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专题06 复数的四则运算（六大考点）
思维导图
核心考点聚焦
考点一：复数代数形式的加、减运算
考点二：复数加减法的几何意义
考点三：复数模的综合问题
考点四：复数代数形式的乘法运算
考点五：复数代数形式的除法运算
考点六：在复数范围内解方程
知识点一、复数的加减运算
1、复数的加法、减法运算法则：
设，（），我们规定：
知识点诠释：
（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显，
两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．
（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式．
2、复数的加法运算律：
交换律：
结合律：
知识点二、复数的加减运算的几何意义
1、复数的表示形式：
代数形式：（）
几何表示：
①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；
②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数．
知识点诠释：
复数复平面内的点平面向量
知识点三、复数的乘除运算
1、乘法运算法则：
设，（），我们规定：
知识点诠释：
（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．
2、乘法运算律：
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）分配律：
1、复数加、减法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量．
设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是，
由于，所以和的和就是与复数对应的向量．
知识点诠释：
要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理
考点剖析
考点一：复数代数形式的加、减运算
例1．
（2024·全国·高一随堂练习）
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例2．
（2024·全国·高一随堂练习）
2．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例3．
（2024·全国·高一随堂练习）
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
变式1．
（2024·安徽蚌埠·高二校考阶段练习）
4．已知，，为实数，若，求
变式2．
（2024·高一课时练习）
5．复数满足，求.
考点二：复数加减法的几何意义
例4．
（2024·高一课时练习）
6．复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ．
例5．
（2024·高一课时练习）
7．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ．
例6．
（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考）
8．已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ．
变式3．
（2024·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考）
9．已知，则 的最小值是 ．
变式4．
（2024·山东日照·高一校联考期末）
10．若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 .
变式5．
（2024·高二课时练习）
11．复平面上，，对应的点分别为，，已知，且，是坐标原点，则在复平面内是 （锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）.
考点三：复数模的综合问题
例7．
（2024·新疆伊犁·高一校联考期末）
12．设是虚数单位，若复数满足，则 ．
例8．
（2024·河北唐山·高一统考期末）
13．若复数，，则 .
例9．
（2024·广东佛山·高一统考期末）
14．设复数、，满足，，则 ．
变式6．
（2024·上海杨浦·高一校考期末）
15．若复数和复数满足，，，则 .
变式7．
（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考）
16．已知复数满足，则 .
变式8．
（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）
17．设复数、满足，，，则 ．
考点四：复数代数形式的乘法运算
例10．
（2024·上海青浦·高三校考）
18．已知为虚数单位，若复数满足，则 .
例11．
（2024·湖南湘西·高一统考期末）
19． .（为虚数单位）
例12．
（2024·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）
20．设复数满足，则的实部为 ．
变式9．
（2024·湖北·高一校联考）
21．若复数z的虚部小于0，且，则 ．
考点五：复数代数形式的除法运算
例13．
（2024·天津·高三天津市咸水沽第一中学校考）
22．已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 .
例14．
（2024·陕西榆林·高一校考）
23．已知复数，，则在复平面内对应的点位于第 象限.
例15．
（2024·江苏扬州·高一统考）
24．实数满足，则 ．
变式10．
（2024·上海·高三专题练习）
25．若，，则实数，应满足的条件为 .
变式11．
（2024·全国·高一随堂练习）
26．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点六：在复数范围内解方程
例16．
（2024·江苏徐州·高三校考阶段练习）
27．已知复数，为z的共轭复数，且．
(1)求m的值；
(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
例17．
（2024·全国·高一课堂例题）
28．在复数集C内解下列方程：
(1)；
(2)．
例18．
（2024·高一单元测试）
29．根据要求完成下列问题：
(1)关于的方程有实根，求实数的值；
(2)若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合.
变式12．
（2024·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）
30．已知复数，，.
(1)若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数的取值范围；
(2)若虚数是方程的一个根，求实数的值.
变式13．
（2024·青海海东·高一统考阶段练习）
31．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，其中．
(1)若m＝1，求；
(2)若是关于x的方程的一个复数根，求m的值及．
变式14．
（2024·上海嘉定·高一校考期末）
32．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，求的值.
变式15．
（2024·高一单元测试）
33．已知i是虚数单位，，.
(1)求的值；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
过关检测
一、单选题
（2024·陕西西安·高三统考阶段练习）
34．已知，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．10
（2024·江苏常州·高三校联考阶段练习）
35．已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）
36．复平面内，复数(为虚数单位)，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2024·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）
37．已知复数满足：，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）
38．已知i为虚数单位，复数z满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
（2024·云南保山·高一校考）
39．下列命题中，正确的个数为（ ）
①设是坐标原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是；
②复数是的根，则；
③若复数是关于的方程的一个根，则；
④已知复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
A． B． C． D．
（2024·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考）
40．复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考）
41．设复数，则的的虚部是（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
二、多选题
（2024·辽宁·高三校联考）
42．若复数，则（ ）
A．的共轭复数
B．
C．复数的实部与虚部相等
D．复数在复平面内对应的点在第四象限
（2024·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）
43．已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数所对应的点位于第一象限 B．
C． D．
（2024·重庆·高三西南大学附中校考）
44．复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ）
A．对应的点在复平面的第四象限 B．是一个纯虚数
C． D．
（2024·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考）
45．已知复数，下列结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C． D．
三、填空题
（2024·广东佛山·高一统考竞赛）
46．设复数满足，则 .
（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考）
47．复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则 ．
（2024·上海奉贤·高二校联考）
48．如果都是实数，关于的方程有一个根，则
（2024·广东东莞·高一东莞实验中学校考）
49．复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为
四、解答题
（2024·新疆喀什·高一统考期末）
50．计算：
(1)；
(2).
（2024·山东日照·高二校考阶段练习）
51．已知.
(1)求的值；
(2)设,求的值.
（2024·陕西西安·高一期末）
52．已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
(1)求复数z和|z|；
(2)若在第四象限，求m的取值范围.
（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）
53．（1）在复数范围内因式分解：；
（2）计算：是虚数单位．
（2024·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）
54．（1）已知复数，．i是虚数单位，若是纯虚数，求m的值；
（2）i是虚数单位，，，若，求复数z．
（2024·山东日照·高二统考）
55．已知是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．
(1)求复数z的模；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数加减运算即可.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
2．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数的加减运算逐一计算即可得出（1）~（4）的答案；
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
3．(1)
(2)2
(3)0
(4)
(5)
(6)
【分析】根据复数的加减运算求解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）由题意可得：.
（3）由题意可得：.
（4）由题意可得：.
（5）由题意可得：.
（6）由题意可得：.
4．.
【分析】先化简，再利用复数相等可求出，从而得到，再用复数的模长公式求解即可
【详解】
，
所以，
解得， ，
所以，，
则，所以．
5．
【分析】设，，求出，再根据复数相等得到方程组，解得即可；
【详解】解：设，，所以，因为
所以，即，所以，解得
所以
6．
【分析】根据即，求得点对应的复数，进而即得.
【详解】因为对应的复数是，对应的复数为，又，
所以对应的复数为，又，
所以点对应的复数为，
所以点的坐标为．
故答案为：．
7．5
【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求解．
【详解】依题意得对应的复数为，
所以A，C两点间的距离为．
故答案为：5．
8．
【分析】根据复数的几何意义以及复数加减法的几何意义进行求解.
【详解】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆，
， ，
，即，
复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧，
则在复平面所对应的点组成的图形的面积为：
故答案为：.
9．1
【解析】由，得z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上．
，表示Z到点所对应的点的距离，求出后减去半径可得最小值．
【详解】解：因为，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上．
，表示Z到点所对应的点的距离，
，
所以．
故答案为1．
【点睛】方法点睛：本题考查复数模的几何意义，表示复平面上对应的点到原点的距离，表示在复平面上对应的点与对应的点间的距离．因此有表示对应的点为圆心，为半径的圆．
10．16
【分析】由已知可得，，，再求出复数的模，从而可得的周长
【详解】因为，，，
所以，，.
所以的周长为.
故答案为：16
【点睛】此题考查复数的模的运算，属于基础题
11．直角三角形
【解析】设复数对应的点为，由得四边形为矩形，即可得出结论.
【详解】设复数对应的点为，则四边形为平行四边形，
又，即四边形为矩形，
，则在复平面内是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【点睛】本题考查复数加法和减法以及模的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.
12．
【分析】根据题意可得，进而结合模长公式运算求解.
【详解】因为，则，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】先根据复数减法法则计算，再根据复数模的计算公式，即可得出结果.
【详解】∵，，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】设，，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出、以及的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得的值.
【详解】设，，
因为，则，
又因为，
所以，，即，
由，可得，故，解得，
由，可得，
所以，，所以，.
故答案为：.
15．##
【分析】设，根据复数的运算及模的公式即可求解.
【详解】设，且，
则，
又，所以，
即，则，
因为，
所以，
所以.
故答案为：.
16．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，复数的四则运算，共轭复数的定义，即可求解
【详解】设，
∵，
，即，解得，
则有，.
故答案为：.
17．
【分析】设，，根据复数的模长公式以及复数相等可得出，通过计算可得出，即可得解.
【详解】设，，
则，即，
所以，，
，
因此，.
故答案为：.
18．##
【分析】设，根据复数的加减法及乘法运算求出，再根据复数的乘法运算即可得解.
【详解】设，则，
所以，
因为，
所以，所以，
所以，
则.
故答案为：.
19．
【分析】利用的周期性及复数的加减运算法则即可求解.
【详解】由题意，的周期为4，
所以原式.
故答案为：.
20．5
【分析】利用复数的乘法运算法则展开化简后即得答案.
【详解】,
故答案为：5.
21．-4
【分析】设且，根据，求出，再根据复数的乘方运算即可得解.
【详解】设且，
则，
所以，则或（舍去），
所以（舍去）或，
所以，
故答案为：
22．
【分析】l利用纯虚数的概念可求的值，再结合复数除法运算可求复数的值.
【详解】因为复数为纯虚数，可得，所以.
故答案为: .
23．一
【分析】先利用复数的除法运算求解复数，再利用复数的几何意义即可判断点所在的象限.
【详解】因为复数，，
所以，在复平面内对应的点为，
则点位于第一象限.
故答案为：一.
24．1
【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数相等，求得答案.
【详解】由得：，
即 ，故，
故答案为：1
25．或
【分析】根据复数的运算得出，再由复数是实数的条件得出实数，应满足的条件.
【详解】
因为，故有,所以或，
即或是a，b应满足的条件.
故答案为：或.
【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.
26．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数除法的运算法则运算求解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值；
（2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可.
【详解】（1）已知，则，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，将代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
带入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为
28．(1)或．
(2)或．
【分析】（1）移项开根号即可得到答案；
（2）配方即可计算得到答案.
【详解】（1），则，则.
（2）配方，得．
或，
所以或．
29．(1)
(2)
【分析】（1）设方程的根为，并代入方程中，根据复数相等得到方程组，可得答案；
（2）写出的共轭复数，根据对应的点在第一象限，列出不等式组，可得答案.
【详解】（1）设是其实根，代入原方程变形为，
由复数相等的定义，得，
解得；
（2）由题意得，且对应的点在第一象限，
∴，即，解得，
故实数的集合为.
30．(1)
(2)17
【分析】（1）计算出，根据对应点所在象限列出不等式组，求出实数的取值范围；
（2）根据题意得也是方程的一个根，由两根之和求出，进而得到，计算出的值.
【详解】（1）.
因为在复平面内的对应点落在第二象限，所以，
解得.因此，实数的取值范围是.
（2）因为虚数是方程的一个根，
所以也是方程的一个根，
于是，解得.
所以，，
因此.
31．(1)
(2)m＝－1，
【分析】（1）根据题意得到，求解；
（2）（方法一）由题意，将代入方程，利用复数相等求解；（方法二）由题意得到方程的两根为，求解；（方法三）先求得方程的根再对应求解.
【详解】（1）解：由题意得，
因为m＝1，所以，
则，
所以．
（2）（方法一）由题设得，
即，则
解得m＝－1．故．
（方法二）由题设得方程的两根为，，
则，得m＝－1，故．
（方法三）由，
得，即，所以m＝－1，
故．
32．
【分析】由题意可得，求出的取值范围，求出实系数方程的两个虚根，结合可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，
则，解得，
由可得，可得，解得，
不妨取，，
所以，，解得，合乎题意.
因此，.
33．(1).
(2).
【分析】（1）根据复数相等的条件列式可求出结果；
（2）将代入方程，再根据复数相等的条件列式可求出结果.
【详解】（1）因为，，即，
所以，解得.
（2）由（1）可知，
是方程的一个根，
，
整理得，
由复数相等得，
解得:.
34．A
【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数相等得到方程组，求出、的值，从而求模.
【详解】因为，即，即，
因为，，所以，解得，
所以.
故选：A
35．A
【分析】由已知得到，利用复数的除法求出即可.
【详解】由已知复数在复平面内对应点的坐标为，
则，
所以.
故选：A.
36．C
【分析】利用复数的除法运算求出复数及即可判断得解.
【详解】依题意，，
所以在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C
37．C
【分析】先由条件解出复数并运算化简，然后求出.
【详解】由，得，
则.
故选：C
38．D
【分析】通过复数的模及除法运算化简复数，再利用共轭复数的定义及虚部的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以的虚部是.
故选：D
39．B
【分析】利用复数的几何意义可判断①④；求出方程的虚根，利用复数的模长公式可判断②；利用韦达定理可判断③.
【详解】对于①，因为，则向量对应的复数是，①错；
对于②，由可得，解得，故，②对；
对于③，由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为、，
所以，，解得，故，③对；
对于④，因为，
所以，复数对应的点的轨迹是以为圆心半径为的圆，④错.
故选：B.
40．B
【分析】根据复数模的几何意义求解．
【详解】，∴，对应的点在以原点为圆心1为半径的圆上，
表示复数对应点和对应的点间距离，
又，
所以的最小值是，
故选：B．
41．C
【分析】首先化简复数，再求复数的虚部.
【详解】，所以的虚部为.
故选：C
42．BD
【分析】对复数进行化简后，逐项判断即可.
【详解】，
则，故错误；
，故正确；
复数的实部为，虚部为，不相等，故错误；
复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故正确，
故选：
43．ABCD
【分析】A选项，利用复数四则运算法则得到，得到所在象限，A正确；B选项，由共轭复数的概念进行求解；C选项，利用复数乘法法则计算；D选项，利用复数除法法则计算.
【详解】A选项，，
故在复平面内复数所对应的点位于第一象限，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，，D正确.
故选：ABCD
44．BCD
【分析】先由复数的运算求出，共轭复数的概念求出，即可判断各选项的正误．
【详解】由题意得：，
对于A项：，对应的点在复平面的第一象限，故A项错误；
对于B项：为纯虚数，故B项正确；
对于C项：，故C项正确；
对于D项：，故D项正确；
故选：BCD.
45．AC
【分析】设，根据复数的运算与模的定义计算后判断AC，根据复数乘法判断B，由复数的模的定义和复数相等的定义判断D．
【详解】设，
则，，A正确；
当时，，因此B错误；
，
，C正确；
时，，，D错．
故选：AC．
46．5
【分析】设，根据复数的共轭复数、复数相等列方程组解得，再根据模长公式求解即可得答案.
【详解】设，则，于是，
解得，则.
故答案为：.
47．
【分析】应用复数的加减运算求、，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求目标复数的模即可.
【详解】由题设为实数，故，
，故，
所以.
故答案为：
48．
【分析】根据实系数方程根的特征可知为方程另一根，利用韦达定理可构造方程组求得，进而求解.
【详解】因为为关于的方程的一个根，
所以为关于的方程的一个根，
所以，解得，，
所以.
故答案为：.
49．20
【分析】设，根据复数的运算及集合意义可得点的坐标，再根据中点坐标公式列方程求得的值，从而可得向量的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得的面积.
【详解】设，
则.
所以点的坐标分别为
又两点连线的中点对应的复数为，
解得
.
又
的面积为.
故答案为：.
50．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数乘法与加减法运算即可；
（2）利用复数乘方、除法加减运算即可
【详解】（1）
.
（2）
.
51．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的代数乘法运算即可；
（2）根据复数的乘除法运算即可.
【详解】（1）.
（2），
.
52．(1)；
(2)
【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z，再求其模；
（2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可.
【详解】（1）设，则，
由为实数，得，则，
由为实数，得，则，
∴，则；
（2），
由在第四象限，得，解得或，
故m的取值范围为．
53．（1）；（2）
【分析】（1）将写成利用平方差公式即可分解为；
（2）利用复数除法运算法则即可得，再由乘方公式即可计算得出结果.
【详解】（1）易知，
即可分解为；
（2）由，可得，
又，所以，
即.
54．（1）；（2）
【分析】（1）利用复数的概念，待定系数计算即可；
（2）根据复数的四则运算法则计算即可.
【详解】（1）由，
是纯虚数，所以；
（2）由.
55．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数及其共轭复数、复数的相等、复数的模运算即可得解.
（2）利用复数的运算、复数的相等、复数的几何意义运算即可得解.
【详解】（1）解：设，则，
∴，
∴，，
∴，则；
（2）解：由（1）知，，
∴，
由题意，复数在复平面内对应的点在第二象限，
∴，解得：，
即实数m的取值范围为．
答案第1页，共2页
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