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7.3 复数的三角表示式及运算
本节课知识点目录：
复数的代数式化三角表示式；
复数的三角表示式化代数形式。
复数乘法的三角形式运算
复数除法的三角形式
复数的辐角
复数的辐角主值
探究与发现：地墨菲定理
复数三角形式的综合应用
联考与联赛题选
一、复数的代数式化三角表示式
复数的三角式：z=r（cosθ+isinθ）
特征：
(1).r≥0；
(2).相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；
(3).cosθ与isinθ之间用“＋”号连接．
【典型例题】
【例1】将下列复数化为三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【例2】把下列复数化为三角形式：-3，．
【例3】把下列复数表示成三角形式，并画出与它们对应的向量．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)2
(6)
(7)2i
(8)
【例4】利用，，把复数表示成三角形式．
【例5】下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【例6】下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.
（1）；
（2）.
【例7】复数的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
【对点实战】
1.把下列复数表示成三角形式；
(1)
(2)
(3)
(4)13
2.把下列复数表示成三角形式：
（1）﹣2(cosπ+isin)；
（2）sinicos；
（3）(sin5) (cosisin).
3.将下列复数代数式化为三角式：
（1）；
（2）.
4.复数的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
二、复数的三角形式化代数形式
【典型例题】
【例1】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）4；
（2）2
【例2】把下列复数的三角形式化成代数形式.
（1）；
（2）.
【例3】将复数化成代数形式，正确的是（ ）
A．4 B．-4 C． D．
【例4】．复数的代数形式是_____________.
【例5】将复数化为代数形式为___________
【例6】将复数z=3化成代数形式为_____;|z|=_____.
三、复数乘法的三角形式
复数乘法运算三角表示的几何意义:
复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.
【典型例题】
【例1】______________.
【例2】如图，向量与复数对应，把按逆时针方向旋转120°，得到．求向量对应的复数（用代数形式表示）．
【例3】将复数对应的向量按顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
【例4】求证：
(1)
(2)
【对点实战】
1.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．
2.计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3.已知z1=，z2=6cos+isin，计算z1z2，并说明其几何意义.
四、复数除法的三角形式
复数除法运算三角表示的几何意义:
复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商.
【典型例题】
【例1】______.
【例2】_______________.
【例3】_______________.
【例4】复数z的辐角，则对应的点位于第______象限．
【例5】若，且为负实数，则复数__________．
【对点实战】
1.化简：
(1)
(2)
2.计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
3.求证:.
五、复数的辐角
辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个．而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个．θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
【典型例题】
【例1】求复数的模与辐角．
【例2】复数的一个幅角为（ ）
A． B． C． D．
【例3】“复数的模与辐角分别相等”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例4】若复数的辐角为，的辐角为，则______．
【例5】把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（ ）
A．2 B．－2i
C．－3－i D．3－i
【例6】设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________
【例7】已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
六、辐角的主值
规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，即0≤arg z<2π.
【典型例题】
【例1】任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知复数则（ ）
A． B． C． D．
【例3】．求下列复数的模与辐角主值：
(1)
(2)
(3)
(4)
【例4】已知
（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值；
（2）若，求（用表示）.注：是辐角主值.
【例5】求复数的模与辐角主值.
【例6】已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【例7】设复数z的辐角是，实部是－2，则z＝________．
【例8】设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则argz1＋argz2＋argz3＝（ ）
A． B．
C． D．
【对点实战】
1.画出下列复数所对应的向量，并用三角形式表示(辐角取主值)：
（1）4；
（2）﹣2i；
（3）﹣2+2i；
（4）.
2.已知复数，求复数的辐角主值.
3.复数的辐角主值为
A． B． C． D．
4.当实数m＝________时，复数(m2－m－2)＋(2m2－3m－2)i的辐角主值是π．
5.已知复数满足，且，则的三角形式为__________．
6.复数的辐角主值为__________．
7.如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（ ）
A．辐角唯一 B．辐角主值唯一
C．辐角主值为 D．辐角主值为
七、探究与发现：棣莫弗定理
棣莫佛定理：复数的n(n∈N*)次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍．即[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)
【典型例题】
【例1】棣莫弗定理：若两个复数，，则，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知：棣莫弗公式（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【例3】已知复数满足且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例4】，则__________.
【例5】已知复数，若（，且），则的最小值为__________．
【例6】复数是方程的一个根，那么的值等于________.
【例7】设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【对点实战】
÷()=_____.
2.复数经过次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求的值．
在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释．
八、复数三角形式的综合应用
【典型例题】
【例1】利用复数证明余弦定理．
【例2】在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若的重心对应的复数为，求.
【例3】已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知复数满足，则的最大值是__________.
【例5】设复数，满足，，则__________．
【例6】已知，，其中，且，，求的值．
【例7】已知，且，若．
（1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值；
（2）求．
【例8】如图，若与分别表示复数Z1=1+2i，Z2=7+i，求，并判断的形状.
【例9】已知是实数，是非零复数，且满足，.
（1）求；
（2）设，若，求的值.
九、联赛、联考与自主招生题选
【例1】对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是______．
上海市高三数学竞赛试题
【例2】已知复数列，，…，，…满足，，，，n=1,2,...则在圆的内部所含有的的个数是______________．
全国高中数学联赛广西赛区初赛试题
【例3】复数，满足，，则______.
2021年浙江省数学夏令营测试题
7.3 复数的三角表示式及运算
本节课知识点目录：
复数的代数式化三角表示式；
复数的三角表示式化代数形式。
复数乘法的三角形式运算
复数除法的三角形式
复数的辐角
复数的辐角主值
探究与发现：地墨菲定理
复数三角形式的综合应用
联考与联赛题选
一、复数的代数式化三角表示式
复数的三角式：z=r（cosθ+isinθ）
特征：
(1).r≥0；
(2).相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；
(3).cosθ与isinθ之间用“＋”号连接．
【典型例题】
【例1】将下列复数化为三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解.
(1)
(2)
(3)
(4).
【例2】把下列复数化为三角形式：-3，．
【答案】；.
【分析】求出给定复数的模和幅角，再写出其三角形式作答.
【详解】
复数-3的模，又与-3对应的点在实轴的负半轴上，则，
所以；
复数的模，又与对应的点在第四象限，则，
所以.
【例3】把下列复数表示成三角形式，并画出与它们对应的向量．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)2
(6)
(7)2i
(8)
【答案】答案见解析
【分析】将复数转化为复数的三角形式，再找到对应的向量坐标，画出向量得到答案.
(1)
，对应向量为.
(2)
，对应的向量为.
(3)
，对应的向量为.
(4)
，其中，，对应的向量为.
(5)
，对应的向量为.
(6)
，对应向量为.
(7)
，对应向量为.
(8)
，对应向量为.
【例4】利用，，把复数表示成三角形式．
【答案】，其中，幅角为
【分析】根据复数的三角形式，其中，为复数的模，为幅角，分析即得解
【详解】
复数的三角形式为：
其中，为复数的模，为幅角
由于，
故
其中，幅角为
【例5】下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)不是三角形式，化为三角形式为；
(2)不是三角形式，化为三角形式为；
(3)不是三角形式，化为三角形式为；
(4)是三角形式.
【分析】直接利用复数的三角形式求解即可.
(1)
不是三角形式，
，
其中，故三角形式为；
(2)
不是三角形式，
，
其中，故三角形式为；
(3)
不是三角形式，
，
，故三角形式为；
(4)
是三角形式.
【例6】下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）不是，（2）不是，.
（1）根据复数的三角形式的定义，结合题意，本题中模是负数，显然不是三角形式，需要借助诱导公式化简；
（2）根据复数的三角形式的定义，显然不是复数，借助诱导公式化简即可.
【详解】
（1）不是.
（2）不是.
.
【例7】复数的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合复数的三角形式的概念可以直接求解.
【详解】
因为，辐角主值为，所以
故选：C.
【对点实战】
1.把下列复数表示成三角形式；
(1)
(2)
(3)
(4)13
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由公式求模长，由角的终边经过点求辐角的主值即可求解；
（2）由公式求模长，由角的终边经过点求辐角的主值即可求解；
（3）由公式求模长，由角的终边经过点求辐角的主值即可求解；
（4）求模长，辐角的主值即可求解；
(1)
因为，，所以是第二象限角，
所以，所以
(2)
因为，，且是第四象限角，
所以，所以
(3)
且，所以.
(4)
，且，所以.
2.把下列复数表示成三角形式：
（1）﹣2(cosπ+isin)；
（2）sinicos；
（3）(sin5) (cosisin).
【答案】（1）2(cosisin)；（2）cos()+isin()；（3）﹣sin5(cosisin).
【分析】求出所给复数的模及辐角主值，即可求得结果.
【详解】
求出所给复数的模及辐角主值，即可求得结果.
解：（1）原式=2(﹣cosisin)=2(cosisin)；
（2）原式=cos()+isin()=cos()+isin()；
（3）原式=﹣sin5(﹣cosisin)=﹣sin5(cosisin).
3.将下列复数代数式化为三角式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）首先计算，再化简为，利用三角函数表示；（2）分和两种情况表示复数的三角形式.
【详解】
（1）
（2）当时，，
当时，
4.复数的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式可得结果.
【详解】
由诱导公式可知，
，
因此，.
故选：B.
二、复数的三角形式化代数形式
【典型例题】
【例1】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）4；
（2）2
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
（1）复数4为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为的形式；
（2）先把复数，转化为三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为的形式；
【详解】
（1）复数4模r＝4，辐角的主值为θ＝.
.
（2），
复数的模为2，辐角的主值为θ＝，
.
【例2】把下列复数的三角形式化成代数形式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
（1）分别求出 再整理为 的形式.
（2）分别求出 再整理为 的形式.
【详解】
（1）.
（2）.
【例3】将复数化成代数形式，正确的是（ ）
A．4 B．-4 C． D．
【答案】D
根据特殊角的三角函数值，化简即可.
【详解】
故选：D.
【例4】．复数的代数形式是_____________.
【答案】
【详解】
.故答案为：.
【例5】将复数化为代数形式为___________
【答案】
【分析】直接写出三角函数值再化简即得解.
【详解】
由题得.
故答案为：
【例6】将复数z=3化成代数形式为_____;|z|=_____.
【答案】 3
【分析】利用特殊角的三角函数值，即可得到答案；
【详解】，
故答案为：
【例7】计算：．
【答案】##
【分析】直接利用复数的三角运算性质求解即可
【详解】原式
故答案为：
三、复数乘法的三角形式
复数乘法运算三角表示的几何意义:
复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.
【典型例题】
【例1】______________.
【答案】
先将不是标准三角形式的复数化为标准形式，然后再用乘法法则计算，即可求得.
【详解】
.
故答案为：.
【例2】如图，向量与复数对应，把按逆时针方向旋转120°，得到．求向量对应的复数（用代数形式表示）．
【答案】
【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可.
【详解】
如上图，将Z逆时针旋转到，即是向量对应的复数：
，
故答案为：.
【例3】将复数对应的向量按顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
【答案】
【分析】将复数乘以即可得出答案.
【详解】解：复数对应的点为，
将向量按顺时针方向旋转，
所得复数为
.
【例4】求证：
(1)
(2)
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】将各因式化为三角形式，按照复数三角形的乘法法则，即可得证.
(1)
左边
，
∴.
(2)
左边
，
∴.
【对点实战】
1.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．
【答案】
【分析】，根据向量旋转结合复数的三角运算得到答案.
【详解】，
对应向量绕原点O按顺时针方向旋转，
所对应的复数为.
2.计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
3.已知z1=，z2=6cos+isin，计算z1z2，并说明其几何意义.
【答案】3i，几何意义见解析.
【分析】利用复数三角形式的乘法运算，即可得到答案；
【详解】解：.
首先作复数z1对应的向量，然后将绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的6倍，得到的向量即为z1z2所对应向量.
四、复数除法的三角形式
复数除法运算三角表示的几何意义:
复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商.
【典型例题】
【例1】______.
【答案】
先将6转化三角形式，再用复数的除法求解.
【详解】
.
故答案为：.
【例2】_______________.
【答案】
将化为复数的三角形式，再利用除法法则，进行计算即可.
【详解】
故答案为：.
【例3】_______________.
【答案】
先将代数形式的复数，以及非标准三角形式的复数，都化为标准三角形式，再用除法法则计算.
【详解】
=
故答案为： .
【例4】复数z的辐角，则对应的点位于第______象限．
【答案】一
【分析】设，，根据复数的乘方运算及除法运算，结合正弦函数的性质即可得出答案.
【详解】解：设，，
则
，因为，所以，所以，则，
所以对应的点位于第一象限.故答案为：一.
【例5】若，且为负实数，则复数__________．
【答案】或或
【分析】根据，设，然后化简整理，得到，然后根据复数的类型求出，进而可以求出复数.
【详解】因为，所以设，
所以
又因为为负实数，所以，
当时，或，
因为符合题意，
不符合题意，舍去，
所以，此时；
当时，则，或，
因为符合题意，
符合题意，
所以时，；
时，，
综上：或或，
故答案为：或或.
【对点实战】
1.化简：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】按照复数三角形式的除法法则，即可求解.
(1)
原式
(2)
原式
2.计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】利用复数三角形式的乘除法法则运算即可.
(1)
原式
(2)
原式
(3)
原式
(4)
原式
3.求证:.
【答案】证明见解析
【分析】利用复数三角形式的乘方和乘法运算，结合诱导公式，即可得到答案；
【详解】左边=
=
=右边.
五、复数的辐角
辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个．而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个．θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
【典型例题】
【例1】求复数的模与辐角．
【答案】答案见解析
【分析】根据三角函数诱导公式得到，得到答案.
【详解】
，，
故．
由此可知，这个复数的模为2，辐角为．
【例2】复数的一个幅角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将复数转化为三角形式求解.
【详解】
，
，
故选：B
【例3】“复数的模与辐角分别相等”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
要对充分性和必要性进行判断，注意辐角可以相差的整数倍即可.
【详解】
当复数的模与辐角分别相等时，一定有，充分性成立；
但当时，与的辐角可以相等，也可以相差的整数倍，必要性不成立.
综上，“复数的模与辐角分别相等”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【例4】若复数的辐角为，的辐角为，则______．
【答案】
【分析】设，可得，，由已知条件可得，，解得和的值即可求解.
【详解】
设，，则，，
因为复数的辐角为，所以，①
因为复数的辐角为，所以，②
由①②可得：，，
所以，
故答案为：.
【例5】把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（ ）
A．2 B．－2i
C．－3－i D．3－i
【答案】C
【分析】将复数化成三角形式为，从而得到其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数．
【详解】
因为，
其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数为：
.
故选：C．
【例6】设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________
【答案】
【分析】将复数表示为三角的形式，可得出的三角表示，根据可得出关于的表达式，进而可求得自然数的最小值.
【详解】
因为，
将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，
则，
因为，所以，，所以，，
所以，，当时，取得最小值.
故答案为：.
【例7】已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，根据辐角的定义得到方程组，解得即可；
【详解】
解：设，
因为的辐角为，所以
因为的辐角为，所以
解得，所以
故选：B
六、辐角的主值
规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，即0≤arg z<2π.
【典型例题】
【例1】任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将复数写成三角形式，可得结果.
【详解】
复数，因此，复数的辐角主值为.
故选：A.
【例2】已知复数则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的辐角为即可求解.
【详解】
由设复数的辐角为，则，又复数在复平面内对应的点为，在第二象限，
所以，即.故选：D
【例3】．求下列复数的模与辐角主值：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)模为，辐角主值为
(2)模为，辐角主值为
(3)模为，辐角主值为
(4)模为，辐角主值为
【分析】（1）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；
（2）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；
（3）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；
（4）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值.
(1)
，其对应的点为，辐角主值为
(2)
，其对应的点为，辐角主值为
(3)
，其对应的点为，辐角主值为
(4)
，其对应的点为，其辐角主值为
【例4】已知
（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值；
（2）若，求（用表示）.注：是辐角主值.
【答案】（1）时，取最大值；（2）当时，；当时，.
【分析】（1）求出，即得解；
（2）设，，再对分 和两种情况讨论得解.
【详解】
（1）
所以，当时，即时，取最大值.
（2）要求，可以把写成三角形式，但较为困难，故可先求出的正切值.
设，则由于
所以.
因为，所以的实部，的虚部.
当时，，所对应的点位于第四象限.
由于，所以.
当时，，所对应的点位于第一象限（或轴正半轴）.
由于，所以.
【例5】求复数的模与辐角主值.
【答案】，
【分析】把复数化为三角形式后可得结论．
【详解】
因为，
所以
，
此时，．
所以，．
【例6】已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据题意，得到，结合两角和的正切公式，即可求解.
【详解】
由题意，复数和的辐角主值分别为，
则，所以 .
故选：D.
【例7】设复数z的辐角是，实部是－2，则z＝________．
【答案】
【分析】由复数三角形式的定义结合辐角的正切值可得结果.
【详解】
由复数，则
所以
故答案为:
【例8】设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则argz1＋argz2＋argz3＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据复数辐角主值的范围，结合复数的性质，先求z1·z2·z3，从而求得其辐角主值，进而求得结果.
【详解】∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)
＝(3－i)(－1＋3i)＝10i，
∴argz1＋argz2＋argz3＝＋2kπ，k∈Z.
∵argz1∈，argz2∈，argz3∈，
∴argz1＋argz2＋argz3∈.
∴argz1＋argz2＋argz3＝.
【对点实战】
1.画出下列复数所对应的向量，并用三角形式表示(辐角取主值)：
（1）4；
（2）﹣2i；
（3）﹣2+2i；
（4）.
【答案】（1）作图答案见解析，4(cos0+isin0)；（2）作图答案见解析，2(cosisin)；（3）作图答案见解析，；（4）作图答案见解析，cosisin.
【分析】利用复数的几何意义 辅助角公式即可得出.
【详解】
（1）4=4(cos0+isin0)；
（2）﹣2i=2(cosisin)；
（3）﹣2+2i=2(cosisin)；
（4）isin.作图如下，
2.已知复数，求复数的辐角主值.
【答案】
【分析】根据复数的除法运算化简可得答案.
【详解】
解：＝＝＝－＋，
所以，
所以复数辐角的主值为π．
3.复数的辐角主值为
A． B． C． D．
【答案】D
化简利用诱导公式化成标准形式再判断即可.
【详解】
,故复数z的辐角主值为.
故选：D
4.当实数m＝________时，复数(m2－m－2)＋(2m2－3m－2)i的辐角主值是π．
【答案】0
【分析】根据辐角主值概念建立方程，求解可得答案．
【详解】
解：因为复数(m2－m－2)＋(2m2－3m－2)i的辐角主值是π，所以辐角的正切值为1，
所以，解得m的值为0．
故答案为：0．
5.已知复数满足，且，则的三角形式为__________．
【答案】
【分析】由可得，根据的范围限制舍去一根，借助公式即可表示出的三角形式．
【详解】
由可得，，所以，
又，所以．
因为，
所以．
故答案为：．
6.复数的辐角主值为__________．
【答案】
【分析】根据复数的三角形形式的概念即可求解.
【详解】
因为，所以数的辐角主值为，
故答案为：.
7.如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（ ）
A．辐角唯一 B．辐角主值唯一
C．辐角主值为 D．辐角主值为
【答案】B
【分析】由给出的非0复数有一个辐角为，结合辐角主值的概念得答案．
【详解】解：辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．
故选：B．
七、探究与发现：棣莫弗定理
棣莫佛定理：复数的n(n∈N*)次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍．即[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)
【典型例题】
【例1】棣莫弗定理：若两个复数，，则，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出，求出的值，即可得出的值.
【详解】由已知条件可得，
，，
以此类推可知，对任意的，，
，
所以，
，因此，.故选：B.
【例2】已知：棣莫弗公式（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由已知求得复数所对应点的坐标，结合三角函数的象限符号得答案．
【详解】解：由，
所以，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，，
，所以，，
复数在复平面内所对应的点位于第二象限．故选：．
【例3】已知复数满足且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据条件求得复数，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值.
【详解】设，
，即，
，解得：
，
当时，
，
则 ，
当时，
则
，故选：D
【例4】，则__________.
【答案】400
【分析】将分子、分母化为复数的三角形式，根据复数乘除的几何含义，求的三角形式，即可求.
【详解】，
若，则，∴.
故答案为：.
【例5】已知复数，若（，且），则的最小值为__________．
【答案】7
【分析】根据复数的三角表示及三角形式下的乘方求得，然后根据的范围求得最小值.
【详解】复数，若
则，
则，，且
故的最小值为7，
故答案为：7.
【例6】复数是方程的一个根，那么的值等于________.
【答案】
【分析】由题意转化条件得，再由复数三角形式的乘方法则即可得解.
【详解】因为复数是方程的一个根，
所以.
故答案为：.
【例7】设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合，再把选项中的值分别代入计算得到集合，一一判断即可求解.
【详解】由，得，
即，故，0，1，2，4，5，
因此集合.
当时，同理得，
此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，
同理可知，时，也不满足题意，故ACD错；
当时，得：
，
当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确.
故选B.
【对点实战】
1.．÷()=_____.
【答案】
【分析】先复数化成三角形式，再利用乘方和除法运算，即可得到答案；
【详解】解：原式
，
故答案为：
2.复数经过次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求的值．
【答案】.
【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可.
【详解】由题意：，
可得，
∴，.
3.在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释．
【答案】证明见解析；几何解释： 的个根对应的点，将单位圆等分.
【分析】结合复数的三角形式以及三角函数值即可验证；然后结合复数的几何意义即可得出几何解释.
【详解】
，，1，2，…，，
所以（，1，2，…，）是方程的n个根，
设,，……，（，1，2，…，），
则是由逆时针方向旋转而得到（模不变，），
故是以原点为圆心的单位圆的个等分点，即的个根对应的点，将单位圆等分.
八、复数三角形式的综合应用
【典型例题】
【例1】利用复数证明余弦定理．
【答案】证明见详解
【分析】画出三角形，结合复数的三角形式分别表示出对应的复数三角形式，结合向量运算原理和复数的几何意义即可求证.
【详解】
如图：对应的复数为，对应的复数为，所以，
所以，得证，
同理可证.
【例2】在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若的重心对应的复数为，求.
【答案】
根据题意，写出复数的三角形式，由重心坐标的计算公式，可得重心对应的复数的形式，结合题目已知条件，即可求解.
【详解】
由题意，可知.∵的重心对应的复数为，
∴，即，∴，
∴，∴.
【例3】已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，根据复数模长运算和三角恒等变换的知识可得到，由此确定最大值.
【详解】
由可设：，，
（其中），
当时，.
故选：.
【例4】已知复数满足，则的最大值是__________.
【答案】
【分析】设，则化简可得；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果．
【详解】
设 ．
则
．
，．
当时，，
所以，的最大值是；
当时，，
所以，的最大值是 ；
当时，，所以，
，．
综上，的最大值是． 故答案为：．
【例5】设复数，满足，，则__________．
【答案】
【分析】由题意设，，利用已知复数相等的条件列方程组求，进而可求.
【详解】
∵，设，，
∴，
∴，两式平方相加得：，化简得：，
∴.
故答案为：.
【例6】已知，，其中，且，，求的值．
【答案】
【分析】结合复数的三角形式以及辐角与模的概念，结合三角恒等变换即可求出结果.
【详解】因为，，又，则，，得，所以，．由，，得，．又，所以．又由，得，所以．所以
【例7】已知，且，若．
（1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值；
（2）求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据复数的三角形式的概念即可直接求出结果；
（2）根据复数相等的条件求出，然后结合复数运算法则求出，进而利用模长公式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）设，又因为，，，
则，即，所以，
故，
则.
【例8】如图，若与分别表示复数Z1=1+2i，Z2=7+i，求，并判断的形状.
【答案】∠Z2OZ1=，为直角三角形.
【分析】利用复数的乘除运算以及复数的三角表示可得∠Z2OZ1=，由可得为直角三角形.
【详解】=(1+i)
=，∴∠Z2OZ1=，且.
∴为直角三角形.
【例9】已知是实数，是非零复数，且满足，.
（1）求；
（2）设，若，求的值.
【答案】（1）（2）
（1）根据辐角，设出复数，再根据等量关系待定系数即可；
（2）由（1）中所求复数代入（2）中的模长计算公式，即可化简求得.
【详解】（1），可设，
将其代入，
化简可得，
∴，解得，
∴.
（2）
.
∵，∴，
化简得.∵，
∴，即.
九、联赛、联考与自主招生题选
【例1】对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是______．
上海市高三数学竞赛试题
【答案】10
【分析】利用复数的三角形式结合余弦函数的性质可得的取值范围，从而得到实数的最小可能值.
【详解】设，，，
由题设有.
又
，
，
而，
所以，
而，当且仅当终边相同时等号成立，
故，所以，
故实数的最小可能值为10，
故答案为：10.
【例2】已知复数列，，…，，…满足，，，，n=1,2,...则在圆的内部所含有的的个数是______________．
全国高中数学联赛广西赛区初赛试题
【答案】5
【详解】因，
所以.
将以上n个式子相加得.
因，所以，由得，
即.于是，.
注意，可知，，
即在圆的内部共含有的个数为5，亦即只含.
【例3】复数，满足，，则______.
2021年浙江省数学夏令营测试题
【答案】
【分析】【详解】如图所示，设在复平面内对应的点分别为,
由已知得,
由余弦定理得向量所成的角为,
不妨设,
,
,,
,,
,
.
故答案为：.

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