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7.2.1复数的加减运算及其几何意义
本节课知识点目录：
复数加减法运算；
复数加减法几何意义。
复数加减法求模
复数模的最值
实系数一元二次方程的复数解
复数模与轨迹方程
综合
一、复数加法与减法运算法则
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【典型例题】
【例1】______.
【例2】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3】计算∶___________.
【例4】设复数，，且，则________.
【例5】设，，，，求复数.
【例6】已知i为虚数单位,复数,,若它们的和为实数,差为纯虚数,则a,b的值分别为
A．, B．,4 C．3, D．3,4
【例7】已知i为虚数单位，x，，，.设，且，则______，_____.
【对点实战】
1.已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2.设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__________
3.已知复数，，若所对应的点在实轴上，则__________．
4.已知复数，且为纯虚数，则_________．
5.计算：
（1）；
（2）已知，，求，．
6.已知z1＝1＋i，z2＝cos θ＋(sin θ－1)i，且z1＋z20，则θ＝________.
7.计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2020＋2021i)＋(2021－2022i)．
二、复数加法减法几何意义
如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
【典型例题】
【例1】设复数，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例2】设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出．
【例3】如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数
A． B． C． D．
【例4】已知分别是复数在复平面内对应的点，为坐标原点，若，则是___________三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）.
【例5】设复数，满足，，，求.
【对点实战】
1.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
2.已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内表示的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是，，，则_______.
4.设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来
5.如图，向量对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：
（1）；
（2）；
（3）.
三、复数加减法求模
类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义：
【典型例题】
【例1】已知，，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【例2】若z为纯虚数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知，，为实数，若，则_____．
【例4】已知复数，满足，，求，值．
【例5】若z为纯虚数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】设复数满足，且的实部大于虚部，则（ ）
A． B． C． D．
【例7】是复平面内的平行四边形，A、B、C三点对应的复数分别是、、，其中，i是虚数单位.
（1）求点D对应的复数；
（2）试判断A、B、C、D四点是否在同一圆上，若是，求出该圆的方程；否则，请说明理由.
【对点实战】
1.设（i为虚数单位），则（ ）
A．25 B．5 C．13 D．
2.若复数满足，则的模是（ ）
A． B．2 C． D．10
3.设，则复数在复平面上的对应点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.若复数（，，i为虚数单位）满足，写出一个满足条件的复数__________．
5.已知，，为实数，若，求
四、模的最值
【典型例题】
【例1】已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【例3】若复数满足，则复数的最大值为______.
【例4】复数，，则复数的模的最大值为________.
【例5】复数满足，则的最小值为___________.
【例6】若复数z满足|z﹣2i|＝1（i为虚数单位），则|z|的最小值为__.
【例7】已知z1 z2为复数，且|z1|=2，若z1+z2=2i，则|z1﹣z2|的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【对点实战】
1.若，且，则的最小值为___________
2.已知复数满足，求的最大值与最小值．
3.若，i为虚数单位，且，求的最小值.
4.设，若，，求的最小值.
5.已知，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6.．若，，为实数，i为虚数单位．
（1）求复数z；
（2）求的取值范围．
五、实系数一元二次方程
实系数一元二次方程，有两虚根为，
1.，
2.两根是共轭复数。
3.韦达定理依然成立.
【典型例题】
【例1】若实系数一元二次方程有两虚数根，且，那么实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知是关于的一元次方程(其中)的一个根，则__________.
【例3】已知方程的两个根分别为.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的值.
六、复数模与轨迹方程
【典型例题】
【例1】若，则复数对应的点在（ ）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限
【例2】已知复数满足，则的轨迹为（ ）
A．线段 B．直线
C．椭圆 D．椭圆的一部分
【例3】若复数z满足，则z在复平面内对应点Z的轨迹为（ ）
A．两个点 B．两条直线 C．一个圆 D．两个圆
【例4】若，则复数________.
【例5】如果复数满足，那么的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【例6】设复数满足，求满足条件的复数在复平面上对应点所构成的图形面积.
【例7】已知关于的一元二次方程有实根，求点的轨迹方程.
七、综合
【典型例题】
【例1】（多选）已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点在复平面上的坐标为 B．
C．的最大值为 D．的最小值为
【例2】（多选）表示
A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离
C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模
【例3】（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．点位于第二象限 B． C． D．
【例4】证明：．
【例5】已知是复数，，，求.
7.2.1复数的加减运算及其几何意义
本节课知识点目录：
复数加减法运算；
复数加减法几何意义。
复数加减法求模
复数模的最值
实系数一元二次方程的复数解
复数模与轨迹方程
综合
一、复数加法与减法运算法则
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【典型例题】
【例1】______.
【答案】
【分析】直接根据复数的加减法运算计算即可得出答案.
【详解】解：.
故答案为：.
【例2】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合共轭复数的概念以及复数的运算和复数相等得到，进而可以求出结果.
【详解】设，则．由得，则，所以，，所以．
故选：B.
【例3】计算∶___________.
【答案】
【分析】根据复数的基本运算法则和复数模的定义进行化简即可.
【详解】解：原式
.故答案为：.
【例4】设复数，，且，则________.
【答案】
【分析】利用复数加法的代数运算，求出，结合题意，求出和的值，进而求出.
【详解】，，，
又，所以，，解得，，
，.故答案为：.
【例5】设，，，，求复数.
【答案】
设，求出，代入中，利用复数相等的充要条件，建立方程，求解即可.
【详解】设，，
，
∴.∴.
【例6】已知i为虚数单位,复数,,若它们的和为实数,差为纯虚数,则a,b的值分别为
A．, B．,4 C．3, D．3,4
【答案】A
根据复数的加减运算法计算可得.
【详解】解：,
为实数,所以,解得.
因为为纯虚数,所以且,解得且.故,.
故选：
【例7】已知i为虚数单位，x，，，.设，且，则______，_____.
【答案】
利用和，列方程组，解方程组求得的值，进而求得.
【详解】，解得，∴，.
故答案为：；
【对点实战】
1.已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，则，进而，利用复数相等的概念即可求解
【详解】令，则，
，
，即，。故选：A
2.设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__________
【答案】－1＋10i
【分析】先利用复数加法运算计算z1＋z2，根据题意利用复数相等的定义列方程即得参数，再写出z1，z2，计算z1－z2即可.
【详解】∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，即，
∴即，
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
故答案为：－1＋10i.
3.已知复数，，若所对应的点在实轴上，则__________．
【答案】
【分析】算出，然后可得答案.
【详解】因为，，
所以
因为所对应的点在实轴上，所以，即
故答案为：
4.已知复数，且为纯虚数，则_________．
【答案】-1
【分析】首先化简，再根据复数为纯虚数，得到实部为零且虚部不为零，即可得到方程、不等式组，解得即可；
【详解】解：因为，
所以，
因为为纯虚数，
所以，解得且；解得或，综上可得
故答案为：
5.计算：
（1）；
（2）已知，，求，．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据复数的加减法法则，实部与实部对应加减，虚部与虚部对应加减，即可运算得到结果；
（2）根据复数的加法、减法法则运算即可.
【详解】（1）；
（2），，
，
6.已知z1＝1＋i，z2＝cos θ＋(sin θ－1)i，且z1＋z20，则θ＝________.
【答案】2kπ，k∈Z.
【分析】根据z1＋z2＝1＋cos θ＋isin θ，由z1＋z20求解.
【详解】∵z1＋z2＝1＋cos θ＋isin θ0，
∴
∴，k∈Z.
故答案为：2kπ，k∈Z.
7.计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2020＋2021i)＋(2021－2022i)．
【答案】1011－1012i
【分析】根据复数的加减法运算法则化简计算即可.
【详解】原式＝(1－2＋3－4＋…－2020＋2021)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2021－2022)i
＝(2021－1010)＋(1010－2022)i
＝1011－1012i.
二、复数加法减法几何意义
如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
【典型例题】
【例1】设复数，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】首先根据复数代数形式的减法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：因为，，所以，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，
故选：D
【例2】设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出．
【答案】，作图见解析.
根据复数几何意义以及复数加法直接计算，并作图.
【详解】．
如图所示：
【例3】如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数
A． B． C． D．
【答案】B
由图可得,,进而求解即可
【详解】由图,,,
所以,,则,,
所以,故选:B
【例4】已知分别是复数在复平面内对应的点，为坐标原点，若，则是___________三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）.
【答案】直角
由题可知,则以为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即可求解
【详解】因为,
所以,
故以为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即该平行四边形为矩形,
所以是直角三角形
故答案为:直角
【例5】设复数，满足，，，求.
【答案】
设复数,在复平面内所对应的点分别是，向量，的夹角为
向量的夹角为，利用余弦定理在中求出，进而得到，再利用余弦定理在求出即可.
【详解】设复数,在复平面内所对应的点分别是，
向量，的夹角为,则向量的夹角为，
在中，，即.
在中，，∴.
【对点实战】
1.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
根据向量的坐标，写出复数，再求加法及模.
【详解】由题图可知，，
所以，.故选：B.
2.已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内表示的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的加法运算，表示出复数，进而得到其在复平面内表示的点坐标，即可得到所在象限．
【详解】由复数加法运算可知
在复平面内表示的点坐标为，所以所在象限为第三象限
所以选C
3.如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是，，，则_______.
【答案】
由平行四边形法则可知，将、、代入列出方程组，求出，即可求得，相减即得答案.
【详解】∵，∴.
∵，∴∴∴，∴.
故答案为：
4.设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来
【答案】z1－z2＝1＋2i，作图见解析.
【分析】先计算z1－z2，表示点和向量，再描点作图即可.
【详解】解: z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i， ，则即为z1－z2所对应的向量，如图所示，
根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量,的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.
5.如图，向量对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析
复数与以原点为起点的向量是一一对应的，根据平行四边形法则作出相应向量即可.
【详解】（1）复数1与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：
（2）复数与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：
（3）复数与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量如图所示：
三、复数加减法求模
类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义：
【典型例题】
【例1】已知，，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得.
【详解】设，则，.
依题意得：，
.
所以.
故选：B
【例2】若z为纯虚数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合复数的概念设且，进而根据复数的加减法运算以及复数的模长公式即可得到，解方程即可求出结果.
【详解】因为z为纯虚数，所以设且，又因为，则，即，所以，解得或（舍），故，
故选：D.
【例3】已知，，为实数，若，则_____．
【答案】
【分析】根据复数的加减运算结合可得和的值，再计算，由模长公式即可求解.
【详解】因为，，
所以
，所以，解得，
所以，，所以，
所以．故答案为：.
【例4】已知复数，满足，，求，值．
【答案】，；或，．
先设，再根据求，最后根据列方程组，解得结果.
【详解】设，则．∵，∴．
∵，∴．解得：，或，．
∴，；或，．
【例5】若z为纯虚数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合复数的概念设且，进而根据复数的加减法运算以及复数的模长公式即可得到，解方程即可求出结果.
【详解】因为z为纯虚数，所以设且，又因为，则，即，所以，解得或（舍），故，
故选：D.
【例6】设复数满足，且的实部大于虚部，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的差的模的几何意义，求出复数对应点所在象限，再排除不合题意的选项.
【详解】设，复数对应复平面内点，
的实部大于虚部，即， 排除选项C、D.
且，则P在以原点为圆心的单位圆上运动，且P在以为圆心的单位圆上运动. 如图.
法一：点P在两圆交点A或B处，即第一或第二象限，排除选项A.
法二：当点P在A处时，，不合题意，即点P在第一象限，
故选：B.
【例7】是复平面内的平行四边形，A、B、C三点对应的复数分别是、、，其中，i是虚数单位.
（1）求点D对应的复数；
（2）试判断A、B、C、D四点是否在同一圆上，若是，求出该圆的方程；否则，请说明理由.
【答案】（1）；（2）A、B、C、D四点都在以原点为圆心，半径为2的圆上，该圆的方程为.
【分析】（1）先写出三点的坐标，再利用，即可得出结果；（2）求出四点对应的长度，即可得出结论.
【详解】（1）由题知，，，，
因为.
所以，
所以点D所对应的复数为.
（2），，
，，
所以A、B、C、D四点都在以原点为圆心，半径为2的圆上，
该圆的方程为.
【对点实战】
1.设（i为虚数单位），则（ ）
A．25 B．5 C．13 D．
【答案】B
【分析】先写共轭复数，进行加法运算，再计算复数的模长即可.
【详解】，则，∴，
所以.
故选：B．
2.若复数满足，则的模是（ ）
A． B．2 C． D．10
【答案】A
【分析】先求出复数，再由模长公式求模长即可求解.
【详解】由得，
则，
故选：A.
3.设，则复数在复平面上的对应点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】,点在第二象限，所以复数在复平面上对应点在第二象限.选B.
4.若复数（，，i为虚数单位）满足，写出一个满足条件的复数__________．
【答案】(答案不唯一)
【分析】先写，再利用列式化简，即得（可为任意实数）均满足题意，写出其中一个即可.
【详解】，故.
由知，，化简得，
故只要，即（可为任意实数）均满足题意，可取.
故答案为：(答案不唯一).
5.已知，，为实数，若，求
【答案】.
【分析】先化简，再利用复数相等可求出，从而得到，再用复数的模长公式求解即可
【详解】
，
所以，
解得， ，
所以，，
则，所以．
四、模的最值
【典型例题】
【例1】已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据表示圆心为，半径为1的圆上点，再表示圆上点到原点距离，即可确定最大值.
【详解】令，，则表示与距离为1的点集，即，
此时，表示圆上点到原点距离，
所以的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，
所以圆上点到原点的最大为2.
故选：B.
【例2】已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】设，由可得，，由几何意义可得的最小值.
【详解】设，由可得，
，其表示圆上的动点到定点的距离，显然最小值为.
故选：B.
【例3】若复数满足，则复数的最大值为______.
【答案】
【分析】设，（），结合条件得在复平面内对应点的轨迹，再由的几何意义求解即可．
【详解】解：设，（）则由,
得，即．
复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图：
表示复数在复平面内对应点到点的距离
所以最大值为．
故答案为：．
【例4】复数，，则复数的模的最大值为________.
【答案】
先求，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值.
【详解】由题意可得，
，
因为，
故的最大值为.
故答案为：.
【例5】复数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】设复数，代入题干条件后求出与的关系，再代入到的关系式中，求出最小值.
【详解】设复数，则，，，因为，所以，解得：，
则，
①，
把代入①式中，得：
当时，取得最小值为，所以的最小值为
故答案为：
【例6】若复数z满足|z﹣2i|＝1（i为虚数单位），则|z|的最小值为__.
【答案】1
【分析】设，由复数的模的计算公式得到的方程，将化为关于y的函数表达式，根据y的取值范围求得的范围.
【详解】设，∵，∴，∴，
∴.则.
当时取等号.故答案为：1.
【例7】已知z1 z2为复数，且|z1|=2，若z1+z2=2i，则|z1﹣z2|的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】z1+z2=2i，可得z2=2i﹣z1，|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，然后根据复数的几何意义和复数的差的模的几何意义即可得出.
【详解】解：z1+z2=2i，∴z2=2i﹣z1，
则|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，
|z1|=2，∴z1在复平面内所对应的点P的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，
所对应的点坐标为A(0,1),
|z1﹣i|表示P,A的距离，
∴|z1﹣i|≤3,
2|z1﹣i|≤2×3=6,z1=﹣2i时取等号.
|z1﹣z2|的最大值为6，
故选：B.
【对点实战】
1.若，且，则的最小值为___________
【答案】4
【分析】利用复数的几何意义，可知则表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离，再求出其最小值.
【详解】复数z满足，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆，则表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离.
原点O到点(3,4)之间的距离d=5，
∴的最小值为5-1=4.
故答案为：4.
2.已知复数满足，求的最大值与最小值．
【答案】最大值，最小值
【分析】设，由题意得到且，然后将转化为，进而求出值域即可.
【详解】设，因为，所以，
而，
因为，所以，故，
所以的最大值，最小值.
3.若，i为虚数单位，且，求的最小值.
【答案】3
根据，结合复数减法的模的几何意义，判断出对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得的最小值.
【详解】由得，因此复数z对应的点Z在以对应的点为圆心，1为半径的圆上，如图所示.
设，则y是Z点到对应的点A的距离.又，∴由图知.
4.设，若，，求的最小值.
【答案】6
由已知可得复数对应的点分别在两个圆上，的最小值即求两圆上距离的最小值，根据两圆的位置关系即可求解.
【详解】在复平面上对应的点表示以原点为圆心，3为半径的圆，
在复平面上对应的点表示以为圆心，
4为半径的圆.由于两圆外离，故.
故答案为：6
5.已知，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的差的模的几何意义，结合圆的性质求解.
【详解】解：设，
满足的点均在以为圆心，以为半径的圆上，
所以可以看成到定点的距离，
如图所示，可知最小值为4-1=3．
故选：D.
6.．若，，为实数，i为虚数单位．
（1）求复数z；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根据复数写出它的共轭复数，结合相等复数的性质即可得出结果.
(2)根据求模公式求出，结合三角函数的值域即可得出结果.
【详解】（1）设，则.
因为，所以，
即，因此，解得，所以．
（2）由（1）知：，而（为实数）
因此
．
，，
，故的取值范围是．
五、实系数一元二次方程
实系数一元二次方程，有两虚根为，
1.，
2.两根是共轭复数。
3.韦达定理依然成立.
【典型例题】
【例1】若实系数一元二次方程有两虚数根，且，那么实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：，由此可得的表示形式，根据即可求得的值.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，所以，解得：.
故选A.
【例2】已知是关于的一元次方程(其中)的一个根，则__________.
【答案】
根据一元二次方程的根的特点得出方程的另一根，再由根与系数的关系求得答案.
【详解】是关于的一元次方程(其中)的一个根，另外一个根是，
根据根与系数关系可得，，解得.
故答案为：.
【例3】已知方程的两个根分别为.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由实系数一元二次方程两虚数根互为共轭虚数,结合根与系数关系即可求出的值;
（2）对方程是否为实数根进行分类讨论,然后再利用韦达定理和模长公式即可得出结果.
【详解】（1）方程的两个根分别为,
，则,由根与系数关系可得,
,
；
（2）
当为实数根,
,解得;
当为虚数根为,
,解得.
或
六、复数模与轨迹方程
【典型例题】
【例1】若，则复数对应的点在（ ）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限
【答案】B
【分析】首先分析题目，设，将其代入进行化简可得，从而可得结论.
【详解】设，则，
即，
解得，
所以，它对应的点在虚轴上.
故选B.
【例2】已知复数满足，则的轨迹为（ ）
A．线段 B．直线
C．椭圆 D．椭圆的一部分
【答案】A
【分析】设，由复数的几何意义可知，表示点到定点与的距离之和为2，进而可得结果.
【详解】，根据复数的几何意义知表示点到定点与的距离之和为2，而，故点的轨迹为线段.
故选：A
【例3】若复数z满足，则z在复平面内对应点Z的轨迹为（ ）
A．两个点 B．两条直线 C．一个圆 D．两个圆
【答案】C
【分析】设复数，则，根据复数的几何意义可解决此题．
【详解】解：设复数，则，所以，即，所以在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆．
故选：C．
【例4】若，则复数________.
【答案】0
设，由已知可得复数对应的点为线段垂直平分线和线段垂直平分线的交点，联立两垂直平分线方程，求解即可.
【详解】设，
，复数对应的点在线段的垂直平分线上，
其方程为，，
复数对应的点在线段的垂直平分线上，其方程为，
所以复数对应的点为，即.
故答案为：.
【例5】如果复数满足，那么的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】试题分析：
∵，
∴点Z到点A（0，-3）与到点B（0，3）的距离之和为6，
∴由复数模的几何意义知表示复平面上以点A（0,3）、B（0,-3）为端点的线段AB上的点，点Z的轨迹为线段AB；从而|z+i+1|=|z-（-1-i）|表示线段AB上的点Ｚ到点C（-1,-1）的距离；
数形结合，得|z+i+1|的最小值为|BC|=1，所以最小距离为1.
故选A．
【例6】设复数满足，求满足条件的复数在复平面上对应点所构成的图形面积.
【答案】
【分析】设，则复数在复平面上对应点的坐标为，由条件可得，表示一个圆面，可求得面积
【详解】设，则复数在复平面上对应点的坐标为
由，可得
所以，即
所以复数在复平面上对应的点构成的图形为以为圆心，半径为3的圆面，
故其面积
【例7】已知关于的一元二次方程有实根，求点的轨迹方程.
【答案】
【分析】化简原式可得，则，消去即可得结果.
【详解】设实根为，则，
即，
根据复数相等的充要条件，得，
由②得，代入①得，
即，③
所求点的轨迹方程为，
七、综合
【典型例题】
【例1】（多选）已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点在复平面上的坐标为 B．
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】A：根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可；
B：根据复数的共轭复数的定义进行判断即可；
C，D：根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可.
【详解】复数在复平面内对应的点为，故A正确；
复数，所以复数，故B正确；
设，则，即，所以，复数在复平面内对应的点在圆上，其圆心为，半径，
表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即.
而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误．
故选：ABC
【例2】（多选）表示
A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离
C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模
【答案】ACD
由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D
【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B说法错误；,可表示点到原点的距离,故C说法正确；,可表示表示点到原点的距离,即坐标为的向量的模,故D说法正确,
故选:ACD
【例3】（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．点位于第二象限 B． C． D．
【答案】BC
【分析】由题意画出图形，求出的坐标，得到，然后逐一分析四个选项得答案．
【详解】解：如图，
由题意，，，，
为平行四边形，则，
，点位于虚轴上，故错误；
，故正确；
，故正确；
，故错误．
故选：．
【例4】证明：．
【答案】证明见解析
【分析】设，，按照复数代数形式的加减运算及共轭复数的概念计算即可；
【详解】证明：设，，则，，所以， 则，，所以，
， 则，，所以，
综上可得：
【例5】已知是复数，，，求.
【答案】
【分析】画出对应的图象，根据复数加法的几何意义确定的夹角，由此确定的大小.
【详解】由于，故对应的点在单位圆上，根据可知以为邻边的平行四边形为菱形，对角线相互垂直平分，且一条对角线长，而,所以，根据菱形的性质可知是等边三角形，故.

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