资源简介

4.4对数函数（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：对数函数的概念
重点题型二：与对数函数有关的函数图象
重点题型三：与对数函数有关的定义域问题
重点题型四：与对数函数有关的值域问题
重点题型五：指数函数与对数函数关系的应用
重点题型六：对数函数的单调性及应用
角度1：利用对数函数的单调性比较大小
角度2：利用对数函数的单调性解不等式
角度3：对数型复合函数的单调性的问题
重点题型七：与对数函数图象有关的综合问题
重点题型八：与对数函数相关的综合问题
第五部分：新定义问题
知识点一：对数函数的概念
1、对数函数的概念
一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.
判断一个函数是对数函数的依据
（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.
2、两种特殊的对数函数
特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.
知识点二：对数函数的图象及其性质
函数的图象和性质如下表：
底数
图象
性质 定义域
值域
单调性 增函数 减函数
1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）函数（，且）的图象过定点．( )
（2）函数（，且）在上是单调函数．( )
（3）由函数的图象向左平移1个单位可得的图象．( )
3．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）函数与互为反函数．( )
（2）与的图象关于对称．( )
4．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是( )
A． B． C． D．
重点题型一：对数函数的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
例题2．（2021·全国·高一专题练习）给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 为对数函数，则等于
A．3 B． C． D．
2．（2021·全国·高一课时练习）下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．
D．y＝log5x
3．（2021·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
重点题型二：与对数函数有关的函数图象
典型例题
例题1．（2022·浙江浙江·高一期中）函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·广东汕尾·高一期末）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·浙江省富阳中学高三阶段练习）设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
同类题型演练
1．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江嘉兴·高二期中）在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
重点题型三：与对数函数有关的定义域问题
典型例题
例题1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·山东济宁·高二期末）若函数的定义域为，则（ ）
A．3 B．3 C．1 D．1
2．（2022·福建·高二学业考试）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
重点题型四：与对数函数有关的值域问题
典型例题
例题1．（2022·山西运城·高二期末）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是________.
例题3．（2022·四川雅安·高一期末）若函数，则函数的值域为___________.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.
3．（2022·重庆八中高二阶段练习）函数的值域是_____________．
重点题型五：指数函数与对数函数关系的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）方程的解________．
例题2．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））若关于的方程有解，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·浙江·高三专题练习）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）若方程有解，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
重点题型六：对数函数的单调性及应用
角度1：利用对数函数的单调性比较大小
典型例题
例题1．（2022·陕西西安·高二期末（文））已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·云南玉溪·高一期末）设，则（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．且
例题4．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
角度2：利用对数函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）函数的定义域是___.
例题2．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）函数的定义域为___________.
例题3．（2022·贵州遵义·高一期末）不等式的解集为______.
角度3：对数型复合函数的单调性的问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
同类题型演练
1．（2022·福建·福州三中高一期末）已知，且，成立的充分而不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·上海市延安中学高一期末）不等式的解集为___________.
4．（2022·山东·德州市第一中学高一期末）已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．
4．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏南通·高二期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·北京·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
重点题型七：与对数函数图象有关的综合问题
典型例题
例题1．（2022·山西大同·高一期末）已知函数恒过定点，则函数的单调递增区间为______．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图，则________．
例题3．（2022·四川成都·高一开学考试）函数（，且）恒过定点，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题4．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
同类题型演练
1．（2022·山东省临沂第一中学高一开学考试）函数的图像恒过定点的坐标为_________.
2．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）已知，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·辽宁·高一期末）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
4．（2022·湖南·高一期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
重点题型八：与对数函数相关的综合问题
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）已知函数 在上单调递减，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·福建省福州第一中学高二期末）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·福建福州·高二期末）若，其中，则（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·河南开封·高二期末（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是______．
例题5．（2022·全国·高一）函数没有最小值， 则的取值范围是______．
例题6．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）已知函数其中是常数.
(1)当时，求的值；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
例题7．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数．
(1)设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求的取值范围；
(2)若函数有且仅有一个零点，求的取值范围．
例题8．（2022·云南保山·高一期末）已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)若，且，求实数的取值范围．
1．（2022·全国·高三专题练习）瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中与的值保持不变），经计算，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：，）
A．存款金额的首位数字是1的概率约为
B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%
C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率
D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%
3．（2022·河北·高三阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（ ）
A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h
4．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）区块链作为一种革新技术，已经被应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定为比特，则密码一共有种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行次运算，现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（ ）参考数据：，
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
5．（2022·江西·高三阶段练习（理））法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“（为素数）”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现个“梅森素数”，可以估计，这个“梅森素数”的位数为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
4.4对数函数（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：对数函数的概念
重点题型二：与对数函数有关的函数图象
重点题型三：与对数函数有关的定义域问题
重点题型四：与对数函数有关的值域问题
重点题型五：指数函数与对数函数关系的应用
重点题型六：对数函数的单调性及应用
角度1：利用对数函数的单调性比较大小
角度2：利用对数函数的单调性解不等式
角度3：对数型复合函数的单调性的问题
重点题型七：与对数函数图象有关的综合问题
重点题型八：与对数函数相关的综合问题
第五部分：新定义问题
知识点一：对数函数的概念
1、对数函数的概念
一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.
判断一个函数是对数函数的依据
（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.
2、两种特殊的对数函数
特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.
知识点二：对数函数的图象及其性质
函数的图象和性质如下表：
底数
图象
性质 定义域
值域
单调性 增函数 减函数
1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
对数函数（且），其中为常数，为自变量．
对于选项A，符合对数函数定义；
对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数；
对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数；
对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．
故选：A．
2．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）函数（，且）的图象过定点．( )
（2）函数（，且）在上是单调函数．( )
（3）由函数的图象向左平移1个单位可得的图象．( )
【答案】 正确 正确 错误
（1）由对数函数图象可知过定点，故正确；
（2）函数（，且），当时，在上是单调增函数，当时，在上是单调减函数，故正确；
（3）函数的图象向左平移1个单位可得的图象，故错误.
3．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）函数与互为反函数．( )
（2）与的图象关于对称．( )
【答案】 错误 正确
（1）函数的反函数为，故结论错误．
（2）因为与互为反函数，所以它们的图象关于对称，故结论正确．
4．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是( )
A． B． C． D．
【答案】B
由得
所以的定义域为
故选：B．
重点题型一：对数函数的概念
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
例题2．（2021·全国·高一专题练习）给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
故选:A.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 为对数函数，则等于
A．3 B． C． D．
【答案】B
因为函数 为对数函数，
所以函数系数为1，即即或，
因为对数函数底数大于0，
所以，，
所以．
2．（2021·全国·高一课时练习）下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．
D．y＝log5x
【答案】D
A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．
故选：D.
3．（2021·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
【答案】A
A是对数函数，B中真数是，不是，不是对数函数，C中底数不是常数，不是对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数．
故选：A．
重点题型二：与对数函数有关的函数图象
典型例题
例题1．（2022·浙江浙江·高一期中）函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
求可得或，解得或，排除BCD；
故选：A
例题2．（2022·广东汕尾·高一期末）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.
故选：B
例题3．（2022·浙江省富阳中学高三阶段练习）设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
函数，单调性相同，同增或者同减，故A错.
①若,，在定义域内单调递减，，令时，
如图C，若，则，此时的渐近线为，由图，解得，但此时这与与轴交点矛盾，故C错.
如图D，解得，无意义，故D错.
②若时，，在定义域内单调递增，当时，，且时，，此时B符合.选项B符合
故选:B
同类题型演练
1．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
函数为上的减函数，排除AB选项，
函数的定义域为，
内层函数为减函数，外层函数为增函数，
故函数为上的减函数，排除D选项.
故选：C.
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵（且，且），
∴，∴，
∴，函数与函数互为反函数，
∴函数与的图象关于直线对称，且具有相同的单调性.
故选：B．
3．（2022·浙江嘉兴·高二期中）在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足.
故选：B.
重点题型三：与对数函数有关的定义域问题
典型例题
例题1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由题可知，即，解得或.
故函数的定义域为.
故选：D.
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为，所以的定义域为，
由题得，所以或.
所以函数的定义域为.
故选：B
同类题型演练
1．（2022·山东济宁·高二期末）若函数的定义域为，则（ ）
A．3 B．3 C．1 D．1
【答案】A
由，得，
由题意可知上式的解集为，
所以为方程的一个根，
所以，得，
故选：A
2．（2022·福建·高二学业考试）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由解得：．
故选：B．
重点题型四：与对数函数有关的值域问题
典型例题
例题1．（2022·山西运城·高二期末）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，所以，所以，
故选：D
例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是________.
【答案】
令，则，
因为，
所以的值域为，
因为在是减函数，
所以，
所以的值域为，
故答案为：
例题3．（2022·四川雅安·高一期末）若函数，则函数的值域为___________.
【答案】
由已知函数的定义域为
又，定义域需满足，
令，因为 ，
所以，
利用二次函数的性质知，函数的值域为
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由对数函数的值域为，向右平移2个单位得函数的值域为，
则的值域为，
故选：A.
2．（2022·河南·封丘一中高二期末（理））若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.
【答案】
因为的最大值为0，所以应有最小值1，因此应有解得.
故答案为：.
3．（2022·重庆八中高二阶段练习）函数的值域是_____________．
【答案】
，故
故答案为：
重点题型五：指数函数与对数函数关系的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）方程的解________．
【答案】0
由方程：化简可得.故答案为0.
例题2．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））若关于的方程有解，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】C
，
，
当且仅当时取等号，
故．
故选：C．
同类题型演练
1．（2022·浙江·高三专题练习）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题得.
故选：A
2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）若方程有解，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
若方程有解，则有解，
即有解．
∵，
当且仅当，
即时，等号成立，
∴的最小值为1，
故选：B．
重点题型六：对数函数的单调性及应用
角度1：利用对数函数的单调性比较大小
典型例题
例题1．（2022·陕西西安·高二期末（文））已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为为减函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
所以.
故选：D
例题2．（2022·云南玉溪·高一期末）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为，，，
又由对数函数的性质:当时，底数越大，图像越低，可得，
所以.
故选: D.
例题3．（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】C
对于A，因为是单调递增函数，所以，故A错误；
对于B，因为是单调递减函数，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，当时，是单调递减函数，当时，是单调递增函数，
所以当时，，当时，，故D错误.
故选：C.
例题4．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：，
，
，
所以.
故选：D.
角度2：利用对数函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）函数的定义域是___.
【答案】
因为函数，
所以 ，即，
解得 ，
所以函数的定义域是，
故答案为：
例题2．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）函数的定义域为___________.
【答案】
函数要满足：，解得：，故定义域为：
故答案为：
例题3．（2022·贵州遵义·高一期末）不等式的解集为______.
【答案】
由，可得，
所以，
解得：或，
不等式的解集为.
故答案为：.
角度3：对数型复合函数的单调性的问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题知的定义域为，
令，则，函数单调递增，
当时，关于单调递减，关于单调递减，
当时，关于单调递增，关于单调递增，
故的递增区间为．
故选：D．
例题2．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
例题3．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由，
二次函数的对称轴为：，
所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，
而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：
函数的单调增区间为，
故选：C
同类题型演练
1．（2022·福建·福州三中高一期末）已知，且，成立的充分而不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
当时，在为单调递增函数，则恒成立，
当时，在为单调递减函数，
由，可得，解得，
综上使成立a的范围是，
由题意： “选项”是使 “”成立的充分而不必要条件，
所以由“选项”可推出 “”成立，反之不成立，
分析选项可得，只有A符合题意，
故选：A
2．（2022·全国·高一专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
方法一 :
由得，
则，解得或.
方法二 :
根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，
设，则，
在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，
则在上为增函数，
，
解得或，
故选：D．
3．（2022·上海市延安中学高一期末）不等式的解集为___________.
【答案】
由题设，可得：，则，
∴不等式解集为.
故答案为：.
4．（2022·山东·德州市第一中学高一期末）已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．
【答案】
因为，所以，而，则，于是.
故答案为：.
4．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
函数的定义域为.
要求函数的一个单调增区间，
只需求的增区间，只需.
所以.
所以函数的一个单调增区间是.
故选：C
5．（2022·江苏南通·高二期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为在单调递增，要满足题意，只需：
，且，解得.
故函数的单调递增区间为.
故选：.
6．（2022·北京·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意，，，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是.
故选：A.
重点题型七：与对数函数图象有关的综合问题
典型例题
例题1．（2022·山西大同·高一期末）已知函数恒过定点，则函数的单调递增区间为______．
【答案】##
因为函数恒过定点，所以，
所以，
所以的单调递增区间为.
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图，则________．
【答案】8
由图像可得：过点和，则有：，解得．
∴．
故答案为：８．
例题3．（2022·四川成都·高一开学考试）函数（，且）恒过定点，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
由题意，函数，
当时，即时，可得，即函数恒经过点，
又因为恒经过点，可得，解得，
所以.
故选：C.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由于是上的奇函数，所以，
所以为减函数，所以，
所以，为上的减函数，，
所以BCD选项错误，A选项正确.
故选：A
同类题型演练
1．（2022·山东省临沂第一中学高一开学考试）函数的图像恒过定点的坐标为_________.
【答案】(1,2)
令得：，
此时，
所以函数的图象恒过定点，
故答案为：．
2．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）已知，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：图像如图所示:
根据图象得：的解为，
将换成得.
故选：C.
3．（2022·辽宁·高一期末）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
【答案】C
作出函数的图象，如图：
由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故选：C
4．（2022·湖南·高一期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
重点题型八：与对数函数相关的综合问题
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）已知函数 在上单调递减，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为函数 在上单调递减，
所以函数在上单调递增，且在上恒成立，
所以，解得.
故选：B
例题2．（2022·福建省福州第一中学高二期末）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为函数为奇函数，
所以，又，，
所以不等式，可化为，
即，
又因为在上单调递增，
所以在R上单调递增，
所以，
解得.
故选：D.
例题3．（2022·福建福州·高二期末）若，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因，则，又，即有，
于是得，因此，
所以.
故选：A
例题4．（2022·河南开封·高二期末（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是______．
【答案】
根据题意，当时，根据二次函数知识，开口向下的二次函数，对称轴，则在上为减函数，又由为奇函数，则在上为减函数，且，故在上为减函数，由，得，即，解得，即实数的取值范围为．
故答案为：
例题5．（2022·全国·高一）函数没有最小值， 则的取值范围是______．
【答案】
解：令，则外函数为，
因为在定义域上单调递增，
要使函数没有最小值，
即的值域能够取到，且不恒小于等于，
当时，符合题意，
当时开口向下，只需，解得，即；
当时开口向上，只需，解得，即；
综上可得，即；
故答案为：
例题6．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）已知函数其中是常数.
(1)当时，求的值；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)解得：
(2)，恒成立，
恒成立，
不妨设，设，则在 上是增函数，
.
的取值范围为.
例题7．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数．
(1)设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求的取值范围；
(2)若函数有且仅有一个零点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
（1）由复合函数的单调性易知函数为减函数，由题得，即，化简得，则，∵若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，∴，令，，∴，故的取值范围为．
（2）∵有且仅有一个零点，∴方程有且仅有一个解；由，得，即，即，①则，即，②当时，方程②的解为，代入①成立；当时，方程②的解为，代入①成立；当且时，方程②的解为或，若是方程①的解，则，即，若是方程①的解，则，即，要使方程①有且仅有一解，则，综上所述，的取值范围为．
例题8．（2022·云南保山·高一期末）已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)若，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)因为定义域为，
则
设，
令，
所以值域为
(2)设，
因为
所以
即，
即，所以
则的两根为
整理得
因为
解得
再由韦达定理可得:
则

解得
综上，
1．（2022·全国·高三专题练习）瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中与的值保持不变），经计算，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意知：，，则.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：，）
A．存款金额的首位数字是1的概率约为
B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%
C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率
D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%
【答案】D
因此存款金额用十进制计算，故，
对于A，存款金额的首位数字是1的概率为，故A错误.
对于B，存款金额的首位数字是5的概率为
，
故不约为9.7%，故B错误.
对于C，存款金额的首位数字是6的概率为，
存款金额的首位数字是7的概率为，
因为，故，故C错误.
对于D，存款金额的首位数字是8的概率为，
存款金额的首位数字是9的概率为，
故存款金额的首位数字是8或9的概率为，
故D正确.
故选：D.
3．（2022·河北·高三阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（ ）
A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h
【答案】B
解：根据题意可得，
则当时，
，
所以，
即当放电电流，放电时间为28.5h.
故选：B.
4．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）区块链作为一种革新技术，已经被应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定为比特，则密码一共有种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行次运算，现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（ ）参考数据：，
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】A
由题意知：所需时间，
，
.
故选：A.
5．（2022·江西·高三阶段练习（理））法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“（为素数）”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现个“梅森素数”，可以估计，这个“梅森素数”的位数为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
依题意，，故这个“梅森素数”有位，
故选：C.

展开更多......

收起↑