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8.1基本立体图形
本节课知识点目录：
棱柱的概念和结构特征；
棱锥的概念和结构特征。
棱台的概念和结构特征
圆柱的概念和结构特征
圆锥的概念和结构特征
圆台的概念和结构特征
球的概念和结构特征
简单组合体的结构特征
空间几何体的面展开
表面最短距离
一、棱柱的结构特征
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
【典型例题】
【例1】下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
【例2】下列关于棱柱的说法中不正确的是（ ）
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
【例3】看图阅读：
底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体（parallelopiped），侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体（rightparallelopiped），底面是矩形的直平行六面体叫作长方体（cuboid），棱长相等的长方体叫作正方体（cube）．
根据上述定义，试说明四棱柱集合、平行六面体集合、直平行六面体集合、长方体集合、正方体集合之间有怎样的包含关系，并用Venn图直观地表示这种关系．
【例4】如图所示的几何体中棱柱的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【例5】如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）
A．2 B．1 C．高 D．考
【例6】下列关于棱柱的说法正确的个数是（ ）
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱.
A． B． C． D．
【例7】如图，三棱柱被平面截成两个几何体Ⅰ、Ⅱ，且平面平面，则（ ）
A．Ⅰ是棱柱，Ⅱ不是棱柱 B．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ是棱柱
C．Ⅰ是棱柱，Ⅱ是棱柱 D．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ不是棱柱
【例8】用平行于棱柱侧棱的一个平面去截棱柱，所得的截面是_______.
【对点实战】
1.下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
2.下列几何体中，顶点总数最多的是（ ）
A．三棱柱 B．四面体
C．六棱锥 D．四棱柱
3.侧面都是矩形的棱柱一定是（ ）
A．长方体 B．三棱柱 C．直平行六面体 D．直棱柱
4.以下各种情况中，是长方体的是（ ）
A．直平行六面体 B．侧面是矩形的四棱柱
C．底面是矩形的平行六面体 D．底面是矩形的直棱柱
5.下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．由六个大小一样的正方形组成的图形是正方体的展开图
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
6.下面的几何体中棱柱有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7.下列关于棱柱的命题中，真命题的个数是（ ）
①同一棱柱的侧棱平行且相等；
②一个棱柱至少有5个面；
③当棱柱的底面是正多边形时，该棱柱一定是正棱柱；
④当棱柱的底面是等腰梯形时，该棱柱一定是平行六面体.
A．1 B．2 C．3 D．4
8.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
二、棱锥的结构特征
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
【典型例题】
【例1】棱锥的侧面和底面可以都是
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【例2】对于棱锥，下列叙述正确的是
A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面
C．六棱锥共有六个顶点 D．任何棱锥都只有一个底面
【例3】在四棱锥的4个侧面中，直角三角形最多可有________个；在四面体的4个面中，直角三角形最多可有________个．
【例4】．如图，有三个三棱锥，，，你能将它们组合成一个三棱柱吗？试一试．
【例5】如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱柱 D．平行六面体
【例6】一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（ ）
A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形
B．各个面都是正三角形
C．三个侧面是全等的等腰三角形
D．顶点在底面上的射影为重心
【例7】下列结论正确的是（ ）
A．存在这样的四面体，四个面都是直角三角形
B．存在这样的四面体，
C．存在不共面的四点 ，使
D．存在不共面的四点 ，使
【例8】《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点、以正八棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则这样的阳马的个数是（ ）
A．48 B．32 C．24 D．8
【对点实战】
1.下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②
2.三棱锥的四个面中可以作为底面的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.在如图所示的长方体中，以为顶点所构成的几何体是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
4.请从正方体的个顶点中，找出个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的个面都是正三角形，则这个点可以是___________.（只需写出一组）
5.底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥
A．一定是正三棱锥 B．一定是正四面体 C．不是斜三棱锥 D．可能是斜三棱锥
6.棱锥侧面是有公共顶点的三角形，能围成一个棱锥侧面的正三角形的个数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7.在下面四个平面图形中，各侧棱都相等的四面体的展开图是_____(把你认为正确的序号都填上).
8.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．（填序号）
①三角形；②四边形；③五边形．
北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 第六章 立体几何初步 1 基本立体图形 1.1 构成空间
三、棱台的结构特征
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
【典型例题】
【例1】棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点
【例2】某简单多面体共有12条棱，则该多面体可以是（ ）
A．四棱台 B．五棱锥 C．三棱柱 D．五棱台
【例3】下列关于棱台的说法，不正确的是（ ）
A．所有的侧棱交于一点 B．只有两个面互相平行
C．上下两个底面全等 D．所有的侧面不存在两个面互相平行
【例4】如图所示的是一个三棱台ABC－A1B1C1，
（1）如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是________________．
（2）如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是__________．
【例5】下面有关棱台说法中，正确的是（ ）
A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台 B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等 D．楼台的上下底面可能不是相似图形
【例6】一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（ ）
A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦
【例7】下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
【对点实战】
1.下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B． C． D．
2.某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（ ）
A．五棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．四棱台
3.关于棱台，下列说法正确的是（ ）
A．两底面可以不相似 B．侧面都是全等的梯形
C．侧棱长一定相等 D．侧棱延长后交于一点
4.有下列三个说法：①两个互相平行的面是正方形，其余各面都是四边形的几何体一定是棱台；②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有
A．0 B．1 C．2个 D．3个
5.下列空间图形中是棱台的为_____.(填序号)
6.下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④棱台的各侧棱延长后必交于一点；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
7.下列几何体中是棱台的有________（填序号）.
8.写出棱台中任意两条侧棱的位置关系.
四、圆柱的结构特征
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
【典型例题】
【例1】下列关于圆柱的说法中，不正确的是（ ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆柱
【例2】给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】．用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（ ）
A． B． C． D．
【例4】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（ ）
A．棱锥 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体
【例5】用长为3、宽为2的矩形做侧面，围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为______.
【例6】下列命题中是假命题的是（ ）
A．圆柱的任意两条母线平行 B．棱台各侧棱的延长线交于一点
C．经过圆锥侧面上一点，有无数条母线 D．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱
【对点实战】
1.圆柱的母线长为10，则其高等于（ ）
A．5 B．10 C．20 D．不确定
2.给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面（过圆柱的轴作截面）的面积为（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
4.下列几何体中为圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
5.一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是______.
第2课时 课中 基本立体图形-圆柱、圆锥、圆台、球
五、圆锥的结构特征
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
【典型例题】
【例1】用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．三角形 D．矩形
【例2】下列说法中正确的是
A．圆锥的轴截面是等边三角形
B．用一个平面去截棱锥,一定会得到一个棱锥和一个棱台
C．有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
【例3】如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱
【例4】底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【对点实战】
1.圆锥的高与底面半径相等，母线等于，则底面半径等于________.
2.圆锥的母线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
3.一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体的名称是
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．圆柱的一部分
4.如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的高为___________.
六、圆台的结构特征
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
【典型例题】
【例1】有下列命题：
①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例2】有以下命题：
①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台
②棱台的两个底面一定是相似多边形
③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
其中的正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】已知一个圆台的上下底半径分别为，截得圆台的圆锥母线长为，则这个圆台的母线长为_______．
【例4】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④是棱柱
【例5】关于下列几何体，说法正确的是（ ）
A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥 C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台
【例6】若圆台的母线与高的夹角为，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________.
【对点实战】
1.下列说法正确的是（ ）
①棱柱的侧棱都相等；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得到旋转体是圆台；
③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
④通过圆台侧面上一点有无数条母线．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
2.．以下命题中真命题的序号是（ ）
①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台
A．③ B．①② C．① D．①
3.以下空间几何体是旋转体的是（ ）
A．圆台 B．棱台 C．正方体 D．三棱锥
七、球的结构特征
1．概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．
2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
【典型例题】
【例1】有下列说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③半圆绕直径所在直线旋转后形成的几何体是球．
其中正确说法的序号是_____________．
【例2】用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（ ）
A．圆柱 B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
【例3】给出下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点的连线段；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表示．其中说法正确的是_____．
【例4】若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知球的半径为1，、为球上的任意两点，则、两点的球面距离的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【例6】一平面截球O得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则球的半径是(　　)
A． B． C． D．
【例7】已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.
【对点实战】
1.下列命题正确的是( )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
A．①②③ B．②③④
C．②③⑤ D．①④⑤
2.在半径为1的球面上，若A，B两点的球面距离为，则线段AB的长|AB|＝_____．
3.若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（ ）
A．4π B．π C．2π D．π
八、简单组合体的结构特征
【典型例题】
【例1】如图所示的组合体，其结构特征是
A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
【例2】在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是
A．圆面 B．矩形面
C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面
【例3】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【例4】如图所示的几何体的结构特征是____________.
【例5】如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ）
A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个棱柱
【例6】如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是
A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱
【例7】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A． B． C． D．
【例8】按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图，各写出一种分割方法即可).
（1）一个三棱柱和一个多面体;
（2）三个三棱锥.
【对点实战】
1.已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台
2.如图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A． B．
C． D．
3.如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台
4.如图的组合体是由（ ）组合而成.
A．两个棱柱 B．棱柱和圆柱
C．圆柱和棱台 D．圆锥和棱柱
5.指出下图中的几何体分别由哪些简单几何体组成．
6.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积.
九、空间几何体的侧面展开图
【典型例题】
【例1】圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
【例2】某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（ ）
A．乐、新、快 B．快、新、乐
C．新、快、乐 D．乐、快、新
【例3】下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（ ）
A． B． C． D．
十、表面最短距离
【典型例题】
【例1】小蚂蚁的家住在长方体的A处，小蚂蚁的奶奶家住在处，三条棱长分别是，，，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家的最短距离是（ ）
A．5 B．7 C． D．
【例2】如图为一个组合体，底座为一个长方体，凸起部分由一小长方体和一个半圆柱组成，一只小蚂蚁从点出发，沿几何体表面爬行，首先到达点，然后沿凸起部分的表面到达点，则小蚂蚁走过的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
【例3】第24届冬奥会将于2022年在中国北京举办，单板滑雪的U型场地近似为圆柱体的一部分（如图），现一名运动员从顶端A点滑行到另一顶端B点，则滑行的最短距离约为（ ）
（注：，）
A． B．
C． D．
【例4】如图，在正三棱锥P-ABC中，，PA=PB=PC=4，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【例5】如图，底面为正方形的四棱锥中，四条侧棱相等，且，，分别为棱和上的两点，，，处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．9
【例6】．设球的半径为1，，，是球面上三点，已知到，两点的球面距离都是，且平面平面，则从点沿球面经，两点再回到点的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【例7】如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，点为长方体的一个顶点，点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从点到点的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
8.1基本立体图形
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棱柱的概念和结构特征；
棱锥的概念和结构特征。
棱台的概念和结构特征
圆柱的概念和结构特征
圆锥的概念和结构特征
圆台的概念和结构特征
球的概念和结构特征
简单组合体的结构特征
空间几何体的面展开
表面最短距离
一、棱柱的结构特征
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
【典型例题】
【例1】下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
【答案】C
【分析】根据棱柱的特点进行辨析.
【详解】有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；
有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；
棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；
由棱柱的定义，C正确.
故选：C.
【例2】下列关于棱柱的说法中不正确的是（ ）
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
【答案】ABC
【分析】根据棱柱的结构特征判断.
【详解】A.棱柱的侧面是平行四边形，所以可以是矩形，例如直棱柱，故不正确；
B.在直棱柱中，侧棱的长叫做棱柱的高，不是直棱柱，侧棱的长不叫做棱柱的高，故错误；
C.棱柱中，也有可能存在两个侧面互相平行，故错误；
D.棱柱中，上下底面一定平行，所以至少有两个面互相平行，故正确.
故选：ABC
【例3】看图阅读：
底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体（parallelopiped），侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体（rightparallelopiped），底面是矩形的直平行六面体叫作长方体（cuboid），棱长相等的长方体叫作正方体（cube）．
根据上述定义，试说明四棱柱集合、平行六面体集合、直平行六面体集合、长方体集合、正方体集合之间有怎样的包含关系，并用Venn图直观地表示这种关系．
【答案】答案见解析
【分析】根据题意可得各类棱柱之间的包含关系，进而可画出Venn图
【详解】{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}
Venn图表示如图
【例4】如图所示的几何体中棱柱的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据棱柱的三个特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行，判断即可．
解：棱柱有三个特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行，
本题所给几何体中②⑤不符合棱柱的三个特征，而①③④符合，所以几何体中棱柱的个数为3个．
故选：C．
【例5】如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）
A．2 B．1 C．高 D．考
【答案】C
将展开图还原为正方体，结合图形即可得解；
解：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，
故选:C.
【例6】下列关于棱柱的说法正确的个数是（ ）
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱.
A． B． C． D．
【答案】A
由棱柱的几何特征逐个判断即可得解.
四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；
有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能侧棱不平行，故②不正确；
由棱柱的定义可得③正确；
底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确.
故选：A.
【例7】如图，三棱柱被平面截成两个几何体Ⅰ、Ⅱ，且平面平面，则（ ）
A．Ⅰ是棱柱，Ⅱ不是棱柱 B．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ是棱柱
C．Ⅰ是棱柱，Ⅱ是棱柱 D．Ⅰ不是棱柱，Ⅱ不是棱柱
【答案】C
【分析】根据平面平行的性质和棱柱的性质，结合棱柱的定义进行判断即可.
由平面平面可知：平面与三棱柱的各个侧面都平行，而三棱柱上下底面平行且是全等形，因此三角形与三角形是全等三角形，四边形和四边形是全等的四边形，根据棱柱的定义可知：Ⅰ，Ⅱ都是棱柱.
故选：C
【例8】用平行于棱柱侧棱的一个平面去截棱柱，所得的截面是_______.
【答案】平行四边形
【分析】由棱柱的概念可得.
用平行于棱柱侧棱的一个平面去截棱柱，截得截面的对边平行且相等，所得的截面是平行四边形.
故答案为：平行四边形.
【对点实战】
1.下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
【答案】D
【分析】根据棱柱的结构特征依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，故错误；
对于B，平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误；
对于C，平行六面体的侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误；
对于D，棱柱中至少有两个底面互相平行，故正确.
故选：D
2.下列几何体中，顶点总数最多的是（ ）
A．三棱柱 B．四面体
C．六棱锥 D．四棱柱
【答案】D
【分析】根据简单多面体的结构特征得出各选项中几何体的顶点个数，可得出合适的选项.
【详解】三棱柱、四面体、六棱锥、四棱柱的顶点总数分别为、、、，
因此，上述几种几何体中，顶点总数最多的是四棱柱.
故选：D.
3.侧面都是矩形的棱柱一定是（ ）
A．长方体 B．三棱柱 C．直平行六面体 D．直棱柱
【答案】D
【分析】根据棱柱的特征，即可判断选项.
侧面都是矩形的棱柱，只需侧棱和底面垂直，即侧面都是矩形的棱柱一定是直棱柱.
故选：D
4.以下各种情况中，是长方体的是（ ）
A．直平行六面体 B．侧面是矩形的四棱柱
C．底面是矩形的平行六面体 D．底面是矩形的直棱柱
【答案】D
【分析】由长方体的概念及棱柱的结构特征即得.
由长方体的底面是矩形且侧棱与底面垂直可知，
长方体是底面是矩形的直棱柱.
故选：D.
5.下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．由六个大小一样的正方形组成的图形是正方体的展开图
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
【答案】B
【分析】根据棱柱的结构特征确定正确选项.
A选项，棱柱的侧面不一定是矩形，A错误.
B选项，棱柱的侧棱都相等，B正确.
C选项，六个大小一样的正方形必须以一定顺序排列，才能形成正方体的展开图，C错误.
D选项，棱柱的侧棱不一定与底面垂直，D错误.
故选：B
6.下面的几何体中棱柱有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据棱柱的结构特征，即可判断几何体是否为棱柱.
由棱柱的三个特征：①有两个面相互平行；②其余各面是四边形；③侧棱相互平行.
题设各几何体中⑥⑦不完全符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合.
故选：B.
7.下列关于棱柱的命题中，真命题的个数是（ ）
①同一棱柱的侧棱平行且相等；
②一个棱柱至少有5个面；
③当棱柱的底面是正多边形时，该棱柱一定是正棱柱；
④当棱柱的底面是等腰梯形时，该棱柱一定是平行六面体.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据棱柱的定义和特征，逐项分析即可求出结果.
根据棱柱的特征，可知同一棱柱的侧棱平行且相等，故①正确；
三棱柱有5个面，故②正确；
根据正棱柱的定义，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，所以③错误；
根据平行六面体的定义可知，每个面都是平行四边形，所以④错误；
故选：B.
8.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
【答案】B
【分析】分别判断出每个展开图的相对面即可.
（1）①⑤相对，②④相对，③⑥相对，故（1）错误；
（2）①④相对，②⑤相对，③⑥相对，故（2）正确；
（3）①④相对，②⑤相对，③⑥相对，故（3）正确；
（4）①⑥相对，②⑤相对，③④相对，故（4）错误.
故选：B.
二、棱锥的结构特征
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
【典型例题】
【例1】棱锥的侧面和底面可以都是
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】A
根据棱锥的定义可知，棱锥的侧面一定是三角形，即可得出．
【详解】根据棱锥的定义可知，棱锥的侧面一定是三角形，所以三棱锥的侧面和底面可以都是三角形.
故选：A.
【例2】对于棱锥，下列叙述正确的是
A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面
C．六棱锥共有六个顶点 D．任何棱锥都只有一个底面
【答案】D
根据棱锥的定义即可判断各选项的真假．
【详解】对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误；
对于B，五棱锥共有六个面，故B错误；
对于C，六棱锥共有七个顶点，故C错误；
对于D，根据棱锥的定义知，D正确.
故选：D.
【例3】在四棱锥的4个侧面中，直角三角形最多可有________个；在四面体的4个面中，直角三角形最多可有________个．
【答案】 4 4
【分析】在正方体中，选取四棱锥、四面体，判断直角三角形的个数，由此得出结论.
【详解】画出正方体如下图所示，根据正方体的几何性质可知，在四棱锥中，都是直角三角形，共个.在四面体中，都是直角三角形，共个.
故填：（1）；（2）.
【例4】．如图，有三个三棱锥，，，你能将它们组合成一个三棱柱吗？试一试．
【答案】详见解析.
【分析】利用三棱柱和三棱锥的结构特征求解.
【详解】能够组成三棱柱，如下图所示：
【例5】如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱柱 D．平行六面体
【答案】B
【分析】根据棱锥的定义判断即可；
解：由展开图可知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面，故该几何体为四棱锥；
故选：B
【例6】一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（ ）
A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形
B．各个面都是正三角形
C．三个侧面是全等的等腰三角形
D．顶点在底面上的射影为重心
【答案】A
利用正三棱锥和充要条件的定义逐一分析判断每一个选项得解.
A．根据正三棱锥的定义可知，满足侧面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥．正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以该选项符合题意；
B. 各个面都是正三角形，则三棱锥是正三棱锥，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件；如果三棱锥是正三棱锥，则各个面不一定都是正三角形，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件，故该选项错误.
C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥，如图所示，VA=VC=BC=AB，AC=VB时，不一定是正三棱锥，故该选项错误；
D. 顶点在底面上的射影为重心，设底面为直角三角形,其重心为,过点作平面ABC的垂线，连接VA,VB,VC得到三棱锥V-ABC,显然三棱锥V-ABC不是正三棱锥，所以该选项错误.
故选：A
【例7】下列结论正确的是（ ）
A．存在这样的四面体，四个面都是直角三角形
B．存在这样的四面体，
C．存在不共面的四点 ，使
D．存在不共面的四点 ，使
【答案】AC
【分析】借助长方体模型，在长方体内取四面体，根据四面体的结构特征对每一选项进行逐一分析判断可得答案.
选项A. 在长方体中，如图四面体的四个面都是直角三角形，故A正确.
选项B，三个直角以为顶点，设
则，
由余弦定理可得，所以为锐角
同理为锐角，所以为锐角三角形，故B错误；
选项C. 如图在长方体中，满足，故C正确.
选项D. 如图在长方体中， ，为直角三角形.
,则在过点且与垂直的平面内，
,则在过点且与垂直的平面内，
如图，当点与不重合时，
所以此时为锐角.
当点与重合时，为直角.
即时，此时，，，四点共面，故D错误
故选：AC.
【例8】《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点、以正八棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则这样的阳马的个数是（ ）
A．48 B．32 C．24 D．8
【答案】A
【分析】根据阳马的定义，分别找出以上底面的顶点为四棱锥底面的个数和以下底面的顶点为四棱锥底面的个数，即可求得.
在正八棱柱的下底面中，根据正八边形的性质，其内接矩形共有6个，
分别为矩形.
而每个矩形可以形成4个不同的阳马，所以这样的阳马个数是24，同理，以上底面中的矩形为底面的也有24个阳马，因此共48个不同的阳马．
故选：A
【对点实战】
1.下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②
【答案】C
【分析】利用棱锥的定义对所给4个图形逐一分析判断作答.
【详解】一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，
显然①②④满足棱锥定义，③不满足棱锥定义，
所以①②④是棱锥，③不是棱锥.
故选：C
2.三棱锥的四个面中可以作为底面的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据三棱锥的几何结构特征进行判定，即可求解.
【详解】根据三棱锥的几何结构特征，可得三棱锥的每一个面均可作为底面.
故选：D.
3.在如图所示的长方体中，以为顶点所构成的几何体是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【答案】B
根据棱锥或棱柱的定义即可判断．
【详解】此几何体有一个面为四边形，其余各面，，，为有一个公共顶点的三角形，所以此几何体是四棱锥.
故选：B．
4.请从正方体的个顶点中，找出个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的个面都是正三角形，则这个点可以是___________.（只需写出一组）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意写出一组符合题意的点即可.
【详解】如图三棱锥各棱长都是正方体的面对角线，因此三棱锥的个面都是正三角形，即这个点可以是，
故答案为：（答案不唯一）.
5.底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥
A．一定是正三棱锥 B．一定是正四面体 C．不是斜三棱锥 D．可能是斜三棱锥
【答案】D
【分析】侧面是等腰三角形，可能是底面边长和一条侧棱相等，分析选项，即可得结果．
底面是正三角形，且每个侧面都是等腰三角形的三棱锥中，有可能是底面边长和一条侧棱相等，所以该棱锥可能是斜三棱锥，故选D．
6.棱锥侧面是有公共顶点的三角形，能围成一个棱锥侧面的正三角形的个数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
结合棱锥结构特点，根据正三角形的顶角之和小于确定出正三角形个数的最大值.
由于正三角形的顶角之和小于，所以正三角形的个数小于，
所以最大个数为 ，
故选：C.
7.在下面四个平面图形中，各侧棱都相等的四面体的展开图是_____(把你认为正确的序号都填上).
【答案】①②
【分析】根据给定的平面图象，利用折叠前后的特征，结合正四面体的特征，即可求解.
由题意，可得折叠后，①②均可围成三棱锥，即为四面体，且各侧棱都相等，所以①②符合题意；
而③④折叠后，只能围成无底的四棱锥，不是四面体，所以③④不符合题意.
故答案为：①②
8.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．（填序号）
①三角形；②四边形；③五边形．
北师大版（2019） 必修第二册 金榜题名 第六章 立体几何初步 1 基本立体图形 1.1 构成空间【答案】①②
【分析】用平面截一个三棱锥，找到所有截面的种类即可求解.
如图：按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为三角形；
按图所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为四边形；
截面形状不可能为五边形，
所以①②正确，
故答案为：①②
三、棱台的结构特征
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
【典型例题】
【例1】棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点
【答案】C
【分析】根据棱台的定义结构特征求解.
【详解】根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，
但是侧棱长不一定相等，
故选：C
【例2】某简单多面体共有12条棱，则该多面体可以是（ ）
A．四棱台 B．五棱锥 C．三棱柱 D．五棱台
【答案】A
【分析】依次画出各选项对应的几何体，即可得出结果.
【详解】依次画出四棱台、五棱锥、三棱柱、五棱台，如图所示:
由图可知四棱台共有12条棱.
故选：A
【例3】下列关于棱台的说法，不正确的是（ ）
A．所有的侧棱交于一点 B．只有两个面互相平行
C．上下两个底面全等 D．所有的侧面不存在两个面互相平行
【答案】C
根据棱台的定义可判断各选项的正误.
【详解】由棱台的定义可知：
A.所有的侧棱交于一点，正确；
B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确；
C.棱台的上下两个底面不全等，故C不正确；
D.所有的侧面不存在两个面互相平行，正确.
故选：C.
【例4】如图所示的是一个三棱台ABC－A1B1C1，
（1）如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是________________．
（2）如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是__________．
【答案】 A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1 两个三棱台(或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个五面体)
【分析】（1）连接，可得出所截成的三个三棱锥；
（2）用平行于三棱台的底面的平面去截，或者如图②和图③去截，可得两个多面体．
【详解】（1）如图①所示，所截成的三个三棱锥分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1．
（2）用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到两个三棱台，也可以截成一个三棱柱和一个五面体，如图②所示，也可以截成一个三棱锥和一个五面体，如图③所示．
【例5】下面有关棱台说法中，正确的是（ ）
A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台 B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等 D．楼台的上下底面可能不是相似图形
【答案】B
【分析】利用棱台的概念和结构特征逐一判断.
A. 四棱台要求侧棱延长后交与一点，上下两个底面平行且是相似四边形的几何体不一定符合，故A错误；
B. 棱台的所有侧面都是梯形，正确；
C. 棱台的侧棱长不一定相等，故C错误；
D. 楼台的上下底面一定是相似图形，故D错误.
故选：B.
【例6】一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（ ）
A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦
【答案】A
可把展开图折叠起来变成一个四棱台，可知结论，也可从两个面中间是否隔一个面来确定．
因为“祝”字面和“前”字面中间隔着“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相对，同理“你”字面和“程”字面中间隔着“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相对，
故选：A.
【例7】下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
【答案】①②③
【分析】根据棱锥、棱台的概念即可判断.
①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
故答案为：①②③.
【对点实战】
1.下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据台体、锥体概念逐一分析，即可得结果.
A是圆台，D是棱锥，C侧棱延长没有交于一点，故不是四棱台，B是三棱台．
故选：B
2.某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（ ）
A．五棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．四棱台
【答案】D
根据几何体的结构判断．
四棱台有8个顶点，不符合题意.，其他都是6个顶点．
故选：D．
3.关于棱台，下列说法正确的是（ ）
A．两底面可以不相似 B．侧面都是全等的梯形
C．侧棱长一定相等 D．侧棱延长后交于一点
【答案】D
由棱台的特征判断．
棱台的三个特征：①两底面相互平行且相似，②各侧棱延长后交于一点，③侧面都是梯形，
故选：D.
4.有下列三个说法：①两个互相平行的面是正方形，其余各面都是四边形的几何体一定是棱台；②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有
A．0 B．1 C．2个 D．3个
【答案】A
利用模型和反例进行判断.
当两个互相平行的正方形全等时，不是棱台，故①中说法错误；②③可用反例去检验，如图（1）（2）所示，故②③中说法错误.
故选：A.
5.下列空间图形中是棱台的为_____.(填序号)
【答案】③
【分析】根据棱台的定义和性质判定.
由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点.图①中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面，故图①和图②都不是棱台.图③符合棱台的定义与结构特征.
故答案为：③
6.下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④棱台的各侧棱延长后必交于一点；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
【答案】②③④
直接根据棱台、棱锥的定义以及结构特征逐一判断即可，判断过程注意特例法的应用.
①错，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，则棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
②对，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
③对，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
④对，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；
⑤错，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
故答案为：②③④
7.下列几何体中是棱台的有________（填序号）.
【答案】④
根据棱台的定义判断．
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台．因此棱台一定是两个面互相平行，其他各个面都是等腰梯形，且所有侧棱延长后交于同一点，
①②③都不符合棱台的定义；故①②③不满足题意.只有④符合棱台的定义.
故答案为：④
8.写出棱台中任意两条侧棱的位置关系.
【答案】相交.
由棱台的定义或棱台形成的过程说明．
棱台是由棱锥用平行于底面的平面去截，截面与底面之间的部分叫棱台，棱锥的侧棱交于同一点，因此棱台的侧棱也交于同一点，任意两条侧棱相交．
四、圆柱的结构特征
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
【典型例题】
【例1】下列关于圆柱的说法中，不正确的是（ ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆柱
【答案】C
【分析】根据圆柱的结构特征，逐项分析判断即可得解.
【详解】用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，
如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形，
故C选项错误，其他选项均正确，
故选：C
【例2】给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据圆柱的几何性质，对个命题逐一分析，由此得出真命题的个数.
【详解】圆柱的底面是圆，故①正确；圆柱任意两条母线的截面是矩形，故②正确；连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段，必须是平行圆柱轴的，才是母线，故③错误.圆柱的母线是相互平行的，故④正确.综上所述，正确的命题个数是个，故选C.
【例3】．用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切
【详解】当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形
故选D
【例4】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（ ）
A．棱锥 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体
【答案】C
判断出圆柱的截面图形即可求解.
【详解】圆柱的截面的图形只有矩形或圆形，
如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱.
故选：C
【例5】用长为3、宽为2的矩形做侧面，围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为______.
【答案】
由圆柱的几何特征可得该圆柱的底面直径，即可得解.
【详解】由题意，该圆柱的底面半径满足，高，则，
所以该圆柱轴截面面积.
故答案为：.
【例6】下列命题中是假命题的是（ ）
A．圆柱的任意两条母线平行 B．棱台各侧棱的延长线交于一点
C．经过圆锥侧面上一点，有无数条母线 D．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱
【答案】C
【分析】分别根据圆柱、棱台、圆锥、正棱柱的定义即可判定.
【详解】根据圆柱的定义，圆柱的任意一条母线都与圆柱的轴平行，故任意两条母线都平行，故A正确；
棱台是由平行于棱锥的底面平面所截得，故其侧棱延长后必交于原来棱锥的顶点，故B正确；
根据圆锥的定义，不可能有两条母线经过圆锥面上同一点，所以经过圆锥侧面上一点，有且仅有一条母线，故错误；
根据正棱柱的定义可知正确；
故选：.
【对点实战】
1.圆柱的母线长为10，则其高等于（ ）
A．5 B．10 C．20 D．不确定
【答案】B
【分析】由圆柱高和母线相等可得解.
【详解】圆柱的母线长与高相等，母线长为10，则其高等于10.
故选：B.
2.给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质即可判断.
【详解】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误；
圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的，
故②正确；
③中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴共面，故③错误；
④由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线相互平行，故④正确；
综上可知②④正确，①③错误.
故选：D.
3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面（过圆柱的轴作截面）的面积为（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据圆柱的轴截面的性质进行求解即可.
【详解】因为该正方形旋转一周所得圆柱的高为1，底面的半径为1，
所以圆柱的轴截面的面积为：，
故选：C
4.下列几何体中为圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆柱的特征直接判定即可.
【详解】易得A为圆锥,B为圆柱,C为棱台,D为球.
故选：B
5.一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是______.
第2课时 课中 基本立体图形-圆柱、圆锥、圆台、球
【答案】20
【分析】因为圆柱轴截面为矩形，根据题中数据，即可求得答案,
【详解】解：由题意得，圆柱的轴截面为矩形，长为5，宽为，
所以面积为，
故答案为：20.
五、圆锥的结构特征
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
【典型例题】
【例1】用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．三角形 D．矩形
【答案】D
根据圆锥的形状特征，对截面的位置进行分类讨论，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】用一个不平行于圆锥的底面的平面去截圆锥，截面为椭圆；
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面为圆；
用一个过圆锥的轴的平面截圆锥，截面为等腰三角形.
由排除法可知，截面不可能是矩形.
故选：D.
【例2】下列说法中正确的是
A．圆锥的轴截面是等边三角形
B．用一个平面去截棱锥,一定会得到一个棱锥和一个棱台
C．有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
【答案】C
根据圆锥的几何特征判断A选项的正确性；根据台体的定义判断B选项的正确性.根据棱柱的定义判断C选项的正确性.根据棱锥的定义判断D选项的正确性.
【详解】对于A选项，圆锥的轴截面是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以A选项错误.
对于B选项，这个平面要平行于底面，才能得到棱台，所以B选项错误.
对于C选项，根据棱柱的定义可知，C选项正确.
对于D选项，棱锥的底面是多边形，其余各面的三角形要有一个公共的顶点，所以D选项错误.
故选：C
【例3】如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱
【答案】B
【分析】直接观察,即可出答案.
【详解】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.
故选：B.
【例4】底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合相似三角形的性质，得到截面的圆的半径为，进而求得截面圆的面积，得到答案.
【详解】由题意，底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，
设截面圆的半径为，由，可得，可得，
所以截得的截面圆的面积为.
故选：A.
【对点实战】
1.圆锥的高与底面半径相等，母线等于，则底面半径等于________.
【答案】5
【分析】作出圆锥的轴截面，由勾股定理列方程即可得解.
【详解】圆锥的轴截面如图所示，
由图可知，底面半径，∴.
故答案为：5.
2.圆锥的母线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【答案】D
【分析】理解圆锥母线的概念即可.
【详解】圆锥的顶点与其底面圆上任意一点的连线都是圆锥的母线．
故选：D.
3.一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体的名称是
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．圆柱的一部分
【答案】B
【分析】利用等腰三角形性质结合圆锥的定义直接判断作答.
【详解】等腰三角形底边上的高所在的直线将这个等腰三角形分成两个全等的直角三角形，
则一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体，相当于这个等腰三角形底边上的高
所在的直线分它而成的一个直角三角形绕这个直角三角形一条直角边(等腰三角形的高为直角边)所在直线旋转
360度所形成的几何体，由圆锥的定义知，这个几何体是圆锥，所以几何体的名称是圆锥.
故选：B
4.如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的高为___________.
【答案】
【分析】由底面积求出底面半径，利用勾股定理可得结果.
【详解】设圆锥底面半径为,
因为圆锥的底面积为，
所以
又因为母线长为2，所以该圆锥的高为，
故答案为.
六、圆台的结构特征
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
【典型例题】
【例1】有下列命题：
①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】直接利用圆锥、圆台母线的定义及性质判断①②③的结果．
【详解】①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，正确；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，两点的连线不一定是圆台的母线，错误；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的，正确．
故选：C．
【例2】有以下命题：
①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台
②棱台的两个底面一定是相似多边形
③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
其中的正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据圆台、棱台、圆柱的性质，逐一分析①②③④即可得答案.
【详解】对于①：以直角梯形较长的腰为轴旋转所得的几何体不是圆台，所以①错误；
对于②：棱台的两个底面一定是相似多边形，所以②正确；
对于③：圆柱的轴截面与其侧面的交线才是圆柱的母线，所以③错误；
对于④：根据圆台的定义，可得④是正确的．
故选：B
【例3】已知一个圆台的上下底半径分别为，截得圆台的圆锥母线长为，则这个圆台的母线长为_______．
【答案】6
【分析】根据圆锥的截面的性质计算．
【详解】设圆台的母线长为，则，解得：．
故答案为：6．
【例4】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④是棱柱
【答案】D
【分析】利用空间几何体的概念特征直接判断即可.
【详解】根据棱台的概念，①中上下底面不相似，不是棱台；根据圆台的概念，②中上下底面不平行，不是圆台；根据棱锥的概念，③中下底面不是多边形，即不是棱锥；故A，B，C都是错误的，根据棱柱的概念，④是上下底面为五边形的五棱柱的，故D正确的.
故选：D．
【例5】关于下列几何体，说法正确的是（ ）
A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥 C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台
【答案】D
利用圆柱、圆锥、圆台的定义直接求解.
【详解】图①的上下底面既不平行又不全等，图①不是圆柱，故A错误；
图②和图③的母线长不相等,故图②和图③不是圆锥，故B错误；
图④的上下底面不平行,图④不是圆台,故C错误;
图⑤的上下底面平行,且母线延长后交于一点,故图⑤是圆台,故D正确.
故选：D.
【例6】若圆台的母线与高的夹角为，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________.
【答案】
【分析】若设圆台的上、下底面半径分别为，，圆台高为，则由题意可得，，从而可求出圆台的高.
【详解】设上、下底面半径分别为，，圆台高为，
根据轴截面可知，即，
所以.
故答案为：
【对点实战】
1.下列说法正确的是（ ）
①棱柱的侧棱都相等；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得到旋转体是圆台；
③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
④通过圆台侧面上一点有无数条母线．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】结合棱柱与圆台的定义与几何特征即可判断.
【详解】由棱柱定义可知，棱柱的侧面是平行四边形，所有侧棱都相等，①正确；以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台，故②错误；用平行于底面的截面截圆锥，上部分为小圆锥，下部分为圆台，故③正确；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，故④错误.
故选：B.
2.．以下命题中真命题的序号是（ ）
①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台
A．③ B．①② C．① D．①
【答案】D
【分析】根据棱柱、棱台和圆台的定义及性质，即可判断.
【详解】解：对①，若棱柱被与底面不平行的平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱，可能出现棱锥，故①正确；
对于②，有两个面平行,其余各面都是梯形，并且侧棱的延长线交于同一点的的几何体叫棱台，故②错误；
对于③，当截面与底面不平行时，截得的底面和截面之间的几何体不是圆台，故③错误.
故选：D.
3.以下空间几何体是旋转体的是（ ）
A．圆台 B．棱台 C．正方体 D．三棱锥
【答案】A
由旋转体的定义得出答案.
【详解】由封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体可知，只有A项满足题意
故选：A
七、球的结构特征
1．概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．
2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
【典型例题】
【例1】有下列说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③半圆绕直径所在直线旋转后形成的几何体是球．
其中正确说法的序号是_____________．
【答案】①③
【分析】根据球的知识确定正确的说法.
【详解】①，球的半径是球面上任意一点与球心的连线，正确；
②，球的直径是球面上任意两点间的连线，错误，因为球的直径是最长的弦；
③，半圆绕直径所在直线旋转后形成的几何体是球，正确.
故答案为：①③
【例2】用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（ ）
A．圆柱 B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
【答案】C
【分析】由球体截面的性质，即可确定正确选项.
【详解】各个截面都是圆，几何体中只有球体的任意截面都是圆，
这个几何体一定是球体，
故选：C．
【例3】给出下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点的连线段；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表示．其中说法正确的是_____．
【答案】①③④
【分析】①②③根据球的定义判断，④根据球的表示方法判断
【详解】根据球的定义直接判断①正确；②错误；
③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；可以是小圆，也可能是大圆，正确；
④球常用表示球心的字母表示，满足球的定义正确.
故答案为：①③④.
【例4】若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离．
【详解】由截面圆的面积为可知，截面圆的半径为，则球心到截面圆心的距离为．
故选：C．
【例5】已知球的半径为1，、为球上的任意两点，则、两点的球面距离的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据球面距离定义可得选项.
【详解】球的半径为1，、两点的球面距离的最大值是大圆周长的一半，
所以．
故选：B．
【例6】一平面截球O得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则球的半径是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件求出截面圆的半径，根据直角三角形建立条件，即可求出球的半径．
【详解】作出对应的截面图，
∵截面圆的半径为即BC，
∵球心O到平面α的距离为2，
∴OC＝2，
设球的半径为R，在直角三角形OCB中，OB2＝OC2+BC2＝4+（）2＝9．
即R2＝9，解得R＝3．
故选B．
【例7】已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.
【答案】##
【分析】根据题意可转化为正方体内切球的内接正方体，利用直径与体对角线的关系求解即可.
【详解】设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，
则，解得.
设所求的小正方体的棱长为a，
则，
所以，
所以小正方体体积的最大值为.
故答案为:
【对点实战】
1.下列命题正确的是( )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
A．①②③ B．②③④
C．②③⑤ D．①④⑤
【答案】C
【分析】根据球体概念和性质即可求解.
【详解】由球的概念与性质，当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错；②正确；③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确.
故选：C.
2.在半径为1的球面上，若A，B两点的球面距离为，则线段AB的长|AB|＝_____．
【答案】
【分析】根据球面距离的概念得弦所对的球心角，再根据余弦定理可求得结果.
【详解】设球心为，根据球面距离的概念可得，
在三角形中，由余弦定理可得
，
所以.
故答案为：.
3.若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（ ）
A．4π B．π C．2π D．π
【答案】D
【分析】设球的半径为，求出的值，再求出截面圆的半径即得解.
【详解】设球的半径为，
因为球的表面积为，所以，解之得；
因为截面与球心距离为；
所以截面圆的半径；
可得截面圆面积为.
故选：D
八、简单组合体的结构特征
【典型例题】
【例1】如图所示的组合体，其结构特征是
A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
【答案】D
【分析】根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案.
【详解】根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D.
【例2】在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是
A．圆面 B．矩形面
C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面
【答案】C
【详解】分析：分别将圆桶柱竖放、斜放、平放观察(想象)圆柱桶内的水平面的几何形状，即可得结果.
详解：将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.
【例3】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【答案】D
【分析】根据截面的位置，可判断截面图形的形状.
【详解】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，
当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；
当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；
故选:D
【例4】如图所示的几何体的结构特征是____________.
【答案】由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而形成的.
【分析】结合图形，根据空间几何体的结构特征，即可求解.
【详解】由图形可得，该组合体是由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而形成的.
【例5】如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ）
A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个棱柱
【答案】B
【分析】根据球的定义，可得外面的圆旋转形成一个球，根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，根据球的定义，可得圆面旋转形成一个球，
根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，
所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱，
故选：B.
【例6】如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是
A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱
【答案】B
【详解】螺栓是圆柱，螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱.故选B.
考点：简单组合体的结构特征.
【例7】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B正确．
【详解】如图所示：
因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，
即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．
故选：B．
【例8】按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图，各写出一种分割方法即可).
（1）一个三棱柱和一个多面体;
（2）三个三棱锥.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据三棱柱的结构特征将三棱台分割即可；
（2）根据三棱锥的结构特征将三棱台分割即可.
【详解】（1）在AC上取点D，使DC=A1C1，在BC上取点E，使EC=B1C1，连接A1D，B1E，DE，则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)
【对点实战】
1.已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台
【答案】B
【分析】画出简图，将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，进而进行旋转，然后根据多面体的定义得到答案.
【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：
矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥；
因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥.
故选：B.
2.如图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据圆柱、圆锥与圆台的定义，判断选项中的图形旋转一周后所得到的几何体的形状，进而可得结果.
【详解】A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；
B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；
C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；
D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意.
故选：D.
3.如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台
【答案】C
【分析】根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解.
【详解】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.
故选：C
4.如图的组合体是由（ ）组合而成.
A．两个棱柱 B．棱柱和圆柱
C．圆柱和棱台 D．圆锥和棱柱
【答案】B
根据组合体的结构特征即可求解.
【详解】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，
故选：B
5.指出下图中的几何体分别由哪些简单几何体组成．
【答案】答案见解析.
【分析】结合常见空间几何体的结构特征依次说明组合体即可.
【详解】第一个几何体是由一个长方体割去一个四棱台而成；
第二个几何体是由一个长方体挖去一个小的长方体而成的；
第三个几何体是由一个小圆柱穿过一个圆锥而成的；
第四个几何体是由一个三棱柱和2个不同的长方体拼接而成的.
6.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积.
【答案】
【分析】作出如图所示的轴截面，根据平面几何关系即可得解.
【详解】如图所示作出轴截面，
圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径，
设圆锥的截面圆的半径为x.
因为，所以是等腰直角三角形.
又，所以，故.
所以截面积.
九、空间几何体的侧面展开图
【典型例题】
【例1】圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合立体图形，进行空间想象，然后进行判断.
【详解】结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A，B，C错误.
故选D.
【例2】某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（ ）
A．乐、新、快 B．快、新、乐
C．新、快、乐 D．乐、快、新
【答案】BC
【分析】由四棱锥的结构特征进行判断即可
【详解】解：由题意，图中四个三角形为四棱锥的侧面，由四棱锥的结构特征，正好看到“新年快乐”的字样的顺序可以是①年②③，②年①③，
即①②③处可依次写上：新、快、乐，或快、新、乐，
故选：BC
【例3】下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据选项中的展开图，依次分析沿着折线折起来的几何体的机构特征，判断是否为棱锥即可.
【详解】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确；
对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确；
对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确；
对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确；
故选：B.
十、表面最短距离
【典型例题】
【例1】小蚂蚁的家住在长方体的A处，小蚂蚁的奶奶家住在处，三条棱长分别是，，，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家的最短距离是（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意知：蚂蚁所走的路线有三种情况，利用勾股定理分别求出三种情况对应的的长，由此能求出小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家的最短矩离.
【详解】根据题意知：
蚂蚁所走的路线有三种情况（如图①②③），
由勾股定理得：
图①中，，
图②中，，
图③中，，
所以小蚂蚁从A点出发，
沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家的最短矩离是5.
故选：A
【例2】如图为一个组合体，底座为一个长方体，凸起部分由一小长方体和一个半圆柱组成，一只小蚂蚁从点出发，沿几何体表面爬行，首先到达点，然后沿凸起部分的表面到达点，则小蚂蚁走过的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将点所在的侧面沿交线展开，分别求得点到点的最短距离和点到点的最短距离，进而求得小蚂蚁走过的最短距离．
【详解】将点所在的侧面沿交线展开，如图所示，
则到的最短距离为，
故从点到点的最短距离为，
点到点的最短距离为，
故小蚂蚁走过的最短距离为．
故选：A.
【例3】第24届冬奥会将于2022年在中国北京举办，单板滑雪的U型场地近似为圆柱体的一部分（如图），现一名运动员从顶端A点滑行到另一顶端B点，则滑行的最短距离约为（ ）
（注：，）
A． B．
C． D．
【答案】A
先画出如图1所示的截面，求出的大小，从而可求出弧的长，然后在U型场地侧面展开图中计算即可
【详解】解：设圆柱的底面半径为，则在中，
，解得，
设，则，
所以，所以，
所以弧的长为，
U型场地侧面展开图如图2所示，
则从顶端A点滑行到另一顶端B点，则滑行的最短距离约为
故选：A
【例4】如图，在正三棱锥P-ABC中，，PA=PB=PC=4，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
将三棱锥的侧面展开，则所求最短距离可转化为求AA1的长度，利用勾股定理即可得到答案．
【详解】
将三棱锥由PA展开，则∠APA1=90°，所求最短距离为求AA1的长度
∵PA=4，
∴由勾股定理可得AA1=．
虫子爬行的最短距离．
故选：A．
【例5】如图，底面为正方形的四棱锥中，四条侧棱相等，且，，分别为棱和上的两点，，，处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【分析】根据四棱锥的结构特征， 沿PA，PC剪开展成平面时EF最短，然后在
中，利用余弦定理求解.
【详解】如图所示：
因为底面为正方形的四棱锥中，四条侧棱相等，且，
所以四棱锥是正四棱锥且所有的棱都相等，
当沿PA，PC剪开展成平面，EF最短，
在中，，，，
由余弦定理得
，
解得 ，
所以蚂蚁爬行的最短距离为
故选：C
【例6】．设球的半径为1，，，是球面上三点，已知到，两点的球面距离都是，且平面平面，则从点沿球面经，两点再回到点的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设所在小圆面与垂直，延长与这个小圆面相交，交点为小圆圆心，由已知可得，然后计算出弦长，得球心角，可得间的球面距离，从而得出结论．
【详解】如图，设所在小圆面与垂直，延长与这个小圆面相交，交点为小圆圆心，连接，
∵到，两点的球面距离都是，球半径为1，∴，∴，
因为平面，平面，平面，∴，所以为二面角的平面角，
而平面平面，∴，又，∴，
∴，∴间的球面距离为，
∴所求最短距离是．
故选：B．
【例7】如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，点为长方体的一个顶点，点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从点到点的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当点所在的棱长为2；②当点所在的棱长为4；③当点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB的距离即可得最短距离.
【详解】由长方体的侧面展开图可得：
（1）当点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从到的距离可能为；；.
（2）当点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从到的距离可能为；；.
（3）当点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从到的距离可能为；；.
综上所述，沿着长方体的表面从点到点的最短距离为.
故选：C.
结束

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