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7.2.2复数乘、除运算
本节课知识点目录：
复数乘法运算的代数形式
复数除法运算的代数形式。
复数范围内解方程。
乘法、除法与求模的运算
i的运算性质
1+i的运算
特殊复数的计算
复数乘除法运算与最值
复数乘除运算综合应用
联赛联考题选
一、复数乘法运算的代数形式
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
【典型例题】
【例1】是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（ ）
A． B．2 C． D．
【例2】为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则__________．
【例3】若复数z的共轭复数是，且z+=6，z·=10，则z=（ ）
A．1±3i B．3±i
C．3+i D．3-i
【例4】已知，其中为虚数单位，若复数的实部为正数，则________．
【例5】复数在复平面内所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例6】若，其中，是虚数单位，，则___________.
【对点实战】
1.在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知，若为纯虚数（为虚数单位），则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3.已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4.设复数，，若为实数，则为__.
5.已知复数z1=2+i，z2=1-i，则复数z1·z2的虚部是_______________
二、复数除法运算的代数形式
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则＝＝＝＋i.
复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的共轭复数．
【典型例题】
【例1】已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4i
C．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限
【例2】已知为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例3】若复数z满足，则在复平面内z对应的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知复数满足，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【对点实战】
1.已知复数，其中a，，i是虚数单位，则（ ）
A．-5 B．-1 C．1 D．5
2.已知复数满足，则对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4.若是纯虚数（其中为虚数单位），则实数等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
5.已知复数满足 (为虚数单位），则复数
A． B． C． D．
6.若是纯虚数，满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7.已知复数 ，，复数z满足，则_____________．
三、复数范围内解方程
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝.
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【典型例题】
【例1】已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【例2】若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（ ）.
A． B． C． D．
【例3】方程在复数集内解的个数为（ ）.
A． B． C． D．
【例4】已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________．
【例5】已知复数满足方程：，则______．
【例6】设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______.
【例7】已知方程的两个虚根为，且，则实数的值为（ ）
A． B． C．，2 D．
【例8】已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．41
【对点实战】
1.已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z等于(　　)
A．1±2i B．－1±2i C．1＋2i或－1－2i D．2＋i或－2－i
2.已知方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数______．
3.已知复数满足（为虚数单位），．则一个以为根的实系数一元二次方程为__________________．
4.方程的一个根为，其中为虚数单位，则实数的值为（ ）
A．-10 B．10 C．6 D．8
5.已知复数 是方程的一个根，则（ ）
A． B． C． D．
6.若x为复数，则方程x4=1的解是（ ）
A．l或 B．i或﹣i
C．1+i或1﹣i D．1或﹣1或i或﹣i
7.已知复数，是方程的两根，则（ ）
A．的实部都是 B．在复平面内对应的点关于虚轴对称
C． D．
8.已知关于的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是和，下列结论中恒成立的是（ ）
A．和互为共轭复数 B．
C． D．
四、乘法、除法与求模的运算
复数模的运算法则
1.|z1·z2| = |z1|·|z2|
2.
3.
4.┃|z1|－|z2|┃≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|
【典型例题】
【例1】复数满足i，则||的值是（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【例2】若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】若复数满足（为虚数单位），则=
A．1 B．2 C． D．
【例4】在复平面内，若复数z对应的点为（1，1），则（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．
【例5】】复平面上点对应着复数以及向量，对于复数，下列命题都成立；①；②；③；④；⑤若非零复数，满足，则.则对于非零向量仍然成立的命题的所有序号是___________.
【例6】已知，则___________.
【对点实战】
1.若，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数，满足，且复数在复平面内位于第一象限，则（ ）
A． B． C． D．
3.若，且，则___________.
五、i的运算性质
i的周期性要记熟，
1.
2.in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)；
【典型例题】
【例1】已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例2】已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例3】i为虚数单位，
A．0 B．2i C．-2i D．4i
【例4】设复数z满足=i2 017,则|1+z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【例5】已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
【对点实战】
1.已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2.复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3.若，则（ ）
A．8 B． C．2 D．
4.已知复数（为虚数单位），，若，则（ ）
A． B． C． D．
六、1+i的运算
以下公式可以适当选择记忆。
1.
2.。
3.＝i
4.
【典型例题】
【例1】复数(为虚数单位)，则其共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知复数z满足=1+i,则在复平面内,复数z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【例3】设复数，其中是虚数单位，则的虚部是______．
【例4】为的共轭复数，如果，那么______．
【例5】计算：______________.
【例6】（ ）
A．0 B．2 C． D．
【对点实战】
1.如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________.
2.表示虚数单位，则______.
3.（ ）
A． B． C． D．
4.若复数则（ ）
A． B． C．1 D．
5.已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
七、特殊数据计算
设,则
1.
2.
3.
【典型例题】
【例1】设，若，则可以取（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【例2】已知复数，是z的共轭复数，则=
A． B． C．1 D．2
【例3】若非零复数满足，则的值是___________.
【例4】计算：___________.
【例5】设，若，则__________．
【例6】已知复数,满足(a,b为实数),则 　 .
【例7】设复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【例8】若关于的方程（是实数）有两个不等复数根和，其中（是虚数单位），下面四个选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【对点实战】
1.已知是一个负实数，则正整数可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.已知为虚数单位，以下关于复数的四个命题中说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若是方程的虚数根，则
D．若，则复平面内对应的点位于第一象限
3.设，，则_________.
4.计算_______.
5.设，若，则__________．
6.已知满足等式．
（1）计算；；；
（2）求证：对任意复数，有恒等式；
（3）计算：，．
八、复数乘、除法运算与最值
【典型例题】
【例1】设复数，满足，，则的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【例2】已知复数，满足，，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例3】复数（为虚数单位），若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例4】满足+=2n的最小自然数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例5】已知复数是方程的一个解.
（1）求、的值；
（2）若复数满足，求的最小值.
【例6】设、，若，则的最大值为______.
九、复数乘除运算综合应用
【典型例题】
【例1】若，，则实数，应满足的条件为________.
【例2】若复数，则复数（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知，则实数a，b的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【例4】复数为虚数单位在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例5】若复数是一个纯虚数，则的一个可能的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【例6】设、、.下列命题中，假命题的个数为（ ）
①；
②若，则；
③
④若，则；
⑤.
A．1 B．2
C．3 D．4
【例7】已知向量，在复平面坐标系中，i为虚数单位，复数对应的点为．
（1）求﹔
（2）为曲线为的共扼复数)上的动点，求与之间的最小距离；
（3）若，求在上的投影向量．
【例8】已知复数满足且___________
从下列三个条件中选择其中之一填在以上横线上，①；②；③为纯虚数.并完成下列问题：
（1）求复数z；
（2）若复数z的虚部小于0，且(表示复数z的共扼复数)，求m的取值范围.
十、联赛、联考与自主招生题选
【例1】设，其中为虚数单位，.设，则的实部为___________.
全国高中数学联赛模拟试题（十九）
【例2】设复数 满足，则___________.
全国高中数学联赛模拟试题（一）
7.2.2复数乘、除运算
本节课知识点目录：
复数乘法运算的代数形式
复数除法运算的代数形式。
复数范围内解方程。
乘法、除法与求模的运算
i的运算性质
1+i的运算
特殊复数的计算
复数乘除法运算与最值
复数乘除运算综合应用
联赛联考题选
一、复数乘法运算的代数形式
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
【典型例题】
【例1】是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】先利用复数的乘法化简，再利用纯虚数的定义列出等式，即得解
【详解】由题意，
若为纯虚数，则
故选：B
【例2】为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则__________．
【答案】
【分析】直接利用复数对应的几何意义，即可得到复数，然后利用复数乘法运算求解即可．
【详解】解：设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，复数，的实部相反，虚部相反，
，所以．.故答案为：．
【例3】若复数z的共轭复数是，且z+=6，z·=10，则z=（ ）
A．1±3i B．3±i
C．3+i D．3-i
【答案】B
【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算求解即可
【详解】设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi，因为z+=6，z·=10，所以
解得即z=3±i.故选：B
【例4】已知，其中为虚数单位，若复数的实部为正数，则________．
【答案】
【分析】设，利用复数的平方及复数相等求解即可.
【详解】设,则，
所以，解得，，
故答案为：
【例5】复数在复平面内所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数对应点在第二象限列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】，其对应的点在第二象限，
所以.
故选：B
【例6】若，其中，是虚数单位，，则___________.
【答案】10
【分析】先由求出的值，从而可得，进而可求出复数的模
【详解】解：由，得，，所以，
所以 ，
所以，
故答案为：10
【对点实战】
1.在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的乘法、乘方运算法则，可化简原式为，在复平面内对应的点为，即得解
【详解】由题意，
在复平面内对应的点为，在第四象限故选：D
2.已知，若为纯虚数（为虚数单位），则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据复数的乘法化简计算，然后再根据纯虚数的概念求解出的值.
【详解】因为，且为纯虚数，
所以，所以，
故选：B.
3.已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用复数运算求得，进而求得.
【详解】由得，
即.
故选：A
4.设复数，，若为实数，则为__.
【答案】
【分析】利用复数乘法运算求得，由实数定义构造方程可得结果.
【详解】，，解得：.
故答案为：.
5.已知复数z1=2+i，z2=1-i，则复数z1·z2的虚部是_______________
【答案】-1
【详解】,故虚部为－1
二、复数除法运算的代数形式
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则＝＝＝＋i.
复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的共轭复数．
【典型例题】
【例1】已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4i
C．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限
【答案】B
【分析】根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解.
【详解】∵，
∴ z的虚部为4, z的共轭复数为1﹣4i，|z|，z在复平面内对应的点在第一象限.
故选：B
【例2】已知为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算化简，求出即可得在复平面内对应的点的坐标以及所在的象限.
【详解】，
，所以在复平面内对应的点坐标为，
所以在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A.
【例3】若复数z满足，则在复平面内z对应的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算求出，即可得出对应点的坐标.
【详解】,
,
所以复平面内z对应的点的坐标为，
故选：C
【例4】若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.
【详解】由题得，
因为为纯虚数，则，所以.故选：C
【点睛】
结论点睛：复数则且，不要漏掉了.
【例5】已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法运算法则化简复数，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线对称的点，得到复数，最后利用复数的乘法运算法则即可求得．
【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，
其关于直线对称的点为，所以，
所以，
故选：C．
【例6】已知复数满足，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】设，根据，求得参数，即可得出答案.
【详解】解：设，
则，即，即，
所以，解得，所以.故选：B.
【对点实战】
1.已知复数，其中a，，i是虚数单位，则（ ）
A．-5 B．-1 C．1 D．5
【答案】B
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a与b的值，则答案可求．
【详解】由，得，
∴，即，，
∴．
故选：B
2.已知复数满足，则对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先求出，再判断对应的点的位置.
【详解】因为，所以，
所以对应的点位于复平面的第三象限.
故选：C
3.已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的四则运算法则，化简得到复数，进而求得复数的模.
【详解】因为，
所以.故选：D.
4.若是纯虚数（其中为虚数单位），则实数等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设，化简后利用复数相等列方程求解即可.
【详解】设，所以，
所以，解得，故选：B．
5.已知复数满足 (为虚数单位），则复数
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以 ，选B.
6.若是纯虚数，满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】化简求出a再求解即可
【详解】是纯虚数，故 此时
，所以，即，所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.
故选：D
7.已知复数 ，，复数z满足，则_____________．
【答案】
【分析】根据复数的四则运算公式，求得，再结合复数的模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，复数 ，，
则，
所以，所以.
故答案为：.
三、复数范围内解方程
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝.
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【典型例题】
【例1】已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p,q即可求解.
【详解】因为复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，
所以也是方程的一个根，故，即，所以，故选：C
【例2】若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设方程为，根据韦达定理分别将用表示，即可得出答案.
【详解】解：设方程为，则，所以，
，所以，则方程为，
故只有B选项符合题意.故选：B.
【例3】方程在复数集内解的个数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，再根据复数的运算及复数的模，解方程.
【详解】令，则，
得
当时，，或；
当时，，或（舍）.
综上共有6个解：，，，
故选；C.
【例4】已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________．
【答案】或
【分析】设方程的两根分别为，，用表示出，利用韦达定理求得或，分情况结合两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，求得的值.
【详解】解：方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，
设方程的两根分别为，，则，得，，则，
则，
则或当时，，，
设在复平面上对应的点为，则，设在复平面上对应的点为，则，
则，得，则，
当时，，，，
此时，即，即，
∴，故答案为：或.
【例5】已知复数满足方程：，则______．
【答案】3
【分析】由题知和是的一对共轭虚根，由韦达定理可得结果.
【详解】依题意可知和是一元二次方程的一对共轭虚根，
由韦达定理和复数的性质得，所以.
故答案为：3.
【例6】设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______.
【答案】
首先设 (，且)，代入方程，化简为，再分和两种情况求验证是否成立.
【详解】设，(，且)
则原方程变为.
所以，①且，②；
（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；
从而，此时或3，故满足条件；
（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，，
所以.
综上满足条件的所以复数的和为.
故答案为：
【例7】已知方程的两个虚根为，且，则实数的值为（ ）
A． B． C．，2 D．
【答案】D
【分析】由题设知，令则，根据已知条件及根与系数关系列方程求m、n，进而求的值.
【详解】由题设知：，若，则，
∵，
∴，即，又，
∴，故，
∵，
∴.
故选：D
【例8】已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．41
【答案】C
【分析】将代入原方程，然后根据复数相等求解出的值，则可求.
【详解】因为复数是关于的方程的一个根，
所以，所以，
所以，所以，
则，
故选：C.
【对点实战】
1.已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z等于(　　)
A．1±2i B．－1±2i C．1＋2i或－1－2i D．2＋i或－2－i
【答案】C
【分析】由题意，根据方程，求得的值，得到复数，即可得到答案.
【详解】由题意得，
∵，
∴，解得或，
∴z＝1＋2i或z＝－1－2i.故选C.
2.已知方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数______．
【答案】5
【分析】由题得方程的另外一个虚根为，再利用韦达定理得解.
【详解】由题得方程的另外一个虚根为，
所以.
故答案为：5
3.已知复数满足（为虚数单位），．则一个以为根的实系数一元二次方程为__________________．
【答案】
【分析】根据条件可得，然后得到．由实系数一元二次方程的两根，，即可得结果．
【详解】解：∵复数满足
∴，即∴，故．
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根，
∵，，
∴所求的一个一元二次方程可以是．
故答案为：
4.方程的一个根为，其中为虚数单位，则实数的值为（ ）
A．-10 B．10 C．6 D．8
【答案】B
【分析】结合实系数的一元二次方程在复数范围内的两根的关系求出另外一根，进而结合韦达定理以及复数的乘法运算即可求出结果.
【详解】因为方程的一个根为，
故方程的一个根为，
结合韦达定理可得，即，
故选：B.
5.已知复数 是方程的一个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】为方程的两个根，由韦达定理可求得，由模长运算可得结果.
【详解】是方程的一个根，是方程的另一个根，
，.
故选：B.
6.若x为复数，则方程x4=1的解是（ ）
A．l或 B．i或﹣i
C．1+i或1﹣i D．1或﹣1或i或﹣i
【答案】D
【分析】方程x4=1可化为方程x4﹣1=0.对方程的左边直接运用平方差公式分解即可求得此方程的解.
【详解】因为：x4﹣1=(x2+1)(x2﹣1)
=(x+i)(x﹣i)(x﹣1)(x+1).
所以x4﹣1=0即(x+i)(x﹣i)(x﹣1)(x+1)=0.
解得x=1，﹣1，i，﹣i.
即在复数集中，方程x4=1的解为1，﹣1，i，﹣i
故选：D
7.已知复数，是方程的两根，则（ ）
A．的实部都是 B．在复平面内对应的点关于虚轴对称
C． D．
【答案】C
【分析】求出方程的两根，再由复数的概念以及复数的几何意义以及复数的模、复数的乘法运算逐一判断即可.
【详解】方程的两根为：
，
所以，，
所以的实部都是，故A错误；
在复平面上的点为，
在复平面上的点为，
在复平面内对应的点关于实轴对称，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C
8.已知关于的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是和，下列结论中恒成立的是（ ）
A．和互为共轭复数 B．
C． D．
【答案】B
【分析】当判别式大于零时，可否定；利用根与系数的关系可判定；根据判别式小于零时，方程的两根可以为虚数，可否定；当判别式小于零时，取的特殊情况可否定.
【详解】当判别式大于零时，两个根和是不等实数，由于实数也是复数，满足条件，但此时和不是互为共轭复数，故A错误；
根据韦达定理在复数范围内也成立，可得B正确；
当和为虚数时，判别式小于零，故C错误；
当判别式小于零时，方程的两根为虚数，且互为共轭，设,
,
,故D不成立，故选：B.
四、乘法、除法与求模的运算
复数模的运算法则
1.|z1·z2| = |z1|·|z2|
2.
3.
4.┃|z1|－|z2|┃≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|
【典型例题】
【例1】复数满足i，则||的值是（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【答案】C
【分析】化简已知得z=i ,即得解.
【详解】解：方法一：由题意可知，=i，
所以i，，故选：C．
方法二：
【例2】若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
先求出，再求出得解.
【详解】由题得，
所以.
故选：C
也可以模仿例1方法二求解，更简单。
【例3】若复数满足（为虚数单位），则=
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：因为，所以因此
方法二：
【例4】在复平面内，若复数z对应的点为（1，1），则（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】首先由坐标确定复数z，并化简，最后求出模长
【详解】由已知复数z对应的点为（1，1），则,
因此,所以故选：B.
方法二：。
【例5】】复平面上点对应着复数以及向量，对于复数，下列命题都成立；①；②；③；④；⑤若非零复数，满足，则.则对于非零向量仍然成立的命题的所有序号是___________.
【答案】①②③
【分析】①根据平面向量加法交换律判定；
②结合平面向量加法运算法则判定；
③由判定；
④结合平面向量数量积判定；
⑤结合平面向量数量积判定.
【详解】解：①成立，故①正确；
②由平面向量加法运算法则可得，故②正确；
③成立，故③正确；
④，故④不成立，
⑤若非零向量，满足，
则，则，
所以不一定成立，故⑤不成立.
故答案为：①②③
【例6】已知，则___________.
【答案】
【分析】由，结合已知可得，再由即可求.
【详解】，
∵，，∴，
而，
∴，即.故答案为：
【对点实战】
1.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题首先根据共轭复数的性质得出，然后通过复数的运算法则得出，最后通过复数的模的求法即可得出结果.
【详解】因为，所以，
则，
，
故选：D.
2.已知复数，满足，且复数在复平面内位于第一象限，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用复数的乘方运算以及复数的几何意义即可求解.
【详解】设，
则，
则，所以，
，，所以，
则有，解得，
又复数在复平面内位于第一象限，所以，
代入可得．故选：C
3.若，且，则___________.
【答案】400
【分析】根据转化，可求得，同理转化即可求值.
【详解】，又，
∴，而，
∴，则.
故答案为：
五、i的运算性质
i的周期性要记熟，
1.
2.in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)；
【典型例题】
【例1】已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．
【详解】复数，
则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第一象限.
故选：A
【例2】已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先化简，再利用复数的除法化简得解.
【详解】.
所以复数对应的点在第四象限，
故选：D
【例3】i为虚数单位，
A．0 B．2i C．-2i D．4i
【答案】A
【详解】此题考查复数的运算
答案 A
点评：注意
【例4】设复数z满足=i2 017,则|1+z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据复数的乘方及复数的除法求得复数，即可得z+1，从而可得答案.
【详解】解：因为=i2 017=i，所以z=，
所以z+1=，故|z+1|=.故选：C.
【例5】已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
【答案】D
【分析】利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z，再逐项判断.
【详解】因为，所以，
A.复数z的模为，故错误；
B.复数z的共轭复数为，故错误；
C.复数z的虚部为，故错误；
D.复数z在复平面内对应的点为，所以在第一象限，故正确；
故选：D
【对点实战】
1.已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘方运算和复数的除法运算求得，再由共轭复数的概念可得选项.
【详解】解：因为 ，所以，
故，
故选：D
2.复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过计算出，从而得到，根据虚部的概念即可得结果.
【详解】∵，∴，
∴，即的虚部是，故选A.
3.若，则（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】首先得到，再求模长即可.
【详解】，.
故选：B
4.已知复数（为虚数单位），，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得，由复数的模长公式可得关于的方程，解出即可.
【详解】由，则，则，
故选：C.
六、1+i的运算
以下公式可以适当选择记忆。
1.
2.。
3.＝i
4.
【典型例题】
【例1】复数(为虚数单位)，则其共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘法及除法运算求出，得到，即可求解.
【详解】∵,∴∴的虚部为故选：A
【例2】已知复数z满足=1+i,则在复平面内,复数z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算，可得z=2-i，则 z的对应点为(2,-1)，即得解
【详解】∵=1+i,∴z-2==-i,∴z=2-i,∴z的对应点为(2,-1)故选：D.
【例3】设复数，其中是虚数单位，则的虚部是______．
【答案】
【分析】先求出，根据，最后算出答案.
【详解】∵，∴，
∴的虚部是．故答案为：．
【例4】为的共轭复数，如果，那么______．
【答案】
【分析】化简复数Z，并求得共轭复数，从而根据复数指数运算法则求得结果.
【详解】由知，，
则
故答案为：
【例5】计算：______________.
【答案】
先利用复数的运算法则将和化简，然后计算出及的值，然后得出的值．
【详解】．
故答案为：．
【例6】（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先化简括号中的，然后再求乘方即可
【详解】
，故选：C
【对点实战】
1.如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________.
【答案】
【分析】先求出复数，计算出后可求的值.
【详解】因为，故，所以，
故，故，
故答案为：.
2.表示虚数单位，则______.
【答案】1
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数的乘法计算可得．
【详解】解：
且，，，，……
故答案为：
3.（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简结合的周期性即可求解.
【详解】,
所以，
故选：A.
4.若复数则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的乘除法运算和虚数单位的运算性质化简可得选项.
【详解】因为，所以，
故选：A.
5.已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出即可.
【详解】
所以故选：C
七、特殊数据计算
设,则
1.
2.
3.
【典型例题】
【例1】设，若，则可以取（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】由，可得，从而可得，，再结合选项验证即可.
【详解】因为，所以，
，，
，不合题意；
，不合题意；
，符合题意；
，不合题意；
故选：C.
【例2】已知复数，是z的共轭复数，则=
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.
【详解】
，
，，
故答案为：A.
方法二：构造：
【例3】若非零复数满足，则的值是___________.
【答案】
【分析】由题设有、易得 ，同理，，而，，由此可知，即可求值.
【详解】由题设有：，解得，且，
∴，即，同理有，，
，，又，
∴，，
∴，
故答案为：.
【例4】计算：___________.
【答案】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，找出周期性的规律，即可求解.
【详解】∵，,
,,
.故答案为：.
【例5】设，若，则__________．
【答案】-2
【分析】求出，算出，再利用复数的乘法和乘方的运算律计算即可.
【详解】，故又
故故
故答案为：-2
【例6】已知复数,满足(a,b为实数),则 　 .
【答案】2
【分析】利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，化简等式，再利用两个复数相等的充要条件可得，，求得a+b的值．
【详解】解：∵复数（为虚单位），满足az2+bz+1＝0（a，b为实数），
∴a（）+b（）+1＝0，∴，
∴，，∴a+b＝2，故答案为 2．
【例7】设复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的运算法则，直接计算即可.
【详解】因为，
所以ω2，ω3＝（）（）＝1，
则1+ω+ω2+ω3＝11＝1.
故选：B.
【例8】若关于的方程（是实数）有两个不等复数根和，其中（是虚数单位），下面四个选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】首先设，利用韦达定理，即可求得，再根据复数的运算，分别判断选项.
【详解】由题可知，，，令，
又条件可知，，
所以，所以，即，
，
所以，所以，所以，
所以，故A正确；
，故B正确；
，所以，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD
【对点实战】
1.已知是一个负实数，则正整数可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】计算是复数，是负实数，即可找到n可取得值.
【详解】
是一个负实数
所以若是一个负实数，则正整数可以是3的奇数倍
故选：A
2.已知为虚数单位，以下关于复数的四个命题中说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若是方程的虚数根，则
D．若，则复平面内对应的点位于第一象限
【答案】AC
【分析】根据复数的运算和复数的几何意义，逐项判断各选项的对错.
【详解】，A对，
取，则，B错，
∵ 是方程的虚根，
∴ ，
当时，，
当时，，C对，
由可得，所以，
复平面内的对应点为，该点在第四象限，D错，
故选：AC.
3.设，，则_________.
【答案】
【分析】根据，求得，，然后利用立方和公式和复数的乘方运算求解.
【详解】因为，
所以，
，
原式.
故答案为：
4.计算_______.
【答案】-511
利用复数的运算公式，化简求值.
【详解】原式.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：本题考查复数的次幂的运算，注意，，
以及，等公式化简求值.
5.设，若，则__________．
【答案】-2
【分析】求出，算出，再利用复数的乘法和乘方的运算律计算即可.
【详解】
，故
又
故
故
故答案为：-2
6.已知满足等式．
（1）计算；；；
（2）求证：对任意复数，有恒等式；
（3）计算：，．
【答案】（1）；0；4；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据，利用复数的乘方逐个求解；
（2）利用多项式公式展开，再根据求解判断；
（3）根据，分当， ，求解.
【详解】（1）因为，
所以；
；
；
（2），
，
，
，成立；
（3）当时，；
当时，，
当时，，
综上：
八、复数乘、除法运算与最值
【典型例题】
【例1】设复数，满足，，则的最大值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】设，，其中a，b，c，d都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得，从而可得选项.
【详解】解：设，，其中a，b，c，d都是实数，
所以①，②.
又，所以，
所以③，④.
由①+②-③×2，得，所以，.
所以，由①知，故.
故选：B.
【例2】已知复数，满足，，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
先求得，设出，然后根据几何意义求得的最大值.
【详解】由，令，，，由
，，
对应点在单位圆上，所以表示的是单位圆上的点和点的距离，
到圆心的距离为，单位圆的半径为，
所以.故选：D
【例3】复数（为虚数单位），若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据复数代数形式的除法化简复数，设，根据复数模的计算公式得到，则可以看成圆上的点到原点的距离，从而求出距离最大值；
【详解】解：，设，因为，
所以，所以，即表示上的点，可以看成圆上的点到原点的距离，因为圆心到坐标原点的距离为，所以
故选：D
【例4】满足+=2n的最小自然数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由复数的乘方与除法则化简后然后代入值验证．
【详解】因为，，
所以
，
时，原式＝，
时，原式＝，
时，原式＝，满足题意．
故选：C．
【例5】已知复数是方程的一个解.
（1）求、的值；
（2）若复数满足，求的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）将代入方程，利用复数的四则运算结合复数相等可得出关于、的方程，结合可求得、的值；
（2）设，根据复数的模长公式结合已知条件可得出，再利用复数的模长公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】（1）依题意得，，即，
所以，解得，；
（2）由（1）可得，设，
则，，
因为，所以，整理得.
，
故当时，取得最小值.
【例6】设、，若，则的最大值为______.
【答案】2
【分析】根据已知条件，结合不等式，即可求解．
【详解】解：，
．
故答案为：2．
九、复数乘除运算综合应用
【典型例题】
【例1】若，，则实数，应满足的条件为________.
【答案】或
【分析】根据复数的运算得出，再由复数是实数的条件得出实数，应满足的条件.
【详解】
因为，故有,所以或，
即或是a，b应满足的条件.
故答案为：或.
【例2】若复数，则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结果.
【详解】由得，
，
，故选：A
【例3】已知，则实数a，b的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】B
【分析】首先化简，再根据复数相等，求实数的值.
【详解】
，
所以，解得：，所以.
故选：B
【例4】复数为虚数单位在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均大于0，列不等式组求解即可.
【详解】
在复平面内对应的点在第一象限，
，解得.
∴实数a的取值范围是.
故选：D
【例5】若复数是一个纯虚数，则的一个可能的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】先计算得，进而可判断，从而得解.
【详解】因为，
，
所以
，
故选：A.
【例6】设、、.下列命题中，假命题的个数为（ ）
①；
②若，则；
③
④若，则；
⑤.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】对于①，设 ,则，根据复数模的运算即可判断①正确;对于②，根据复数的性质：即可判断出②正确；对于③，根据复数模的性质，复数积商的模等于复数模的积商即可判断出③正确；对于④，举反例令，即可判断出④不正确；对于⑤，举反例令，即可判断出⑤不正确；
【详解】对于①，设 ,则
因为 , 所以， 所以①正确;
对于②，根据复数的性质：，则，所以②正确；
对于③，根据复数模的性质，复数积商的模等于复数模的积商，，所以③正确；
对于④，令，则有，但不成立，所以④不正确；
对于⑤，令，显然不成立，所以⑤不正确；
则假命题的个数为2个，
故选：B.
【例7】已知向量，在复平面坐标系中，i为虚数单位，复数对应的点为．
（1）求﹔
（2）为曲线为的共扼复数)上的动点，求与之间的最小距离；
（3）若，求在上的投影向量．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据数量积公式，化简计算，可得m，根据复数的除法运算，可得，代入求模公式，即可得答案.
（2）由（1）可得，代入可得曲线可得，根据其几何意义，可得曲线是复平面内以圆心，半径为的圆，根据点与圆的位置关系，即可得答案.
（3）当，可得，坐标，代入求夹角公式，可得，的夹角，又可得与方向相同的单位向量，即可得答案.
【详解】（1）
所以．
所以．所以
（2）由（1）可得，，曲线，即，
因此曲线是复平面内以圆心，半径为的圆，
故与之间的距离为
所以与之间的最小距离为．
（3）因为，所以
此时与的夹角余弦为
与方向相同的单位向量为
所以在上的投影向量
【例8】已知复数满足且___________
从下列三个条件中选择其中之一填在以上横线上，①；②；③为纯虚数.并完成下列问题：
（1）求复数z；
（2）若复数z的虚部小于0，且(表示复数z的共扼复数)，求m的取值范围.
【答案】(1) 或；(2) 或.
【分析】(1)设出复数，根据复数的运算法则对式子进行化简，然后利用复数相等和纯虚数的概念来求的值；
(2)把由(1)得的复数代入，根据复数的运算法则及复数的模的公式进行计算.
【详解】(1)若选①：设，则，即———①
因为，
所以————②
①②联立解，得 或，所以或.
若选②：设，则，即———③
因为，
所以， ————④
③④联立解，得 或，所以或.
若选②：设，则，即———⑤
因为为纯虚数，
所以所以，且 ————⑥
⑤⑥联立解，得 或，所以或.
(2) 因为复数z的虚部小于0，所有，
因为，所有，即，
所有或.
十、联赛、联考与自主招生题选
【例1】设，其中为虚数单位，.设，则的实部为___________.
全国高中数学联赛模拟试题（十九）
【答案】
【详解】，故，
故，故，从而实部为.
故答案为：.
【例2】设复数 满足，则___________.
全国高中数学联赛模拟试题（一）
【答案】2
【详解】解析：.
故答案为：2.

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