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7.1.2复数的几何意义
本节课知识点目录：
复平面内点与复数的关系；
复平面内向量与复数的关系。
复数的模
共轭复数
复数几何意义应用1：复数中的简单轨迹与图像
复数几何意义应用2：求复数的范围与最值
一、复平面内点与复数的关系
复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
【典型例题】
【例1】已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例2】复数对应的点在虚轴上，则
A．，或 B．，且
C．，或 D．
【例3】复数在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【例4】当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例5】若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（ ）
A． B．
C． D．或
【例6】若m为实数，则复数在复平面内所对应的点可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例7】复数，在复平面上对应的点分别为、．
（1）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是__________；
（2）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是__________；
（3）若、关于原点对称，则、、、应满足的关系是__________；
（4）若、关于第一、三象限的角平分线对称，则、、、应满足的关系是__________．
【对点实战】
1.在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
2.设，复数，则在复平面内的对应点一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.下列说法错误的是（ ）
A．实轴上的点对应的复数为实数
B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数
C．表示实数的点都在实轴上
D．表示纯虚数的点都在虚轴上
5.已知复数z满足实部为，虚部为，则复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是______．
6.在复平面上，复数对应的点关于直线对称的点所对应的复数为___________.
二、复平面内向量与复数的关系
复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
【典型例题】
【例1】O是原点，向量，对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【例2】复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【例3】在复平面内，已知平行四边形顶点，，分别表示，，则点对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【例4】四边形是复平面内的平行四边形，已知三点对应的复数分别是，则向量所对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知复数 为虚数单位) 在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是________．
【例7】在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是_____.
【例8】在复平面内，已知为坐标原点，点、分别对应复数，，若，则_____________.
【对点实战】
1.在复平面内，点，对应的复数分别为，.若为靠近点的线段的三等分点，则点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
2.在复平面上，在正方形(为原点)中若对应的复数为，则对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
3.已知，将按逆时针方向旋转得到，则Z点对应的复数为________.
4.把复数在复平面内对应的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，把所得向量绕点按逆时针方向旋转90°，得到向量，则点对应的复数为____________．
5.已知复平面内平行四边形中，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点对应的复数为__________.
6.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，则x＋y的值是________．
三、复数的模
1．向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
2．复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝.
【典型例题】
【例1】若复数为纯虚数，则（ ）
A． B．13 C．10 D．
【例2】设复数满足，则的虚部为( )
A． B． C． D．1
【例3】关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）
A．3+4i B．4+3i
C．+3i D．3+i
【例4】设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【例5】在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，点C与点D关于虚轴对称，若圆M经过A，B，C，D四点，则圆M的半径为_________．
【例6】已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|【例7】若虚数z的实部不为0，且，则_______．（写出一个即可）
【对点实战】
1.设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
2.已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．复数在复平面内对应的点在第一象限
C． D．
3.下列四个式子中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.适合方程的复数x是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知复数的实部为1，，则______．
6.写出一个复数满足实部和虚部互为相反数，且，=_________．
四、共轭复数
1．两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.
【典型例题】
【例1】已知复数z满足，且z的共轭复数为，则（ ）
A． B．2 C．4 D．3
【例2】已知复数（其中为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A．复数的虚部为 B．
C．复数的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点在第一象限
【例3】复数z，则z的共轭复数在复平面内对应第___________象限.
【例4】若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数＝____________
【例5】复数在复平面内对应的点在第四象限，，且，则____________.
【例6】若复数在复平面内的对应点在第二象限， ，对应点在直线y＝x上，则________.
【对点实战】
1.设复数z满足,i为虚数单位,则下列命题正确的是
A． B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为 D．复数z在复平面内对应的点在直线上
2.若复数，，则下列结论：①z对应的点在第一象限；②z一定不为纯虚数；③对应的点在实轴的下方；④z一定为实数，其中错误的是______．（填序号）
3.已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限为______象限.
4.复数（，i为虚数单位），在复平面内对应的点在直线上，则________．
5.已知复数z1＝(m2－2m＋3)－mi，z2＝2m＋(m2＋m－1)i，其中i是虚数单位，m∈R.若z1，z2互为共轭复数，则实数m的值为___________.
五、复数几何意义应用1：复数中的轨迹和图像
【典型例题】
【例1】已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（　　）
A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆
【例2】若复数z满足，则在复平面内，z所对应的点组成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例3】复数对应点的轨迹是______.
【例4】已知复数z的虚部为1，且，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为___________.
【例5】在复平面内表示复数的点在直线上，则实数的值为___________．
【例6】已知复数z＝x－2＋yi的模是，则点(x，y)的轨迹方程是_________．
【例7】已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________．
六、复数几何意义应用2：范围和最值
【典型例题】
【例1】已知，复数的实部为，虚部为则的取值范围是
A． B． C． D．
【例2】当x复数 的模长的最小值是（ ）
A．2 B． C．10 D．
【例3】设，，，求的最小值．
【例4】若复数，则的最大值为______．
【例5】已知复数，，如果，那么实数a的取值范围是________.
7.1.2复数的几何意义
本节课知识点目录：
复平面内点与复数的关系；
复平面内向量与复数的关系。
复数的模
共轭复数
复数几何意义应用1：复数中的简单轨迹与图像
复数几何意义应用2：求复数的范围与最值
一、复平面内点与复数的关系
复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
【典型例题】
【例1】已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
根据三角函数的诱导公式，求得复数，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由
即复数，
所以复数对应的点为位于第二象限.
故选：B
【例2】复数对应的点在虚轴上，则
A．，或 B．，且
C．，或 D．
【答案】C
【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出.
【详解】解：由于复数对应的点在虚轴上,
因此, ，解得，或
故选C
【点睛】
熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键.
【例3】复数在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意，表示出复数在复平面上对应的点的坐标，分别讨论横纵坐标的取值范围，即可得到正确选项.
【详解】根据题意可知，复数的实部，虚部.
当时，，，故点可能在一、四象限；
当时，，，故点在第三象限.
综上，复数在复平面上对应的点不可能位于第二象限.
故选：B.
【例4】当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用的范围求出、的范围即可确定答案.
【详解】∵，
∴，，
∴复数在复平面上对应的点位于第四象限．
故选：D.
【例5】若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】利用复数表示的点所在象限，列出关于m的不等式求解即可.
【详解】复数表示的点为
由题设知，解得故选：C
【例6】若m为实数，则复数在复平面内所对应的点可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABD
【分析】由复数的实部、虚部之和大于0，可排除C，再应用特殊值法：令、、判断复数对应点可能出现在哪个象限.
【详解】若m为实数，则的实部为，虚部为．
∵实部与虚部相加为，
∴该复数在复平面内对应的点的横、纵坐标不可能都为负，即该复数在复平面内对应的点不可能位于第三象限，排除C；
取，则，∴该复数在复平面内对应的点在第二象限，可选B；
取，则，∴该复数在复平面内对应的点在第一象限，可选A；
取，则，
∴该复数在复平面内对应的点在第四象限，可选D．
故选：ABD．
【例7】复数，在复平面上对应的点分别为、．
（1）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是__________；
（2）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是__________；
（3）若、关于原点对称，则、、、应满足的关系是__________；
（4）若、关于第一、三象限的角平分线对称，则、、、应满足的关系是__________．
【答案】 ， ， ， ，
【分析】直接利用复数的几何意义即可得到.
【详解】因为复数，在复平面上对应的点分别为、，
所以
（1）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是，；
（2）若、关于轴对称，则、、、应满足的关系是，；
（3）若、关于原点对称，则、、、应满足的关系是，
（4）若、关于第一、三象限的角平分线对称，则、、、应满足的关系是，.
故答案为：（1），；（2），；（3），；（4），.
【对点实战】
1.在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据复数和坐标系中的点的对应关系得到结果即可.
【详解】复数对应的点的坐标为
由题干得到
故选：D.
2.设，复数，则在复平面内的对应点一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】在复平面内的对应点考查点横纵坐标的正负,分情况讨论即可.
【详解】由题得, 在复平面内的对应点为.
当,即时,二次函数取值范围有正有负,故在复平面内的对应点可以在一二象限.
当,即时,二次函数,故在复平面内的对应点可以在第四象限.
故在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C
3.已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合复数在平面内所对应的点的特征，得到不等式组，解之即可求出结果.
【详解】因为在复平面内对应的点在第三象限，所以
，则实数的取值范围是，故选：B.
4.下列说法错误的是（ ）
A．实轴上的点对应的复数为实数
B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数
C．表示实数的点都在实轴上
D．表示纯虚数的点都在虚轴上
【答案】B
【分析】由复平面和复数的概念逐项判断.
【详解】A.由复平面知：实轴上的点对应的复数为实数,故正确；
B.由复平面知：虚轴上的点除原点外，其余的点对应的复数为纯虚数，故错误；
C.由复数的概念知：表示实数的点都在实轴上，故正确；
D.由复数的概念知：表示纯虚数的点都在虚轴上，故正确；
故选：B
5.已知复数z满足实部为，虚部为，则复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是______．
【答案】＃＃
【分析】由题可得，结合条件即得.
【详解】由题可得，
∴复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数为.
故答案为：.
6.在复平面上，复数对应的点关于直线对称的点所对应的复数为___________.
【答案】
【分析】由复数求出在复平面内对应的点，再根据对称关系求出所对应的点的坐标，从而得到要求的复数．
【详解】解：复数在复平面内对应的点为，而点关于直线对称的点为，在复平面内点对应复数为，
故答案为：．
二、复平面内向量与复数的关系
复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
【典型例题】
【例1】O是原点，向量，对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】解：根据复数的几何意义得,,
所以，
所以向量对应的复数是.
故选：B
【例2】复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出复数在复平面对应的点，写出点的坐标，求出旋转后复数对应的点的坐标，利用复数的几何意义即可得解.
【详解】复数在复平面内对应的点为，因为，则，
将点绕着原点逆时针旋转，得到的点与点关于轴对称，即点，
因此，所求复数为.故选：C.
【例3】在复平面内，已知平行四边形顶点，，分别表示，，则点对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意求出，，设，由平行四边形的性质可得进而可求出点坐标，即可选出正确答案.
【详解】由题意，，设，∵是平行四边形，
∴中点和中点相同，∴，即，∴点对应是.故选：C.
【例4】四边形是复平面内的平行四边形，已知三点对应的复数分别是，则向量所对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合中点坐标公式确定正确选项.
【详解】依题意，所以中点为，所以，
所以，对应复数为.故选：D
【例5】已知复数 为虚数单位) 在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的几何意义，向量坐标运算性质及其向量相等即可得出
【详解】解：因为复数 为虚数单位) 在复平面上对应的点分别为，
所以，
设，因为为平行四边形(为复平面的坐标原点)，
所以，
所以，所以，
所以，所以，故选：A
【例6】已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是________．
【答案】
【分析】确定复数对应点在第一象限，旋转后在轴的正半轴上，计算复数模得到答案.
【详解】，对应的点为在第一象限，
逆时针旋转最小正角时，对应的点在轴的正半轴上，，故纯虚数为.
故答案为：.
【例7】在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是_____.
【答案】
【分析】根据复数的几何意义写出点的坐标，求出旋转后对应点的坐标，得其对应复数．
【详解】复数对应的点，如图，绕原点按逆时针方向旋转到位置，，，∴，，即，点对应复数为．
故答案为：．
【例8】在复平面内，已知为坐标原点，点、分别对应复数，，若，则_____________.
【答案】
根据复数的几何意义求出向量、的坐标，然后由，得出，利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数的值.
【详解】因为，，所以，.
因为，则，即.故答案为：.
【对点实战】
1.在复平面内，点，对应的复数分别为，.若为靠近点的线段的三等分点，则点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，由为靠近点的线段的三等分点得，然后列关于、的方程组，求得、可求得点对应复数．
【详解】解：设，点，对应的复数分别为，，
，，则，，
为靠近点的线段的三等分点，
，，解得，
，对应复数为．故选：A．
2.在复平面上，在正方形(为原点)中若对应的复数为，则对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质及题干条件，可得，所以，即可得答案.
【详解】因为正方形，且对应的复数为，
所以，所以，则，
所以对应的复数为.故选：C
3.已知，将按逆时针方向旋转得到，则Z点对应的复数为________.
【答案】
写出P点对应的复数为，根据复数乘法的几何意义可写出Z点对应的复数.
【详解】解：由题意得，P点对应的复数为，
由复数乘法的几何意义得：
，故填.
故答案为：.
4.把复数在复平面内对应的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，把所得向量绕点按逆时针方向旋转90°，得到向量，则点对应的复数为____________．
【答案】
【分析】根据条件先得出点的坐标，然后得出点的坐标即可.
【详解】复数在复平面内对应的点为，
将其向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，所以
所以，即点对应的复数为
故答案为：
5.已知复平面内平行四边形中，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点对应的复数为__________.
【答案】
【分析】利用复数的几何意义 向量的坐标运算性质 平行四边形的性质即可得出.
【详解】因为点对应的复数为，对应的复数为，
所以点，，
设，则可得，所以点，
因为四边形是平行四边形，所以，
因为对应的复数为，所以，
设，则，
解得：，所以点的坐标为，
所以点对应的复数为，故答案为：.
6.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，则x＋y的值是________．
【答案】5
【分析】由复数的几何意义得3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，再由复数相等的条件可求得x,y，从而可得答案.
【详解】由复数的几何意义可知，＝x＋y，即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，
由复数相等可得，
解得，∴x＋y＝5.故答案为：5.
三、复数的模
1．向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
2．复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝.
【典型例题】
【例1】若复数为纯虚数，则（ ）
A． B．13 C．10 D．
【答案】A
【分析】因为复数为纯虚数故得到，再由复数模长公式计算得到结果.
【详解】复数为纯虚数，故需要
故选：A
【例2】设复数满足，则的虚部为( )
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】设复数，结合已知条件，利用复数相等求出即可．
【详解】设复数，，，由，得，
即，解得，，故的虚部为1故选：D．
【例3】关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）
A．3+4i B．4+3i
C．+3i D．3+i
【答案】B
【分析】根据条件可得，再利用复数相等可得，解方程组，即可得到答案；
【详解】设,则有,
于是，解得或
因为,故,所以不符合要求,故故选：B
【例4】设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由复数的模长公式列方程，化简整理即可求解.
【详解】因为，则，
所以，
故选：C.
【例5】在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，点C与点D关于虚轴对称，若圆M经过A，B，C，D四点，则圆M的半径为_________．
【答案】
【分析】根据题意依次求出点A，B，C，D的坐标，进而根据复数的几何意义即可求出结果.
【详解】因为向量所对应的复数为，所以，
又向量所对应的复数为，所以，
因为点C所对应的复数为，所以,
又因为点C与点D关于虚轴对称，所以，
设所对应的复数为，
则，故点A，B，C，D四点在以为圆心，为半径的圆上，即圆M，故圆M的半径为.故答案为：.
【例6】已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|【答案】
【分析】根据|z1|【详解】因为|z1|故b的取值范围是(－1， 1).
故答案为：.
【例7】若虚数z的实部不为0，且，则_______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】设复数，只要满足，且即可．
【详解】设复数，且，
，当时，等式成立，所以.
故答案为：（答案不唯一）
【对点实战】
1.设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】先利用复数相等求得x，y，再利用复数的模公式求解.
【详解】因为，所以，解得，
所以.故选：B.
2.已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．复数在复平面内对应的点在第一象限
C． D．
【答案】C
【分析】因为为纯虚数，所以，可求出，进而可得，判断各个选项即可．
【详解】对于A，因为为纯虚数，所以，所以，故A错误；
对于B，当时，，复数在复平面内对应的点在第二象限，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D错误．
故选：C．
3.下列四个式子中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的模长公式以及复数的概念可判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，是复数，是实数，二者不一定相等，A选项错误；
对于B选项，，，则，B选项错误；
对于C选项，，C选项正确；
对于D选项，，D选项错误.
故选：C.
4.适合方程的复数x是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设复数，则，代入条件，根据复数相等的条件，即可求得a，b的值，即可得答案.
【详解】设复数，则，由，可得，
所以，所以解得或（舍）所以复数.故选：A
5.已知复数的实部为1，，则______．
【答案】
【分析】利用复数的模的概念即得.
【详解】由题可设，又，∴，解得，
∴.故答案为：.
6.写出一个复数满足实部和虚部互为相反数，且，=_________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先设，依据题中条件判断且，即得结果.
【详解】设，依题意可知，，所以，
即，可取满足该条件的复数即可，比如
故答案为：（答案不唯一）.
四、共轭复数
1．两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.
【典型例题】
【例1】已知复数z满足，且z的共轭复数为，则（ ）
A． B．2 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据共轭复数的概念可求出，从而根据复数模的公式可求出答案.
【详解】因为，所以，所以．
故选：B.
【例2】已知复数（其中为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A．复数的虚部为 B．
C．复数的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BCD
【分析】根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确.
【详解】因为复数，所以其虚部为，即A错误；
，故B正确；
复数的共轭复数，故C正确；
复数在复平面内对应的点为，显然位于第一象限，故D正确.
故选：BCD.
【例3】复数z，则z的共轭复数在复平面内对应第___________象限.
【答案】二
【分析】利用“奇变偶不变，符号看象限”，由共轭复数的概念，可得z的共轭复数cosθ+isinθ，
根据，可得cosθ，sinθ>0，即可得出.
【详解】zcosθ﹣isinθ，，
则z的共轭复数cosθ+isinθ，
∵，∴cosθ<0，sinθ>0，
在复平面内对应第二象限.故答案为：二
【例4】若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数＝____________
【答案】1-2i或－1+2i
【分析】设复数z＝a＋2ai(a∈R)，利用|z|＝，求出，即可得出结果.
【详解】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，
解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.故=1-2i或－1+2i
故答案为：1-2i或－1+2i
【例5】复数在复平面内对应的点在第四象限，，且，则____________.
【答案】
设出，由题列出方程即可求解.
【详解】解析：设，依题意，，
即，解得，所以.故答案为：.
【例6】若复数在复平面内的对应点在第二象限， ，对应点在直线y＝x上，则________.
【答案】－3＋4i
【分析】根据对应点在直线y＝x上，可设＝3t＋4ti,得到z＝3t－4ti，结合,求得t值，进而得解.
【详解】设＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti，∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，
∴t2＝1，∵z的对应点在第二象限，∴t<0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.
故答案为:－3＋4i.
【对点实战】
1.设复数z满足,i为虚数单位,则下列命题正确的是
A． B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为 D．复数z在复平面内对应的点在直线上
【答案】AC
根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.
【详解】,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B不正确;z的共轭复数为,C正确;复数z在复平面内对应的点不在直线上,D不正确.
故选:AC
2.若复数，，则下列结论：①z对应的点在第一象限；②z一定不为纯虚数；③对应的点在实轴的下方；④z一定为实数，其中错误的是______．（填序号）
【答案】①②④
【分析】根据所给复数，结合实部、虚部的范围，逐一分析①②③④，即可得答案.
【详解】对于①：，因为，
所以的值可正，可负，可为0，所以无法确定z对应的点在第几象限，故错①误；
对于②：令，解得或，
所以当或时，实部，虚部，此时为纯虚数，故②错误；
对于③：，因为，
所以虚部恒成立，所以对应的点在实轴的下方，故③正确；
对于④：因为恒成立，所以复数一定为虚数，故④错误.
所以错误的是：①②④.
故答案为：①②④
3.已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限为______象限.
【答案】第三
【分析】根据题意，分别判断复数实部和虚部的正负号，即可求解.
【详解】由，可知，，
故z在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.由共轭复数性质知在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.
故答案为：第三.
4.复数（，i为虚数单位），在复平面内对应的点在直线上，则________．
【答案】
【分析】求出的坐标，代入直线求得，得到复数，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】解：复数在复平面内对应的点在直线上，
，即．
，则．
故答案为：．
5.已知复数z1＝(m2－2m＋3)－mi，z2＝2m＋(m2＋m－1)i，其中i是虚数单位，m∈R.若z1，z2互为共轭复数，则实数m的值为___________.
【答案】1
【分析】利用共轭复数的概念可得即可求解.
【详解】由z1，z2互为共轭复数，
可知，
解得m＝1.故答案为：1
五、复数几何意义应用1：复数中的轨迹和图像
【典型例题】
【例1】已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（　　）
A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆
【答案】A
【详解】因为,所以, (负舍)
因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.
【例2】若复数z满足，则在复平面内，z所对应的点组成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据复数的几何意义，确定复数对应的点的轨迹，再求面积.
【详解】利用复数模的几何意义，复数对应的点的轨迹是如图的圆环内，
小圆的半径，大圆的半径，所以圆环的面积.
故选：C
【例3】复数对应点的轨迹是______.
【答案】线段
【分析】根据题意，找出复数的对应点坐标，即可得到复数对应点的轨迹.
【详解】根据题意可知，复数对应点为，
因此复数对应点的轨迹为，且，
即轨迹是线段.故答案为：线段.
【例4】已知复数z的虚部为1，且，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为___________.
【答案】
【分析】由题意设对应点为且，结合已知可得，即知z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离.
【详解】由题意，设对应点为，则，
∴，则.
∴z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为.
故答案为：.
【例5】在复平面内表示复数的点在直线上，则实数的值为___________．
【答案】
【分析】求出复数对应的点的坐标，代入即可求解.
【详解】因为对应的点的坐标为，
因为复数表示的点在直线上，
所以，解之得：．
故答案为：.
【例6】已知复数z＝x－2＋yi的模是，则点(x，y)的轨迹方程是_________．
【答案】
【详解】由模的计算公式得
∴(x－2)2＋y2＝8.
【例7】已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________．
【答案】
【分析】根据复数模的几何意义得出区域形状，再计算面积．
【详解】的几何意义为对应的的点到原点的距离，区域为以原点为圆心半径分别为1和2的圆环，
故所求区域面积．
故答案为：．
六、复数几何意义应用2：范围和最值
【典型例题】
【例1】已知，复数的实部为，虚部为则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】本题考查复数的基本概念及复数模的求法，同时考查利用函数思想求范围．
由于0＜a＜2，故，∴．
【例2】当x复数 的模长的最小值是（ ）
A．2 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求出复数z的模，结合二次函数的性质即可求出模的最小值.
【详解】由题意得，
所以，
令，，
当时，函数y有最小值，且，
所以.故选：B
【例3】设，，，求的最小值．
【答案】
【分析】结合已知条件表示出，利用二次函数性质求解即可.
【详解】，
因为，所以由二次函数性质可知，当时，有最小值10，
即的最小值为.
【例4】若复数，则的最大值为______．
【答案】2
【分析】根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】，当时，，
故答案为：
【例5】已知复数，，如果，那么实数a的取值范围是________.
【答案】
根据，利用模的计算公式列不等式求解实数a的取值范围.
【详解】，，
又因为，所以，解得.
故答案为：

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