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4.5.3函数模型的应用（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：指数函数模型
重点题型二：对数函数模型
重点题型三：拟合函数模型的应用题
知识点一：常见函数模型
1、一次函数模型（，为常数）
2、反比例函数模型（）
3、二次函数模型（）
4、指数函数模型（且，）
5、对数函数模型（且，）
6、幂函数模型（，）
7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合
8、对勾函数模型：
1．（2022·全国·高一课时练习）我国2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到2020年底我国人口总数是( )
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( )
（2）对任意的．( )
（3）对任意的．( )
（4）在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．( )
3．（2022·全国·高一课时练习）某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是（参考数据：，）( )
A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年
4．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．( )
（2）在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．( )
重点题型一：指数函数模型
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））民以食为天，科学研究表明：温度太高的食物能对消化道黏膜造成伤害，温度太低的食物容易引起消化道不适．因此，适宜的进食温度在10℃到40℃左右．大量实验数据表明：把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么tmin后物体的温度（单位：℃）满足公式（其中k为常数）．现有60℃的物体放在20℃的空气中冷却，2min后物体的温度是40℃．现将一盘出锅温度是100℃的美食放在20℃的空气中冷却，为达到适宜的进食温度，至少应冷却（ ）
A．2 min B．3 min C．4 min D．5 min
例题2．（2022·吉林·长春十一高高一阶段练习）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得.其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数.现有的物体，放在的空气中冷却，分钟以后物体的温度是，则约等于（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米．已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（ ）
A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年
例题4．（2022·湖南·高一课时练习）小张新购买某型号轿车的价格为16万元，使用年后的轿车参照来衡量价值．
(1)试解释上述函数表达式中0.9的含义；
(2)使用3年后的轿车价值多少？9年后呢？
例题5．（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））研究发现，放射性元素在一定时间内会通过核衰变过程转换成其他元素，放射性水平随着时间的推移而呈指数级下降，已知放射性元素在时刻的放射性水平满足关系式，其中是初始水平，为常数．
(1)若放射性元素X在时的放射性水平是时的，求的值；
(2)设表示放射性元素的放射速率，当放射速率低于时，该元素的放射性水平趋于“绝零”，求使得（1）中放射性元素的放射性水平趋于“绝零”的最小整数．（参考数据：）
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知，结果取整数）（ ）
A．23天 B．33天 C．43天 D．50天
2．（2022·新疆喀什·高一期末）某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型：.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（ ）
A．44 B．48 C．80 D．125
3．（2022·广东深圳·高二期末）光线通过一块玻璃，强度损失10%，那么至少遇过___________块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来以下.
4．（2022·全国·高一）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）
重点题型二：对数函数模型
典型例题
例题1．（2022·四川凉山·高二期末（理））中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率取决于信道带宽，经科学研究表明：与满足，其中为信噪比．若不改变带宽，而将信噪比从9提升到39，则大约增加了（ ）．（附：）
A．20％ B．40％ C．60％ D．80％
例题2．（2022·全国·高二课时练习）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：）
A． B． C． D．
例题3．（2022·广东·高三阶段练习）声强级（单位：）与声强的函数关系式为：，若女高音的声强级是，普通女性的声强级为，则女高音声强是普通女性声强的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
例题4．（2022·全国·高二课时练习）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）
(1)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.
(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.
例题5．（2022·北京市第五中学高一期末）进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵.经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？
(2)某条湟鱼想把游速提高，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
同类题型演练
1．（2022·全国·高一期末）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星星的亮度为.已知“角宿一”的星等是0.97，“水委一”的星等是0.47.“水委一”的亮度是“角宿一”亮度的倍，则与最接近的是（当较小时，）（ ）
A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59
2．（2022·全国·高三专题练习）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等、目视星等和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知织女星的绝对星等为0.58，目视星等为0.04，大角星的绝对星等为，目视星等为，则观测者与织女星和大角星间的距离的比值约为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式，其中△v为火箭的速度增量，为喷流相对于火箭的速度，和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭达到5公里/秒，从100提高到600，则速度增量增加的百分比约为（ ）（参考数据：，，
A．15% B．30% C．35% D．39%
4．（2022·全国·高三专题练习）某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关，酿醋成功指数M与浓度N满足．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（）（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
5．（多选）（2022·福建省德化第一中学高二期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
重点题型三：拟合函数模型的应用题
典型例题
例题1．（2022·福建·南靖县第一中学高二期中）年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌 病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播 保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据：，，，，，，）
(1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（结果保留到整数）
例题2．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：
年份 2015 2016 2017 2018
投资成本 3 5 9 17 …
年利润 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.
(1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
同类题型演练
1．（2022·全国·高二课时练习）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到百万个．
2．（2022·福建南平·高一期末）在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆．
(1)根据以上数据，试从（，且），，（，且），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；
(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，年底该地区传统能源汽车保有量为辆，预计到年底传统能源汽车保有量将下降．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：，）
3．（2022·山东济宁·高一期末）某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的；另一个是同学乙提出的，记2021年元旦最初测量时间x的值为0．
(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，）
4.5.3函数模型的应用（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：指数函数模型
重点题型二：对数函数模型
重点题型三：拟合函数模型的应用题
知识点一：常见函数模型
1、一次函数模型（，为常数）
2、反比例函数模型（）
3、二次函数模型（）
4、指数函数模型（且，）
5、对数函数模型（且，）
6、幂函数模型（，）
7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合
8、对勾函数模型：
1．（2022·全国·高一课时练习）我国2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到2020年底我国人口总数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
因为2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，则：
2011年底的人口总数为M；
2012年底的人口总数为M；
2013年底的人口总数为M；
2014年底的人口总数为M；
……
以此类推，2020年底的人口总数为M；
故选：C．
2．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( )
（2）对任意的．( )
（3）对任意的．( )
（4）在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．( )
【答案】 正确 错误 错误 正确
（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型，故正确；
（2）对任意的，当时，不恒成立，故错误；
（3）对任意的，当时，不恒成立，故错误；
（4）在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型，故正确.
3．（2022·全国·高一课时练习）某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是（参考数据：，）( )
A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年
【答案】D
设从2018年起，再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件
根据题意，得
即，
两边取对数，可得，
所以6.03，
又n为整数，则n的最小值为7
又2018+7=2025
所以从2025年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件
故选：D
4．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．( )
（2）在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．( )
【答案】 正确 正确
（1）在一次函数模型中，当时函数单调递增，当时函数单调递减，故正确；
（2）幂函数时函数单调递增，时函数单调递减，故正确.
重点题型一：指数函数模型
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））民以食为天，科学研究表明：温度太高的食物能对消化道黏膜造成伤害，温度太低的食物容易引起消化道不适．因此，适宜的进食温度在10℃到40℃左右．大量实验数据表明：把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么tmin后物体的温度（单位：℃）满足公式（其中k为常数）．现有60℃的物体放在20℃的空气中冷却，2min后物体的温度是40℃．现将一盘出锅温度是100℃的美食放在20℃的空气中冷却，为达到适宜的进食温度，至少应冷却（ ）
A．2 min B．3 min C．4 min D．5 min
【答案】C
∵现有60℃的物体放在20℃的空气中冷却，2min后物体的温度是40℃．
∴，解得①，
∵适宜的进食温度在10℃到40℃左右，一盘出锅温度是100℃的美食放在20℃的空气中冷却，
∴，解得②，
两式联立得，即至少要冷却.
故选：．
例题2．（2022·吉林·长春十一高高一阶段练习）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得.其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数.现有的物体，放在的空气中冷却，分钟以后物体的温度是，则约等于（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：由题意得，，
，
两边取自然对数得，，
所以，
故选：A
例题3．（2022·全国·高三专题练习）“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米．已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（ ）
A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年
【答案】C
∴
∴
∴（天）
∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年.
故选：C.
例题4．（2022·湖南·高一课时练习）小张新购买某型号轿车的价格为16万元，使用年后的轿车参照来衡量价值．
(1)试解释上述函数表达式中0.9的含义；
(2)使用3年后的轿车价值多少？9年后呢？
【答案】(1)每多经过一年，轿车的价值减少为上一年的90%；
(2)11.664万元；6.2万元.
(1)，
16为轿车的购买价格，故0.9表示的含义是每多经过一年，轿车的价值比上一年减少10%，或表示每多经过一年，轿车的价值减少为上一年的90%.
(2)经过3年后，轿车价值为（万元）；
经过9年后，轿车价值为（万元）.
例题5．（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））研究发现，放射性元素在一定时间内会通过核衰变过程转换成其他元素，放射性水平随着时间的推移而呈指数级下降，已知放射性元素在时刻的放射性水平满足关系式，其中是初始水平，为常数．
(1)若放射性元素X在时的放射性水平是时的，求的值；
(2)设表示放射性元素的放射速率，当放射速率低于时，该元素的放射性水平趋于“绝零”，求使得（1）中放射性元素的放射性水平趋于“绝零”的最小整数．（参考数据：）
【答案】(1)；(2).
(1)由题可知，，．
因为，所以，
所以即．
(2)由（1）可知，，
由，得，
即．
因为，
所以，
所以所求的最小整数．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知，结果取整数）（ ）
A．23天 B．33天 C．43天 D．50天
【答案】B
，故，故，
令，∴，故，
故选：B.
2．（2022·新疆喀什·高一期末）某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型：.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（ ）
A．44 B．48 C．80 D．125
【答案】D
依题意得，，，所以.故若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则相关确诊病例人数约为125.
故选：D
3．（2022·广东深圳·高二期末）光线通过一块玻璃，强度损失10%，那么至少遇过___________块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来以下.
【答案】16
由题得经过第块玻璃板后，其光线的强度变为原来的，
由.，可得.所以取16.
故答案为：16
4．（2022·全国·高一）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）
【答案】(1)；；(2)2022.
(1)因为函数中，随的增长而增长的速度越来越快，
而函数，随的增长而增长的速度越来越慢，
故由题意应选；
则有，解得，
∴；
(2)设经过年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍，
则，即，
∴，
∴，
故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．
重点题型二：对数函数模型
典型例题
例题1．（2022·四川凉山·高二期末（理））中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率取决于信道带宽，经科学研究表明：与满足，其中为信噪比．若不改变带宽，而将信噪比从9提升到39，则大约增加了（ ）．（附：）
A．20％ B．40％ C．60％ D．80％
【答案】C
当时，，
当时，，
则，所以C大约增加了，
即C大约增加了60％
故选：C
例题2．（2022·全国·高二课时练习）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：）
A． B． C． D．
【答案】C
.
故选：C．
例题3．（2022·广东·高三阶段练习）声强级（单位：）与声强的函数关系式为：，若女高音的声强级是，普通女性的声强级为，则女高音声强是普通女性声强的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
【答案】C
设女高音声强为，普通女性声强为，则，所以①，，所以②，则①÷②得：，故女高音声强是普通女性声强的1000倍.
故选：C
例题4．（2022·全国·高二课时练习）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）
(1)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.
(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.
【答案】(1)466个单位(2)3倍
（1）将，代入函数，得：，因为，所以，所以，所以.答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：两式相减可得：，所以，即，答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.
例题5．（2022·北京市第五中学高一期末）进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵.经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？
(2)某条湟鱼想把游速提高，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【答案】(1)约为1.17m/s；(2)4.
(1)由题意，游速为.
(2)设原来和现在耗氧量的单位数分别为，所以，所以耗氧量的单位数是原来的4倍.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一期末）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星星的亮度为.已知“角宿一”的星等是0.97，“水委一”的星等是0.47.“水委一”的亮度是“角宿一”亮度的倍，则与最接近的是（当较小时，）（ ）
A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59
【答案】B
设“角宿一”的星等是，“水委一”的星等是，“角宿一”的亮度是，“水委一”的亮度是，则，，
∵两颗星的星等与亮度满足，
∴，即，
∴，
∴与最接近的是1.57.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等、目视星等和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知织女星的绝对星等为0.58，目视星等为0.04，大角星的绝对星等为，目视星等为，则观测者与织女星和大角星间的距离的比值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设观测者与织女星和大角星间的距离分别为，，则有，
两式相减得，所以，，
故选:D．
3．（2022·全国·高三专题练习）2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式，其中△v为火箭的速度增量，为喷流相对于火箭的速度，和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭达到5公里/秒，从100提高到600，则速度增量增加的百分比约为（ ）（参考数据：，，
A．15% B．30% C．35% D．39%
【答案】D
由题意，当时，速度的增量为；
当时，速度的增量为，
所以.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关，酿醋成功指数M与浓度N满足．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（）（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】D
由题意知：，整理得，解得，又，故.
故选：D.
5．（多选）（2022·福建省德化第一中学高二期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
【答案】ACD
对于A：当时，由题意得，
解得，即地震里氏震级约为七级，故A正确；
对于B：八级地震即时，，解得，
所以，
所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B错误；
对于C：六级地震即时，，解得，
所以，
即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；
对于D：由题意得（n=1，2，···，9，10），
所以，所以
所以，即数列{an}是等比数列，故D正确；
故选：ACD
重点题型三：拟合函数模型的应用题
典型例题
例题1．（2022·福建·南靖县第一中学高二期中）年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌 病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播 保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据：，，，，，，）
(1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（结果保留到整数）
【答案】(1)应选模型为，理由见解析；(2)
(1)的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，
应选模型为；
则，解得：，，又，
函数模型为；
(2)由题意得：，即，，
，，
至少经过培养基中菌落面积能超过.
例题2．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：
年份 2015 2016 2017 2018
投资成本 3 5 9 17 …
年利润 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.
(1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
【答案】(1)可用③来描述x，y之间的关系，
(2)该企业要考虑转型.
(1)由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，，不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，；当时，.
故可用③来描述x，y之间的关系.
(2)由题知，解得.
∵年利润，∴该企业要考虑转型.
同类题型演练
1．（2022·全国·高二课时练习）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③．
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到百万个．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)，至少再经过小时，细菌数量达到百万个．
（1）解：依题意，所选函数必须满足三个条件：（ⅰ）定义域包含；（ⅱ）增函数；（ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．因为函数的定义域为，时无意义；函数随着自变量的增加，函数值的增长速度变大．函数可以同时符合上述条件，所以应该选择函数．
（2）解：依题意知，解得，所以．令，解得．所以，至少再经过小时，细菌数量达到百万个．
2．（2022·福建南平·高一期末）在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆．
(1)根据以上数据，试从（，且），，（，且），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；
(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，年底该地区传统能源汽车保有量为辆，预计到年底传统能源汽车保有量将下降．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：，）
【答案】(1)应选择的函数模型是（，且），函数关系式为；
(2)年底.
(1)解：根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是
（，且），
由题意得，解得，所以.
(2)解：设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为，
依题意得，，解得，
设从年底起经过年后的传统能源汽车保有量为辆，
则有，
设从年底起经过年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有
化简得，所以，
解得，
故从年底起经过年后，即年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.
3．（2022·山东济宁·高一期末）某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的；另一个是同学乙提出的，记2021年元旦最初测量时间x的值为0．
(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，）
【答案】(1)甲同学提出的函数模型满足要求，
(2)池塘中该水生植物面积应该在6月起是去年元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上
(1)因为两个函数模型，在上都是增函数．
随着x的增大，的函数值增加的越来越快，而的函数值增加的越来越慢．
因为在池塘里该水生植物蔓延的速度是越来越快，即随着时间增加，该水生植物的面积增加的越来越快，
所以，甲同学提出的函数模型满足要求．
由题意知，解得，，
所以，
(2)一月底水深植物面积为
由，解得
又
故．
所以，池塘中该水生植物面积应该在6月起是去年元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上．

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