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4.2指数函数（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：指数函数的概念
重点题型二：指数函数的图象及应用
角度1：指数型函数图象过定点问题
角度2：指数函数图象的识别
角度3：画指数函数的图象
重点题型三：指数函数的单调性
角度1：利用指数函数的单调性比较大小
角度2：利用指数函数的单调性解不等式
角度3：指数型复合函数的单调性
重点题型四：与指数函数（指数型复合函数）有关的定义域
重点题型五：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
重点题型六：可化为一元二次函数型
重点题型七：与指数函数的相关的综合问题
第五部分：新定义问题
知识点一：指数函数的概念
1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
2、学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
（3）函数解析式形式要求：
指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.
知识点二：指数函数的图象与性质
1、函数的图象和性质如下表：
底数
图象
性 质 定义域
值域
定点 图象过定点
单调性 增函数 减函数
函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时，
对称性 函数与的图象关于轴对称
2、指数函数的底数对图象的影响
函数的图象如图所示：
观察图象，我们有如下结论：
2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
知识点三：指数函数的定义域与值域
1、定义域：
（1）指数函数的定义域为
（2）的定义域与函数的定义域相同
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数的值域为
（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域
（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.
知识点四：指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）是指数函数．( )
（2）指数函数中，a可以为负数．( )
（3）是指数函数．( )
2．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）函数的值域是．( )
（2）已知函数，若实数m，n满足，则．( )
（3）指数函数的图象过点．( )
（4）函数的定义域是R．( )
3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数若，则( )
A． B． C．1 D．2
重点题型一：指数函数的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）在①；②；③；④；⑤中，是关于的指数函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中是指数函数的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中指数函数的个数是_____________．
①；②；③；④（为常数，，）；⑤； ⑥；⑦
重点题型二：指数函数的图象及应用
角度1：指数型函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）若函数（且）的图像经过定点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一）指数函数恒过的定点为_______．
角度2：指数函数图象的识别
典型例题
例题1．（2022·湖北武汉·高一期末）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·江西·高一阶段练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
角度3：画指数函数的图象
典型例题
例题1．（2021·全国·高一课时练习）根据函数的图像，画出下列函数的图像．
（1）； （2）； （3）．
同类题型演练
1．（2022·四川省内江市第六中学高一开学考试）函数（且）的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·长春外国语学校高一开学考试）函数，且)恒过定点（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）二次函数的图象顶点横坐标的取值范围为（，），则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A．a5．（2022·湖南·高一课时练习）在同一直角坐标系内作出函数与的图象.
6．（2022·辽宁·高一阶段练习）函数
(1)请在下面坐标系中画出函数的图像．
7．（2021·全国·高一课时练习）完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示.
（1）函数的零点是 .，利用函数的图象，在直角坐标系（1）中画出函数的图象.
（2）函数的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.利用的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数的图象.
重点题型三：指数函数的单调性
角度1：利用指数函数的单调性比较大小
典型例题
例题1．（2022·云南丽江·高一期末）若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各组中两个数的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)和．
角度2：利用指数函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·上海杨浦·高一期末）不等式的解集是_____________.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式.
角度3：指数型复合函数的单调性
典型例题
例题1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·四川·宁南中学高一开学考试）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
同类题型演练
1．（2022·河北衡水·高三阶段练习）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一）已知，，，则a，b，c的大小关系为____.(用“” 连接)
3．（2022·北京海淀·二模）不等式的解集为_________．
4．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期末）不等式的解集是_____________________
5．（2022·上海虹口·高一期末）不等式的解集为______．
6．（2022·全国·高三专题练习（文））不等式的解集为___________．
7．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 (为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________．
9．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调减区间是_______．
重点题型四：与指数函数（指数型复合函数）有关的定义域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，则_________．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）函数的定义域为______．
3．（2022·浙江·高三专题练习）函数的定义域为________．
重点题型五：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
典型例题
例题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））函数的值域是__________.
例题2．（2022·广东中山·高一期末）已知函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高一专题练习）函数且的值域是，则实数 ____.
同类题型演练
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南安阳·高一期末（理））函数的值域为___________.
重点题型六：可化为一元二次函数型
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数的取值范围是_____．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
2．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是___________.
重点题型七：与指数函数的相关的综合问题
典型例题
例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·北京·人大附中高二阶段练习）已知是定义域为上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）若函数的最大值是2，则（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题5．（2022·陕西陕西·一模（理））已知，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题6．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知定义在上的函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式：．
例题7．（2022·福建福州·高二期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的解析式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
例题8．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
1．（2022·广东·金山中学高三期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）
（参考数据）
A．11分钟 B．14分钟
C．15分钟 D．20分钟
2．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
4.2指数函数（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：指数函数的概念
重点题型二：指数函数的图象及应用
角度1：指数型函数图象过定点问题
角度2：指数函数图象的识别
角度3：画指数函数的图象
重点题型三：指数函数的单调性
角度1：利用指数函数的单调性比较大小
角度2：利用指数函数的单调性解不等式
角度3：指数型复合函数的单调性
重点题型四：与指数函数（指数型复合函数）有关的定义域
重点题型五：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
重点题型六：可化为一元二次函数型
重点题型七：与指数函数的相关的综合问题
第五部分：新定义问题
知识点一：指数函数的概念
1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
2、学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
（3）函数解析式形式要求：
指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.
知识点二：指数函数的图象与性质
1、函数的图象和性质如下表：
底数
图象
性 质 定义域
值域
定点 图象过定点
单调性 增函数 减函数
函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时，
对称性 函数与的图象关于轴对称
2、指数函数的底数对图象的影响
函数的图象如图所示：
观察图象，我们有如下结论：
2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
知识点三：指数函数的定义域与值域
1、定义域：
（1）指数函数的定义域为
（2）的定义域与函数的定义域相同
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数的值域为
（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域
（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.
知识点四：指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）是指数函数．( )
（2）指数函数中，a可以为负数．( )
（3）是指数函数．( )
【答案】 错误 错误 错误
（1）的指数位置是常数，不是变量，不符合指数函数的定义，故错误．
（2）指数函数的定义中规定：且，故错误．
（3）指数函数（且）中，不带有常数项，故错误．
2．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）函数的值域是．( )
（2）已知函数，若实数m，n满足，则．( )
（3）指数函数的图象过点．( )
（4）函数的定义域是R．( )
【答案】 × √ √ ×
（1）由，所以，所以函数的值域是，故错误；
（2）由函数为递增的函数，所以当时，，故正确；
（3）指数函数的图象过定点，故正确；
（4）令，所以函数的定义域是，故错误.
3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数若，则( )
A． B． C．1 D．2
【答案】D
∵
∴，又
∴
故选：D
重点题型一：指数函数的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）在①；②；③；④；⑤中，是关于的指数函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数，
②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数；
③中的系数是，所以不是指数函数；
④中底数，所以不是指数函数．
故选：B．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中是指数函数的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
【答案】①④
因为形如的函数为指数函数，
所以函数符合指数函数的定义，是指数函数；
符合指数函数的定义，是指数函数；
其它函数不符合指数函数的定义，不是指数函数，
故答案为：①④.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
【答案】③
① 的系数不是，不是指数函数；
② 的指数不是自变量，不是指数函数；
③ 是指数函数；
④ 的底数是不是常数，不是指数函数；
⑤ 的指数不是自变量，不是指数函数；
⑥ 是幂函数．
故答案为：③
2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中指数函数的个数是_____________．
①；②；③；④（为常数，，）；⑤； ⑥；⑦
【答案】③④
根据指数函数的定义直接判断：形如（且）的函数是指数函数.
可知只有③，④（为常数，，）符合指数函数的定义.
故答案为：③④.
重点题型二：指数函数的图象及应用
角度1：指数型函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）若函数（且）的图像经过定点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.
另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.
故选：B
例题2．（2022·全国·高一）指数函数恒过的定点为_______．
【答案】
由函数恒过（0，1）点，
令 解得，此时，
则函数恒过点.
故答案为：．
角度2：指数函数图象的识别
典型例题
例题1．（2022·湖北武汉·高一期末）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
，则单调递增，故排除AC；
对于BD，单调递减，则，与y轴交于0和1之间，故排除B.
故选：D.
例题2．（2022·江西·高一阶段练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；
分析可知
角度3：画指数函数的图象
典型例题
例题1．（2021·全国·高一课时练习）根据函数的图像，画出下列函数的图像．
（1）； （2）； （3）．
【答案】见解析
（1）函数的图像与的图像关于轴对称
（2）函数的图像与的图像关于直线对称
（3）将的图像位于轴左侧的图像去掉，
再将轴右侧的图像对称过来，
同类题型演练
1．（2022·四川省内江市第六中学高一开学考试）函数（且）的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为在函数中，
当时，恒有 ,
函数的图象恒过定点.
故选：B.
2．（2022·吉林·长春外国语学校高一开学考试）函数，且)恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
当时， ，
所以函数恒过定点.
故选：C
3．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）二次函数的图象顶点横坐标的取值范围为（，），则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因为二次函数的图象顶点横坐标的取值范围为，
所以，即，所以：，
则函数是减函数，
又函数的图像是由函数的图像向下平移一个单位得到的，
故函数是减函数且过原点.
故选：.
4．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A．a【答案】B
根据函数图象可知函数①y=；②y=为减函数，且时，，
所以，
根据函数图象可知函数③y=cx；④y=dx为增函数，且时，c1d1，
所以.
故选：B.
函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.
故选：D
5．（2022·湖南·高一课时练习）在同一直角坐标系内作出函数与的图象.
【答案】作图见解析
解：作出函数与的图象如下图所示：
6．（2022·辽宁·高一阶段练习）函数
(1)请在下面坐标系中画出函数的图像．
【答案】(1)作图见解析；
(1)
-2 -1 0 1 2
0 1 3
函数的图像如下：
7．（2021·全国·高一课时练习）完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示.
（1）函数的零点是 .，利用函数的图象，在直角坐标系（1）中画出函数的图象.
（2）函数的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.利用的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数的图象.
【答案】（1）－1和3，图象见解析；（2）定义域是，值域是，是偶函数，图象见解析．
（1），或，即零点为－1和3，
作出的图象，然后把它在轴正方的部分关于轴作对称图形，可得，如图．
（2）函数的定义域是，
因为，所以，即值域是，，函数是偶函数，
①作的图象，②擦去的图象在左侧的部分，同时把在轴右侧的部分关于作对称图形，组合成的图象，③把的图象向上平移1个单位即得．
重点题型三：指数函数的单调性
角度1：利用指数函数的单调性比较大小
典型例题
例题1．（2022·云南丽江·高一期末）若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即
故选：A
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各组中两个数的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)和．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(1)因为指数函数是减函数，且，所以
(2)因为指数函数是增函数，且，所以
(3)因为指数函数是减函数，且，所以
(4)因为指数函数是增函数，且，所以
角度2：利用指数函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·上海杨浦·高一期末）不等式的解集是_____________.
【答案】
由，得，
所以，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：
例题2．（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式.
【答案】.
，即，
因为，所以，即，解得，
故不等式的解集为.
角度3：指数型复合函数的单调性
典型例题
例题1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
函数在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得的单调递减区间为.
故选：D
例题2．（2022·四川·宁南中学高一开学考试）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
设，函数的单调减区间是
由于在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为
故选：A
同类题型演练
1．（2022·河北衡水·高三阶段练习）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题得，，．又，所以，且，则，所以，
故选：D．
2．（2022·全国·高一）已知，，，则a，b，c的大小关系为____.(用“” 连接)
【答案】
由于函数在R上是减函数，且，
，
由于函数在上是增函数，且，
∴，
故，，的大小关系是.
故答案为：.
3．（2022·北京海淀·二模）不等式的解集为_________．
【答案】
由，可得，故解集为.
故答案为：.
4．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期末）不等式的解集是_____________________
【答案】
，即 ，
故答案为： .
5．（2022·上海虹口·高一期末）不等式的解集为______．
【答案】
依题意，不等式化为：，而函数在R上单调递增，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习（文））不等式的解集为___________．
【答案】
依题意
7．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
【答案】
令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，
又由函数，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，
因为函数在上单调递减，则，
可得实数的取值范围是.
故答案为：.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 (为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________．
【答案】
因为函数，
当时，函数为增函数，
而已知函数在区间上是增函数，所以，即的取值范围为．
故答案为：
9．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调减区间是_______．
【答案】
令，则
∵，∴在上单调递减
作出的图象
由图象可以在上单调递减，在上单调递增
∴在上单调递增，在上单调递减
故答案为：.
重点题型四：与指数函数（指数型复合函数）有关的定义域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：由题意得：，
故，故，
解得：，
故函数的定义域是，
故选：B．
例题2．（2022·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，则_________．
【答案】
由题意可知，不等式的解集为，则，解得，
当时，由，可得，解得，合乎题意.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由得，即.
故选：D.
2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）函数的定义域为______．
【答案】
，
即定义域为.
故答案为：
3．（2022·浙江·高三专题练习）函数的定义域为________．
【答案】
对于函数，有，解得且.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
重点题型五：与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
典型例题
例题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））函数的值域是__________.
【答案】
因为指数函数在上为单调递减函数，
所以当x=-3时，函数有最大值为，
当x=1时，函数有最小值为.
所以值域为.
故答案为：
例题2．（2022·广东中山·高一期末）已知函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为,
所以
所以函数的值域是
故选：B
例题3．（2022·全国·高一专题练习）函数且的值域是，则实数 ____.
【答案】或
当时，函数且是增函数，
值域是， ；
当时，函数且是减函数，
值域是， .
综上所述，可得实数或.
故答案为：或
同类题型演练
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则，
所以函数的值域为.
故选：A
2．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
令，则，
∵，
∴，
∴函数的值域为，
故选：D
3．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，
且的值域为，
所以，解得.
故选：C.
4．（2022·河南安阳·高一期末（理））函数的值域为___________.
【答案】
函数的定义域为R，而，当且仅当x=0时取“=”，又在R上单调递减，
于是有，
所以函数的值域为.
故答案为：
重点题型六：可化为一元二次函数型
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：令，可得，
可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增，
当时，，故函数的值域为，
故选：B.
例题2．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数的取值范围是_____．
【答案】（﹣∞，﹣2]
设，
若函数的值域为，，
则等价于，是值域的子集，
，
设，则，
则，
，
当对称轴，即时，不满足条件．
当，即时，则判别式△，
即，则，
即实数的取值范围是，.
故答案为：，
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】D
因为集合，所以，设，则，所以，且对称轴为，所以最小值为，
故选D．
2．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.
【答案】
解：令，
函数化为
，即函数的值域为．
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是___________.
【答案】
因为，设,
,
在上单调递增,
所以
故答案为：.
重点题型七：与指数函数的相关的综合问题
典型例题
例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：当时，，因为，所以，
故当时，不等式无解，
当时，，
令，得，解得.
故选：D.
例题2．（2022·北京·人大附中高二阶段练习）已知是定义域为上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，，故，解得
故选：B
例题3．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）若函数的最大值是2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由在定义域上递减，
要使有最大值，则在定义域上先减后增，
当，则的最小值为，
所以，可得.
故选：A
例题4．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：因为对任意的实数，且，都有成立，
所以，对任意的实数，且，，即函数是上的减函数．
因为，
令，，要使在上单调递减，
所以，在上单调递增．
另一方面，函数为减函数，
所以，，解得，
所以实数a的取值范围是．
故选：D．
例题5．（2022·陕西陕西·一模（理））已知，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
①当时，二次函数的对称轴为直线，
此时函数在区间上单调递减，，
函数在区间上单调递减，，
欲使函数有最小值，需，解得：与矛盾.
②当时，函数的对称轴为直线，所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为，
函数在区间上单调递减，此时，，
欲使函数有最小值，需，解得与矛盾；
③当时，二次函数的对称轴为直线，
在区间上的最小值为，
在区间上单调递增，，
欲使函数有最小值，需，即，∴.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
例题6．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知定义在上的函数是偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式：．
【答案】(1)1；
(2)单调递减，理由见解析；
(3).
(1)依题意，函数，因是R上的偶函数，即，，
因此，，，
而当时，，于是得，
所以a的值是1.
(2)由（1）知，，函数在上单调递减，
，，，
因，则，，，因此，，即，
所以函数在上单调递减.
(3)依题意，，
而，，
由（2）知，，解得，
所以原不等式的解集是.
例题7．（2022·福建福州·高二期末）已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的解析式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)解：由题意知，解得，所以当时，，
当，则，所以．
又为奇函数，所以，
故当时，．
综上：．
(2)解：由，得，
因为是奇函数，所以．
当时，所以函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增．
可得，恒成立，
故，解得．
所以．
例题8．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)增函数，证明见解析
(3)
(1)解：因为函数为奇函数，且，
则，由，则，
所以，对任意的恒成立，所以，，可得.
(2)证明：由（1）可知，函数在上为增函数，证明如下：
任取、且，则，
所以，
，
所以，，故函数在上为增函数.
(3)解：由可得，
所以，，即对任意的恒成立.
当时，则有，合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
1．（2022·广东·金山中学高三期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）
（参考数据）
A．11分钟 B．14分钟
C．15分钟 D．20分钟
【答案】A
依题意可知时，，即，
所以，
由，得，两边取以为底的对数得
，，
所以至少需要分钟.
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
【答案】BC
，，
，则不是偶函数，故A错误；
的定义域为，
，
为奇函数，故B正确；
，
又在上单调递增，在上是增函数，故C正确；
，，则，可得，
即．
，故D错误．
故选：BC．

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