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5.1任意角和弧度制（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：任意角的概念
重点题型二：坐标系中角的概念及其表示
角度1：终边相同的角
角度2：终边在某条直线上的角的集合
角度3：区域角
重点题型三：确定及的终边所在的象限
重点题型四：弧度制的概念
重点题型五：角度与弧度的互化
重点题型六：用弧度表示角或范围
重点题型七：弧长公式与扇形面积公式的应用
知识点一：任意角
1、角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
2、角的分类
①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
3、角的运算
设，是任意两个角，为角的相反角．
(1)：把角的终边旋转角.（时,旋转量为,按逆时针方向旋转;时,旋转量为,按顺时针方向旋转）
(2)：
知识点二：象限角
1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
2、象限角的常用表示：
第一象限角
第二象限角
第三象限角 或
第四象限角 或
知识点三：轴线角
1、定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.
2、轴线角的表示：
① 终边落在轴非负半轴
② 终边落在轴非负半轴
③ 终边落在轴非正半轴 或
④ 终边落在轴非正半轴 或
⑤ 终边落在轴
⑥ 终边落在轴 或
⑦ 终边落在坐标轴
知识点四：终边相同的角的集合
所有与角终边相同的角为
知识点五：角度制与弧度制的概念
1、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
3、常用的角度与弧度对应表
角度制
弧制度
知识点六：扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
1．（2022·江西上饶·高一阶段练习）如图所示的时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）若角，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）的角化为角度制的结果为_______．
5．（2022·全国·高一课时练习）求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角.
重点题型一：任意角的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
例题2．（多选）（2022·江西省临川第二中学高一阶段练习）下列说法正确的是（　　）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角.
B．如果，是第一象限的角，且，则.
C．若角为锐角，则角为钝角.
D．若角，则角为第二象限角.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为___________.
重点题型二：坐标系中角的概念及其表示
角度1：终边相同的角
典型例题
例题1．（2022·陕西渭南·高一期末）与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）将化成的形式是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知角的集合为，回答下列问题：
(1)集合中有几类终边不相同的角？
(2)集合中大于－360°且小于的角是哪几个？
(3)求集合中的第二象限角．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）在0°到范围内，与终边相同的角为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高一专题练习）与终边相同的最小正角是____.
3．（2022·北京八中高一期中）将化为的形式是________.
角度2：终边在某条直线上的角的集合
典型例题
例题1．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）终边落在直线上的角的集合为
A． B．
C． D．
例题2．（2022·上海财经大学附属北郊高级中学高一阶段练习）用弧度制写出终边落在直线上的角是__．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）终边与直线重合的角可表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．（2022·上海·南洋中学高一阶段练习）终边在第一、第三象限平分线上的角的集合可表示为____________.
角度3：区域角
典型例题
例题1．（2022·福建·泉州鲤城北大培文学校高二期末）集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　 　)
A． B． C．D．
例题2．（2022·上海·华师大二附中高一期中）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是__________．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1）；（2）
例题4．（2022·全国·高一课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
(1)(2)
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
3．（2022·全国·高一课时练习）如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（1）终边落在射线上；
（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
4．（2022·全国·高一课时练习）写出终边在图中阴影区域(包括边界)内的角的集合.
重点题型三：确定及的终边所在的象限
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知是锐角，那么是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
例题2．（2022·北京·北师大二附中高一期中）若为第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
例题3．（多选）（2022·全国·高一）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）若是钝角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知是第二象限的角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
3．（2022·湖南·高一课时练习）当是第二象限角时，试讨论是哪个象限的角．
4．（2022·湖南·高一课时练习）当是锐角时，试判断是哪个象限的角．
重点题型四：弧度制的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）若，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例题2．（2022·全国·高一课时练习）如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
同类题型演练
1．（2022·四川·成都外国语学校高一开学考试）一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·北师大二附中高一期中）时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(　　)
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南湘西·高一期末）高考数学考试时间是2小时，那么在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为___________.
重点题型五：角度与弧度的互化
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．化成弧度是 D．化成度是15°
例题2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）300°化为弧度制是（ ）．
A． B． C． D．
例题3．（2022·上海·华东政法大学附属中学高一期中）将75°角化为弧度制为______弧度．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一单元测试）下列角中与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是
B．化成角度是
C．若角，则角为第二象限角
D．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为
3．（2022·全国·高一课时练习）若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．
重点题型六：用弧度表示角或范围
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2021·江苏·高一专题练习）用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).
同类题型演练
1．（2021·山西·太原五中高一阶段练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角的集合是_________．
2．（2022·湖南·高一课时练习）分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.
重点题型七：弧长公式与扇形面积公式的应用
典型例题
例题1．（2022·山东滨州·高二期末）若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是（ ）
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
例题2．（2022·四川巴中·高一期末（理））半径为2cm，中心角为的扇形的弧长为______cm．
例题3．（2022·河南安阳·高一期末）如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环的面积__________．
例题4．（2022·上海财经大学附属北郊高级中学高一阶段练习）圆心角为，弧长为，扇形的面积为__．
例题5．（2022·全国·高一）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大 并求出最大值．
同类题型演练
1．（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制（Densepositionsystem），密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的，即密位.在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如密位写成，密位写成，设圆的半径为，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海市嘉定区第一中学高一期末）已知一个扇形的弧所对的圆心角为40°，半径，则该扇形的弧长为______cm．
3．（2022·江西萍乡·高一期中）东方设计中的“白银比例”是，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形（如图）．设制作折扇时剪下的小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为________．
4．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为.
（1）若，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积
1．（2022·北京·人大附中三模）半径为的圆的边沿有一点，半径为的圆的边沿有一点，、两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，、两点再次重合小圆滚动的圈数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南·模拟预测（理））密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12－50，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值：）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
5.1任意角和弧度制（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：任意角的概念
重点题型二：坐标系中角的概念及其表示
角度1：终边相同的角
角度2：终边在某条直线上的角的集合
角度3：区域角
重点题型三：确定及的终边所在的象限
重点题型四：弧度制的概念
重点题型五：角度与弧度的互化
重点题型六：用弧度表示角或范围
重点题型七：弧长公式与扇形面积公式的应用
知识点一：任意角
1、角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
2、角的分类
①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
3、角的运算
设，是任意两个角，为角的相反角．
(1)：把角的终边旋转角.（时,旋转量为,按逆时针方向旋转;时,旋转量为,按顺时针方向旋转）
(2)：
知识点二：象限角
1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
2、象限角的常用表示：
第一象限角
第二象限角
第三象限角 或
第四象限角 或
知识点三：轴线角
1、定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.
2、轴线角的表示：
① 终边落在轴非负半轴
② 终边落在轴非负半轴
③ 终边落在轴非正半轴 或
④ 终边落在轴非正半轴 或
⑤ 终边落在轴
⑥ 终边落在轴 或
⑦ 终边落在坐标轴
知识点四：终边相同的角的集合
所有与角终边相同的角为
知识点五：角度制与弧度制的概念
1、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
3、常用的角度与弧度对应表
角度制
弧制度
知识点六：扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
1．（2022·江西上饶·高一阶段练习）如图所示的时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由图可知，．
故选：B．
2．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）若角，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【详解】因为，所以是第二象限角．
故选：B．
3．（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.
故选：B．
4．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）的角化为角度制的结果为_______．
【答案】
【详解】
故答案为：
5．（2022·全国·高一课时练习）求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角.
【答案】最小正角为，最大负角为，角是第四象限角
【详解】，
角是第四象限角，与角终边相同的角可以表示为，
当时，；当时，；
与角终边相同的最小正角为，最大负角为.
重点题型一：任意角的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
【答案】B
【详解】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．故选：B.
例题2．（多选）（2022·江西省临川第二中学高一阶段练习）下列说法正确的是（　　）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角.
B．如果，是第一象限的角，且，则.
C．若角为锐角，则角为钝角.
D．若角，则角为第二象限角.
【答案】AD
【详解】与一个逆时针旋转，一个顺时针旋转，旋转角度都为，故如果是第一象限的角，则是第四象限的角，故A正确；取，易知B错误；取，为锐角，故C错误；，故为第二象限角，D正确.
故选：AD
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将分针拨快10分钟，即分针顺时针旋转圆周的，
分针转过的弧度为．
故选：B
2．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为___________.
【答案】
【详解】因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为.
故答案为：.
重点题型二：坐标系中角的概念及其表示
角度1：终边相同的角
典型例题
例题1．（2022·陕西渭南·高一期末）与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，
∴与终边相同的角是.
故选：D
例题2．（2022·全国·高一课时练习）将化成的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，，，所以－1485°可化成．
故选：D．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知角的集合为，回答下列问题：
(1)集合中有几类终边不相同的角？
(2)集合中大于－360°且小于的角是哪几个？
(3)求集合中的第二象限角．
【答案】(1)四类
(2)－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°
(3)，
（1）集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
（2）令，得，
又，所以终边不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，
分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以，.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）在0°到范围内，与终边相同的角为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以在0°到范围内与终边相同的角为；
故选：B
2．（2022·全国·高一专题练习）与终边相同的最小正角是____.
【答案】°
【详解】，
与终边相同，又终边相同的两个角相差的整数倍，
在上，只有与终边相同，
与终边相同的最小正角是，
故答案为：.
3．（2022·北京八中高一期中）将化为的形式是________.
【答案】4π+π4##π4+4π
【详解】.
故答案为：
角度2：终边在某条直线上的角的集合
典型例题
例题1．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）终边落在直线上的角的集合为
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由于角的终边是一条射线，所以当角的终边落在直线，且在 内的角为， ，则终边落在直线上的角为 ,
即终边落在直线上的角的集合为．
例题2．（2022·上海财经大学附属北郊高级中学高一阶段练习）用弧度制写出终边落在直线上的角是__．
【答案】
【详解】解：由终边相同的角的定义，终边落在射线的角的集合为 ，
终边落在射线 的角的集合为 ，
所以终边落在直线的角的集合为 ，
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）终边与直线重合的角可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】终边与直线重合的角可表示为．
故选：A.
2．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【详解】解：因为，所以
当时，，其终边在第三象限；
当时，，其终边在第一象限.
综上，的终边在第一、三象限.
故选：A.
3．（2022·上海·南洋中学高一阶段练习）终边在第一、第三象限平分线上的角的集合可表示为____________.
【答案】
【详解】当角为锐角时，易得，又第一、第三象限平分线上的角终边以为周期，故角的集合可表示为.
故答案为：
角度3：区域角
典型例题
例题1．（2022·福建·泉州鲤城北大培文学校高二期末）集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　 　)
A． B． C．D．
【答案】C
详解：由集合，
当为偶数时，集合与表示相同的角，位于第一象限；
当为奇数时，集合与表示相同的角，位于第三象限；
所以集合中表示的角的范围为选项C，故选C.
例题2．（2022·上海·华师大二附中高一期中）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是__________．
【答案】
【详解】由题图，终边对应角为且，终边对应角为且，
所以阴影部分角的集合是.
故答案为：
例题3．（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1）；（2）
【答案】（1）；
（2）或.
【详解】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
；
如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1=，M2=.
所以阴影部分内的角的集合为
或.
例题4．（2022·全国·高一课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.
（2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.
【答案】
【详解】因为，，
结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为
.
故答案为:.
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是,
所以角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．
故答案为：{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
3．（2022·全国·高一课时练习）如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（1）终边落在射线上；
（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）终边落在射线上的角的集合为；
（2）终边落在直线上的角的集合为；
（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为，
终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为，
因此，终边落在阴影区域内的角的集合为
.
4．（2022·全国·高一课时练习）写出终边在图中阴影区域(包括边界)内的角的集合.
【答案】(1);
(2);
(3).
【详解】（1）终边在边界上的角为，，
终边在阴影部分的角满足：，
所求角的集合为
（2）终边落在边界上的角为，，终边落在坐标轴上的角，，
终边落在阴影区域内的角为，
故所求角的集合为，
（3）终边落在边界上的角为，，，
终边在阴影部分的角满足：，
故所求角的集合为
重点题型三：确定及的终边所在的象限
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知是锐角，那么是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
【答案】C
【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.
其中D选项不包括，故错误.
故选：C
例题2．（2022·北京·北师大二附中高一期中）若为第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
【答案】D
【详解】因为为第一象限角，
所以，
所以，
当时，，属于第一象限角，排除B；
当时，，属于第三象限角,排除AC；
所以是第一或第三象限角
故选：D
例题3．（多选）（2022·全国·高一）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABC
【详解】解：因为角是第一象限角，所以，，所以，， 当，时，，，位于第一象限，当，时，，，位于第二象限，当，时，，，位于第三象限，综上可得位于第一、二、三象限；
故选：ABC
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）若是钝角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【详解】，，,在第四象限.
故选：D
2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知是第二象限的角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
【答案】D
【详解】是第二象限的角，
则，
所以，
当时，，属于第一象限角，
当时，，属于第三象限角，
当时，，属于第一象限角，
所以是第一或第三象限角，
故选：D
3．（2022·湖南·高一课时练习）当是第二象限角时，试讨论是哪个象限的角．
【答案】答案见解析.
【详解】由题设，，则，
所以，当为偶数时是第一象限角；当为奇数时是第三象限角；
4．（2022·湖南·高一课时练习）当是锐角时，试判断是哪个象限的角．
【答案】第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角.
【详解】因为为锐角，所以，
，
为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角.
重点题型四：弧度制的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）若，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】由于，
故角的终边在第一象限，
故选：A
例题2．（2022·全国·高一课时练习）如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】表有个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为；
当时针指向，分针指向时，时针与分针夹角为；
但当分针指向时，时针由向移动了；
该时刻的时针与分针所夹钝角为.
故选：B.
例题3．（多选）（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
【答案】AB
【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误.
故选：AB．
同类题型演练
1．（2022·四川·成都外国语学校高一开学考试）一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为.
故选：B
2．（2022·北京·北师大二附中高一期中）时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为×2π＝.
本题选择B选项.
3．（2022·湖南湘西·高一期末）高考数学考试时间是2小时，那么在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为___________.
【答案】
【详解】时间经过2小时，钟表的时针顺时针方向转过 ，
故时针转过的弧度数为，
故答案为：.
重点题型五：角度与弧度的互化
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°
C．化成弧度是 D．化成度是15°
【答案】A
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．
故选：A
例题2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）300°化为弧度制是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据，得.
故选：B.
例题3．（2022·上海·华东政法大学附属中学高一期中）将75°角化为弧度制为______弧度．
【答案】##
【详解】因为，
所以.
故答案为：
同类题型演练
1．（2022·全国·高一单元测试）下列角中与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得，
与角终边相同的角的集合为，
令，可得，
所以与角终边相同的角是.
故选：D.
2．（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是
B．化成角度是
C．若角，则角为第二象限角
D．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为
【答案】BC
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，故角为第二象限角，C对；
对于D选项，，故扇形的面积为，D错.
故选：BC.
3．（2022·全国·高一课时练习）若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．
【答案】；
【详解】设这两个角的弧度数分别为，，，因为，
所以，则，即这两个角的弧度数分别为，．
故答案为：，
重点题型六：用弧度表示角或范围
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当角的终边与直线重合时，角的终边与函数的图象无交点.又因为角的终边为射线，
所以，.
故选：C
例题2．（2021·江苏·高一专题练习）用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).
【答案】，
【详解】因为，由图（1）知：以射线为终边的角的集合为，
角的终边与即的角的终边相同，
以为终边的角为，
所以终边落在阴影部分内的角的集合为：.
因为，，
由图（2）知：以射线为终边的角为，
以射线为终边的角为，
所以终边在直线上的角为：
，
同理终边在轴上的角为，
所以终边落在阴影部分内的角的集合.
同类题型演练
1．（2021·山西·太原五中高一阶段练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角的集合是_________．
【答案】
【详解】解：由题意，得与OA终边相同的角可表示为，
与OB终边相同的角可表示为，
故角的集合是，
故答案为：．
2．（2022·湖南·高一课时练习）分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.
【答案】第一象限角：，；
第二象限角：，；
第三象限角：，；
第四象限角：，.
【详解】解：用角度制写出象限角的集合是：
第一象限角：；
第二象限角：；
第三象限角：；
第四象限角：.
用弧度制写出象限角的集合是：
第一象限角：；
第二象限角：；
第三象限角：；
第四象限角：.
重点题型七：弧长公式与扇形面积公式的应用
典型例题
例题1．（2022·山东滨州·高二期末）若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是（ ）
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
【答案】A
【详解】设扇形的半径为，弧长为，由题意得，解得或，
故扇形的圆心角的弧度数或 ．
故选：A.
例题2．（2022·四川巴中·高一期末（理））半径为2cm，中心角为的扇形的弧长为______cm．
【答案】
【详解】解：圆弧所对的中心角为即为弧度，半径为
弧长为．
故答案为：．
例题3．（2022·河南安阳·高一期末）如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环的面积__________．
【答案】3
【详解】设,
因为弧，弧，，
所以，，
所以，，
又扇形的面积为，扇形的面积为，
所以扇环ABCD的面积．
故答案为：3
例题4．（2022·上海财经大学附属北郊高级中学高一阶段练习）圆心角为，弧长为，扇形的面积为__．
【答案】##
【详解】解：圆心角为，即，弧长，所以半径，
所以扇形的面积；
故答案为：
例题5．（2022·全国·高一）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大 并求出最大值．
【答案】(1)；
(2)当时，y的值最大，最大值为．
(1)根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，
，
．
(2)依据题意，可知，
化简得：，，
当，．
∴当时，y的值最大，且最大值为．
同类题型演练
1．（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制（Densepositionsystem），密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的，即密位.在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如密位写成，密位写成，设圆的半径为，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为1密位等于圆周角的
所以密位的圆心角为
又圆的半径为
所以弧长
故选：A
2．（2022·上海市嘉定区第一中学高一期末）已知一个扇形的弧所对的圆心角为40°，半径，则该扇形的弧长为______cm．
【答案】
【详解】因为一个扇形的弧所对的圆心角为40°，所以圆心角的弧度数为，
所以该扇形的弧长为.
故答案为：
3．（2022·江西萍乡·高一期中）东方设计中的“白银比例”是，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形（如图）．设制作折扇时剪下的小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为________．
【答案】##
【详解】设扇形的圆心角为，小扇形半径为，大扇形半径为，
则，即，
，即.
故答案为：.
4．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】(1)α＝60°＝rad，∴l＝α·R＝×10＝ (cm).
(2)由题意得解得 (舍去)，
故扇形圆心角为.
(3)由已知得，l＋2R＝20.
所以S＝lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10，α＝2.
5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为.
（1）若，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则
α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，
S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2).
(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，
∴R＝，
∴S扇＝α·R2＝α·
＝·＝·≤.
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.
1．（2022·北京·人大附中三模）半径为的圆的边沿有一点，半径为的圆的边沿有一点，、两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，、两点再次重合小圆滚动的圈数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设、两点再次重合小圆滚动的圈数为，则，其中、，
所以，，则当时，.
故、两点再次重合小圆滚动的圈数为.
故选：D.
2．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，，
当时，是奇数，是整数，所以．
故选：．
3．（2022·河南·模拟预测（理））密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12－50，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，该扇形的圆心角为．
又，故所求扇形的面积为
．
故选：A.
4．（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值：）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
【答案】D
【详解】解：由题意，前轮转动了圈，
所以A，B两点之间的距离约为，
故选：D.

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