资源简介

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：用“五点法”作三角函数的图象
重点题型二：利用图象解三角不等式
重点题型三：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
知识点一：正弦函数的图象
正弦函数,的图象叫做正弦曲线.
知识点二：正弦函数图象的画法
(1)几何法:
①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点.
②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度).
(2)“五点法”:
在函数,的图象上,以下五个点:
，，，，
在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.
知识点三：余弦函数的图象
余弦函数,的图象叫做余弦曲线.
知识点四：余弦函数图象的画法
(1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为.
(2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来.
1．（2022·全国·高一课时练习）函数，的图像与直线的交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，，_______．
3．（2022·上海市进才中学高一期中）函数的定义域为______.
4．（2022·北京房山·高一期中）若，且，则的取值范围是_____．
5．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象与的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称
重点题型一：用“五点法”作三角函数的图象
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）设，函数的最小正周期为，且．
(1)求和的值；
(2)在给定坐标系中作出函数在上的图像；
(3)若，求的取值范围．
例题2．（2022·全国·高一）已知函数．
(1)用五点法画出函数的大致图像，并写出的最小正周期；
例题3．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知函数．
(1)用“五点（画图）法”作出在的简图；
同类题型演练
1．（2022·广东·佛山市顺德区乐从中学高一期中）设函数（）的最小正周期为，且
(1)求和的值；
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数在上的图象；
x
2．（2022·湖南·高一课时练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
重点题型二：利用图象解三角不等式
典型例题
例题1．（2022·宁夏·银川一中高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·陕西省安康中学高一期末）函数的定义域为_______________．
例题3．（2022·上海闵行·高一期中）函数的定义域为___________.
同类题型演练
1．（2022·江西抚州·高一期末）函数的定义域为___________.
2．（2022·北京市育英中学高一期中）设，则使成立的的取值范围是__________．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为___________.
4．（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）函数 的定义域是 .
重点题型三：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
典型例题
例题1．（2022·上海市建平中学高一期中）若存在区间使得函数在此区间上仅有两个零点，则的取值范围是_____________．
例题2．（2022·北京·高一期末）已知函数.
(1)请用五点法做出一个周期内的图像；
(2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.
例题3．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）函数与函数图像的交点个数是（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
例题4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数
（1）作出该函数的图象；
（2）若，求的值；
（3）若，讨论方程的解的个数．
例题5．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知函数，有三个不同的零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·北京平谷·高一期末）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南·雅礼中学高二期末）已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西抚州·高一期中）设函数 .
(1)求函数 的定义域;
(2)求不等式 的解集.
4．（2022·海南华侨中学高一期末）已知函数.
(1)用“五点法”做出函数在上的简图；
(2)若方程在上有两个实根，求a的取值范围.
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：用“五点法”作三角函数的图象
重点题型二：利用图象解三角不等式
重点题型三：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：正弦函数的图象
正弦函数,的图象叫做正弦曲线.
知识点二：正弦函数图象的画法
(1)几何法:
①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点.
②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度).
(2)“五点法”:
在函数,的图象上,以下五个点:
，，，，
在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.
知识点三：余弦函数的图象
余弦函数,的图象叫做余弦曲线.
知识点四：余弦函数图象的画法
(1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为.
(2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来.
1．（2022·全国·高一课时练习）函数，的图像与直线的交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】
在同一平面直角坐标系内，先画函数，的图像，再画直线，可知所求交点的个数为2．
故选：C．
2．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，，_______．
【答案】.
【详解】用“五点法”画在一个周期内的简图时，
分别令，当，可得，此时，
所以五个点分别为，，，，.
故答案为：.
3．（2022·上海市进才中学高一期中）函数的定义域为______.
【答案】，
【详解】由题意得：，即，
所以.
故答案为：，
4．（2022·北京房山·高一期中）若，且，则的取值范围是_____．
【答案】
【详解】由余弦函数的性质知：，可得.
故答案为：
5．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象与的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于y轴对称
【答案】A
【详解】函数的图象与的图象关于x轴对称，
故B、C、D错误，A正确
故选;A
重点题型一：用“五点法”作三角函数的图象
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）设，函数的最小正周期为，且．
(1)求和的值；
(2)在给定坐标系中作出函数在上的图像；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)作图见解析
(3)
（1）∵函数的最小正周期，∴．
∵，
且，∴．
（2）由（1）知，列表如下：
0
0
1 0 －1 0

在上的图像如图所示：
（3）∵，即，
∴，
则，
即．
∴的取值范围是
例题2．（2022·全国·高一）已知函数．
(1)用五点法画出函数的大致图像，并写出的最小正周期；
【答案】(1)图象见解析，；
解：因为，
列表如下：
0
0 2 0 0
函数图象如下：
函数的最小正周期．
例题3．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知函数．
(1)用“五点（画图）法”作出在的简图；
【答案】(1)作图见解析
(1)列表如下：
0
0
0 2 0
对应的图象如图：
同类题型演练
1．（2022·广东·佛山市顺德区乐从中学高一期中）设函数（）的最小正周期为，且
(1)求和的值；
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数在上的图象；
x
【答案】(1)，；
(2)见解析
(1)由题意知：，解得，又，又，解得.
(2)由（1）知：，列表如下
x
1 0 0
图像如图：
.
2．（2022·湖南·高一课时练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)函数图象见解析
(2)函数图象见解析
(3)函数图象见解析
(4)函数图象见解析
(1)解：因为，取值列表：
0
0 0 0
描点连线，可得函数图象如图示：
(2)解：因为，取值列表：
0
0 2 0 0
描点连线，可得函数图象如图示：
(3)解：因为，取值列表：
0
1 3 1 1
描点连线，可得函数图象如图示：
(4)解：因为，取值列表：
0
2 0 2
描点连线，可得函数图象如图示：
重点题型二：利用图象解三角不等式
典型例题
例题1．（2022·宁夏·银川一中高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，可得，则
则函数的定义域为
故选：C
例题2．（2022·陕西省安康中学高一期末）函数的定义域为_______________．
【答案】
【详解】对于函数，有，
即，解得，
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
例题3．（2022·上海闵行·高一期中）函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】依题意，，即，解得，
所以所求定义域为.
故答案为：
同类题型演练
1．（2022·江西抚州·高一期末）函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】由题意，.
故答案为：.
2．（2022·北京市育英中学高一期中）设，则使成立的的取值范围是__________．
【答案】
【详解】由正弦函数的图象与性质可知，时，当，，
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】由题意得：，解得.
故答案为：.
4．（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）函数 的定义域是 .
【答案】
【详解】解：由函数 ，
则，即，
解得，
所以函数的定义域是，
故答案为：
重点题型三：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
典型例题
例题1．（2022·上海市建平中学高一期中）若存在区间使得函数在此区间上仅有两个零点，则的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】由得，所以或，
当，；
当，
因为在区间上函数仅有两个零点，
所以
故答案为：
例题2．（2022·北京·高一期末）已知函数.
(1)请用五点法做出一个周期内的图像；
(2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)
（1）列表
0
0 1 0 0
（2）的取值范围是.
例题3．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）函数与函数图像的交点个数是（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【详解】画出和的函数图象，因为，，结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个.
故选：A.
例题4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数
（1）作出该函数的图象；
（2）若，求的值；
（3）若，讨论方程的解的个数．
【答案】（1）图见解析；（2）或或；（3）当或时，解的个数为0；当或时，解的个数为1；当时，解的个数为3．
【详解】（1）的函数图象如下：
（2）当时，，解得，
当时，，解得或，
综上，或或；
（3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，
则由（1）中函数图象可得，
当或时，解的个数为0；
当或时，解的个数为1；
当时，解的个数为3．
例题5．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知函数，有三个不同的零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，令，得，
令，，则，可得或，解得或，
令，可得，解得，
画出函数在区间内的图像以及函数的图像如下图所示，
由图可知，关于直线对称，关于直线对称，
所以.
故选：B.
同类题型演练
1．（2022·北京平谷·高一期末）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】方程在内有解，即在内有解，
令，，则，
所以，解得.
故选：C.
2．（2022·湖南·雅礼中学高二期末）已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：令，即，令，
因为，所以，所以，即，
依题意与在上有交点，则，所以，即；
故选：D
3．（2022·江西抚州·高一期中）设函数 .
(1)求函数 的定义域;
(2)求不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)
(1)解：函数，
所以，，解得，；
故函数的定义域为．
(2)解：因为，，则，，
解得，，
故原不等式的解集为，
4．（2022·海南华侨中学高一期末）已知函数.
(1)用“五点法”做出函数在上的简图；
(2)若方程在上有两个实根，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)解：列表：
x 0
1 1 3 1
作图：
(2)
解：若方程在上有两个实根，
则与在上有两个不同的交点，
因为，所以
作出函数在的图象，如下图所示：
又，，，，
由图象可得，或，
故a的取值范围是.

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