资源简介

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：三角函数的周期问题及简单应用
重点题型二：三角函数的奇偶性及其应用
重点题型三：函数奇偶性与周期性、单调性的综合问题
重点题型四：求三角函数的单调区间
重点题型五：单调性在三角函数中的应用
角度1：利用单调性比较三角函数值的大小
角度2：已知三角函数的单调情况求参数问题
重点题型六：三角函数的对称性
重点题型七：正弦函数、余弦函数的最大(小)值问题
角度1：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值
角度2：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）
角度3：分式型求值域或最大(小)值
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：函数的周期性
1.周期函数的定义
一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.
2.最小正周期的定义
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
知识点二：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 奇偶性
奇函数
偶函数
当时，为奇函数； 当时，为偶函数；
当时，为奇函数； 当时，为偶函数；
知识点三：正弦、余弦型函数的常用周期
函数 最小正周期
或（）
或
或（）
无周期
知识点四：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数
图象 定义域
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减
最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，;
图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线()
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C．4 D．6
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·云南红河·高二期末）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①；②的函数______（注：不是常数函数）．
重点题型一：三角函数的周期问题及简单应用
典型例题
例题1．（2022·北京市第三十五中学高一阶段练习）下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·天津市求真高级中学高二期末）函数的最小正周期为，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
例题3①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
例题4．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））函数的最小正周期为，则______________．
同类题型演练
1．（2022·广东珠海·高一期末）下列函数最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陕西渭南·高一期末）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列函数中最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数的最小正周期16，则=___________.
5．（2022·辽宁·高一期末）的最小正周期为___________.
重点题型二：三角函数的奇偶性及其应用
典型例题
例题1．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）若函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一）已知函数（为常数）为奇函数，那么（ ）
A． B．0 C．1 D．
例题3．（2022·江西·高一阶段练习）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·河南焦作·高一期中）已知函数（，为常实数），且，则______．
同类题型演练
1．（2022·北京市第三十五中学高一期中）为偶函数，则___________.（写出一个值即可）
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数为偶函数，则的一个值为________.（写出一个即可）
3．（2022·江西上饶·高一阶段练习）函数的图象关于原点对称，则的最大负值为______．
重点题型三：函数奇偶性与周期性、单调性的综合问题
典型例题
例题1．（2022·陕西汉中·高一期末）下列四个函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（ ）
例题2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（2022·广东广州·高二期中）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（多选）（2022·江苏省响水中学高二开学考试）下列四个函数以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京市西城外国语学校高一期中）下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·山西运城·高一期末）下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③最小正周期为的函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·宁夏·银川二中高一期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）（2022·甘肃庆阳·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
重点题型四：求三角函数的单调区间
典型例题
例题1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
例题4．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
同类题型演练
1．（2022·广西桂林·高一期末）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间；
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）已知函数，.
(1)求的值；
(2)求的最小正周期；
(3)求的单调减区间.
重点题型五：单调性在三角函数中的应用
角度1：利用单调性比较三角函数值的大小
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，； (2)，；
(3)，； (4)，．
同类题型演练
1．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）下列不等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2022·福建福州·高一期末）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
角度2：已知三角函数的单调情况求参数问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁营口·高一期末）函数在上单调递增，则取值范围为_____
例题2．（2022·贵州贵阳·模拟预测（文））若在区间上单调递增，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高一专题练习）设，若在上为增函数，则的取值范围是___．
例题4．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值不可能是（ ）
A． B．4 C． D．
例题5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为________.
同类题型演练
1．（2022·广东·江门市培英高级中学高一期中）若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递增，则的取值范围为_________．
3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 在 上单调递增，则的最大值是____.
4．（2022·北京·人大附中高一期末）若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是______．
重点题型六：三角函数的对称性
典型例题
例题1．（2022·重庆·三模）函数的图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·陕西西安·二模（文））如果函数的图象关于点对称，那么的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为_______.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·江苏省如皋中学高一期末）下列函数以为对称中心的有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）函数图象的一条对称轴是直线，则可以为___________.（写出一个符合题意的值即可）
4．（2022·新疆·三模（文））已知函数的图像关于直线对称，则__________．
5．（2022·上海·格致中学高一阶段练习）函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为___________.
重点题型七：正弦函数、余弦函数的最大(小)值问题
角度1：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值
典型例题
例题1．（2022·陕西省商洛中学高一期末）函数的最小正周期与最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·北京西城·高一期末）函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1 B．， C．1， D．1，
例题3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在处取得最小值3，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·上海市宝山中学高一期中）函数的值域为________.
例题5．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）设函数的最小正周期为，且.
(1)求的表达式；
(2)若，求的取值范围.
同类题型演练
1．（2022·贵州·高二学业考试）函数的最大值是___．
2．（2022·天津河东·高二学业考试）函数的最大值是_________.
3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数的值域是___________.
4．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数，.
(1)求的最小正周期及单调增区间；
(2)求在区间的值域.
角度2：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）
典型例题
例题1．（2022·安徽·高一期中）函数（）的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
例题2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B．0 C． D．
同类题型演练
1．（2022·北京平谷·高一期末）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2022·湖南衡阳·高一期末）若函数的最小值为，则的值可为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·西北大学附中高一阶段练习）函数，的最大值是_____．
4．（2022·北京市第一六一中学高一期中）函数，当x＝______时，f（x）的最大值为______．
角度3：分式型求值域或最大(小)值
典型例题
例题1．（2022·云南·昭通市第一中学高一阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一单元测试）函数的值域为_____________．
1．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
4．（2020·全国·高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
5．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：三角函数的周期问题及简单应用
重点题型二：三角函数的奇偶性及其应用
重点题型三：函数奇偶性与周期性、单调性的综合问题
重点题型四：求三角函数的单调区间
重点题型五：单调性在三角函数中的应用
角度1：利用单调性比较三角函数值的大小
角度2：已知三角函数的单调情况求参数问题
重点题型六：三角函数的对称性
重点题型七：正弦函数、余弦函数的最大(小)值问题
角度1：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值
角度2：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）
角度3：分式型求值域或最大(小)值
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：函数的周期性
1.周期函数的定义
一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.
2.最小正周期的定义
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
知识点二：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 奇偶性
奇函数
偶函数
当时，为奇函数； 当时，为偶函数；
当时，为奇函数； 当时，为偶函数；
知识点三：正弦、余弦型函数的常用周期
函数 最小正周期
或（）
或
或（）
无周期
知识点四：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数
图象 定义域
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减
最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，;
图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线()
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【详解】因为，
所以函数的最小正周期．
故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以,
所以的值域为.
故选：B.
3．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：对于函数，令，
解得，故函数的对称轴方程为，
令，可知函数的一条对称轴为.
故选：C
4．（2022·云南红河·高二期末）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，定义域为R
所以
所以为奇函数，且，排除CD
当时，，即，排除A
故选：B.
5．（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①；②的函数______（注：不是常数函数）．
【答案】（答案不唯一）
【详解】由知函数以为周期，又，
所以满足条件．
（其他符合题意的答案均可，如，等．）
故答案为：（答案不唯一）
重点题型一：三角函数的周期问题及简单应用
典型例题
例题1．（2022·北京市第三十五中学高一阶段练习）下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，函数的最小正周期为，
对于B，函数的最小正周期为，
对于C，函数的最小正周期为，，
对于D，函数，由正弦函数对称性与图象变换可知其最小正周期为
故选：D
例题2．（2022·天津市求真高级中学高二期末）函数的最小正周期为，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】A
【详解】由，
∴.
故选：A.
例题3①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【答案】A
【详解】对于①，，其最小正周期为;
对于②，结合图象，知的最小正周期为．
对于③，的最小正周期．
对于④，的最小正周期．
故选：A．
例题4．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））函数的最小正周期为，则______________．
【答案】
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得：.
所以，
所以.
故答案为：-2
同类题型演练
1．（2022·广东珠海·高一期末）下列函数最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：对于A，的最小正周期，故A错误；
对于B：的最小正周期，故B正确；
对于C：的最小正周期，故C错误；
对于D：的最小正周期，故D错误；
故选：B
2．（2022·陕西渭南·高一期末）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据解析式可知：最小正周期.
故选：A.
3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列函数中最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对于A选项，，其最小正周期为.故A正确.
对于B选项，的最小正周期为.故B正确.
对于C选项，的最小正周期.故C正确.
对于D选项，的最小正周期．故D错误.
故选: ABC.
4．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数的最小正周期16，则=___________.
【答案】
【详解】由周期公式可得，所以，
所以，所以，
故答案为：
5．（2022·辽宁·高一期末）的最小正周期为___________.
【答案】
【详解】由题意可知，函数的最小正周期为.
故答案为：.
重点题型二：三角函数的奇偶性及其应用
典型例题
例题1．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）若函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若函数是奇函数，
则，得
故选：C
例题2．（2022·全国·高一）已知函数（为常数）为奇函数，那么（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【详解】解：因为函数（为常数）为奇函数，
所以，
所以，，
当为偶数，则，
当为奇数，则，
即；
故选：D
例题3．（2022·江西·高一阶段练习）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】选项A: ，则为奇函数.排除；
选项B: ，则为偶函数.排除；
选项C: ，则为偶函数.排除；
选项D: 令，，
则，，则既不是奇函数也不是偶函数．可选.
故选：D
例题4．（2022·河南焦作·高一期中）已知函数（，为常实数），且，则______．
【答案】
【详解】因为，定义域关于原点对称，
设，
，
则是奇函数，
因为，所以，所以．
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·北京市第三十五中学高一期中）为偶函数，则___________.（写出一个值即可）
【答案】符合，的都对，写出一个值即可，比如：.
【详解】要为偶函数，必须能化成的形式，根据诱导公式，，，写出符合条件的一个值即可.
故答案为：符合，的都对，写出一个值即可，比如：.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数为偶函数，则的一个值为________.（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】依据题意：函数为偶函数，则的奇数倍都可以.
故答案为：（答案不唯一）
3．（2022·江西上饶·高一阶段练习）函数的图象关于原点对称，则的最大负值为______．
【答案】
【详解】函数的图象关于原点对称，
，，
令，可得的最大负值为，
故答案为：．
重点题型三：函数奇偶性与周期性、单调性的综合问题
典型例题
例题1．（2022·陕西汉中·高一期末）下列四个函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的最小正周期是，的最小正周期是，排除，
BC两个函数的最小正周期是，
时，单调递增，单调递减．
故选：B．
例题2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求；
对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求；
对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求;
对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求；
故选：B
例题3．（多选）（2022·广东广州·高二期中）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】解：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，
对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，
故选：AC
例题4．（多选）（2022·江苏省响水中学高二开学考试）下列四个函数以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】的最小正周期为，当时，单调递减，故A满足题意；
的最小正周期为，故B不满足题意；
的最小正周期为，且在区间上单调递减，故C满足题意；
的最小正周期为，故D不满足题意；
故选：AC
同类题型演练
1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】选项A：最小正周期为.判断错误；
选项B：最小正周期为，且在区间上单调递减.判断正确；
选项C：最小正周期为.判断错误；
选项D：在区间上单调递增. 判断错误.
故选：B
2．（2022·北京市西城外国语学校高一期中）下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A，，，
由余弦函数的单调递增区间可得，
解得，当时，，故A正确；
B，，，
由余弦函数的单调递增区间可得，
解得，显然在区间上不单调，故B错误；
C，，，故C错误；
D，，，故D错误；
故选：A
3．（2022·山西运城·高一期末）下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③最小正周期为的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A中的最小正周期为，不满足；
B中是偶函数，不满足；
C中的最小正周期为，不满足；
D中是奇函数﹐且周期，令，∴，∴函数的递增区间为，，∴函数在上是增函数，故D正确.
故选：D.
4．（2022·宁夏·银川二中高一期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于选项A：由于的周期为，故选项A不正确；
对于选项B：由于以为最小正周期，且在区间上为减函数，故选项B正确；
对于选项C：故由于的周期为，故选项C不正确；
对于选项D：由于在区间上为增函数，故选项D不正确.
故选：B.
5．（多选）（2022·甘肃庆阳·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】解：对于A，函数在上单调递减，故A不符题意；
对于B，函数是偶函数，故B不符题意；
对于C，函数是奇函数且在上单调递增，故C符合题意；
对于D，函数是奇函数且在上单调递增，故D符合题意；
故选：CD．
重点题型四：求三角函数的单调区间
典型例题
例题1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.
令，
所以.
故选：A.
例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解得，，
时，；时，；时，，
是的一个单调递减区间．
故选：B．
例题3．（2022·陕西西安·高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
【答案】(1)
（1）解：由，解得.函数的单调递增区间为.
故选：B
例题4．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
【答案】(1)
∵，
令，，得，，
故函数的单调递减区间为
同类题型演练
1．（2022·广西桂林·高一期末）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，解得，
所以所求函数的增区间为.
故选：C
2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间；
【答案】(1)；(2).
(1)
；
(2)∵函数的单调递减区间为，
令，，
解得：，，
∴函数的单调递减区间为．
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）已知函数，.
(1)求的值；
(2)求的最小正周期；
(3)求的单调减区间.
【答案】(1)(2)(3)（）
(1)；
(2)；
(3)，解得，，
所以减区间是（）．
重点题型五：单调性在三角函数中的应用
角度1：利用单调性比较三角函数值的大小
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，解得，
故在上递增，
由函数的周期性与对称性易得函数在上递减，关于对称，
，，，在减区间，3在增区间，并且比离对称轴更近些，所以，所以．
故选：A
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，； (2)，；
(3)，； (4)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(1)在区间上递增，所以.
(2)在区间上递增，所以.
(3)，，
在区间上递增，所以.
(4)在区间上递减，所以.
同类题型演练
1．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得： ，，
因为在上单调递减，
所以，即．
故选：B
2．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）下列不等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，A错误；
，B正确；
，故，C错误；
，D错误；
故选：B.
3．（多选）（2022·福建福州·高一期末）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】对A,因为，在单调递增，所以,故A正确；
对B，因为，在单调递减，所以,故B错误；
对于C,，故C正确；
对于D，，故D错误；
故选：AC
角度2：已知三角函数的单调情况求参数问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁营口·高一期末）函数在上单调递增，则取值范围为_____
【答案】
【详解】令，
可得，
因为函数在上单调递增，
故，解得，
结合，故当时，取值范围为，时不符合题意，
故取值范围为，
故答案为：
例题2．（2022·贵州贵阳·模拟预测（文））若在区间上单调递增，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得，即函数在区间上递增，可见的其它增区间不含有实数0，
又在上递增，即，
故的最大值是，
故选：B．
例题3．（2022·全国·高一专题练习）设，若在上为增函数，则的取值范围是___．
【答案】
【详解】，当时，,
由于为增函数，∴，即 ，
又，所以，
故答案为：
例题4．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值不可能是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【详解】解：由已知，，则，，即，，
又函数在区间上是单调函数，可知，即，解得，所以当时，，当时，，当时，，满足题意，
即或4或.
故选：D.
例题5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为________.
【答案】
【详解】由题意可知的单调递减区间为，
由，得，，
即函数的单调递减区间为，
因为在区间上单调递减，
所以，解得，，
只能取；
当时，，即，
所以的取值范围是．
故答案为:.
同类题型演练
1．（2022·广东·江门市培英高级中学高一期中）若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，
因为在区间上单调递增，
所以，即实数a的最大值为；
故选：A
2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递增，则的取值范围为_________．
【答案】
【详解】当时，．
因为，所以，．
因为函数在上单调递增，
所以，解得．
故答案为：
3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 在 上单调递增，则的最大值是____.
【答案】4
【详解】由函数在区间上单调递增，
可得 ，求得，故的最大值为，
故答案为：4
4．（2022·北京·人大附中高一期末）若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】函数的单调递增区间为，，
则，，
解得，，又由，且，，得，所以．
故答案为：．
重点题型六：三角函数的对称性
典型例题
例题1．（2022·重庆·三模）函数的图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：令，则，
即函数的图象的对称轴为，
当时，.
故选：B.
例题2．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意，解得，因为，所以且，
所以的最小正周期，所以当时；
故选：A
例题3．（2022·陕西西安·二模（文））如果函数的图象关于点对称，那么的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，则有，
于是得，显然对于是递增的，
而时，，，当时，，，
所以|φ|的最小值为.
故选：A
例题4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为_______.
【答案】3
【详解】函数图象关于直线对称，
，(的对称轴是)
，，
由知，时，，
故，
令得，．
因为，所以时，满足条件，
故零点有三个．
故答案为：3
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】两条相邻对称轴之间的距离为，最小正周期，
解得：，，
令，解得：，此时，
的对称中心为，
当时，的一个对称中心为.
故选：C.
2．（多选）（2022·江苏省如皋中学高一期末）下列函数以为对称中心的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】对于A，中心为， 没有整数解, 所以不是对称中心.
对于B, 中心为,得 ，所以为对称中心
对于C, 所以不是对称中心.
对于D, ,所以为对称中心.
故选：BD
3．（2022·全国·高一课时练习）函数图象的一条对称轴是直线，则可以为___________.（写出一个符合题意的值即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】因为函数图象的一条对称轴是直线，
所以，，
所以，，
所以当时，可以为.
故答案为：
4．（2022·新疆·三模（文））已知函数的图像关于直线对称，则__________．
【答案】
【详解】的图像关于直线对称，
，解得：
当时，.
故答案为：.
5．（2022·上海·格致中学高一阶段练习）函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为___________.
【答案】
【详解】因为函数的图像关于点成中心对称，
所以，解得：.
所以的最小正值为：当k=0时，.
故答案为：
重点题型七：正弦函数、余弦函数的最大(小)值问题
角度1：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值
典型例题
例题1．（2022·陕西省商洛中学高一期末）函数的最小正周期与最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
故选：C．
例题2．（2022·北京西城·高一期末）函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1 B．， C．1， D．1，
【答案】D
【详解】由题设，，故，
所以最大值和最小值分别为1，.
故选：D
例题3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在处取得最小值3，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，不合题意，
若，由已知得，解得，与矛盾，舍去；
若，由已知得，解得，，解得，又，所以，
故选：C.
例题4．（2022·上海市宝山中学高一期中）函数的值域为________.
【答案】．
【详解】由余弦函数性质知：
在上递增，在上递减，
，，，
所以值域为．
故答案为：．
例题5．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）设函数的最小正周期为，且.
(1)求的表达式；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)由最小正周期，得，
∵，
∴.
∴.
(2)由（1）知，，
∵，∵，
∴，
∴的取值范围为.
同类题型演练
1．（2022·贵州·高二学业考试）函数的最大值是___．
【答案】.
【详解】由正弦函数的图象与性质，可得，
所以函数的最大值为.
故答案为：.
2．（2022·天津河东·高二学业考试）函数的最大值是_________.
【答案】2
【详解】当时，函数取得最大值，
故答案为：
3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数的值域是___________.
【答案】##
【详解】因为，所以，
所以，即，故函数的值域为，
故答案为：
4．（2022·广东茂名·高一期末）已知函数，.
(1)求的最小正周期及单调增区间；
(2)求在区间的值域.
【答案】(1)最小正周期为，增区间为，
(2)
(1)∵，
∴，即最小正周期.
由，解得，
∴增区间为，
(2)∵，∴，
∴，
∴，
∴值域为.
角度2：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）
典型例题
例题1．（2022·安徽·高一期中）函数（）的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】．
令，则．而在上单增，
所以当时，．
故选：A．
例题2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【详解】令，则，，
，
所以当时，有最大值，
当时，有最小值，
所以最大值与最小值的和是，
故选：C
同类题型演练
1．（2022·北京平谷·高一期末）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】方程在内有解，即在内有解，
令，，则，
所以，解得.
故选：C.
2．（多选）（2022·湖南衡阳·高一期末）若函数的最小值为，则的值可为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】由题设，，
令，则，其开口向上且对称轴为，
当时，，则；
当时，，则或(舍)；
当时，，则不合前提；
综上，或.
故选：BC
3．（2022·陕西·西北大学附中高一阶段练习）函数，的最大值是_____．
【答案】
【详解】
.
，
所以当时，函数取得最大值为.
故答案为：
4．（2022·北京市第一六一中学高一期中）函数，当x＝______时，f（x）的最大值为______．
【答案】 ； ##0.5
所以时，，此时．
故答案为：；．
角度3：分式型求值域或最大(小)值
典型例题
例题1．（2022·云南·昭通市第一中学高一阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，，
可得，，
，故.
故选：B.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一单元测试）函数的值域为_____________．
【答案】
【详解】令，，
则，即，
所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
1．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
2．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
3．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
4．（2020·全国·高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
5．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
【详解】（1）由表可知，则，
因为，，所以，解得，即，
因为函数图象过点，则，即，
所以，，解得，，
又因为，所以.
（2）由（1）可知.
因为，所以，
因此，当时，即时，，
当时，即时，.
所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是.

展开更多......

收起↑