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8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
本节课知识点目录：
棱柱的表面积；
棱锥的表面积。
棱台的表面积
棱柱的体积；
棱锥的体积。
棱台的体积
简单组合体的表面积和体积
等体积变换与割补法
面积最值
体积最值
联考、模考题选
一、棱柱的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积
【典型例题】
【例1】已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．135
【例2】已知如左图棱长为的正方体，沿阴影面将它切割成两块，拼成如右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】已知三棱柱的侧面均为矩形，求证：该三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积．
【例4】用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．
【例5】三棱柱中，若存在点，使得点到三棱柱所有面所在平面的距离相等，则该三棱柱的侧面积与表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知正四棱柱中，，，为上底面中心.设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则__________.
【对点实战】
1.已知长方体全部棱长的和为，表面积为，则其体对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为a，将该正方体沿对角面 1 1 切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得的四棱柱的全面积为_________________.
3.若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的表面积为______.
4.正四棱柱的一条对角线长为9，表面积为144，适合这些条件的正四棱柱有___个.
5.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.
二、棱锥的表面积
【典型例题】
【例1】正三棱锥中，若三条侧棱两两垂直，且顶点到底面的距离为，则这个正三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【例4】在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【例5】正六棱锥底面周长为6，高为，则此锥体的侧面积等于（ ）
A． B． C． D．
【例6】如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高，则此正三棱锥的表面积为___________．
【例7】若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是________(只需写出一个可能的值)
【例8】如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.
【对点实战】
1.已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2.已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3.已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4.已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高夹角为，其侧面积为______，全面积为_____．
5.若在三棱锥中，，，则该三棱锥的表面积为______.
6.已知正四棱柱中，，，为上底面中心.设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则__________.
三、棱台的表面积
【典型例题】
【例1】若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长，则棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【例3】《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽……”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过点B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为（ ）
A．40 B．50
C．25＋15＋3 D．30＋20
【例4】已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．
【例5】一个几何体共有六个侧面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底长为10cm，下底长为15cm，腰为9cm，上、下底面都是正六边形，求该几何体的全面积．
【例6】正四棱台两底面边长分别为a和b(a（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
【对点实战】
1.正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2.若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.
3.已知正四棱台两底面边长分别为，侧棱长为，则它的侧面积为_______．
4.如图所示，正四棱台的高是，两底面的边长分别是和.
（1）求这个棱台的侧棱长和斜高.
（2）求该棱台的侧面积与表面积.
5.正四棱台两底面边长分别为和.
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
四、棱柱的体积
棱柱体积：V棱柱＝Sh
【典型例题】
【例1】若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知三棱锥的体积为，且，，，则三棱锥 的表面积为
A． B． C． D．
【例3】已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=2,点D是的重心，则以OD为体对角线的正方体体积为___________
【例4】一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________．
【例5】．斜三棱柱中，侧面的面积为S，且它与侧棱的距离为h，求此三棱柱的体积.
【对点实战】
1.若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点是棱的中点，点是棱靠近的三等分点，且三棱锥的体积为2，则四棱柱的体积为______．
3.如图，三棱柱的所有棱长都是，，．
（1）求三棱柱的全面积；
（2）若该三棱柱的体积为，且在下底面的正投影为下底面的中心，求的值．
五、棱锥的体积
棱锥的体积：V棱锥＝Sh
【典型例题】
【例1】已知三棱锥的体积为，且，，，则三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C．或 D．或
【例2】六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）
A． B． C． D．
【例3】将边长为的正方形沿对角线折起，使为正三角形，则三棱锥的体积为
A． B． C． D．
【例4】已知三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例5】如图，在棱长为a的正方体中，P在线段上，且，M为线段上的动点，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．与点M的位置有关
【例6】在如图所示的三棱锥容器中，，，分别为三条侧棱上的小洞，，，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的（ ）
A． B． C． D．
【例7】如图，正方体，动点、在棱上，动点、分别在棱、上，若，，，（、、、大于零），则四面体的体积（ ）
A．与有关 B．与有关 C．与有关 D．与有关
【例8】
【对点实战】
1.在棱长为的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
A． B． C． D．
2.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（ ）.
A． B． C． D．
3.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4.已知平行六面体的体积为24，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
5.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在正三棱柱中，，则四棱锥的体积是________
六、棱台的体积
棱台的体积：V棱台＝(S′＋＋S)h
【典型例题】
【例1】在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上 下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为（ ）
A．8 B．4
C．2 D．2
【例3】正四棱台的底面边长分别是和，侧面面积为，则这个正四棱台的体积为________.
【例4】已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.
七、简单组合体的表面积与体积
求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
【典型例题】
【例1】钺（yuè）的本字其实是“戊（yuè）”，是一种斧头．在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出，“越人”的“越”，其含义可能由“戊”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一样，也是指斧头．如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔（xie）形”，其尺寸如图标注（单位：cm），已知铁的比重为，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g）所在的区间为（ ）

A． B． C． D．
【例2】某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是（ ）
A． B． C． D．
【例3】如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【例4】如图所示的铅笔模型是由正三棱柱和正三棱锥构成的，正三棱锥的底面边长和高都是1，正三棱柱的高是正三棱锥的高的20倍，则这只铅笔模型的体积是（ ）
A． B． C． D．
【例5】镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体，下建筑是长方体．假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点，，，，，，（长度单位：米）．则大成殿的体积为______（体积单位：立方米）．
【对点实战】
1.如图，在三棱锥D-AEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥D-AEF的体积为，则___________.
2.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则___________.
3.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长宽高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是_____，表面积是_____.
4.如下图是一个奖杯底座（四棱台）的三视图和直观图， 为上下底面的中心， 为各棱的中点.
（1）求它的体积；
（2）求它的表面积.
八、等体积变换与割补法
1.转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法．
2.对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法．
【典型例题】
【例1】如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，当底面水平放置时，则水面的高为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【例2】已知三棱锥中，，分别是，的中点，在线段上，且，平面将该三棱锥截成一个四面体和一个五面体，分别记该四面体和五面体的体积为，，则______；若分别记该四面体和五面体的表面积为，，则______（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【例3】如图，四边形是正方形，四边形是矩形，平面平面，，，则多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例4】在棱长为的正方体中，为的中点， 则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【例5】在三棱柱中，E，F分别是AB，AC的中点，平面把该三棱柱分成体积为，的两部分，则等于
A． B． C． D．
【例6】如图，已知直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱），点分别在侧棱和上，，平面把三棱柱分成上、下两部分，则上、下两个几何体的体积比为
A． B． C． D．
【例7】已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则（ ）
A．该三棱锥的内切球半径为 B．该三棱锥外接球半径为
C．该三棱锥体积为 D．该三棱锥体积为
【例8】在棱长为1的正方体中，直线与平面之间的距离为________．
【对点实战】
1.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E、F、G、H分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ）g
A． B． C． D．
2.．三棱台中，，则三棱锥的体积之比是________．
江苏省宿迁市四校2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题
3.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是________．
4.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为______.
5.如图，在四面体中作截面，其中，，，则______．
面积最值
【典型例题】
【例1】用长度分别是2，3，5，6，9（单位：）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”，，若，当“阳马”体积最大时，则“堑堵”的表面积为
A． B． C． D．
【例3】两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.则此正子体的表面积S的取值范围是______________
【例4】有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_______．
【例5】如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的表面积为__________．
【例6】如图所示，在三棱锥中，和都是边长为2的等边三角形，则当此三棱锥的表面积最大时______．
【例7】一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值
十、体积最值
棱台的体积：V棱台＝(S′＋＋S)h
【典型例题】
【例1】如图，在直三棱柱中，，.
（1）求该直三棱柱的表面积；
（2）若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，当该大棱柱表面积最大时，求该大棱柱的外接球的体积.
【例2】已知正方形的边长为，、分别为、的中点，沿将三角形折起到的位置，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【例4】如图，在正方体中，点P是上的任意一点，点M，N分别是AB和BC上的点，且，若，则三棱锥体积的最大值是_______．
【例5】如图，在直三棱柱中，，，，，点为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为______．
【例6】某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？
十一、联赛、联考与自主招生题选
【例1】一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例2】命题“在中,若,、、所对应的边长分别为,则”,类比此性质,若在立体几何中,请给出对应四面体性质的猜想,并证明之.
【例3】已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为
A． B． C． D．
结束
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
本节课知识点目录：
棱柱的表面积；
棱锥的表面积。
棱台的表面积
棱柱的体积；
棱锥的体积。
棱台的体积
简单组合体的表面积和体积
等体积变换与割补法
面积最值
体积最值
联考、模考题选
一、棱柱的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积
【典型例题】
【例1】已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．135
【答案】A
【分析】利用菱形对角线垂直先计算菱形的边长，再计算菱形周长，代入直棱柱侧面积公式即可.
由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为，则这个直棱柱的侧面积为.
【例2】已知如左图棱长为的正方体，沿阴影面将它切割成两块，拼成如右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据新几何体与原正方体的对比，观察新增哪些部分，减少哪些部分，然后在进行计算.
拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，
∵截面为矩形，长为，宽为，∴面积为，
∴拼成的几何体表面积为，
故选：B.
【例3】已知三棱柱的侧面均为矩形，求证：该三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积．
【答案】详见解析
【分析】根据三棱柱的侧面均为矩形，得到三棱柱是直三棱柱，表示出个侧面的面积，由三角形的两边之和大于第三边证明.
如图所示：
因为三棱柱的侧面均为矩形，所以三棱柱是直三棱柱，
则，
因为，且，所以，
故该三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积．
【例4】用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．
【答案】8
【分析】把正方体的表面展开，得到5个边长为1的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为1的等腰直角三角形，就可以包住棱长为1的正方体，直接求面积即可.
如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为，其面积为8．

图① 图②
【例5】三棱柱中，若存在点，使得点到三棱柱所有面所在平面的距离相等，则该三棱柱的侧面积与表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设三棱柱的表面积为，的面积为，可知点为该三棱柱的内切球球心，设内切球的半径为，则三棱柱的高为，利用等体积法可得出的值，进而可得出该三棱柱的侧面积与表面积之比.
设三棱柱的表面积为，的面积为，
由题意可知点为该三棱柱的内切球球心，设内切球的半径为，则三棱柱的高为，
该三棱柱的体积为，所以，.
因此，该三棱柱的侧面积与表面积之比为.
故选：A.
【例6】已知正四棱柱中，，，为上底面中心.设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则__________.
【答案】
【分析】根据几何体的结构特征，由棱柱和棱锥的侧面积公式，分别求得正四棱柱和正四棱锥的侧面积，即可求解.
如图所示，正四棱柱中，，，
则正四棱柱的侧面积分别为，
正四棱锥的斜高为，
所以正四棱锥的侧面积，
所以.
故答案为：.
【对点实战】
1.已知长方体全部棱长的和为，表面积为，则其体对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用，可得对角线的长.
设长方体的三条棱的长分别为：，则，
可得对角线的长为．故选：A．
2.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为a，将该正方体沿对角面 1 1 切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得的四棱柱的全面积为_________________.
【答案】
拼成的四棱柱的底面为一平行四边形，两邻边长分别为a、，高为 a，利用面积公式可求得结果.
拼成的四棱柱的底面为一平行四边形，两邻边长分别为a、，高为 a，
全面积，侧面积，底面积分别为，
.
故答案为：
3.若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的表面积为______.
【答案】
【分析】首先求出正六棱柱的高，再由表面积求法即可求解.
因为侧面对角线的长为，
所以高为，
因此表面积为：
故答案为：
4.正四棱柱的一条对角线长为9，表面积为144，适合这些条件的正四棱柱有___个.
【答案】2
【分析】首先设底面边长为a，高为h，结合已知条件和正四棱柱的几何结构列出方程组并求解，根据解的个数即可求解.
设底面边长为a，高为h，由题意得解得，或，
从而方程组有两个解，所以适合条件的正四棱柱有2个.
故答案为：2.
5.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.
【答案】72或112
【分析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，，从而解出或，或，从而求出其侧面积．
解：设正四棱柱的底面边长为，高为，则，
，联立消可得，，即，
解得，或，即或，当，时，侧面积，
当，时，侧面积，故答案为：72或112
二、棱锥的表面积
【典型例题】
【例1】正三棱锥中，若三条侧棱两两垂直，且顶点到底面的距离为，则这个正三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设正三棱锥的侧棱长为，根据已知条件列等式求出的值，进而可求得正三棱锥的表面积.
设正三棱锥的侧棱长为，设点在底面的射影为点，则为等边的中心，
因为、、两两垂直，且，所以，，
等边的外接圆半径为，
由勾股定理可得，即，解得，
所以，正三棱锥的表面积为.故选：D.
【例2】正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.
因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.
【例3】已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依次计算4个三角形的面积，相加即可.
结合题目边长关系，三棱锥如图所示，，由题意是等腰直角三角形,则,，则表面积为.故选：C.
【例4】在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据四棱锥的性质，分别求侧面与底面面积，即可得解.
如图，
由题意知,,平面,
因为，
所以,故选：B
【例5】正六棱锥底面周长为6，高为，则此锥体的侧面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
通过底面周长求出底面边长，底面中心到边的距离，求出棱锥的斜高，然后求出侧面积．
正六棱锥底面周长为6，则底面边长为1，底面中心到边的距离d，棱锥的斜高h′
锥体的侧面积等于故选：C．
【例6】如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高，则此正三棱锥的表面积为___________．
【答案】
【分析】过点O作，与交于点E，连接，根据三棱锥侧面积、底面积的求法及已知条件，列方程求底面边长、斜高，进而求三棱锥的表面积.
如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为，侧面积、底面积分别为，
过点O作，与交于点E，连接，则．
由，即，可得.
由，则，即．
．则．，则．
∴表面积．故答案为：
【例7】若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是________(只需写出一个可能的值)
【答案】或或
【分析】由题意画出一种满足条件的图形,求解表面积即可
由四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体如图,
①四面体各棱中有一条为1，另五条为2，
不妨取三条侧棱长均为2,底面边长BC=BD=2，CD=1.
其表面积为.故其表面积为.
②四面体各棱中有两条为1，四条为2，
由三角形两边之和大于第三边，可知边长为1的必为对棱.如图示，
四个面全等，所以表面积为.
③四面体各棱中有三条为1，三条为2，由三角形两边之和大于第三边，可知边长为1的必在同一个面内.
如图示：
所以表面积为.故答案为: 或或
【例8】如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.
黑龙江省鸡西市2020-2021学年高一下学期期末数学试题
【答案】32
【分析】根据正棱锥中高与斜高的夹角求出斜高的长，即可求出侧面积.
在正四面体中易知，是正棱锥的高，是正棱锥的斜高，
, ,,，故答案为：32
【对点实战】
1.已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的表面积．
解：由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：，
所以正三棱锥的斜高为：，
所以这个正三棱锥的侧面积为：，正三棱锥的底面积为：．
所以正三棱锥的表面积为
故选：．
2.已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由题意求出底面边长，然后利用面积公式计算即可
由题意可知，则，
，
所以该正四棱锥的表面积为，
故选：C
3.已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用四棱锥斜高与高的关系列方程并求解，再利用侧面积公式直接求解.
正四棱锥如图，设四棱锥的高，由底面边长为4，可知，斜高，
故，解得，故侧面积为，故选：D.
4.已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高夹角为，其侧面积为______，全面积为_____．
【答案】 32 48
【分析】正四棱锥的高，斜高，底面边心距组成．求出斜高，分别求出底面积和侧面积即可求解.
如图所示，
正四棱锥的高，斜高，底面边心距组成．
因为，
所以斜高．所以，
．答案：32 48
5.若在三棱锥中，，，则该三棱锥的表面积为______.
【答案】
【分析】作出图形，分析各面的形状，可知三棱锥的各侧面全等，计算，乘以即可得出该三棱锥的表面积.
如下图所示，取的中点，连接，
，，，
同理可知，、、、全等，
，，为的中点，则，且，
所以，，
因此，三棱锥的表面积.
故答案为：.
6.已知正四棱柱中，，，为上底面中心.设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则__________.
【答案】
【分析】根据几何体的结构特征，由棱柱和棱锥的侧面积公式，分别求得正四棱柱和正四棱锥的侧面积，即可求解.
如图所示，正四棱柱中，，，
则正四棱柱的侧面积分别为，
正四棱锥的斜高为，
所以正四棱锥的侧面积，
所以.故答案为：.
三、棱台的表面积
【典型例题】
【例1】若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
作出辅助线构造出直角三角形,进而求得侧面的高与侧面积即可.
如图，分别为上、下底面的中心，分别是，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，.
在中，，
则..
故选：C
【例2】正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长，则棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．
解：设，，，可得正四棱台的斜高为，
所以棱台的侧面积为．
故选：．
【例3】《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽……”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过点B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为（ ）
A．40 B．50
C．25＋15＋3 D．30＋20
【答案】C
【分析】根据平面性质做出平面在几何体中的截面，找到三棱台，由面积公式计算表面积.
如图所示，记A1B1的中点为N，连接MN，则MN∥BC，
所以过点B，C，M的平面为平面BNMC，三棱台为A1MN -ACB，
其中，，，
所以其表面积S＝×4×4＋×2×2＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×＝25＋15＋3.故选：C
【例4】已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．
【答案】
【分析】分别算侧面等腰梯形的面积及上下两底面面积，然后再求和.
如图，在四棱台中，过点作，垂足为点，在中，，故，
所以，
故四棱台的侧面积，
所以．
故答案为：
【例5】一个几何体共有六个侧面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底长为10cm，下底长为15cm，腰为9cm，上、下底面都是正六边形，求该几何体的全面积．
【答案】
【分析】分别过A,B作AE⊥CD,BF⊥CD,E,F分别为垂足，先求出斜高AE，分别求出侧面积和底面积，即可求出表面积.
如图所示其中一个等腰梯形,
分别过A,B作AE⊥CD,BF⊥CD,E,F分别为垂足，则四边形AEFB为矩形.其中EF=AB=9,，所以.
所以该几何体的侧面积,上下底面积的和，
所以该几何体的全面积.
【例6】正四棱台两底面边长分别为a和b(a（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）如图所示，由于平面，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，可得，，．分别取，的中点，，连接，．利用勾股定理可得：，．可得斜高．即可得出棱台的侧面积．
（2）由棱台的侧面积等于两底面面积之和，可得，利用即可得出．
解：（1）如图所示:
平面，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，
，，．分别取，的中点，，连接，．
则，．斜高．
棱台的侧面积；
（2）棱台的侧面积等于两底面面积之和，，．
．
【对点实战】
1.正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得正四棱台的侧面为四个等腰梯形，先计算侧面的高，然后利用梯形的面积公式代入计算即可.
由题意可知，正四棱台的侧面为四个等腰梯形，已知上、下底面边长分别是和，侧棱长是，由勾股定理可得侧面的高为，所以侧面积为.
故选：B
2.若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.
【答案】100
【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求出斜高即可计算得解.
因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，
而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高，
因此，侧面积，
所以所求的侧面积为100.
故答案为：100
3.已知正四棱台两底面边长分别为，侧棱长为，则它的侧面积为_______．
【答案】
【分析】作出正四棱台的一个侧面ABCD，设分别为的中点，过作于点．利用勾股定理计算出斜高为，即可求出侧面积.
作出正四棱台的一个侧面如图，
设分别为的中点，
过作于点．
由题知，得，解得，
在中，，即斜高为，
所以所求侧面积为．答案：
4.如图所示，正四棱台的高是，两底面的边长分别是和.
（1）求这个棱台的侧棱长和斜高.
（2）求该棱台的侧面积与表面积.
【答案】（1）侧棱长为，斜高为；（2），.
(1)设棱台两底面的中心分别是和，、的中点分别是、，连接、、、、、，则四边形、都是直角梯形，由此计算可得侧棱长和斜高；
（2）由梯形面积公式计算出侧面积，侧面各与两个底面面积和为全面积．
(1)设棱台两底面的中心分别是和，
、的中点分别是、，
连接、、、、、，
则四边形、都是直角梯形，且，
在正方形中，，则，，
在正方形中，，则，，
在直角梯形中，，
在直角梯形中，，
即这个棱台的侧棱长为，斜高为；
(2) 侧，
表面积＝侧＋上底面＋下底面.
5.正四棱台两底面边长分别为和.
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
【答案】（1）；（2）.
（1）设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积；
（2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.
（1）如图，设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，
由题意知，，
又，
∴斜高，
∴；
（2）由题意知，，∴，
∴，又，.
四、棱柱的体积
棱柱体积：V棱柱＝Sh
【典型例题】
【例1】若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得该三棱柱底面棱长为，高为，再结合体积公式计算即可.
解：因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°,
所以该三棱柱底面棱长为，高为，
所以该正三棱柱的体积为：
故选：C
【例2】已知三棱锥的体积为，且，，，则三棱锥 的表面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】三棱锥以△ABC为底面，则高，即可得到，再结合基本不等式即可得到AD,BC的长，且AD为三棱锥的高，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得三棱锥的四个面均为直角三角形，即可计算其表面积.
因为，，即．因为，当且仅当时，等号成立，此时，，且平面，，易得平面，所以三棱锥的表面积为．
【例3】已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=2,点D是的重心，则以OD为体对角线的正方体体积为___________
【答案】
【详解】OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=2,点D是的重心，
由△ABC为边长是的等边三角形，所以点D是的中心，所以面ABC，
所以.解得.
设以OD为体对角线的正方体棱长为，则，解得.
正方体体积为.故答案为.
【例4】一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________．
【答案】
【分析】设出正三棱柱的底面积，再利用等体积法表示出图(1)中水面的高度即可.
【详解】设正三棱柱的底面积为，图(1)中水面的高度为，则水的体积.因为E，F，，分别为所在棱的中点，所以，，所以图(2)中水的体积.又，所以.故答案为：
【例5】．斜三棱柱中，侧面的面积为S，且它与侧棱的距离为h，求此三棱柱的体积.
【答案】
【分析】解法一：以侧面为公共面补上一个三棱柱，使两个三棱柱拼成一个平行六面体，然后以为底面求解；
解法二：连接、，则截面将此三棱柱分割成一个三棱锥和一个四棱锥求解.
【详解】解法一：如图所示：
以侧面为公共面补上一个三棱柱，使两个三棱柱拼成一个平行六面体，
以为底面，则到平面的距离即为平行六面体的高.，故.
解法二：如图所示：
连接、，则截面将此三棱柱分割成一个三棱锥和一个四棱锥.
，又平面，
.故.
【对点实战】
1.若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得该三棱柱底面棱长为，高为，再结合体积公式计算即可.
【详解】解：因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°,
所以该三棱柱底面棱长为，高为，
所以该正三棱柱的体积为：
故选：C
2.如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点是棱的中点，点是棱靠近的三等分点，且三棱锥的体积为2，则四棱柱的体积为______．
【答案】12
【分析】由题意，设底面平行四边形的，且边上的高为，直四棱柱的高为，分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解．
【详解】由题意，设底面平行四边形的，且边上的高为，直四棱柱的高为，
则直四棱柱的体积为，
又由三棱锥的体积为，
解得，即直四棱柱的体积为．
3.如图，三棱柱的所有棱长都是，，．
（1）求三棱柱的全面积；
（2）若该三棱柱的体积为，且在下底面的正投影为下底面的中心，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）连接，，利用已知条件，分别求解侧面积、底面积，然后求得全面积即可；
（2）连接，求解底面面积以及高，然后利用体积公式列式计算即可求得a的值.
【详解】（1）连接，，
由题设得，为正三角形， ，，，；
（2）连接，在正三棱柱中，所有棱长都为，，，
又在下底面的正投影为下底面的中心，，，
而，.
五、棱锥的体积
棱锥的体积：V棱锥＝Sh
【典型例题】
【例1】已知三棱锥的体积为，且，，，则三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】设为底面上的高，，根据体积可得，结合及基本不等式等号成立条件，可得，进而可得面，再通过计算求出每个面的面积即可.
解：如图：为底面上的高，
　　　　　
设，则，得，
，又，得，所以，故，
面，在中，则，
在中，在中，
所以在中，，则为直角三角形，三棱锥的表面积
.故选：B.
【例2】六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知证得平面，再根据棱锥的体积公式计算可求得答案.
【详解】解：如图，连接，，，连接．因为，，所以，，所以平面．因为，所以．因为四边形是正方形，所以，则，故该正八面体的体积为．
故选：B.
【例3】将边长为的正方形沿对角线折起，使为正三角形，则三棱锥的体积为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，取的中点，连接，，进而得，进一步得，再结合等体积法求解.
【详解】取的中点，连接，，
由题意，，因为为正三角形，∴ ，，
．故选：D．
【例4】已知三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用与，与，与棱柱的体积的关系求解，得到答案.
【详解】设三棱柱的体积为，则，如图所示，
由四边形的面积为面积的，则
又，又，得
得，同理，，故三棱锥的体积为
即三棱锥的体积为.故选：C.
【例5】如图，在棱长为a的正方体中，P在线段上，且，M为线段上的动点，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．与点M的位置有关
【答案】A
【分析】根据题意可得点到平面MBC的距离为，，利用等体积法和三棱锥的体积公式即可求出.
【详解】由题意知，点到平面MBC的距离为a，又，
所以点到平面MBC的距离为，又点M在上运动，所以，
所以，故选：A.
【例6】在如图所示的三棱锥容器中，，，分别为三条侧棱上的小洞，，，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考虑三棱锥和三棱锥的体积之比后可得正确的选项.
【详解】若该容器盛水最多，则水面恰好过三点，
此时，
设到平面的距离为，到平面的距离为，则，
故，故最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的，故选：A.
【例7】如图，正方体，动点、在棱上，动点、分别在棱、上，若，，，（、、、大于零），则四面体的体积（ ）
A．与有关 B．与有关 C．与有关 D．与有关
【答案】AD
【分析】求出四面体的体积的表达式，即可得出结论.
【详解】设正方体的棱长为，连接，
因为平面，平面，故，且，
因为，，故，因为，故点到直线的距离为，
，
过点在平面作，垂足为点，
因为平面，平面，则，
因为，，平面，且，
因此，.故选：AD.
【例8】
【对点实战】
1.在棱长为的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将八面体分割成两个正四棱锥，利用棱锥的体积公式求出两个正四棱锥的体积即可求解.
【详解】此八面体可以分割成两个正四棱锥，且正四棱锥的底面是一个边长为的正方形，则该八面体的体积为:
【点睛】
本题主要考查了棱锥的体积公式，求八面体的体积时将其分成两个正四棱锥，求出两个正四棱锥的体积即为八面体的体积，属于基础题.
2.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据棱柱和棱锥的体积公式计算
【详解】设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是、、，
则截去的棱锥的体积，
原长方体的体积，剩下的几何体的体积为，
∴故选：D
3.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积．
【详解】正四棱锥的底面积为，正四棱锥的高为
因此，该正四棱锥的体积为．故选：A．
4.已知平行六面体的体积为24，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】AC
【分析】结合图形分两种情况可解得结果.
【详解】
设平行六面体的体积为
如左图，当取顶点时，则该四面体体积；
如右图，当取顶点时，则该四面体体积.
故选：AC.
5.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据棱长为1的棱的条数分类讨论计算四面体的体积，然后判断可得．
【详解】根据三角形的两边之和大于第三边性质，知四面体中棱长为1的棱最多有3条，
（1）若只有一条棱长度为1，如图，其余棱长都为2，
取中点，中点，连接，则，又是平面内两相交直线，则平面，
由已知，则，，
，；
（2）若有两条棱长度为1，还是如（1）中的图形，，
解法如（1），只是有，，
；
（3）若有两条棱长度为1，如图，，四面体为正三棱锥，设是正三棱锥的高，是的外心，，，
，．
故选：ABC．
6.如图，在正三棱柱中，，则四棱锥的体积是________
【答案】
【分析】利用柱体和椎体的的体积公式，分别求得正三棱柱和三棱锥的体积，进而求得四棱锥的体积.
【详解】在正三棱柱中，，
则正三棱柱的体积为，
三棱锥的体积为，
所以四棱锥的体积是.故答案为：.
六、棱台的体积
棱台的体积：V棱台＝(S′＋＋S)h
【典型例题】
【例1】在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上 下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可.
【详解】如图，过作，垂足为，
由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，
∴（梯形的面积公式），则.
由题意得：，在中，.
连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形且，，则，
∴，
∴该方亭的体积，（棱台的体积公式）.
故选：B.

【例2】若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为（ ）
A．8 B．4
C．2 D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件结合正四棱台的结构特征列出棱台的相关量的表达式，再借助棱台体积公式列式计算即得.
【详解】如图，设棱台的上、下底面边长分别为2x，8x，斜高为5x，则棱台的高h==4x，
由棱台的体积公式得：，解得，
棱台的高为h=4x=2.故选：C
【例3】正四棱台的底面边长分别是和，侧面面积为，则这个正四棱台的体积为________.
【答案】
【分析】首先根据侧面积求出正四棱台的斜高，再由勾股定理求出正四棱台的高，由台体的体积公式即可求体积.
【详解】正四棱台如图所示：
由题意可知：，，取的中点分别为，连接，
则为斜高，设分别为上下底面的中心，则垂直于上下底面，则四边形为直角梯形，
因为侧面面积为，解得：，在直角梯形中，，，
所以，所以正四棱台的体积为：
，故答案为：.
【例4】已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.
【答案】棱台的高为，体积为.
【分析】根据题意分析该三棱锥为正三棱锥，作出该棱锥的高和斜高，先利用侧面面积等于上、下底面面积之和求出斜高，再利用直角梯形求出高，进而利用体积公式求其体积.
【详解】如图所示，在三棱锥中，
、分别是上、下底面的中心，、分别是、的中点，连接、、、，
则、分别在、上，则是三棱锥的高，记为，
是等腰梯形的高，也是三棱锥的斜高，记为，所以；
上、下底面面积之和为，由得：，即，
又，，在直角梯形中，
，
则三棱锥的体积.
七、简单组合体的表面积与体积
求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
【典型例题】
【例1】钺（yuè）的本字其实是“戊（yuè）”，是一种斧头．在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出，“越人”的“越”，其含义可能由“戊”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一样，也是指斧头．如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔（xie）形”，其尺寸如图标注（单位：cm），已知铁的比重为，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g）所在的区间为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成，分别求出各个部分的体积即得解.
【详解】
由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成，长方体的体积：；
三棱柱的体积：；两个三棱锥的体积：；
所以几何体的体积为，所以这只斧头的质量为.故选：A
【例2】某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体、正四棱锥的体积公式，结合已知进行求解即可.
【详解】设正方体的棱长为，则正方体的体积为，
每一个正四面体的体积为：，
由题意可知：，故选：B
【例3】如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积.
【详解】在上取点使，连接，
是边长为1的正方形，且、均为正三角形，，
所以四边形为等腰梯形，，，根据等腰梯形性质，，
是平面内两条相交直线，是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，，
几何体体积为，
故选：A
【例4】如图所示的铅笔模型是由正三棱柱和正三棱锥构成的，正三棱锥的底面边长和高都是1，正三棱柱的高是正三棱锥的高的20倍，则这只铅笔模型的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用柱体与锥体的体积公式求解即可.
【详解】，
，
所以该几何体的体积：.故选：D
【例5】镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体，下建筑是长方体．假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点，，，，，，（长度单位：米）．则大成殿的体积为______（体积单位：立方米）．
【答案】6800
【分析】首先将几何体进行分割，然后分别求得各部分的体积即可确定大成殿的体积．
【详解】大成殿下面的部分是一个长方体，上面的部分可以分割为一个三棱柱和两个四棱锥，
其中长方体的体积，
三棱柱的体积：，
四棱锥的体积：，
故大成殿的体积：．故答案为：6800．
【对点实战】
1.如图，在三棱锥D-AEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥D-AEF的体积为，则___________.
【答案】
【分析】设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，则，，由此即可求出.
【详解】设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，
由题意知：
，
，
故答案为：.
2.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则___________.
【答案】
【分析】根据题意可得平面平面，且三棱锥和三棱锥高之比也为，又，利用体积公式即可得解.
【详解】如题干图，，可证ABA′B′，ACA′C′，BCB′C′.
所以平面平面
三棱锥和三棱锥高之比也为，由等角定理得∠CAB=∠C′A′B′，∠ACB=∠A′C′B′，
所以△ABC∽△A′B′C′，由，可得，
所以=.故答案为：
3.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长宽高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是_____，表面积是_____.
【答案】 90 138
【分析】分别计算长方体和三棱柱的体积即可求得该几何体的体积；计算两个长方体的表面积和三棱柱的表面积之和，然后再减去覆盖部分的面积即可.
【详解】三棱柱的体积为，长方体的体积为，
故该几何体的体积，
三棱柱的表面积，
长方体的表面积，
被三棱柱与长方体和长方体与长方体覆盖的面积为，
所以几何体的表面积为.
故答案为：90；138.
4.如下图是一个奖杯底座（四棱台）的三视图和直观图， 为上下底面的中心， 为各棱的中点.
（1）求它的体积；
（2）求它的表面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据三视图可求出该四棱台的上下底面积，得出其高，由棱台的体积公式可得答案.
（2）如图依次连结，，则在直角梯形，直角梯形，分别求出的长，则可求出侧面的面积，从而可得表面积.
【详解】解：（1）由三视图可知，，
故.
（2）如图依次连结，，则直角梯形，直角梯形，
∴∴
∴
八、等体积变换与割补法
1.转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法．
2.对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法．
【典型例题】
【例1】如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，当底面水平放置时，则水面的高为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据题意，当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，利用等体积法可得解.
【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形面积为，此时水的体积
当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，此时水的体积
又，
故选：C
【例2】已知三棱锥中，，分别是，的中点，在线段上，且，平面将该三棱锥截成一个四面体和一个五面体，分别记该四面体和五面体的体积为，，则______；若分别记该四面体和五面体的表面积为，，则______（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】
分别求出，从而得到的值；根据分点的性质，可得到两个面积等式和两个面积不等式，再进行相加，从而得到与的大小.
设三棱锥的体积为，
因为，，分别是，的中点，在线段上，且，
所以，设到面的距离为，所以到面的距离为，
所以，，所以.
因为，所以，
同理，，，
所以.
故答案为：；.
【例3】如图，四边形是正方形，四边形是矩形，平面平面，，，则多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据面面垂直性质可证得平面，平面，设，可表示出，根据可构造方程求得，即，利用，根据四棱锥体积公式可求得结果.
【详解】连接，，
四边形为矩形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
设，则，
又，为等边三角形，，
即，解得：；
四边形为正方形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
多面体体积.故选：D.
【例4】在棱长为的正方体中，为的中点， 则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等体积法有得解.
【详解】画出图形如下图所示，设到平面的距离为，在△中
到的距离为则根据等体积法有，即，解得，
故选:A.
【例5】在三棱柱中，E，F分别是AB，AC的中点，平面把该三棱柱分成体积为，的两部分，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设棱柱的底面积为S,高为,根据截面将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台,求得三棱台的体积,再用间接法求得另一部分的体积,计算两部分的体积比值.
【详解】解:如下图所示，截面将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台,另一部分是一个不规则几何体,故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得.
设棱柱的底面积为S,高为,则的面积为,,
剩余的不规则几何体的体积为,两部分的体积之比为故答案选A
【例6】如图，已知直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱），点分别在侧棱和上，，平面把三棱柱分成上、下两部分，则上、下两个几何体的体积比为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，三棱柱可分割为：，，，三部分，分析可得三部分体积相等，整理即可求解．
【详解】
设直三棱柱的体积为，
连接，点、分别在棱和上，，
四棱锥的，的底面积相等，
把直三棱柱分割为：，，，
三棱锥的为，
四棱锥，的体积之和为：，
四棱锥的，的底面积，高相等．
四棱锥的，的体积相等，即为，
棱锥，，的体积相等，为，
平面把三棱柱分成两部分的体积比为．
【例7】已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则（ ）
A．该三棱锥的内切球半径为 B．该三棱锥外接球半径为
C．该三棱锥体积为 D．该三棱锥体积为
【答案】ABD
【分析】设是棱锥的高，则是的中心，是中点，易得几何体的体积，进而结合等体积法求得内切球的半径，利用直角三角形求解外接球的半径.
【详解】如图，是棱锥的高，则是的中心，是中点，
，，故C错D正确；
，，．
，
所以，
设内切球半径为，则，，A正确；
易知外接球球心在高上，球心为，设外接球半径为，
则，解得，B正确；
故选：ABD．
　　
【例8】在棱长为1的正方体中，直线与平面之间的距离为________．
【答案】
【分析】把直线与平面之间的距离转化为三棱锥的高，结合，即可求解.
【详解】如图所示，连接，
则直线与平面之间的距离等于点到平面的距离，即为三棱锥的高，设三棱锥的高，因为正方体的棱长为，可得，所以，
由三棱锥的体积为，
又由，因为，可得，解得，
即直线与平面之间的距离为.故答案为：.
【对点实战】
1.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E、F、G、H分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ）g
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差，再由体积求出模型的质量.
【详解】由题意得， ，
四棱锥O EFGH的高3cm，
∴．
又长方体的体积为，
所以该模型体积为，
其质量为．故选：A
2.．三棱台中，，则三棱锥的体积之比是________．
江苏省宿迁市四校2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题
【答案】
【分析】根据题意设三棱台高为，，根据三棱锥体积公式求出和，根据棱台体积公式算出三棱台体积，再算出，计算体积比值即可.
【详解】设三棱台高为，,则.
所以，
，
由于三棱台体积为，所以.
所以三棱锥的体积之比为.
故答案为:
3.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是________．
【答案】120
【分析】如图，过点作，过点作，垂足分别为，连接，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，从而可求得体积
【详解】解：如图，过点作，过点作，垂足分别为，连接，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，则由题意可得底面积为，棱柱的高为8，
所以体积为，故答案为：120
4.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为______.
【答案】
【分析】由正方体的几何特征结合平面几何的知识可得，设点到平面的距离为，由结合锥体的体积公式即可得解.
【详解】连接，，如图，
在棱长为的正方体中，为的中点，
所以，，
所以为等腰三角形且底边上的高为，
所以，
设点到平面的距离为，则，
又，所以.故答案为：.
5.如图，在四面体中作截面，其中，，，则______．
【答案】
【分析】由题意得到高得比值以及底面积的比值，代入体积公式即可得解.
【详解】
作平面，作平面，则共线，由，则，
由，，则，所以，
所以，故答案为：
面积最值
【典型例题】
【例1】用长度分别是2，3，5，6，9（单位：）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出长方体的三条棱的长度为，根据表面积公式求解出在何种条件下取得最大值，由此考虑长方体棱的长度，并计算出对应的长方体的最大表面积.
设长方体的三条棱的长度为，
所以长方体表面积，
取等号时有，又由题意可知不可能成立，
所以考虑当的长度最接近时，此时对应的表面积最大，此时三边长：，
用和连接在一起形成，用和连接在一起形成，剩余一条棱长为，
所以最大表面积为：.
故选C.
【例2】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”，，若，当“阳马”体积最大时，则“堑堵”的表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可得，，由，勾股定理结合基本不等式求出面积最大时的值，即可求出表面积.
解，，平面，
，
，，
当且仅当时等号成立，此时的表面积为
。故选:C
【例3】两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.则此正子体的表面积S的取值范围是______________
【答案】
【分析】如图正子体，设AB=a，由正四棱锥的性质可求，再结合条件及二次函数的性质可求，进而即得.
如图正子体，由题可知PQ=2，取PQ,BC的中点分别为O，E，连接OE，PE，设AB=a，
由正四棱锥的性质可知，，PO=1，
∴，
∴，
∴此正子体的表面积，
如图设平面ABCD截正方体所得截面为，设，则，
由，可得，
由可知，
∴.
故答案为：
【例4】有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a的范围.
①拼成一个三棱柱时,有三种情况：
将上下底面对接,其全面积为：；
3a边可以合在一起时, ；
4a边合在一起时， .
②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,，
显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为： .
由题意得：，解得：.
故答案为 ：
【例5】如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的表面积为__________．
【答案】
设，求得利用可求得x的值，再分别求三棱锥的各个面面积，相加可得答案.
设，则，
，，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以，，，，
所以是等腰三角形，又，所以底边上的高为，
所以，
，，
，
三棱锥的表面积为： ，
故答案为：.
【例6】如图所示，在三棱锥中，和都是边长为2的等边三角形，则当此三棱锥的表面积最大时______．
【答案】
根据和都是边长为2的正三角形，由三棱锥的表面积，当，即时，表面积最大，从而得解.
三棱锥的表面积为，，，
，
当，即时，表面积最大为，
此时.
故答案为：
【例7】一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值
【答案】，，为所在棱上的中点时此三棱柱的侧面积取到最大值
【分析】首先设三棱锥的底面中心为，连接，，，所在的底面与交于点，，从而得到三棱柱的侧面积为，再利用二次函数的性质即可得到答案.
设三棱锥的底面中心为，连接，则为三棱锥的高，如图所示：
设，，所在的底面与交于点，则，
令，而，则，
于是.
所以所求三棱柱的侧面积为.
所以当时，取得最大值，
此时，，为所在棱上的中点.
十、体积最值
棱台的体积：V棱台＝(S′＋＋S)h
【典型例题】
【例1】如图，在直三棱柱中，，.
（1）求该直三棱柱的表面积；
（2）若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，当该大棱柱表面积最大时，求该大棱柱的外接球的体积.
【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）结合直三棱柱的表面积公式直接求解即可；
（2）首先确定把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱的拼法，分别求出其表面积，选出表面积最大的拼法，然后找到外接球的半径即可求得球的体积.
解：（1）；
（2）由题得：最小，如下图所示
组合1： 组合2： 组合3：
四棱柱还可以有另外两种情况，但组合1大柱体的表面积最大，
所以此时外接球直径，，.
【例2】已知正方形的边长为，、分别为、的中点，沿将三角形折起到的位置，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出的面积以及点到平面的距离的最大值，由此可求得三棱锥体积的最大值.
【详解】因为三棱锥体积，且的面积为定值，
过点在平面内作，垂足为点，则，
设直线与平面所成的角为，
设点到平面的距离为，则，当时，等号成立，
所以，.故选：D.
【例3】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当平面ABC⊥平面ACD时，得到的四面体的体积取最大值，由此能求出四面体A﹣BCD的体积的最大值．
【详解】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，
当平面ABC⊥平面ACD时，
得到的四面体的体积取最大值，
此时点B到平面ACD的距离，所以，
∴四面体A﹣BCD的体积的最大值为：,故选C.
【例4】如图，在正方体中，点P是上的任意一点，点M，N分别是AB和BC上的点，且，若，则三棱锥体积的最大值是_______．
【答案】
【分析】设，则，从而表示出的面积，再根据点P是上的任意一点，则点P到平面DMN的距离是4，然后利用三棱锥的体积公式建立模型，利用二次函数的性质求解.
【详解】设，则，
故的面积．
因为点P是上的任意一点，
所以点P到平面DMN的距离是4，
所以三棱锥的体积．
因为，所以．故答案为：
【例5】如图，在直三棱柱中，，，，，点为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为______．
【答案】
【分析】将直三棱柱展开成矩形，连结，交于，此时最小，此时，由，可求出答案.
【详解】将直三棱柱展开成矩形，如图，
连结，交于，此时最小．∵，，，，
,则, 所以∴当最小时，，
由，则，即又在直三棱柱中，侧棱底面，所以
,所以面。此时三棱锥的体积：
．故答案为：
【例6】某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？
【答案】 L.
【分析】由题可知当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，然后利用椎体体积公式及条件即求.
【详解】如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V=aS,
当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接，则，
∵，又，∴，
∴，∴罐内液体车油最多还能剩 L.
十一、联赛、联考与自主招生题选
【例1】一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意可知，若要使液面的形状都不可能为三角形，则液体的体积应大于三棱锥的体积，小于多面体的体积.求解即可.
【详解】如图正方体，连接.
若要使液面的形状都不可能为三角形
则液体的体积应大于三棱锥的体积，小于多面体的体积.
设液体的体积为，则.
因为，.
所以液体的体积的取值范围为.
故选：D
【例2】命题“在中,若,、、所对应的边长分别为,则”,类比此性质,若在立体几何中,请给出对应四面体性质的猜想,并证明之.
【答案】答案见解析
【分析】在三条棱两两垂直的三棱锥中,相互垂直的棱构成的三角形的面积分别为,底面的面积为,则有.然后证明之,即可求得答案.
猜想:在三条棱两两垂直的三棱锥中,相互垂直的棱构成的三角形的面积分别为,底面的面积为,则有 .证明:设过作,垂足为,联结,
过作,垂足为,画出图象:三条棱两两垂直
故:面面又面
面易证平面
在中,
.
【例3】已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
连接AC交BD于O，连接PO，则∠APC=2∠APO∵tan∠APO=
∴当PO最小时，∠APO最大，即PO⊥BD1时，∠APO最大，如图，作PE⊥BD于E，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，∴BD=，BD1=，∵OP⊥BD1，PE⊥BD，
∴△BDD1∽△BPO∽△PEO，∴，∴OP=，PE=，∴三棱锥P-ABC的体积V=，,故选项为：B
结束

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