资源简介

4.5.1函数的零点与方程的解（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求函数的零点
重点题型二：函数零点个数的判断
重点题型三：判断函数零点所在的区间
重点题型四：已知零点个数求参数的取值范围
重点题型五：已知零点所在区间求参数的取值范围
重点题型六：二次函数的零点问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：函数零点的概念
1、函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.
这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点
2、已学基本初等函数的零点
①一次函数只有一个零点；
②反比例函数没有零点；
③指数函数（且）没有零点；
④对数函数（且）只有一个零点1；
⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。
知识点二：函数零点存在定理及其应用
1、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可.
2、函数零点的求法
①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;
②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解
3、函数零点个数的判断
①利用代数法，求出所有零点；
②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；
③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；
④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.
知识点三：二次函数的零点问题
一元二次方程的实数根也称为函数的零点.
当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：
的实数根 （其中） 方程无实数根
的图象
的零点 函数无零点
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）函数的零点是一个点．( )
（2）任何函数都有零点．( )
（3）函数的零点是．( )
（4）若函数满足，则函数在区间上至少有一个零点．( )
（5）函数的零点不是点，它是函数的图象与x轴交点的横坐标，是方程的根．( )
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·河南·模拟预测）关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
重点题型一：求函数的零点
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的零点是（ ）
A．，1 B． C．，-1 D．
例题2．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的零点是（ ）
A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1
2．（2022·全国·高一期末）函数的零点是（ ）
A．（，0） B．（4，0） C．（，0）或（4，0） D．或4
重点题型二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2022·四川绵阳·高一期末）设函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
同类题型演练
1．（2022·江苏常州·高一期末）函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高三专题练习）函数的零点个数为（ ）个
A．2 B．1 C．0 D．3
3．（2022·广东惠州·高一期末）已知函数，则函数零点的个数为_________．
重点题型三：判断函数零点所在的区间
典型例题
例题1．（2022·贵州遵义·高一期末）方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·福建·高二）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·河南开封·高二阶段练习（文））函数的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南濮阳·高一期末（文））函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
重点题型四：已知零点个数求参数的取值范围
典型例题
例题1．（2022·天津和平·高一期末）已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·四川雅安·高一期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·河南洛阳·高一期末）已知函数，，若恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·湖北恩施·高一期中）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
重点题型五：已知零点所在区间求参数的取值范围
典型例题
例题1．（2022·河南焦作·高一期末）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，则实数的取值范围是_______．
同类题型演练
1．（2022·海南·海口一中高一期中）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一专题练习）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围是__．
3．（2022·山东菏泽·高一期末）函数的零点在区间内，则整数的值为______（其中为自然对数的底数，）
重点题型六：二次函数的零点问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁·高二期末）关于的方程有两个正根，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．的取值范围是
D．的取值范围是
例题2．（2022·浙江·杭十四中高二期末）关于的方程至少有一个正的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
例题3．（2022·全国·高一专题练习）关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____．
例题4．（2022·四川成都·高一开学考试）若关于的方程有两个不相等的实根、，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A．（2，5） B．
C． D．
同类题型演练
1．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知有两个零点，，有两个零点，若区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建龙岩·模拟预测）函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是_____．
1．（2022·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如，，，设为函数的零点，则（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022·浙江·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
1．（2022·天津·高考真题）已知函数，若至少有个零点，则的取值范围是______.
2．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
4.5.1函数的零点与方程的解（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求函数的零点
重点题型二：函数零点个数的判断
重点题型三：判断函数零点所在的区间
重点题型四：已知零点个数求参数的取值范围
重点题型五：已知零点所在区间求参数的取值范围
重点题型六：二次函数的零点问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：函数零点的概念
1、函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.
这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点
2、已学基本初等函数的零点
①一次函数只有一个零点；
②反比例函数没有零点；
③指数函数（且）没有零点；
④对数函数（且）只有一个零点1；
⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。
知识点二：函数零点存在定理及其应用
1、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可.
2、函数零点的求法
①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;
②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解
3、函数零点个数的判断
①利用代数法，求出所有零点；
②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；
③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；
④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.
知识点三：二次函数的零点问题
一元二次方程的实数根也称为函数的零点.
当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：
的实数根 （其中） 方程无实数根
的图象
的零点 函数无零点
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）函数的零点是一个点．( )
（2）任何函数都有零点．( )
（3）函数的零点是．( )
（4）若函数满足，则函数在区间上至少有一个零点．( )
（5）函数的零点不是点，它是函数的图象与x轴交点的横坐标，是方程的根．( )
【答案】 错误 错误 错误 错误 正确
零点是函数时对应的自变量的取值，是一个数值，而不是一个点，所以（1）（3）错误，（5）正确；不是任何函数都有零点，比如没有零点，所以（2）错误，根据函数零点存在定理，首先函数图象是连续不断的，所以（4）错误.
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
令，得到，
故答案为：A
3．（2022·河南·模拟预测）关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
要使关于x的一元二次方程有实数根，
只需，解得：.
对照四个选项，只有A符合题意.
故选：A
4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，函数，
可得，所以，
结合零点的存在定理，可得函数的一个零点所在的区间为.
故选：B.
5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
由于函数在上是增函数，且，
故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.
故选：B.
重点题型一：求函数的零点
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的零点是（ ）
A．，1 B． C．，-1 D．
【答案】A
令，解得或
函数的零点为
故选：．
例题2．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
【答案】D
函数
当时，
令，解得
当时，
令，解得（舍去）
综上函数的零点为0
故选：D．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的零点是（ ）
A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1
【答案】C
由题意，函数，令，即，解得，
即函数的零点为.
故选：C.
2．（2022·全国·高一期末）函数的零点是（ ）
A．（，0） B．（4，0） C．（，0）或（4，0） D．或4
【答案】D
函数的零点就是方程的根，
由可得，
解得或，
故选：D.
重点题型二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2022·四川绵阳·高一期末）设函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
由函数解析式，令，则：
当时，，解得或（舍）；
当时，，解得.
所以函数有2个零点.
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
当时，，所以不存在零点；
当时，，也不存在零点，所以函数的零点个数为0.
故选：A.
同类题型演练
1．（2022·江苏常州·高一期末）函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
当时，令，解得，
当时，令，解得，
所以此函数有2个零点.
故选：B
2．（2022·北京·高三专题练习）函数的零点个数为（ ）个
A．2 B．1 C．0 D．3
【答案】A
由，
由，
所以函数的零点个数为2，
故选：A.
3．（2022·广东惠州·高一期末）已知函数，则函数零点的个数为_________．
【答案】
当时，由，可得（舍）或；
当时，由，可得.
综上所述，函数零点的个数为.
故答案为：.
重点题型三：判断函数零点所在的区间
典型例题
例题1．（2022·贵州遵义·高一期末）方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
都是上的增函数，
故是上的增函数，
又由，，
，
因为，
所以，，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C.
例题2．（2022·福建·高二）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为为上的增函数，又，，
所以函数的零点所在的区间是，
故选：B.
例题3．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为与在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递增，
又，，，
即，所以的零点位于内；
故选：C
例题4．（2022·河南开封·高二阶段练习（文））函数的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，的定义域为，
，所以在上单调递增，
所以，，
由零点存在性定理知：，函数的一个零点所在的区间是.故选：D.
同类题型演练
1．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：的定义域为，又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C
2．（2022·河南濮阳·高一期末（文））函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：∵
∴ ，，，
，
∴
根据零点存在性定理：的零点所在的区间是：.
故选：C.
重点题型四：已知零点个数求参数的取值范围
典型例题
例题1．（2022·天津和平·高一期末）已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
，
函数有零点，
与有交点，
，
即，
故选：C
例题2．（2022·四川雅安·高一期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，
由可知，当时，函数是周期为1的函数，
如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，
数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，
故函数有两个不同的零点.
故选：A.
例题3．（2022·河南洛阳·高一期末）已知函数，，若恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意，函数的图象与直线有两个交点，
作出函数图象如下图所示，
由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.
故选：B.
同类题型演练
1．（2022·湖北恩施·高一期中）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
作出函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的实根，，，，满足，
则，
即：，所以，
，所以，根据二次函数的对称性可得：，
，
考虑函数单调递增，
，
所以时的取值范围为.
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
恰有两个零点，等价于与有两个交点，同一坐标系，画出与的图象，直线过时，，直线与，相切时，由图知，时，两图象有两交点，即
的取值范围是，故选C.
重点题型五：已知零点所在区间求参数的取值范围
典型例题
例题1．（2022·河南焦作·高一期末）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，故在区间上恒成立
在上单调递增.又函数在区间上存在零点，故，即，解得
故选：C
例题2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为的零点所在的区间为，
所以只需，
即，解得.
故选：B.
例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，则实数的取值范围是_______．
【答案】
因为在上单调递增，因为函数的零点在区间内，
所以，即，
解得，所以实数的取值范围是．
同类题型演练
1．（2022·海南·海口一中高一期中）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题可知：函数单调递增，若 一个零点在区间内，则需：，
即，解得，
故选：C.
2．（2022·全国·高一专题练习）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围是__．
【答案】
解：由题意得：
函数在区间上有一个零点
若方程的判别式为，可得或
当时，，有零点，不满足题意；
当时，，有零点，不满足题意；
若，可得，可得或
可得，解得
综上所述可得：
故答案为：
3．（2022·山东菏泽·高一期末）函数的零点在区间内，则整数的值为______（其中为自然对数的底数，）
【答案】0
因为均为增函数，所以为增函数；
又，所以的零点在区间内，所以.
故答案为：0
重点题型六：二次函数的零点问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁·高二期末）关于的方程有两个正根，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．的取值范围是
D．的取值范围是
【答案】D
由有两不相等实数根，
得，解得,
令，
对于A选项，由，，所以，故A正确；
对于B选项，由，，所以，故B正确；
对于C选项，因为，所以的取值范围是，故C正确；
对于D选项，由
所以取值范围是，故D错误.
故选：D.
例题2．（2022·浙江·杭十四中高二期末）关于的方程至少有一个正的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
首先分析方程没有正实数根时a的取值范围：
当a=0时，方程为2x=1，方程有正实数根；
当时，
若方程有一个正，一非正的实根，则，解得
若方程两个实数根均为正，则，解得
综上，满足题意的a的取值范围是： .
故选：C
例题3．（2022·全国·高一专题练习）关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____．
【答案】
关于的方程在区间内有两个不等实根，令，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
例题4．（2022·四川成都·高一开学考试）若关于的方程有两个不相等的实根、，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A．（2，5） B．
C． D．
【答案】B
令，且，
所以只需满足且即可，
即且，解得，
故选:B.
同类题型演练
1．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知有两个零点，，有两个零点，若区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题知，得
解得
解得
因为
所以
即
取时，，，不满足，故BC错误；
取时，
，即，不满足题意，故D错误.
故选：A
2．（2022·福建龙岩·模拟预测）函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为函数的两个不同的零点均大于，
所以，解得.
所以选项A是函数的两个不同的零点均大于的既不充分也不必要条件；选项B是函数的两个不同的零点均大于的充分不必要条件；
选项C是函数的两个不同的零点均大于的充要条件；选项D是函数的两个不同的零点均大于的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
二次函数，对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
要使二次函数的两个零点都在区间内，
需，解得
故实数a的取值范围是
故选：C
4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是_____．
【答案】
显然，关于的方程对应的二次函数
当时，二次函数的图象开口向上，
因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于，
所以，即，解得；
②当时，二次函数的图象开口向下，
因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于，
所以，即，解得；
综上所述，实数的范围是．
故答案为：．
1．（2022·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
函数，则，
由题意可知，存在点，，使得，即，
所以，，，
作出函数和的图象，如图所示，
由图象可知，函数和的图象只有一个交点，
所以，，只有一个解，即函数在，上点的个数为1个．
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
由题意知，当时，，所以不是函数的零点，
当时，可得，，
令，
作出函数的图象如图所示：
由图象可知，除点外，函数图象其余交点关于（0，1）中心对称，∴横坐标互为相反数，即，
由函数零点的定义知，函数的所有零点之和为
.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如，，，设为函数的零点，则（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
，函数在上单调递增，
，
，
若，则，
所以.
故选：B
4．（2022·浙江·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
因为，
所以
由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，
的取值范围是.
故答案为：
1．（2022·天津·高考真题）已知函数，若至少有个零点，则的取值范围是______.
【答案】
设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
2．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.

展开更多......

收起↑