资源简介

5.2.2同角三角函数的基本关系（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：利用同角三角函数的基本关系求值
角度1：已知某个三角函数值,求其余三角函数值
角度2：已知,求关于和的齐次式的值
角度3：利用,与之间的关系求值
重点题型二：应用同角三角函数的基本关系式化简
重点题型三：与参数有关的三角函数问题
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：同角三角函数的基本关系
1、平方关系：
2、商数关系:（，）
知识点二：关系式的常用等价变形
1、
2、
1．（2022·福建南平·高二期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建·高二学业考试）已知，且为第一象限角，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西汉中·高一期末）若为第二象限角，且，则tan＝___．
4．（2022·全国·高一专题练习）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则 _____.
5．（2022·上海市新场中学高一期末）已知，则___________.
重点题型一：利用同角三角函数的基本关系求值
角度1：已知某个三角函数值,求其余三角函数值
典型例题
例题1．（2022·辽宁大连·高一期末）若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）已知是第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知，且为第一象限角，则_________.
例题4．（2022·广东韶关·高一期末）已知，，则__________．
同类题型演练
1．（2022·海南·高一期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知为第三象限角，且，则__________.
3．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
角度2：已知,求关于和的齐次式的值
典型例题
例题1．（2022·浙江·高一阶段练习）已知，则___________.
例题2．（2022·福建·莆田第二十五中学高一期末）已知为第二象限角，且．
(1)求与的值；
(2)的值．
例题3．（2022·广东·高二阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．
例题4．（2022·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·江西·南昌二中高一阶段练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
同类题型演练
1．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）若，则____
2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知，则_____________
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高一课时练习）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
角度3：利用,与之间的关系求值
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·哈九中高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·浙江温州·高二期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．
例题4．（2022·山东聊城·高三期末）已知，且，则的值为________.
例题5．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·河北省三河市第二中学高一期末）已知，且，则______.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一）已知，求tanθ的值.
5．（2022·全国·高一课时练习）已知，.求：
(1)；
(2).
6．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高一阶段练习）已知且（）求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
重点题型二：应用同角三角函数的基本关系式化简
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知，为第二象限角.
(1)若，求的值；
例题2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）（1）已知，其中是第三象限角，化简
同类题型演练
1．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知，.
(1)求的值.
(2)求的值.
(3)求的值.
2．（2022·甘肃·兰州市第二中学高一期末）已知
（1）求的值；
（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.
重点题型三：与参数有关的三角函数问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若，是关于的方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．不存在
例题2．（2022·全国·高一）已知，是关于x的一元二次方程的两根，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
例题3．（多选）（2022·新疆·乌市一中高一期末）若函数在上有零点，则整数的值可以是（　　）
A． B． C．0 D．
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）已知，是关于的方程的两根，求实数的值．
2．（2022·上海市徐汇中学高一阶段练习）若及是关于的方程的两个实根，求实数的值.
1．（2022·江西萍乡·三模（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知，则_________．
3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））若，则=______．
4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））若，则_________．
5．（2022·河北唐山·三模）若，则___________．
5.2.2同角三角函数的基本关系（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：利用同角三角函数的基本关系求值
角度1：已知某个三角函数值,求其余三角函数值
角度2：已知,求关于和的齐次式的值
角度3：利用,与之间的关系求值
重点题型二：应用同角三角函数的基本关系式化简
重点题型三：与参数有关的三角函数问题
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：同角三角函数的基本关系
1、平方关系：
2、商数关系:（，）
知识点二：关系式的常用等价变形
1、
2、
1．（2022·福建南平·高二期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
故选：A．
2．（2022·福建·高二学业考试）已知，且为第一象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为为第一象限角，，所以．
故选：A．
3．（2022·陕西汉中·高一期末）若为第二象限角，且，则tan＝___．
【答案】－
【详解】因为为第二象限角，且，所以，
所以．
故答案为：．
4．（2022·全国·高一专题练习）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则 _____.
【答案】
【详解】角的始边为轴非负半轴，终边经过点，
则，
故答案为：
5．（2022·上海市新场中学高一期末）已知，则___________.
【答案】##
【详解】解：因为，所以，解得；
故答案为：
重点题型一：利用同角三角函数的基本关系求值
角度1：已知某个三角函数值,求其余三角函数值
典型例题
例题1．（2022·辽宁大连·高一期末）若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于，且为第四象限角，
所以，
.
故选：D
例题2．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）已知是第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为是第二象限角，所以，所以.
故选：A.
例题3．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知，且为第一象限角，则_________.
【答案】##0.8
【详解】，且为第一象限角,故，由同角平方和为1的关系可得：；
故答案为：
例题4．（2022·广东韶关·高一期末）已知，，则__________．
【答案】##
【详解】因为，，
所以．
故答案为：
同类题型演练
1．（2022·海南·高一期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，则
又，所以．
故选：C
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知为第三象限角，且，则__________.
【答案】
【详解】由条件可知，且为第三象限角，
解得：，.
故答案为：
3．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得．又，所以，．结合得，，所以．
故选：B．
角度2：已知,求关于和的齐次式的值
典型例题
例题1．（2022·浙江·高一阶段练习）已知，则___________.
【答案】
【详解】，
将原式分子与分母同除以，则
故答案为：．
例题2．（2022·福建·莆田第二十五中学高一期末）已知为第二象限角，且．
(1)求与的值；
(2)的值．
【答案】(1)，；(2).
(1)∵
∴，
∴，
∵为第二象限角，
故，
故；
(2).
例题3．（2022·广东·高二阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】C
【详解】由题：.
故选：C
例题4．（2022·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由可得，
解得：，
故选：C.
例题5．（2022·江西·南昌二中高一阶段练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：
，
解得：
(2)解：
同类题型演练
1．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）若，则____
【答案】##0.25
【详解】，
故答案为：.
2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知，则_____________
【答案】
【详解】
故答案为：
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题得，
所以.
故选：C
4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：.
(2)解：
5．（2022·全国·高三专题练习（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
＝＝＝1.
故选：D
6．（2022·全国·高一课时练习）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
由同角三角函数基本关系可得，
解得：，
所以，
故选：B．
角度3：利用,与之间的关系求值
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·哈九中高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
解得：.
故选：A
例题2．（2022·浙江温州·高二期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，，，，
，所以.
故选：C
例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．
【答案】
【详解】因为，平方得，所以，
所以．
故答案为：
例题4．（2022·山东聊城·高三期末）已知，且，则的值为________.
【答案】
【详解】
，，
又，所以，所以，
，
故答案为：
例题5．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，
故，故，即，解得或.
因为，则，故.
故选：A
同类题型演练
1．（2022·河北省三河市第二中学高一期末）已知，且，则______.
【答案】
【详解】由题意，，
因为，所以，则，所以.
故答案为：.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，则，
故
又，故
故选：A
3．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，则，
因为，所以，，
因此，.
故选：C.
4．（2022·全国·高一）已知，求tanθ的值.
【答案】
【详解】将已知等式两边平方，得
解方程组 得
5．（2022·全国·高一课时练习）已知，.求：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2).
（1）∵，
∴，即，则，
∴，
而，故，，
∴，则.
（2）.
6．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高一阶段练习）已知且（）求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）因为，，
所以，
即
所以
（Ⅱ）由上知，为第二象限的角，
所以，
所以，
所以
重点题型二：应用同角三角函数的基本关系式化简
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知，为第二象限角.
(1)若，求的值；
【答案】(1)
（1）为第二象限角，则.
.
∵，∴.
∴.
例题2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）（1）已知，其中是第三象限角，化简
【答案】（1）；
【详解】（1）是第三象限角，
，，，
∴
同类题型演练
1．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知，.
(1)求的值.
(2)求的值.
(3)求的值.
【答案】(1)(2)(3)
(1)解：因为，
所以，
所以；
(2)解：因为，，
所以，
所以；
(3)解：由（2）得，
则
2．（2022·甘肃·兰州市第二中学高一期末）已知
（1）求的值；
（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）∵　　　∴ 2分
解之得 4分
（2）∵是第三象限的角
∴= 6分
=
== 10分
由第（1）问可知：原式＝＝ 12分
重点题型三：与参数有关的三角函数问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若，是关于的方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【详解】若方程有实根，
则
或，
若、是关于的方程的两个实根，
则，
则
即，（舍去）
故选：．
例题2．（2022·全国·高一）已知，是关于x的一元二次方程的两根，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)(2)(3)
(1)因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以
(2)因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以
(3)由（2）可得，，
因为，所以，所以，
所以
例题3．（多选）（2022·新疆·乌市一中高一期末）若函数在上有零点，则整数的值可以是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】BCD
【详解】在上有零点，即在上有解，
设，，
，则，，，
所以，即，BCD均可以．
故选：BCD．
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）已知，是关于的方程的两根，求实数的值．
【答案】
【详解】，是关于的方程的两根
则，且
由，可得，则
经检验符合题意，则所求实数的值为
.
2．（2022·上海市徐汇中学高一阶段练习）若及是关于的方程的两个实根，求实数的值.
【答案】
【详解】解：，是关于的方程的两个实根，
，，
，
，即，
整理得：，
解得或，
方程有实数根，
，即或，
则的值为．
1．（2022·江西萍乡·三模（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
又，所以，
故选：A.
2．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知，则_________．
【答案】##
【详解】
．
故答案为：．
3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））若，则=______．
【答案】#
【详解】因为，可得.
故答案为：#.
4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））若，则_________．
【答案】##0.75
【详解】因为，
则．
故答案为：．
5．（2022·河北唐山·三模）若，则___________．
【答案】4
【详解】因为，两边同时平方得，即，所以，
因此，
故答案为：4.

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