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7.1.1数系的扩充和复数的概念
本节课知识点目录：
复数的概念；
复数的分类。
相等复数
复数概念综合
一、复数的概念
复数
1.定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
复数集
1.定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．
2.表示：通常用大写字母C表示．
【典型例题】
【例1】下列命题正确的是（ ）
A．实数集与复数集的交集是空集
B．任何两个复数都不能比较大小
C．任何复数的平方均非负
D．虚数集与实数集的并集为复数集
【例2】若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为（ ）
A．2 B． C．- D．-2
【例3】已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值为（ ）
A．4 B．-1
C．-1或4 D．-1或6
【例4】复数是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．5或3 B．5 C．3 D．10
【例5】的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数（ ）
A．2 B． C．或2 D．
【例7】设两个复数集N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[0，7] B．[1，7] C．[，0] D．[，7]
【对点实战】
1.已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3.若复数()是正实数，则实数的值为（ ）
A． B．3 C． D．
4.已知复数满足，且复数的实部是虚部的倍，则实数的值是______.
二、复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【典型例题】
【例1】下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】复数的知识结构图如图所示，其中四个方格中的内容分别为（ ）
A．实数.纯虚数 无理数 有理数
B．实数 虚数 负实数 正实数
C．实数 虚数 无理数 有理数
D．实数 虚数 有理数 无理数
【例3】自然数是有理数，但不是复数( )
【例4】判断正误．
（1）若a，b为实数，则为虚数．( )
（2）复数是纯虚数．( )
（3）若a为实数，则一定不是虚数．( )
【例5】判断下列说法是否正确．
(1)大于；
(2)若复数，则，一定都是实数．
【例6】多项式在实数范围内不能分解因式，但数系扩充到复数以后有，则在复数范围内多项式分解成一次因式乘积的结果为________．
【对点实战】
1.设全集，实数集为，纯虚数集为，那么（ ）
A． B． C． D．
2.若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3.若复数z=m+(m2-1)i是负实数，则实数m的值为_____.
4.如果则实数m的值为________．
5.下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么 D．设，如果，那么
6.复数的知识结构图如图所示，则图中（1） （2） （3）处应分别填入的是（ ）
A．正整数假分数纯虚数 B．自然数假分数纯虚数
C．正整数小数纯虚数 D．自然数小数实数
三、相等复数
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d，a＋bi＝0 a＝b＝0.
【典型例题】
【例1】已知，其中为虚数单位，为实数，则= （ ）
A． B． C．0 D．2
【例2】若，则实数的值为（ ）
A．8 B． C．0 D．8或0
【例3】已知复数，，并且，则的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【例4】已知z1，z2为复数．若命题p：z1-z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例5】下列命题中，正确命题的个数是
①若，，则的充要条件是；
②若，且，则；
③若，则．A． B．
C． D．
【例6】若复数，（），，则等于（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【对点实战】
1.若，则实数（ ）
A．2 B． C．4 D．
2.已知是虚数单位，，且，则__________.
3.若是纯虚数，则的值为
A． B． C． D．
4.给出下列说法：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；
②满足x2=-1的数x只有i；
③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数；
④复数m+ni的实部一定是m.
其中正确说法的个数为_________.
四、复数概念综合
【典型例题】
【例1】已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（ ）
A．0 B．－1
C． D．
【例2】设全集，实数集为，纯虚数集为，那么（ ）
A． B． C． D．
【例3】若复数，则实数的值为________.
【例4】从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，其中虚数有______个.
【例5】设，，，若对所有，，都有，则的取值范围为_____．
【例6】已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________.
【例7】有下列四个命题：①若z∈C，则z2≥0；②若a>b，则a＋i>b＋i；③若x，y∈R，则x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④若实数a与复数ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的序号是______.
7.1.1数系的扩充和复数的概念
本节课知识点目录：
复数的概念；
复数的分类。
相等复数
复数概念综合
一、复数的概念
复数
1.定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
复数集
1.定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．
2.表示：通常用大写字母C表示．
【典型例题】
【例1】下列命题正确的是（ ）
A．实数集与复数集的交集是空集
B．任何两个复数都不能比较大小
C．任何复数的平方均非负
D．虚数集与实数集的并集为复数集
【答案】D
【分析】
利用复数的基本概念与性质，结合反例判断选项的正误即可．
解：实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确；
任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确；
任何复数的平方均非负，反例，所以C不正确；
虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确
故选：D．
【例2】若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为（ ）
A．2 B． C．- D．-2
【答案】A
【分析】
根据复数概念可得，即可得到答案；
复数的实部为2，虚部为,由题意知,所以.
故选：A
【例3】已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值为（ ）
A．4 B．-1
C．-1或4 D．-1或6
【答案】B
【分析】
根据已知得，从而有，再利用复数相等可得方程组，即可得到答案；
由于,故,必有,所以即得.
故选：B
【例4】复数是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．5或3 B．5 C．3 D．10
【答案】B
【分析】
根据复数的类型得到，解之即可.
因为复数是纯虚数，所以，解得，
故选：B.
【例5】的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意列出方程，利用倍角公式转化，求解即可.
由题意得：,
，
解得：或,
,
或或.
故选：B.
【例6】已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数（ ）
A．2 B． C．或2 D．
【答案】A
【分析】
由于复数为纯虚数，所以，从而可求出的值
解：因为复数（为虚数单位）为纯虚数，
所以，
由，得或，
由，得且，
所以，
故选：A
【例7】设两个复数集N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[0，7] B．[1，7] C．[，0] D．[，7]
【答案】D
【分析】
由题设得有解，所以λ=4﹣3sinθ﹣4cos2θ=4(sinθ)2，由此能求出实数λ的取值范围.
解：∵N={z|z=2cosθ+i(λ+3sinθ)，θ∈R}，
M={z|z=t+i(4﹣t2)，t∈R}的交集为非空集合，
∴有解，∴λ=4﹣3sinθ﹣4cos2θ=﹣3sinθ+4sin2θ=4(sin2θsinθ)=4(sinθ)2，
∴当sinθ时，λ取最小值，当sinθ=﹣1时，λ取最大值7.故选：D.
【对点实战】
1.已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由可解得结果.
依题意可得，解得.
故选：A.
2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
将和复数为纯虚数进行化简，再根据必要不充分条件的定义，即可得到答案；
“，则或”，
“复数为纯虚数”则且,
""是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.
故选：B
3.若复数()是正实数，则实数的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】
根据复数的分类标准列式求解即可.
因为复数()是正实数，
所以，解得.
故选：B
4.已知复数满足，且复数的实部是虚部的倍，则实数的值是______.
【答案】
【分析】
将z化简成，利用解方程即可.
【详解】
由已知，，因复数的实部是虚部的倍，
所以，解得.故答案为：.
二、复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【典型例题】
【例1】下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据范围的大小关系得到答案.
根据范围的大小关系得到：.
故选：C.
【例2】复数的知识结构图如图所示，其中四个方格中的内容分别为（ ）
A．实数.纯虚数 无理数 有理数
B．实数 虚数 负实数 正实数
C．实数 虚数 无理数 有理数
D．实数 虚数 有理数 无理数
【答案】C
【分析】
由复数与实数 有理数 无理数的包含关系即可求解.
由复数与实数 有理数 无理数的包含关系知正确.
故选：.
【例3】自然数是有理数，但不是复数( )
【答案】错误
【分析】
根据复数包含自然数，即可判断
自然数是复数，
故答案为：错误.
【例4】判断正误．
（1）若a，b为实数，则为虚数．( )
（2）复数是纯虚数．( )
（3）若a为实数，则一定不是虚数．( )
【答案】 × × √
（1）当时，不是虚数，故错误
（2）当时，不是纯虚数，故错误
（3）若a为实数，则是实数，故正确
【例5】判断下列说法是否正确．
(1)大于；
(2)若复数，则，一定都是实数．
【答案】(1)×；
(2)√.
【分析】
根据复数的定义即可判断.
(1)
和无法比较，故说法错误；
(2)
因为复数无法比较，所以当时，必然都为实数，故说法正确.
【例6】多项式在实数范围内不能分解因式，但数系扩充到复数以后有，则在复数范围内多项式分解成一次因式乘积的结果为________．
【答案】
【分析】
本题可通过将变形为得出结果.
，
故答案为：.
【对点实战】
1.设全集，实数集为，纯虚数集为，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据实数和复数的概念，结合补集的运算，得到，再利用交集的概念，即可求解.
由题意，全集，实数集为，纯虚数集为，
可得，所以.
故选：D.
2.若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】
根据当且时，复数z为纯虚数判断即可.
解：根据复数的概念，当且时，复数z为纯虚数，
反之，当复数z为纯虚数时，且
所以“”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件
故选：B
3.若复数z=m+(m2-1)i是负实数，则实数m的值为_____.
【答案】
【分析】
由复数的概念可得虚部为0，实部小于0，即可得到答案；
依题意可知且，
，故答案为：
4.如果则实数m的值为________．
【答案】2
【分析】
根据复数的性质，列出方程，即可得答案.
由题意得，解得．故答案为：2
5.下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么 D．设，如果，那么
【答案】C
【分析】
利用复数的概念与性质判断选项的正误，即可得到结果．
【详解】
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；
当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；
因为，且，所以是实数，故，所以C正确；
因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.
故选:C.
6.复数的知识结构图如图所示，则图中（1） （2） （3）处应分别填入的是（ ）
A．正整数假分数纯虚数 B．自然数假分数纯虚数
C．正整数小数纯虚数 D．自然数小数实数
【答案】B
【分析】利用复数的知识结构得解.
【详解】
整数包括正整数 零 负整数，其中正整数与零合称为自然数，
所以（1）处应填自然数.分数包括真分数和假分数，虚数包括纯虚数与非纯虚数.
故选：B
三、相等复数
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d，a＋bi＝0 a＝b＝0.
【典型例题】
【例1】已知，其中为虚数单位，为实数，则= （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】
根据复数相等求出即可得出.
，，，.
故选：A.
【例2】若，则实数的值为（ ）
A．8 B． C．0 D．8或0
【答案】D
【分析】
根据复数相等的定义求解．
，又，
所以，解得或，
所以或8．
故选：D．
【例3】已知复数，，并且，则的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复数相等的充要条件消去可将用表示，根据三角函数的有界性结合二次函数的单调性即可得出结果.
∵，∴，化为，∴，∵，
∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7，
∴，∴的取值范围是，故选：A.
【例4】已知z1，z2为复数．若命题p：z1-z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】设出复数，，利用复数概念进行推导.
【详解】
设，，若，则，，若，则，，满足，若，则不能比较大小；
若，则，，故，综上：p是q成立的必要不充分条件.
故选：B
【例5】下列命题中，正确命题的个数是
①若，，则的充要条件是；
②若，且，则；
③若，则．A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
对①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
考点：复数的有关概念.
【例6】若复数，（），，则等于（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】D
【分析】两复数相等，则实部与虚部分别对应相等.
【详解】由复数相等的定义可知，∴，.
∴，k∈Z故选：D.
【对点实战】
1.若，则实数（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】
根据复数相等的定义求解．
由题意，解得．
故选：D．
2.已知是虚数单位，，且，则__________.
【答案】3
【分析】
根据复数相等得出，解方程组即可求解.
由题意可得解得，
所以.故答案为：3
3.若是纯虚数，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：若是纯虚数，则，所以
，，故
考点：复数
4.给出下列说法：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；
②满足x2=-1的数x只有i；
③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数；
④复数m+ni的实部一定是m.
其中正确说法的个数为_________.
【答案】1
【分析】根据复数的概念即可求解
【详解】
③中b=0时bi=0，不是纯虚数.故③正确.①中复数分为实数与虚数两大类；②中平方为-1的数为±i；④中m，n不一定为实数，故①②④错误.
故答案为：1
四、复数概念综合
【典型例题】
【例1】已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（ ）
A．0 B．－1
C． D．
【答案】A
【分析】先判断两个复数是实数，再根据虚部为零和不等关系列式计算参数即可.
【详解】
由，可知两个复数均为实数，即其虚部为零，故，即，解得a＝0.
故选：A.
【例2】设全集，实数集为，纯虚数集为，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据实数和复数的概念，结合补集的运算，得到，再利用交集的概念，即可求解.
【详解】
由题意，全集，实数集为，纯虚数集为，
可得，所以.故选：D.
【例3】若复数，则实数的值为________.
【答案】3
【分析】由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解.
【详解】
因为复数不能比较大小，所以为实数，
可得解得
所以实数的值为，故答案为：
【例4】从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，其中虚数有______个.
【答案】36
若复数为虚数，则，分两种情况讨论即得解.
【详解】
从集合中任取两个互不相等的数，，组成复数，当时，对应的有6个值；当取1,2,3,4,5,6时，对应的只有5个值.所以虚数有（个）.故答案为:36.
【点睛】
本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题.
【例5】设，，，若对所有，，都有，则的取值范围为_____．
【答案】
【分析】
若存在，，使得，求得的取值范围，取补集即可.
【详解】
解：若存在，，使得，则，
故，
解得，
故若对所有，，都有，则的取值范围为．
故答案为：．
【例6】已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________.
【答案】{0}
【分析】
由条件可知两个数为实数，根据大小关系，列式求.
【详解】
由z1＞z2，得解得a＝0，
故a的取值集合为{0}.
故答案为：
【例7】有下列四个命题：①若z∈C，则z2≥0；②若a>b，则a＋i>b＋i；③若x，y∈R，则x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④若实数a与复数ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的序号是______.
【答案】③.
【详解】
分析：根据复数的概念解答即可.
详解：①若，则，①错误；②两个复数一般不能比较大小，②错误；③根据复数相等的定义，③正确；④根据这个对应，没有纯虚数与实数集中的0对应，④错误.
故答案为③.
点睛：本题考查复数的概念，掌握复数概念与解题关键，本题属于基础题.

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