资源简介

6.4.3.3正余弦定理应用举例-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（ ）
A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′
C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′
2.如图，要测量某湖泊两侧A，B两点间的距离，若给出下列数据，则其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是（ ）
A．角A，B和边b
B．角A，B和边a
C．边a，b和角C
D．边a，b和角A
3.在高40 m的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度为（ ）
A．m B．m C．m D．m
4.已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km．若测得，则A，C两地间的距离为（ ）
A．10km B．km C．km D．km
5.唐代数学家、天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表.已知晷影长l、表高h与太阳天顶距θ满足l=htanθ，当晷影长为0.7时，天顶距为5°.若天顶距为1°时，则晷影长为（ ）（参考数据：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）
A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.24
6.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ）
A．150° B．30° C．45° D．60°
7.如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120km B．km C．km D．km
8.为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（ ）
A．与 B．与 C．，与 D．，与
10．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿东偏南（在上变化）方向行走一段时间后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的落点与原点的距离可能为（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
11．人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（ ）
A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离
B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角
C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和
D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角
12．重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡.如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端的高度，选取与在同一水平面内的两点与（，，不在同一直线上），画一条基线，测得，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出的高度的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________．
14．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .
15.为测量河的宽度，在一岸边选定两个观测点和，观测对岸标记物，测得，，，则河宽为______米．
16.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法），控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，在一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若，，，，则该正方形的边长为___________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC且．如何锯断木条，才能使第三条边AC最短？
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
18.（12分）
如图，一艘船以的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东20°方向上，30min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东60°方向上，求灯塔S到B处的距离（精确到，参考数据：，）．
19.（12分）
如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出房间，已知衣柜长1.5m，宽0.8 m，高2.5 m，房门的宽为1.2 m，高为2.2 m．试问此衣柜的倾斜度要在多少度以下，才能顺利通过房门？（，，）
20.（12分）
如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边取C，D两点观察，测得，，，，（A，B，C，D在同一平面内），求A，B两点之间的距离．
21.（12分）
如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为，平行四边形ABCD的顶点C在扇形弧上，D在半径OQ上，A，B在半径OP上，记平行四边形ABCD的面积为S，．
(1)用表示平行四边形ABCD的面积S；
(2)当取何值时，平行四边形ABCD的面积S最大？并求出这个最大面积．
22.（12分）
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
6.4.3.3正余弦定理应用举例-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的（ ）
A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′
C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′
【答案】A
【分析】根据方向角的概念判断即可.
【详解】根据方向角的概念可知A正确．
故选：A.
2.如图，要测量某湖泊两侧A，B两点间的距离，若给出下列数据，则其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是（ ）
A．角A，B和边b
B．角A，B和边a
C．边a，b和角C
D．边a，b和角A
【答案】D
【分析】根据正余弦定理，结合选项，即可判断.
【详解】AB选项，都是两角和其中一角的对边，可求第三角，再结合正弦定理，可唯一确定三角形，C选项，已知两边和夹角，根据余弦定理，唯一确定第三边，只有选项D，
根据正弦定理，可知当已知两边和其中一边的对角时，三角形得出的结果不一定唯一，
故选：D.
3.在高40 m的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度为（ ）
A．m B．m C．m D．m
【答案】B
【分析】根据仰角与俯角概念列式求解.
【详解】如图,由题意得这座塔的高为
，
故选：B.
4.已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km．若测得，则A，C两地间的距离为（ ）
A．10km B．km C．km D．km
【答案】D
【分析】利用余弦定理解三角形即可.
【详解】由题意可知，
结合余弦定理可得，
所以，故，
所以A，C两地间的距离为，故选；D
5.唐代数学家、天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表.已知晷影长l、表高h与太阳天顶距θ满足l=htanθ，当晷影长为0.7时，天顶距为5°.若天顶距为1°时，则晷影长为（ ）（参考数据：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）
A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.24
【答案】A
【分析】根据给定条件求出h值，再代值计算即可得解.
【详解】依题意，，则有，
，
所以晷影长为0.14.故选：A
6.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ）
A．150° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】利用正弦定理分析计算即可
【详解】设竹竿与地面所成的角是，影子长为，由正弦定理得，
所以，因为，
所以当，即时，取得最大值，
所以竹竿与地面所成的角为时，影子最长，故选：B
7.如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120km B．km C．km D．km
【答案】D
【分析】设15min后飞机到了处，求出，中由余弦定理求得，由勾股定理逆定理知，这样易得，从而得出，然后在中由余弦定理得出．
【详解】设15min后飞机到了处，则，
由题意，，
，，
，所以，所以，
从而，于是
，，
中，，
．
故选：D．
8.为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.
【详解】依题意，在中，，，
，可得，
则 ，
在中，，，则，
又中，，由余弦定理可得：
则.
故塔尖之间的距离为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（ ）
A．与 B．与 C．，与 D．，与
【答案】ABC
【分析】
由A，C在河的同一侧，故可以测量，与，由此即可得答案
【详解】
因为A，C在河的同一侧，所以可以测量，与，
故选：ABC
10．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿东偏南（在上变化）方向行走一段时间后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的落点与原点的距离可能为（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得所求距离的表达式，结合二次函数、三角函数的知识求得距离的取值范围，从而确定正确选项.
【详解】
设改变方向的地点为，终点为，
由于，所以，，
，，
由余弦定理得
.
当时，米.
当时，，
结合二次函数的性质可知当时，
取得最小值，
，，.
结合二次函数的性质可知当或时，
取得最大值.
综上所述，，
所以BCD选项符合.，A选项不符合.
故选：BCD
11．人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（ ）
A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离
B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角
C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和
D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定纪念碑高度即可.
【详解】
A：如果，两点与纪念碑底部不在一条直线上时，就不能测量出纪念碑高度，故不正确．
B：在直角三角形△和△中用来表示，，在△中用余弦定理就可以计算出纪念碑高度，故正确．
C：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；
D：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；
故选：BCD.
12．重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡.如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端的高度，选取与在同一水平面内的两点与（，，不在同一直线上），画一条基线，测得，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出的高度的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据空间角的位置关系，以及边角所在的三角形，应用正余弦定理及空间角的三余弦定理，判断各选项是否可以求出的高度即可.
【详解】
A：根据，，，由正弦定理求，再结合可求的高度，正确；
B：在△、△都只有一边一角，不能求出其它角或边，无法求的高度，错误；
C：根据，，，由正弦定理求，再结合可求的高度，正确；
D：由，可得：，结合由正弦定理求，再由可求的高度，正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________．
【答案】
【分析】
设乙的速度为x m/s，根据正弦定理列式＝，可得AC＝1 260 m，再由余弦定理求解即可.
【详解】
依题意，设乙的速度为x m/s，
则甲的速度为x m/s，
因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，
所以＝，解得AC＝1 260 m．
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠BAC＝＝＝，
所以sin∠BAC＝＝＝．
故答案为：.
14．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .
【答案】70
【分析】画出图形，在中，利用余弦定理，即可求解的长，得到答案.
【详解】
由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，
则李华的行走路线，如图所示，
在中，因为，
由余弦定理可得：
米，
即李华回到自家楼下至少还需走70米.
故答案为：70.
15.为测量河的宽度，在一岸边选定两个观测点和，观测对岸标记物，测得，，，则河宽为______米．
【答案】
【分析】利用正弦定理，把边化角求出，再利用正弦定理和解直角三角形求出河宽CD．
【详解】在中，，，∴∠ACB=，
由正弦定理得．
∵，∴，
作，则CD的长为河宽，
在中，，
∴，
故答案为：.
16.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法），控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，在一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若，，，，则该正方形的边长为___________.
【答案】
【分析】在中，由余弦定理得，由正弦定理得，再结合题意得，进而在中，由余弦定理得，进而得
【详解】解：连接，，
在中，由余弦定理得：
，
∴，
又由正弦定理有，代入数据解得，
∴，
又∵，
∴
，
在中，由余弦定理得：
，
∴，
∴正方形边长为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC且．如何锯断木条，才能使第三条边AC最短？
【解析】
【分析】
根据题意设 ，利用余弦定理列出关系式，利用二次函数性质即可得到取得最小值时的值，从而得出结论.
【详解】
如图所示，设，则，
由余弦定理得：，
当时，AC取得最小值为，
即当时，第三边AC的长最短为.
18.（12分）
如图，一艘船以的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东20°方向上，30min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东60°方向上，求灯塔S到B处的距离（精确到，参考数据：，）．
【答案】
【分析】根据题意，计算得的值，根据正弦定理计算.
【详解】在中，，，，由正弦定理得，，即，所以灯塔S到B处的距离为
19.（12分）
如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出房间，已知衣柜长1.5m，宽0.8 m，高2.5 m，房门的宽为1.2 m，高为2.2 m．试问此衣柜的倾斜度要在多少度以下，才能顺利通过房门？（，，）
【答案】.
【分析】根据题意，只需，结合已知条件，求得，以及的最大值，即可求得的最大值.
【详解】根据题意，要顺利通过房门，只需，
又，
故，则
又，则，
又，故.
故衣柜的倾斜度要在以下，才能顺利通过房门.
故答案为：.
20.（12分）
如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边取C，D两点观察，测得，，，，（A，B，C，D在同一平面内），求A，B两点之间的距离．
【答案】km
【分析】由题意，先计算得，，，由正弦定理计算，再由余弦定理计算
【详解】∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠DCB﹣∠ACB＝30°，∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠ADC﹣∠ADB＝60°
在△ADC中由正弦定理得：
∴
在△CDB中由正弦定理得：
∴
在△ADB中由余弦定理得：AB2＝DB2+AD2﹣2DB×ABcos∠ADB＝2+9﹣2××3×＝5
∴AB＝km
答：A、B两点间的距离为km
21.（12分）
如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为，平行四边形ABCD的顶点C在扇形弧上，D在半径OQ上，A，B在半径OP上，记平行四边形ABCD的面积为S，．
(1)用表示平行四边形ABCD的面积S；
(2)当取何值时，平行四边形ABCD的面积S最大？并求出这个最大面积．
【答案】(1)；
(2)当时，取得最大值.
【分析】（1）过点作交于点，在中可得，在中由正弦定理可得，然后可得答案.
（2）根据正弦函数的知识可得答案.
(1)
过点作交于点，
在中，，所以
在中，，所以
由正弦定理可得，所以
所以
(2)
因为，所以
所以当即时，取得最大值
22.（12分）
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【答案】(1)1040m(2)(3)
【分析】（1）先求得，然后由正弦定理求得.
（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得的最小值.
（3）根据“两位游客在C处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围.
(1)
由题意，，
在中，，
由正弦定理，得.
所以，索道AB的长为1040m.
(2)
假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，
此时甲行走了，乙距离A处，
由余弦定理得
，
因为，即，
则当时，甲、乙两游客之间距离最短.
(3)
由正弦定理，得，
乙从B出发时，甲已走了，还需要走710m才能到达C，
设乙步行的速度为，
由题意得，
所以为了使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，
乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内.6.4.3.3正余弦定理应用举例
本节课知识点目录：
求角度；
求距离。
仰角与俯角
求高度
综合
一、正余弦定理应用1：求角度
方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示)
【典型例题】
【例1】今年第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，点，正北方向的市受到台风侵袭，一艘船从点出发前去实施救援，以的速度向正北航行，在处看到岛在船的北偏东方向，船航行后到达处，在处看到岛在船的北偏东方向.此船从点到市航行过程中距离岛的最近距离为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】．“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际台作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF=_______.
【例3】甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
【例4】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、正余弦定理应用2：求距离
【典型例题】
【例1】如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（ ）
A．北偏东； B．北偏东；
C．北偏东； D．北偏东；
【例2】如图所示，为了测量湖中A、B两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D处测量发现A亭子位于西偏北，B亭子位于东北方向，乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向，A亭子位于西偏北方向，则A，B两亭子间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【例3】如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得∠CAB=45°，∠CBA=60°，则C处河面宽CD为（ ）
A．6（3+）m B．6（3-）m
C．6（3+2）m D．6（3-2）m
【例4】某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以海里／时的速度向正北方向航行，该船在A点处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，发现该小岛在北偏东45°方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离可以达到（ ）海里
A．6 B．8 C．10 D．12
【对点实战】
1.某船从A处向北偏东方向航行千米后到达B处，然后朝南偏西的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）
A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米
2.2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .
3.已知A船在灯塔北偏东85°且A到的距离为，船在灯塔西偏北55°且到的距离为，则两船的距离为__________．
三、正余弦定理应用3：俯角与仰角
仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)
【典型例题】
【例1】在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上，为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北的方向上，在B处测得该塔底部C在西偏北的方向上，并测得塔顶D的仰角为.已知AB=a，，则此塔的高CD为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知此山的高，小车的速度是，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为________m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）
【对点实战】
1.在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进后测得仰角为，继续在地面上前进以后测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为（ ）
A． B． C． D．
2.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.
四、正余弦定理应用4：求高度
【典型例题】
【例1】如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的，两个观测点，并在，两点处分别测得塔顶的仰角分别为和，且，则此建筑物的高度为（ ）
A．米 B．米
C．10米 D．5米
【例2】如图，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB=20m，在A处测得点P的仰角∠OAP=30°，在B处测得点P的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，则旗杆的高度为（ ）
A．20（）m B．m
C．m D．10（）m
【例3】如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）（ ）
A． B． C． D．
【对点实战】
1.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在离地面高100的热气球M上，观测到山顶C处的仰角为 山脚A处的俯角为，已知，则山的高度BC为___________.
五、正余弦定理应用5：综合
【典型例题】
【例1】为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．
(1)若，求护栏的长度（的周长）；
(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；
(3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
【例2】．如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
(1)若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图①，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
(2)若分别在，，上取点，，，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得为正三角形，或者如图③，使得平行，且垂直，则两种方案的的最小面积分别设为，，则和哪一个更小？
【例3】．依据《齐齐哈尔市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域建成生态园林城，，，，为主要道路（不考虑宽度）．已知，，km．
（1）求道路的长度；
（2）如图所示，要建立一个观测站，并使得，，求两地的最大距离．
【例4】．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.
（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（2）记为，为，求的值.
【例5】．现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.
（1）求出所有可能的三角形的面积；
（2）如图，已知平面凸四边形中，，，，.
①求满足的数量关系；
②求四边形面积的最大值，并指出面积最大时的值.
6.4.3.3正余弦定理应用举例
本节课知识点目录：
求角度；
求距离。
仰角与俯角
求高度
5、综合
一、正余弦定理应用1：求角度
方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示)
【典型例题】
【例1】今年第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，点，正北方向的市受到台风侵袭，一艘船从点出发前去实施救援，以的速度向正北航行，在处看到岛在船的北偏东方向，船航行后到达处，在处看到岛在船的北偏东方向.此船从点到市航行过程中距离岛的最近距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造三角形运用正弦定理求解三角形即可得出结果.
【详解】如图，中，，，，，
由正弦定理得，
所以船与岛的最近距离：
故选：C.
【例2】．“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际台作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF=_______.
【答案】
【分析】先利用勾股定理分别求得，进而利用余弦定理求得结果
【详解】如图，作∥交于，交于，则
,
,
，
在中，由余弦定理得
,
故答案为：
【例3】甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解　如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，
B＝180°－60°＝120°，
由＝，得
sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
【例4】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】利用余弦定理直接求解即可
【详解】依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
故选：B
二、正余弦定理应用2：求距离
【典型例题】
【例1】如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（ ）
A．北偏东； B．北偏东；
C．北偏东； D．北偏东；
【答案】C
【分析】先求出各角的角度，再使用余弦定理求解长度.
【详解】由题意得：，，故，所以从A到C的航向为北偏东，由余弦定理得：，故.故选：C
【例2】如图所示，为了测量湖中A、B两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D处测量发现A亭子位于西偏北，B亭子位于东北方向，乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向，A亭子位于西偏北方向，则A，B两亭子间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】由条件解求，在中利用正弦定理解求，在中利用余弦定理求AB，由此可得A，B两亭子间的距离.
【详解】由题意，可得，
∴ ．在等腰直角中，
∴ ，．在中，由正弦定理得，解得．连接AB．
在中，由余弦定理可得，
解得，即A、B两个亭子之间的距离为米．
故选：C.
【例3】如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得∠CAB=45°，∠CBA=60°，则C处河面宽CD为（ ）
A．6（3+）m B．6（3-）m
C．6（3+2）m D．6（3-2）m
【答案】B
【分析】在Rt△BCD中，根据∠CBA＝60°，用BD表示出CD，在Rt△ACD中，∠CAB＝45°，得到CD＝AD，根据AD+BD＝12，求出BD，计算出CD，得到答案．
【详解】在Rt△BCD中，∠CBA＝60°，∵tan∠CBD＝，∴CD＝BD tan∠CBD＝BD，
在Rt△ACD中，∠CAB＝45°，则CD＝AD，∵AB＝AD+BD＝12，
∴BD+BD＝12，
解得BD＝6﹣6，CD＝BD＝18﹣6．故选：B
【例4】某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以海里／时的速度向正北方向航行，该船在A点处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，发现该小岛在北偏东45°方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离可以达到（ ）海里
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】易知，先在中，利用正弦定理求得BC，再由 求解.
【详解】如图所示：
由题意得：，，，
则，，
在中，由正弦定理得：，
所以，
所以，
故选：C
【对点实战】
1.某船从A处向北偏东方向航行千米后到达B处，然后朝南偏西的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）
A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米
【答案】B
【分析】根据题设条件画出图形，结合图形利用余弦定理计算即得.
【详解】如图，在中，，
由余弦定理得：，
所以A处与C处之间的距离为千米.
故选：B
2.2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走___________米 .
【答案】70
【分析】画出图形，在中，利用余弦定理，即可求解的长，得到答案.
【详解】由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，
则李华的行走路线，如图所示，
在中，因为，
由余弦定理可得：
米，
即李华回到自家楼下至少还需走70米.
故答案为：70.
3.已知A船在灯塔北偏东85°且A到的距离为，船在灯塔西偏北55°且到的距离为，则两船的距离为__________．
【答案】
【分析】根据题意画出图像，求出，根据余弦定理可得|AB|．
【详解】解：
依题意可得，
在三角形中，由余弦定理可得：，
．故答案为：
三、正余弦定理应用3：俯角与仰角
仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)
【典型例题】
【例1】在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上，为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北的方向上，在B处测得该塔底部C在西偏北的方向上，并测得塔顶D的仰角为.已知AB=a，，则此塔的高CD为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在中用正弦定理求出线段BC长，再在直角中即可求出线段CD长.
【详解】在中，，，如图，
由正弦定理得：，
在中，，，如图，
则有，
所以塔高CD为.
故选：B
【例2】如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知此山的高，小车的速度是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析出、均为直角三角形，求出、的长，计算出的长，再利用余弦定理可求得的值.
【详解】由题意，得平面，、平面，故，，
所以，、均为直角三角形，且，，
由，可得，．
因为，所以．
故选：A．
【例3】如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为________m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）
【答案】
【分析】先求出，的长，再由余弦定理得出B，C两点间的距离.
【详解】图中平面，则
，
在三角形中，
故答案为：
【对点实战】
1.在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进后测得仰角为，继续在地面上前进以后测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出平面示意图：且，应用余弦定理求，进而求，即可求该山峰的高度.
【详解】由题设，若且，
∴，
∴由余弦定理知：，又，
∴，则，
∴该山峰的高度米.
故选：B
2.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.
【答案】750
【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出
【详解】在中，，所以，
在中，，则，
由正弦定理得，，
所以，
在中，，
所以，故答案为：750
四、正余弦定理应用4：求高度
【典型例题】
【例1】如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的，两个观测点，并在，两点处分别测得塔顶的仰角分别为和，且，则此建筑物的高度为（ ）
A．米 B．米
C．10米 D．5米
【答案】B
【分析】结合图形由余弦定理可得答案.
【详解】设，则，，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理得，解得或（舍），
故选：B.
【例2】如图，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB=20m，在A处测得点P的仰角∠OAP=30°，在B处测得点P的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，则旗杆的高度为（ ）
A．20（）m B．m
C．m D．10（）m
【答案】C
【分析】在直角三角形中表示出，然后由余弦定理求解．
【详解】由已知，得，则在中，由余弦定理，得，即，得.
故选：C．
【例3】如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在中，利用正弦定理，结合题干数据，即得解
【详解】，
，．
由正弦定理得，即，
可得．
所以山的高度为
故选：A．
【对点实战】
1.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】要求树的高度，需求的长度，要求的长度，在中利用正弦定理可得.
【详解】解：在中，
又由正弦定理得：，
树的高度为
故选：C.
2.如图，在离地面高100的热气球M上，观测到山顶C处的仰角为 山脚A处的俯角为，已知，则山的高度BC为___________.
【答案】
【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，由此求得.
【详解】依题意可知三角形是等腰直角三角形，
所以，
，，
由正弦定理得，
所以.
故答案为：
五、正余弦定理应用5：综合
【典型例题】
【例1】为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．
(1)若，求护栏的长度（的周长）；
(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；
(3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
【答案】(1)(2)(3)时，的面积取最小值为
【分析】（1）先根据题干条件得到，，利用余弦定理求出，用勾股定理逆定理得到，进而求出CN，MN，求出护栏的长度；（2）设，利用和的面积关系和正弦定理得到CN的两种表达，列出方程，求出；（3）结合第二问的求解，利用正弦定理和面积公式得到面积关于的关系式，求出最小值.
(1)∵，，，∴，∴，∴，∴，
在中，由余弦定理可得：
，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴护栏的长度（的周长）为；
(2)
设（），因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，所以，即，，中，由三角形外角定理可得，在中，由，得，从而，即，
由，得，所以，即；
(3)设（），由（2）知，，
中，由外角定理可得，又在中，由，得，所以
，所以当且仅当，
即时，的面积取最小值为.
【例2】．如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
(1)若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图①，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
(2)若分别在，，上取点，，，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得为正三角形，或者如图③，使得平行，且垂直，则两种方案的的最小面积分别设为，，则和哪一个更小？
【答案】(1)百米(2)答案见解析.
【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出即可求得连廊的长；
（2）分别表示出方案②和方案③的面积，利用三角函数求最值以及二次函数求最值即可.
(1)解：点是等腰三角形的顶点，且，
且由余弦定理可得：
解得：又在中，，
在中，由余弦定理得解得，
连廊的长为百米.
(2)解：设图②中的正三角形的边长为，，（）
则，，设，可得
在中，由正弦定理得：，即
即化简得：
（其中，为锐角，且）
图③中，设，平行，且垂直
，，，
，
当时，取得最大值，无最小值，
即
即方案②面积的最小值大于方案③面积的最大值
方案③面积的最小值不存在，但是方案③的面积均小于方案②.
【例3】．依据《齐齐哈尔市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域建成生态园林城，，，，为主要道路（不考虑宽度）．已知，，km．
（1）求道路的长度；
（2）如图所示，要建立一个观测站，并使得，，求两地的最大距离．
【答案】（1）km；（2）km.
【分析】（1）先利用余弦定理，可得，再在中，由，即得解；
（2）设，在中，利用正弦定理可得，，再利用，可得，利用三角恒等变换化简结合，即得解.
【详解】
（1）连接，由余弦定理可得，所以，
由，，所以，因为，所以，
在中，，所以，解得，
即道路的长度为；
（2）设，在中，由正弦定理可得，
所以，因为，所以，
所以，，则，
所以，
因为，所以，
所以当，即，取最大值为，
故两地的最大距离为．
【例4】．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.
（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（2）记为，为，求的值.
【答案】（1）2，18平方（2）
【分析】（1）由同角的平方关系，求出，在中结合余弦定理即可求出结果；
（2）在中结合正弦定理求得，然后根据同角的平方关系求出，再由平面几何图形以及诱导公式求出和，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果.
【详解】
（1）因为，且角为钝角，所以.
在中，由余弦定理得，，
所以，即，
解得或（舍），
所以小岛与小岛之间的距离为.
∵，，，四点共圆，∴角与角互补，
∴，，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴.解得（舍）或.
∴
.
∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方.
（2）在中，由正弦定理，，即，解得
又因为，所以，且为锐角，所以为锐角，
所以，又因为，，
所以.
【例5】．现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.
（1）求出所有可能的三角形的面积；
（2）如图，已知平面凸四边形中，，，，.
①求满足的数量关系；
②求四边形面积的最大值，并指出面积最大时的值.
【答案】（1），；（2）①；②，.
【分析】
（1）先根据三角形两边之和大于第三边可知所有可能的情况有两种，再分别利用余弦定理求解其中一个内角的余弦，进而得出内角正弦，利用三角形面积公式求解面积即可
（2）①连接，再分别列出和中的余弦定理即可；
②根据可得，再结合①中的，结合三角恒等变换分析的最值即可
【详解】（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有符合情况的可能三角形为、
当三角形三边为时，由余弦定理知等腰三角形顶角，，
当三角形三边为时，由余弦定理知等腰三角形顶角，，
（2）①连接，由余弦定理知
∴，∴∴
②
∴
又∵，∴，
∴
故
当且仅当，取得最大值，
此时，，∴，，

展开更多......

收起↑