资源简介

5.3诱导公式（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：给角求值问题
重点题型二：给值(式)求值问题
重点题型三：三角函数的化简求值问题
重点题型四：利用诱导公式证明三角恒等式
重点题型五：诱导公式在三角形中的应用
重点题型六：诱导公式与同角函数基本关系的应用
知识点一：公式二
知识点二：公式三
知识点三：公式四
知识点四：公式五
知识点五：公式六
知识点六：公式七
知识点七：
1．（2022·贵州黔东南·高一期末）的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南驻马店·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京师大附中高一期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·陕西·咸阳市教育局高二期末（文））已知对任意，都有，则的一个取值为：______．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则的值为______．
重点题型一：给角求值问题
典型例题
例题1．（2022·广西桂林·高一期末）（ ）
A．1 B． C． D．
例题2．（2022·四川巴中·高一期末（理））的值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·广东韶关·高一期末）已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·江西·南昌二中高一阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京市第一六一中学高一期中） 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·天津南开·高二学业考试）的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．不存在
重点题型二：给值(式)求值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·模拟预测（理））已知 ，，则cos()=（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·北京市第九中学高一期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知，则的值为______．
同类题型演练
1．（2022·辽宁实验中学高一期中）若，则=（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·内蒙古·开鲁县第一中学高一期中）已知，（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海市青浦高级中学高一期末）已知，则的值是___________.
重点题型三：三角函数的化简求值问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏省如皋中学高一期末）的值为__________．
例题3．（2022·江苏·高一课时练习）化简：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）化简．
2．（2022·全国·高一课时练习）化简下列各式：
(1)；
(2)（其中是第二象限角）.
3．（2022·上海·高一课时练习）已知为第二象限角，化简.
重点题型四：利用诱导公式证明三角恒等式
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）求证：＝．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）（1）求证：；
（2）设，求证.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）证明：，．
重点题型五：诱导公式在三角形中的应用
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）在中，试判断下列关系式是否恒成立，并说明理由．
(1)；
(2)；
(3)．
例题2．（2022·云南省楚雄天人中学高一阶段练习）已知角为的一个内角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知A，B，C为的三个内角，求证：
(1)；
(2)．
2．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形ABC中,已知,求的值.
重点题型六：诱导公式与同角函数基本关系的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一学业考试）已知，则______．
例题2．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知是第四象限角，且，则___________.
例题3．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知，且.
(1)求的值；
(2)求'的值.
例题4．（2022·四川·成都外国语学校高一开学考试）已知，求下列各式的值．
(1)
(2)
同类题型演练
1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
2．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
3．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知点是角终边上的一点，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
4．（2022·广西梧州·高一期末）已知，且为第二象限角．
(1)求 的值；
(2)求的值．
5．（2022·北京·北理工附中高一阶段练习）在平面直角坐标系中，角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
5.3诱导公式（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：给角求值问题
重点题型二：给值(式)求值问题
重点题型三：三角函数的化简求值问题
重点题型四：利用诱导公式证明三角恒等式
重点题型五：诱导公式在三角形中的应用
重点题型六：诱导公式与同角函数基本关系的应用
知识点一：公式二
知识点二：公式三
知识点三：公式四
知识点四：公式五
知识点五：公式六
知识点六：公式七
知识点七：
1．（2022·贵州黔东南·高一期末）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选:C.
2．（2022·河南驻马店·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】.
故选：B.
3．（2022·北京师大附中高一期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】.
故选：D
4．（2022·陕西·咸阳市教育局高二期末（文））已知对任意，都有，则的一个取值为：______．
【答案】（答案不唯一）
【详解】由诱导公式知，，故的一个取值为.
故答案为：（答案不唯一）.
5．（2022·全国·高一课时练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则的值为______．
【答案】8
【详解】由题意，知，
则原式．
故答案为:.
重点题型一：给角求值问题
典型例题
例题1．（2022·广西桂林·高一期末）（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】，
故选：D
例题2．（2022·四川巴中·高一期末（理））的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：.
故选：C.
例题3．（2022·广东韶关·高一期末）已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知，
故选:B．
同类题型演练
1．（2022·江西·南昌二中高一阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
2．（2022·北京市第一六一中学高一期中） 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
故选：B
3．（2022·天津南开·高二学业考试）的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．不存在
【答案】B
【详解】解：
故选：B
重点题型二：给值(式)求值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，
∴，
∴.
故选：A.
例题2．（2022·全国·模拟预测（理））已知 ，，则cos()=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，
，
故选：A
例题3．（2022·北京市第九中学高一期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
例题4．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知，则的值为______．
【答案】
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·辽宁实验中学高一期中）若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
2．（2022·内蒙古·开鲁县第一中学高一期中）已知，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，．
故选：C.
3．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，
所以；
故选：A
4．（2022·上海市青浦高级中学高一期末）已知，则的值是___________.
【答案】##0.6
【详解】因为，
故，
故答案为：
重点题型三：三角函数的化简求值问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，
，
，
故选：C
例题2．（2022·江苏省如皋中学高一期末）的值为__________．
【答案】1
【详解】原式＝．
故答案为：1．
例题3．（2022·江苏·高一课时练习）化简：.
【答案】1
【详解】，
，
.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）化简．
【答案】
【详解】原式
．
2．（2022·全国·高一课时练习）化简下列各式：
(1)；
(2)（其中是第二象限角）.
【答案】(1)；(2).
(1)解：.
(2)解：为第二象限角，则，，
则.
3．（2022·上海·高一课时练习）已知为第二象限角，化简.
【答案】
【详解】解：因为为第二象限角，所以，.
.
故答案为：.
重点题型四：利用诱导公式证明三角恒等式
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）求证：＝．
【答案】证明见解析
【详解】左边
.
右边.
∴左边＝右边，故原等式成立．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）（1）求证：；
（2）设，求证.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）左边= =右边，所以原等式成立.
（2）方法1：左边= ===右边，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左边= ===右边，等式成立.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）证明：，．
【答案】证明见解析
【详解】证明：当n为偶数时，令，，
左边．
右边，∴左边=右边．
当n为奇数时，令，，
左边
．
右边，∴左边=右边．
综上所述，，成立．
重点题型五：诱导公式在三角形中的应用
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）在中，试判断下列关系式是否恒成立，并说明理由．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)不成立(2)成立(3)成立
(1)解：在中，，所以，所以，故不成立；
(2)解：在中，，所以，所以，故成立；
(3)解：在中，，所以，所以，故成立；
例题2．（2022·云南省楚雄天人中学高一阶段练习）已知角为的一个内角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）-.
【详解】（1）取角A终边上一点，
,
为钝角,令，
则，
所以；
（2），
=，
=-
同类题型演练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知A，B，C为的三个内角，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）在中，，则.
又∵
∴
（2）在中，，则.
∴，
∴．
2．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形ABC中,已知,求的值.
【答案】
【详解】
.
在锐角三角形中,∵,∴.
又,∴.
∴原式.
重点题型六：诱导公式与同角函数基本关系的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一学业考试）已知，则______．
【答案】##0.75
【详解】解：由题意得：
∵，
∴．
故答案为：
例题2．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知是第四象限角，且，则___________.
【答案】
【详解】由题设，，
.
故答案为：
例题3．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知，且.
(1)求的值；
(2)求'的值.
【答案】(1)(2)
(1)因为，故，即，且，则为第三象限角，故，因此，.
(2)原式.
例题4．（2022·四川·成都外国语学校高一开学考试）已知，求下列各式的值．
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
(1)，则，得
而
(2)由诱导公式化简得：
同类题型演练
1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：∵角的终边经过点，
∴，，
∴.
(2)解：由（1）知：，，
∴，
∴
.
2．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：由三角函数的定义可得.
(2)解：.
3．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知点是角终边上的一点，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为点是角终边上的一点，且，
所以且，解得，
即，所以；
(2)解：
4．（2022·广西梧州·高一期末）已知，且为第二象限角．
(1)求 的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
(1)解：由，得．
因为为第二象限角，
所以，
故．
(2)解：
5．（2022·北京·北理工附中高一阶段练习）在平面直角坐标系中，角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)(2)(3)
(1)由任意角三角函数的定义可得：，
(2)
(3)

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