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专题09 简单几何体的表面积与体积（七大考点）
思维导图
核心考点聚焦
考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积
考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积
考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积
考点五：球的表面积与体积（外接球）
考点六：球的表面积与体积（内切球）
考点七：球的表面积与体积（棱切球）
知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：
项目 名称 底面 侧面
棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高
棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高
棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高
知识点诠释：
求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．
知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．
1、圆柱的表面积
（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．
（2）圆柱的表面积：．
2、圆锥的表面积
（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．
（2）圆锥的表面积：S圆锥表．
3、圆台的表面积
（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=．
（2）圆台的表面积：．
知识点诠释：
求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．
知识点三、柱体、锥体、台体的体积
1、柱体的体积公式
棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．
综上，柱体的体积公式为V=Sh．
2、锥体的体积公式
棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．
圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．
综上，锥体的体积公式为．
3、台体的体积公式
棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．
圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是
．
综上，台体的体积公式为．
知识点四、球的表面积和体积
1、球的表面积
（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．
（2）球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．
即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
2、球的体积
设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．
球的体积公式为．
1、正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）．
2、球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图（2）．
3、长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图（3）．
4、正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a．
5、正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a．
6、有关球的截面问题
常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．
考点剖析
考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1．（2024·高一课时练习）
1．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
例2．（2024·全国·高一课堂例题）
2．如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．

例3．（2024·全国·高一随堂练习）
3．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积．
变式1．（2024·高一课时练习）
4．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积
例4．（2024·高一课时练习）
5．已知正六棱柱最长的对角线长为13cm，其一个侧面的面积为，求棱柱的体积.
例5．（2024·上海虹口·高二校考）
6．已知长方体中，，求：

(1)长方体表面积；
(2)三棱锥的体积．
例6．（2024·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习）
7．如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．

(1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；
(2)求六棱锥的表面积和体积．
变式2．（2024·陕西榆林·高一校考）
8．已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1．求
(1)该四棱台的侧棱长
(2)该四棱台的体积
变式3．（2024·江西·高二江西师大附中校考阶段练习）
9．如图，在正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2.
（1）求此正四棱台的侧面积；
（2）求此正四棱台的体积.
考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积
例7．（2024·西藏拉萨·统考一模）
10．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2024·福建漳州·高一校联考）
11．已知圆台的上、下底面面积分别为和，高为，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·广东佛山·高一罗定邦中学校联考阶段练习）
12．如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.

(1)若圆柱的底面半径，求剩余部分体积；
(2)试求圆柱侧面积的最大值.
变式4．（2024·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）
13．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.
(1)求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；
(2)如图，若圆锥中内接一个高为的圆柱，求该圆柱的侧面积.
变式5．（2024·高一课时练习）
14．如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm， 底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升）
考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积
例10．（2024·上海长宁·高二上海市复旦中学校考）
15．如图，高与底面直径相等的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆锥与圆柱的体积之比为 ．
例11．（2024·广东广州·高一广州市第六十五中学校考阶段练习）
16．圆台的上、下底面半径分别是，，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是 .
【答案】
例12．（2024·高一课时练习）
17．圆锥的高扩大到原来的倍,底面半径缩短到原来的，则圆锥变化后的体积与原体积的比值为 .
变式6．（2024·上海浦东新·高二校考期末）
18．圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是 .
考点五：球的表面积与体积（外接球）
例13．（2024·陕西榆林·高二统考期末）
19．如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（ ）

A． B． C． D．
例14．（2024·江苏南京·统考二模）
20．直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（ ）
A． B．1 C． D．
例15．（2024·广东·统考一模）
21．如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且．若该三棱柱的外接球的表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
变式7．（2024·江苏南京·高三校联考阶段练习）
22．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
变式8．（2024·安徽阜阳·高二校考阶段练习）
23．某正方体的外接球体积，则此正方体的棱长为（ ）
A．6 B．3 C． D．
考点六：球的表面积与体积（内切球）
例16．（2024·湖南·高一校联考期末）
24．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为 .
例17．（2024·高一单元测试）
25．一个正四面体表面积为，其内切球表面积为S2.则= .
例18．（2024·四川南充·高二四川省阆中东风中学校校考阶段练习）
26．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）
27．棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式10．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）
28．已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
考点七：球的表面积与体积（棱切球）
例19．（2024·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）
29．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是 ．
例20．（2024·山西朔州·高一校考阶段练习）
30．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为 ．
例21．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）
31．在棱长为的正方体中，与其各棱都相切的球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
过关检测
一、单选题
（2024·四川南充·统考模拟预测）
32．已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
（2024·陕西咸阳·高三陕西咸阳中学校考阶段练习）
33．如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高为的圆柱，上、下两端均是半径为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国·模拟预测）
34．已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，斜高为1，则该正三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
（2024·安徽·高三校联考阶段练习）
35．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
（2024·黑龙江·校联考模拟预测）
36．若正四棱柱与以正方形的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
（2024·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）
37．已知棱长为2的正方体的体积与球的体积相等，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国·模拟预测）
38．某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
（2024·全国·高一随堂练习）
39．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为（ ）

A． B． C． D．以上都不对
二、多选题
（2024·全国·模拟预测）
40．已知圆锥的底面圆的半径与球的半径相等，且圆锥，与球的表面积相等，则（ ）
A．圆锥的母线与底面所成角的余弦值为
B．圆锥的高与母线长之比为
C．圆锥的侧面积与底面积之比为3
D．球的体积与圆锥的体积之比为
（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）
41．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）

A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为
（2024·辽宁大连·高一辽师大附中校考阶段练习）
42．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（　　）

A．圆柱的侧面积与球的表面积相等
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．圆柱的表面积为
D．圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和
（2024·湖南·高三雅礼中学校联考阶段练习）
43．若某正方体的棱长为，则（ ）
A．该正方体的体积为5 B．该正方体的内切球的体积为
C．该正方体的表面积为30 D．该正方体的外接球的表面积为
三、填空题
（2024·江西·高一统考）
44．已知正三棱锥的内切球半径为l，若底面边长为，则该棱锥体积为 .
（2024·广东·高三执信中学校联考）
45．“升”是我国古代测量粮食的一种容器，在“升”装满后用手指成筷子沿升口刮平，这叫“平升”，如图所示的“升”，从内部测量，其上、下底面均为正方形，边长分别为和，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，那么这个“升”的“平升”可以装 mL的粮食．（结果保留整数）
（2024·河南郑州·高一郑州中学校考期末）
46．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 ．
（2024·江西南昌·高三江西师大附中校考）
47．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是 ．
四、解答题
（2024·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）
48．正四棱锥的底面边长为4，高为1，求：
(1)求棱锥的体积和侧棱长；
(2)求棱锥的表面积．
（2024·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考）
49．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．

(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
（2024·河北石家庄·高一校考）
50．如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点．
(1)求四边形的周长；
(2)求多面体的体积．
（2024·内蒙古呼和浩特·高二呼市二中校考）
51．如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)2
(2)
【分析】（1）由正三棱柱、线面垂直性质可得CC1⊥BC，求出CD，即可得侧棱长；
（2）利用棱柱表面积的求法求正三棱柱的表面积.
【详解】（1）由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，
根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC 面ABC，所以CC1⊥BC，
在Rt△ECD中，CD=，
又D是CC1的中点，故侧棱长为2.
（2）底面积为S1=2S△ABC=2×2×=2，侧面积为S2=3=3×2×2=12.
所以棱柱表面积为S=S1 +S2=12+2.
2．
【分析】根据正棱锥的性质求得正棱锥的斜高后可得表面积．
【详解】作，垂足为点E，连接OE．
因为，所以．
因为，，,平面SOE，
所以平面SOE，而平面SOE，
所以，故．又，所以．
又底面周长，所以正棱锥侧．
又底，因此，该正四棱锥的表面积为表．
3．(1)
(2)侧面积为，全面积为
【分析】（1）根据棱锥和棱台的侧面积公式，结合平行线的性质进行求解即可；
（2）根据棱台的侧面积和全面积公式，结合三角形面积公式、平行线的性质进行求解即可.
【详解】（1）设正六棱锥的高，底面边长，
因为正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥，
所以小棱锥的高为，底面边长，
在中，因为，所以，
于是有：，
因此大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为；

（2）由（1）可知：，
已知大棱锥的侧棱，
显然在中，上的高长为，
所以，
所以，
由（1）可知：截得的棱台的侧面积为，
截得的棱台的全面积为.
4．(1)；
(2)侧面积；表面积.
【分析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比；
（2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积.
【详解】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，
所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，
棱台的侧面积为，
所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.
（2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，
因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，
所以大棱锥的侧面积为，
所以棱台的侧面积为，
棱台的上，下底面的面积和为，
所以棱台的表面积为.
5．或
【分析】设底面边长为，高为，根据题意列出方程，再由棱柱的体积公式，即可得到结果.
【详解】解：因为正六棱柱最长的一条对角线长为13 cm，一个侧面的面积为，
设底面边长为cm，高为cm，
则，解得或，（负值舍去），
则这个棱柱的体积
或，
故棱柱的体积为或.
6．(1)10；
(2).
【分析】（1）利用长方体的表面积公式计算即得.
（2）利用锥体体积公式计算即得.
【详解】（1）长方体中，，，
因此长方体的侧面积，
所以长方体的表面积.
（2）的面积，
显然三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积.

7．(1)高为6，斜高为，侧棱长为
(2)表面积为，体积为
【分析】（1）依据图象，根据底边是正六边及边长可求出，进而在中，可求出,即正六棱锥的高及斜高，继而在等腰中可求得侧棱长；
（2）求出底面积，利用棱锥体积计算公式求解即可.
【详解】（1）如图：

在正六棱锥中，，
H为中点，所以．
因为是正六边形的中心，
所以为正六棱锥的高．
，
在中，，
所以．
在中，．
在中，，，
所以．
故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为．
（2）的面积为，
的面积为，
所以正六棱锥的表面积为，
体积为
8．(1)
(2)
【分析】（1）作出四棱台的直观图，解直角三角形即可求得答案；
（2）利用棱台的体积公式即可求得答案.
【详解】（1）如图，设为正棱台上下底面的中心，连接，作，垂足为E，

则四边形为矩形，
则，则，
故，即正棱台侧棱长为，
（2）根据棱台体积公式可得该四棱台体积为.
9．（1）；（2）.
【分析】（1）由题意解直角三角形可得侧面的高，再由等腰三角形的面积公式求解侧面积；
（2）求出四棱台的高，代入体积公式求体积．
【详解】（1）解：因为正四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，
侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，
所以侧面的高为，
所以此正四棱台的侧面积为；
（2）四棱台的高，
所以此正四棱台的体积为.
10．B
【分析】求得圆锥的母线长和底面半径，从而求得圆锥的侧面积.
【详解】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，
所以圆锥的母线长，底面圆半径，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B
11．B
【分析】作出圆台的轴截面，利用勾股定理求出圆台的母线，再根据圆台的侧面积公式计算即可．
【详解】由题意圆台的上、下底面面积分别为和，高为，
可得，，
所以，
故圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积为．
故选：B．

12．(1)
(2)
【分析】（1）利用相似比可求出圆柱的高，则剩余部分体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积即可，
（2）方法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，设，利用相似比可表示出圆柱的底面半径，从而可表示出圆柱的侧面积，从而可求出其最大值，方法二：设圆柱底面半径为，然后利用相似表示出圆柱的高，从而可表示出圆柱的侧面积，从而可求出其最大值.
【详解】（1）因为圆锥的底面半径，高.
所以圆锥的母线长、
圆锥体积.
设圆柱的高，则，所以，
圆柱体积，
剩余部分体积为，
（2）方法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，

其中，设，
设圆柱底面半径为，则，即
设圆柱的侧面积为
当时，有最大值为，
方法二：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，
其中，
设圆柱底面半径为，则，即
设圆柱的侧面积为
当时，有最大值为.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据弧长公式计算可得；
（2）设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为，根据三角形相似求出，即可得解.
【详解】（1）因为圆锥的底面半径，母线长，
设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为，则.
（2）设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为，
则，，
易知
，即，，圆柱的侧面积.
14．1 000毫升
【分析】利用圆台侧面积公式，求出花盆外壁的表面积（侧面积+底面积-渗水圆孔面积），即可算100个花盆的油漆用量
【详解】由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积：
涂100个这样的花盆需油漆：毫升
15．
【分析】设圆锥的底面半径为，则高为，确定，，得到半径关系，计算体积即可.
【详解】设圆锥的底面半径为，则高为，设圆柱的底面半径为，高为，
则，故，
圆柱的侧面积为，
当时侧面积最大，此时体积之比为：.
故答案为：
16．
【分析】先根据勾股定理求解圆台的高，再根据台体的体积公式求解即可.
【详解】由图可得，圆台的高为，
故圆台的体积为.

故答案为：
17．##
【分析】设圆锥原高和底面半径分别为和，求出变化前后的体积比即可.
【详解】设圆锥原高为，原底面半径为，
则原体积，
由题意，圆锥变化后高为，底面半径为，
则圆锥变化后的体积为，
∴.
∴圆锥变化后的体积与原体积的比值为.
故答案为：
18．
【分析】由题可得圆台上下底面的半径分别为和，结合母线长可得圆台的高，后由圆台体积公式可得答案.
【详解】由题可得圆台上底面半径，下底面半径.又母线l长为，
则圆台的高，
故圆台的体积.
故答案为：
19．D
【分析】求出长方体的体对角线，即可求得外接球半径，即可求得答案.
【详解】由题意可知长方体的体对角线长为,
故该长方体的外接球的半径为，
该长方体的外接球表面积为，
故选：D
20．D
【分析】设，则，依题意可得旋转后得到的几何体为圆锥，根据外接球的表面积求出球的半径，设外接球的球心为，则球心在直线上，利用勾股定理得到方程，即可求出.
【详解】设，因为，所以，
绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为，
所以，解得，
设外接球的球心为，则球心在直线上，所以，解得.
故选：D
21．D
【分析】根据展开图，得到直观图为直三棱柱，求得底面的外接圆半径，由外接球体积求得外接球的半径，进而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距离，乘以2即得三棱柱的高，即为的长.
【详解】由展开图可知，直三棱柱的底面是边长为的等边三角形，
其外接圆的半径满足，所以．
由得．
由球的性质可知，球心到底面的距离为，
结合球和直三棱柱的对称性可知，，
故选D．
【点睛】本题考查直正三棱柱的判定与性质，球面的性质，球的表面积，属基础题，关键是由侧面展开图得到几何体的形状，并注意球心到球的截面圆心距离与球的半径，截面圆半径之间的关系.
22．C
【解析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可.
【详解】如图所示：
设点为外接圆的圆心，
因为，
所以，又，
所以是等边三角形，
所以，
又直三棱柱的顶点都在球上，
所以外接球的半径为，
所以直三棱柱的外接球的表面积是，
故选：C
23．D
【分析】正方体的体对角线长即为其外接球的直径，因而可求得结果．
【详解】解：设正方体的棱长为x，
因为正方体的体对角线长即为其外接球的直径，
所以 ，解得．
故选：D．
【点睛】本题考查球的体积的问题，属于基础题．
24．
【分析】根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得.
【详解】有题意可知，，所以
所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，
所以，
所以该圆锥的内切球的表面积为.
故答案为：
25．
【分析】设正四面体的棱长为a，用a表示正四面体表面积为，求得正四面体的高，再利用等体积法求得其内切球的半径为r即可.
【详解】如图所示：
设正四面体的棱长为a，
因为正四面体表面积为，
所以，正四面体的高为，
设正四面体的内切球的半径为r，
则正四面体的体积为，
解得，
所以，
所以
故答案为：
26．C
【分析】根据圆柱的表面积公式和球的表面积公式求解．
【详解】设球半径为，则圆柱底面半径为，高为，
所以圆柱的表面积与球的表面积之比为，
故选：C．
27．B
【分析】根据正方体的对称性得到内切球的球心为正方体的中心，然后求体积即可.
【详解】正方体的内切球的球心为，由对称性可知为正方体的中心，球半径为1，
即球的体积为.
故选：B.
28．D
【分析】根据正方体的内切球直径等于正方体的棱长即可求解.
【详解】根据球的体积公式，，解得.
因为正方体的内切球直径等于正方体的棱长，所以正方体的棱长为，故正方体的体积为.
故选：D.
29．
【分析】由球与正方体的各棱相切可得球的半径，从而可求其表面积.
【详解】过正方体的对角面作截面如图，故球的半径，
其表面积．
故答案为：.

30．
【分析】作出正四面体的图形，结合正四面体的性质分别求得其内切球、棱切球及外接球的半径，从而得解.
【详解】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为，
如图所示，为的中点，，

由正四面体的性质可知线段为正四面体的高，
在正中，，
同理，在正中，，
则，，
所以，
则，
由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心在线段上，
则，
，
所以，故，
而棱切球与棱相切，故其半径为，
则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为.
故答案为：.
31．C
【分析】由球与正方体的各棱相切可得球的半径，从而可求其表面积.
【详解】棱长为的正方体的棱切球，其半径为面对角线的一半，即：，
所以该球的表面积.
故选：.
32．D
【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案．
【详解】设该圆锥的底面半径为，母线为，则，，
解得，
则圆锥的高为，
因此该圆锥的体积，
故选：D
33．C
【分析】设实心球的半径为 ，根据球的体积公式及圆柱的体积公式计算可得.
【详解】设实心球的半径为 ，实心金属几何体的体积.
因为 ，所以，所以该球的直径为.
故选：C
34．D
【分析】利用已知条件算出上下底面的面积和棱台的高，再由体积公式计算.
【详解】由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为4和6的等边三角形，如图所示，
为两底面的中心，则为的中点，过作下底面垂线，垂足为，

，，，
棱台的高，
该正三棱台的上底面的面积为，下底面的面积为，
所以正三棱台的体积．
故选：D
35．D
【分析】利用圆台的表面积公式求得母线长，进而求得圆台的高，从而利用圆台的体积公式即可得解.
【详解】设圆台的母线长为．高为．
所以，解得，
所以．
所以该圆台的体积．
故选：D．
36．B
【分析】正四棱柱底面边长与圆柱底面半径之比已知，由正四棱柱与圆柱的体积相同，求出正四棱柱与圆柱的高之比，代入侧面积公式计算即可.
【详解】依题意，设正四棱柱的底面边长为，高为，
圆柱的高为，则圆柱的底面半径为，
则有，整理得，
正四棱柱与圆柱的侧面积之比.
故选：B．
37．D
【分析】根据题意，结合正方体和球的体积公式，列出方程，即可求解.
【详解】由棱长为2的正方体的体积为，
设球的半径为，可得，解得.
故选：D.
38．D
【分析】根据题意，由多面体的表面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】当该几何体为正四面体时，其表面积为．
当该几何体为正四棱锥时，其表面积为．
当该几何体为正三棱柱时，其表面积为．
当该几何体为正方体时，其表面积为．
故选：D．
39．B
【分析】设六棱柱的底面边长为，高为，根据面积公式得到，，计算体积即可.
【详解】设六棱柱的底面边长为，高为.
则，，，故，
.
故选：B.
40．ACD
【分析】设出圆锥的底面圆半径、母线长及高，利用圆锥与球的表面积求母线与半径的关系，再逐项计算判断即得.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为，高为，母线长为，
由圆锥与球的表面积相等，得，解得，
因此圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，A正确；
，因此圆锥的高与母线长之比为，B错误；
圆锥的侧面积与底面积之比，C正确；
球的体积与圆锥的体积之比为，D正确.
故选：ACD
41．BCD
【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项.
【详解】
如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；
圆台的侧面积为，故C正确；
圆台的体积为，D正确.
故选：BCD
42．AD
【分析】利用圆柱、圆锥、球的表面积、体积公式计算判断ACD；利用圆锥侧面展开图计算判断B.
【详解】对于A，圆柱的侧面积，球的表面积，A正确；
对于B，圆锥底面周长为，则圆锥的侧面展开图扇形弧长为，
而圆锥母线长，因此圆锥的侧面展开图的圆心角为，B错误；
对于C，圆柱的表面积，C错误；
对于D，圆柱的体积，圆锥的体积，
球的体积，因此，D正确.
故选：AD
43．BCD
【分析】根据正方体的体积表面积公式即可求解AC，根据内切球和外接球的直径即可得半径，由球的体积公式以及表面积公式求解BD.
【详解】因为该正方体的棱长为，所以其体积为，表面积为，A错误，C正确．
该正方体的内切球的直径为，所以内切球的体积为，B正确．
该正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球的表面积为，D正确．
故选：BCD

44．
【分析】设正三棱锥的高为，内切圆的圆心为，根据，求得，结合直角中，利用勾股点列出方程，求得，进而求得三棱锥的体积.
【详解】设正三棱锥的高为，内切圆的圆心为，
则，
由，所以，即，
在直角中，，，
解得，，所以体积.
故答案为：
45．1167
【分析】根据题意求出侧棱长，即可得出棱台的高，再代入棱台的体积计算公式得出答案.
【详解】根据题意画出正四棱台的直观图，其中底面是边长为20cm的正方形，底面是边长为10cm的正方形，侧面等腰梯形的高cm，记底面ABCD和底面的中心分别为与，则是正四棱台的高，

过作平面的垂线，垂足为，则，且,,
则,,
则,
侧面是等腰梯形，
,则,
则棱台的高,
则由棱台的体积公式得mL,
故答案为：1167.
46．
【分析】利用已知条件，求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由，得，
又表面积，
所以，解得，则；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故答案为：．
47．
【分析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，确定，进而得到球的半径，进而根据球体的表面积公式计算即可.
【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：
则，则，
因为球的直径即为长方体的体对角线，
则球的半径为，
所以球的表面积是.
故答案为：.
48．(1)，
(2)
【分析】（1）根据棱锥的体积公式及勾股定理计算即可.
（2）利用三角形及正方形面积公式计算即可.
【详解】（1）
由题意可知底面四边形是正方形，设其对角线交于O点，则，
所以四棱锥的体积为：，
侧棱长；
（2）取的中点E，连接，易知，
由上可知，
所以棱锥的表面积为.
49．(1)
(2)元
【分析】（1）由题意求出圆柱的底面半径和圆锥的高，再根据圆柱和圆锥的体积公式，即可计算“笼具”的体积；
（2）根据圆柱的侧面积，底面积和圆锥的侧面积公式直接计算即可．
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，解得，
则，
所以“笼具”的体积．
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．
50．(1)
(2)
【分析】（1）连接，即可得到且，再求出四边形的周长；
（2）确定多面体为三棱台，再利用棱台的体积公式计算即可.
【详解】（1）连接，因为、分别是棱、的中点，故且，
又，，，
所以四边形的周长.
（2）多面体为三棱台，
又，，高，
所以.
51．(1)
(2)
【分析】（1）先求解出正三棱柱的体积，然后再减去倒圆锥的体积，由此可得该几何体的体积；
（2）先计算正三棱柱的表面积，然后减去倒圆锥的底面圆的面积，再加上倒圆锥的侧面积即为该几何体的表面积.
【详解】（1）正三棱柱的底面积为，
所以正三棱柱的体积为，
设正三角形的内切圆半径为，
所以，所以，
所以圆锥的体积为，
所以该几何体的体积为.
（2）因为正三棱柱的表面积为，
倒圆锥的底面圆面积为，
倒圆锥的母线长为，
所以倒圆锥的侧面积为，
所以该几何体的表面积为.
答案第1页，共2页
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