ）
A． B．2 C． D．
变式2．
（2024·江苏徐州·高一统考）
5．已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
变式3．
（2024·浙江·高一）
6．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
考点二：复数相等
例4．
（2024·河南商丘·高一校考阶段练习）
7．已知x、，若，则 ．
例5．
（2024·上海奉贤·统考一模）
8．已知，，则a＝ ；
例6．
（2024·新疆喀什·高一校考）
9．已知，则
变式4．
（2024·西藏拉萨·高一统考期末）
10．已知，i为虚数单位，且，则 .
考点三：复数的几何意义
例7．
（2024·新疆哈密·高一校考期末）
11．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为 ．
例8．
（2024·福建宁德·高一统考）
12．已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第 象限．
例9．
（2024·高一单元测试）
13．若复数所对应的点在第二象限，则的取值范围为 .
变式5．
（2024·高一单元测试）
14．若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 .
变式6．
（2024·高二课时练习）
15．已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是 ．
变式7．
（2024·全国·高一随堂练习）
16．当时，复数在复平面内的对应点位于第 象限．
变式8．
（2024·广西玉林·高一校联考期末）
17．若复数（其中为虚数单位）在复平面内所对应的向量分别为和，则的面积为 .
考点四：复数的模
例10．
（2024·广东深圳·高一校考）
18．复数的模 ．
例11．
（2024·北京石景山·高一北京市第九中学校考期末）
19．已知纯虚数满足，则 ．
例12．
（2024·福建福州·高一校考期末）
20．已知复数，其中i为虚数单位，若z，在夏平面上对应的点分别为M，N，则线段MN长度为 ．
变式9．
（2024·内蒙古包头·高一统考期末）
21．已知复平面内复数对应的点在射线上，且，则 ．
变式10．
（2024·辽宁抚顺·高一校联考期末）
22．是虚数单位，已知．写出一个满足条件的复数 ．
变式11．
（2024·广东广州·高一统考期末）
23．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且，则z等于 ．（写出一个即可）
变式12．
（2024·高一单元测试）
24．若复数满足，则 ．
考点五：复数的轨迹与最值问题
例13．
（2024·广东汕头·高一校考）
25．复数满足，且在复平面内对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是（ ）.
A．点 B．圆 C．线段 D．圆环
例14．
（2024·高一课时练习）
26．复数满足关系式：，则复数在复平面内对应点的轨迹是（ ）
A．两条直线 B．一条直线和一个圆
C．两个圆 D．一个圆
例15．
（2024·辽宁·高一校联考期末）
27．已知复数z满足，则的最大值为 ．
变式13．
（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）
28．若，且满足，则的最大值为 .
变式14．
（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）
29．已知，则的最大值是 .
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一、单选题
（2024·河北沧州·高三校联考阶段练习）
30．若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）
31．复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数
（2024·安徽·高二淮南第三中学校联考阶段练习）
32．已知是虚数单位，，则（ ）
A． B． C．2 D．
（2024·江苏镇江·高一校联考阶段练习）
33．设m为实数，已知复数为纯虚数，则m的值为（ ）
A．0或1 B．1或-2 C．0 D．-2
（2024·辽宁大连·高一大连八中校考）
34．复数对应的点在第四象限，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
（2024·河南开封·高一校考阶段练习）
35．若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（　　）
A． B． C． D．
（2024·河南洛阳·高二校考阶段练习）
36．已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
（2024·广东佛山·高一统考）
37．复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
二、多选题
（2024·陕西西安·高一阶段练习）
38．对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
（2024·重庆万州·高一校考阶段练习）
39．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，则实数的可能取值为（ ）
A．2 B．0 C． D．1
（2024·内蒙古呼和浩特·高一内蒙古师大附中校考期末）
40．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．复数的模长为
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
（2024·高一单元测试）
41．设，复数，则在复平面内对应的点可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三、填空题
（2024·新疆喀什·高一统考期末）
42．已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 .
（2024·贵州黔西·高一校考阶段练习）
43．在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为 ．
（2024·江苏无锡·高一统考期末）
44．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 .
（2024·贵州遵义·高一统考期末）
45．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点在第 象限．
四、解答题
（2024·陕西西安·高一阶段练习）
46．（1）若，则实数的值为多少？
（2）若，且，则实数的值分别为多少？
（2024·河南省直辖县级单位·高二河南省济源第一中学校考阶段练习）
47．设复数，其中.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
（2024·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）
48．实数取什么数值时，复数分别是：
(1)实数？
(2)纯虚数？
（2024·高一单元测试）
49．已知复平面内的对应的复数分别是，，其中，设对应的复数是.
(1)求复数；
(2)若复数对应的点在直线上，求的值.
（2024·福建福州·高一校联考）
50．平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、．
(1)求点对应的复数：
(2)在中，求边上的高．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据虚部为0可得答案；
（2）根据虚部不为0可得答案；
（3）根据实部为0 虚部不为0可得答案；
（4）根据实部虚部都为0可得答案．
【详解】（1）当，即时，复数是实数；
（2）当，即时，复数是虚数；
（3）当且，即时，复数是纯虚数；
（4）当且，即时，复数．
2．B
【分析】根据复数的概念求解.
【详解】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误；
的虚部为，B正确，D错误.
故选：B.
3．A
【分析】根据复数相等求得，然后利用共轭复数的概念求虚部，即可求解．
【详解】由，可得，所以，所以的虚部是．
故选：A．
4．A
【分析】直接根据复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】复数的虚部为，
故选：A
5．A
【分析】根据的次方运算的周期性可得答案.
【详解】，
故选：A
6．A
【分析】由复数的乘法运算以及共轭复数的定义即可求解.
【详解】由得，所以的共轭复数为，
故选：A
7．2
【分析】根据相等复数的概念列出方程组，解之即可求解.
【详解】由题意，得，
所以.
故答案为：2.
8．
【分析】利用复数相等即可求出结果.
【详解】因为，
则由复数相等可得：，
即.
故答案为：.
9．3
【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可
【详解】因为，，
所以 解得.
所以.
故答案为：3.
10．0
【分析】利用复数相等列方程组求解.
【详解】因为，则，
故答案为：0.
11．##
【分析】利用复数的几何意义，结合平面向量相等的性质即可得解.
【详解】依题意，因为三点对应的复数分别是，，，
所以，
因为是平行四边形，所以，设，
则，故，解得，
所以，则点D对应的复数为.
故答案为: .
12．二
【分析】根据复数的几何意义分析即可.
【详解】复数在复平面内复数z对应的点为，位于第二象限.
故答案为：二
13．，或.
【分析】根据复数所对应的点在第二象限，则得到实部小于零，虚部大于零，解不等式得出结果.
【详解】因为复数所对应的点在第二象限，
，且，
解得：或.
故答案为：或.
14．
【分析】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果.
【详解】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上，
所以，解得或.
故答案为：.
15．
【分析】确定复数对应点在第一象限，旋转后在轴的正半轴上，计算复数模得到答案.
【详解】，对应的点为在第一象限，
逆时针旋转最小正角时，对应的点在轴的正半轴上，，故纯虚数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了复数对应的点，复数的旋转，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
16．四
【分析】根据复数对应的点的坐标的符号，即可求解.
【详解】由复数在复平面内对应的点，
因为，可得，
所以点位于第四象限.
故答案为：四.
17．##6.5
【分析】根据向量的坐标运算可得垂直关系，即可由模长求解得面积.
【详解】由题意，得，则，，
的面积为，
故答案为：.
18．
【分析】利用复数的模公式求解.
【详解】复数的模，
故答案为：．
19．2
【分析】设，根据复数模的定义得，解出值即可得到答案.
【详解】设，则，则，
即舍去或，所以．
故答案为：．
20．
【分析】根据复数的几何意义，写出点，再根据两点间距离公式，即可求解.
【详解】，则，，则，
所以线段的长度.
故答案为：
21．
【分析】根据题意 得到复数，其中，结合，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】由复平面内复数对应的点在射线上，所以，，其中，
因为，可得，
又因为，解得，所以.
故答案为：.
22．（答案不唯一，满足均可）
【分析】设，根据已知得a，b关系，然后可得答案.
【详解】设，因为，
所以，即，
整理得，取得.
故答案为：（答案不唯一，满足均可）
23．（答案不唯一）
【分析】根据复数模的运算公式，结合复数在复平面内对应的点的特征进行求解即可.
【详解】设，，
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，，
又因为，所以，显然当时，符合题意，
故答案为：（答案不唯一）
24．
【分析】设，根据模长公式求出，从而可求得结果.
【详解】设，则，
所以，
解得，
所以，
故答案为：
25．B
【分析】根据复数模的知识求得正确答案.
【详解】由于，故对应点到原点的距离为，
所以复平面内点Z的轨迹是单位圆.
故选：B
26．C
【分析】解方程得出或，再由复数的模得出表示的轨迹.
【详解】由，解得或.
当时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆.
当时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆.
故选：C
27．##
【分析】根据复数的几何意义，结合圆的性质运算求解.
【详解】设复数z在复平面中对应的点为，
因为，则点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
且表示点到定点的距离，
所以的最大值为.
故答案为：.
28．3
【分析】根据复数模的几何意义，结合图形，即可求解.
【详解】，复数的轨迹表示以点为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点的距离，
如图，当过点和圆的圆心，即为最大值.

故答案为：
29．6
【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解作答.
【详解】在复平面内，由，知复数对应点的轨迹是原点为圆心的单位圆，
表示点与复数对应点的距离，
所以的最大值为.
故答案为：6
30．D
【分析】写出复数的实部与虚部，再判断其正负，再结合复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，实部为，虚部为，
因为，所以，，
所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.
故选：D
31．D
【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.
【详解】由题意可设，
所以对应复数为，此复数为纯虚数，
故选：D.
32．D
【分析】根据题意，利用复数相等列出方程组，求得的值，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由，可得，解得，则.
故选：D.
33．C
【分析】根据复数为纯虚数列方程计算求解即可.
【详解】复数为纯虚数,
,
故选:C.
34．B
【分析】利用复数的几何意义可得出，利用象限角与三角函数值符号的基本关系判断可得出结论.
【详解】因为复数对应的点在第四象限，则，
因此，角是第二象限角.
故选：B.
35．B
【分析】根据复数的几何意义进行求解.
【详解】根据复数的几何意义，对应复平面的点是，
关于轴对称得到的点是，对应的复数是.
故选：B
36．C
【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可.
【详解】因为，
所以，解得或．
故选：C
37．B
【分析】首先根据复数的几何意义求复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求模的最小值.
【详解】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心，
半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，

如图，最小值为.
故选：B
38．AB
【分析】根据复数的概念判断AC，根据复数相等判断B，根据虚数单位的定义判断D.
【详解】对于A：当，，当时为实数，A错误；
对于B：若，则，B错误；
对于C：若，则为实数，C正确；
对于D：，D正确.
故选：AB.
39．AD
【分析】根据复数的几何意义求出的取值范围，即可判断.
【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限，
则，所以符合题意的只有A、D.
故选：AD
40．ABD
【分析】根据复数的运算可直接判断A；计算复数的模可判断B；先化简复数，求出共轭复数，利用复数的几何意义可判断C；根据复数模的几何意义可判断D.
【详解】对于A：，故选项A正确；
对于B：复数的模为，故选项B正确；
对于C：，所以，对应的点位于第三象限，故选项C不正确；
对于D：复数满足，表示复数对应的点到点和点两点的距离相等，所以在复平面内对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，故选项D正确；
故选：ABD.
41．ABD
【分析】根据复数几何意义可得其对应的点的坐标，结合二次函数性质，分别讨论和情况下横坐标的正负，由此可得点所在的象限.
【详解】由题意得：复数在复平面内对应的点为；
令，
①当，即时，
若，则，位于第一象限；
若，则，在第二象限；
②当，即时，，位于第四象限；
综上所述：在复平面内对应的点可能在第一、第二和第四象限.
故选：ABD.
42．
【分析】根据复数为纯虚数，列式求解.
【详解】由复数为纯虚数，可知，
，得.
故答案为：
43．
【分析】首先求出和的坐标，从而求出的坐标，即可得解.
【详解】因为复数与所对应的向量分别为和，
所以，，
所以，即对应的复数为.
故答案为：
44．
【分析】首先将复数化简，再根据复数的几何意义，列不等式求实数的取值范围.
【详解】复数，因为复数对于的点在第四象限，
所以，解得：.
故答案为：
45．一
【分析】设复数，其中，根据，列出方程组求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】设复数，其中，
因为，可得，
可得，解得，所以，
可得，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故答案为：一.
46．（1）；（2）或
【分析】直接利用复数相等列方程组求解即可.
【详解】（1）由已知得，
解得；
（2）由已知得，
解得或.
47．(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可；
（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.
【详解】（1）是纯虚数，只需，解得.
（2）由题意知，
解得，
故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.
48．(1)或
(2)
【分析】（1）令虚部等于，即可求出值；
（2）令实部为，虚部不为，即可求出值.
【详解】（1）由已知得,
其中复数的实部为，虚部为，
当时，即或时复数为实数.
（2）当，即，
即时，复数为纯虚数.
49．(1).
(2)或.
【分析】（1）根据复数的坐标表示可求出结果；
（2）将点的坐标，代入，解方程可得结果.
【详解】（1）∵点对应的复数分别是 ，，
∴点的坐标分别是，
∴
，
∴对应的复数.
（2）由（1）知点的坐标是，代入，
得，即，∴.
又∵，∴，
∴或.
50．(1)
(2)
【分析】（1）写出顶点、、的坐标，利用平面向量加法的平行四边形法则求出点的坐标，即可得出点所对应的复数；
（2）利用平面向量数量积的坐标运算可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出，进而可得出.
【详解】（1）解：因为平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、，
由复数的几何意义可得、、，
由平面向量加法的平行四边形法则可得，
故点对应的复数为.
（2）解：因为，，所以，，
所以，，
因此，的边上的高为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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