资源简介

2.5.2圆与圆的位置关系（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：两圆的位置关系
重点题型二：两圆相切问题
重点题型三：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长
重点题型四：圆与圆的位置关系的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象 位置关系 图象 位置关系
外 离 外 切
相 交 内 切
内 含
2、圆与圆的位置关系的判定
2.1几何法
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
①当时，两圆相交；
②当时，两圆外切；
③当时，两圆外离；
④当时，两圆内切；
⑤当时，两圆内含.
2.2代数法
设:
:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
知识点二：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
3、公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
知识点三：圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
知识点四：圆系方程
以为圆心的同心圆圆系方程：；
与圆同心圆的圆系方程为；
过直线与圆交点的圆系方程为
过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( )
（2）若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．( )
（3）若两圆有公共点，则．( )
2．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）圆：与圆：的位置关系是内切 ( )
3．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的内公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（2022·全国·高二课时练习）若两圆的半径R，r分别为5和2，圆心距d为3，则两圆的位置关系是_________．
5．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的位置关系是( )
A．相交 B．外离 C．外切 D．内切
重点题型一：两圆的位置关系
角度1：判断两圆位置关系
典型例题
例题1．（2022·天津河北·高二期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
例题2．（2022·福建福州·高二期末）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题3．（2022·江苏·高二）两圆与的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
角度2：由圆的位置关系求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）“”是“与相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
例题3．（2022·江苏·高二）若圆与圆相外切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
例题4．（2022·江苏盐城·高二期末）若圆和圆有两个不同的公共点，则实数的取值范围是___________.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二期中）若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________．
2．（2022·全国·高三专题练习）若圆与圆内切，则_________.
3．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数是___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）两圆与相交，则的取值范围是______.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆与圆外切,则的值为______.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝________．
重点题型二：两圆相切问题
例题1．（2022·上海徐汇·高二期末）已知圆和圆内切，则的值为___________．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆，若圆与圆相外切，则实数＝________.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆:与圆：
相内切， 则 的最小值为__________．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为______
2．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知圆与圆外切，则实数a的值为___________.
3．（2022·江苏盐城·高二期末）已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________．
4．（2022·全国·高二课时练习）求以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆外切，求实数a的值．
重点题型三：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长
角度1：求公共弦方程
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）圆与圆的公共弦所在直线方程______．
例题2．（2022·全国·高二）已知圆，圆的圆心在轴上，且与的公共弦所在直线的方程为，则圆的方程为___________.
角度2：两圆公共弦长
典型例题
例题1．（2022·天津河北·二模）圆和圆的公共弦的长为___________．
例题2．（2022·天津市第四十七中学高三开学考试）若圆与圆()的公共弦长为，则＝________.
同类题型归类练
1．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高二期末）若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则______．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．
3．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二开学考试）已知圆与相交，它们公共弦所在直线的方程是________．
4．（2022·广东汕头·高二阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东威海·三模）圆与圆的公共弦长为______．
6．（2022·四川省广安代市中学校高二阶段练习（理））若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2x＋2ay－6＝0( )的公共弦长为，则a＝________.
7．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知圆与圆（t，m，）相交于P，Q两点（点M与点N在直线PQ两侧），且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
重点题型四：圆与圆的位置关系的应用
角度1：圆的公切线条数
典型例题
例题1．（2022·陕西·西安中学一模（理））在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
例题2．（2022·四川宜宾·高二期末（理））若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ）
A．－23 B．－3 C．－12 D．－13
角度2：圆的公切线方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
角度3：圆的公切线长
典型例题
例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，：，及点和.
(1)求圆和圆公切线段的长度；
角度4：与圆有关的最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）点是圆上的任一点，圆是过点且半径为1的动圆，点是圆上的任一点，则长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
同类题型归类练
1．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东广州·高二期末）写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.
4．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）已知圆，
(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；
5．（2022·陕西·无高一阶段练习）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．9 D．12
6．（2022·河南·模拟预测（理））过圆上的点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
1．（2022·全国·模拟预测）若圆与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知直线，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线的距离最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知点在圆上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有3个
C．过点作圆的两切线，切点分别为 ，则直线的方程为
D．的最小值是
4．（2022·天津二中模拟预测）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．
5．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
2.5.2圆与圆的位置关系（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：两圆的位置关系
重点题型二：两圆相切问题
重点题型三：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长
重点题型四：圆与圆的位置关系的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象 位置关系 图象 位置关系
外 离 外 切
相 交 内 切
内 含
2、圆与圆的位置关系的判定
2.1几何法
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
①当时，两圆相交；
②当时，两圆外切；
③当时，两圆外离；
④当时，两圆内切；
⑤当时，两圆内含.
2.2代数法
设:
:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
知识点二：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
3、公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
知识点三：圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
知识点四：圆系方程
以为圆心的同心圆圆系方程：；
与圆同心圆的圆系方程为；
过直线与圆交点的圆系方程为
过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( )
（2）若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．( )
（3）若两圆有公共点，则．( )
【答案】 × × √
（1）两圆没有公共点，可以是外离，也可以是内含，错误；
（2）两圆有一个公共点，可以是内切，也可以是外切，错误；
（3）两圆有公共点，则|r1 r2|≤d≤r1+r2
2．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）圆：与圆：的位置关系是内切 ( )
【答案】错误
解：圆.圆心，半径；
圆.即.圆心.半径.
两圆的圆心距，∴两圆外切，
故答案为：错误..
3．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的内公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
由题可知：两圆圆心距为3>2，所以两圆外离，所以内功切线有2条
故选：B
4．（2022·全国·高二课时练习）若两圆的半径R，r分别为5和2，圆心距d为3，则两圆的位置关系是_________．
【答案】内切
由题可知：R-r=d，所以两圆内切
故答案为：内切
5．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的位置关系是( )
A．相交 B．外离 C．外切 D．内切
【答案】C
由题可知：圆，圆心，半径
圆，圆心，半径
所以两圆外切
故选：C
重点题型一：两圆的位置关系
角度1：判断两圆位置关系
典型例题
例题1．（2022·天津河北·高二期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
【答案】A
对圆，其圆心，半径；
对圆，其圆心，半径；
又，故两圆外切.
故选：A.
例题2．（2022·福建福州·高二期末）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
圆的圆心坐标为，半径为3；圆的圆心坐标为，半径为1，所以两圆的心心距为，所以两圆相离，公切线有4条.
故选：D.
例题3．（2022·江苏·高二）两圆与的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
由题意，圆与圆，
可得圆心坐标分别为，半径分别为，
则，
所以，可得圆外离，
所以两圆共有4条切线.
故选：D.
角度2：由圆的位置关系求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径
根据题意可得，圆、相离，则，即
∴
故选：A．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）“”是“与相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
易得，．当圆外切时：得：，
当圆内切时：得：．
所以是两圆相切的充分不必要条件．
故选：A．
例题3．（2022·江苏·高二）若圆与圆相外切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
由可得，所以圆的圆心为，半径为，
由可得，所以圆的圆心为，半径为，
因为两圆相外切，所以，解得，
故选：D
例题4．（2022·江苏盐城·高二期末）若圆和圆有两个不同的公共点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
圆的圆心为，半径，
由，得，所以圆心为，半径，
因为圆和圆有两个不同的公共点，
所以两圆相交，
因为圆恒过原点，
所以圆的直径大于2，
所以，解得或，
所以实数m的取值范围是，
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二期中）若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________．
【答案】a2＋b2>3＋2
即，即．两圆外离，则两圆圆心距大于两圆半径之和，所以，即
2．（2022·全国·高三专题练习）若圆与圆内切，则_________.
【答案】1或121
圆的半径，
圆的圆心坐标为，半径.
因为两圆内切，且圆心距离，
所以或，解得或.
故答案为：1或121
3．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数是___________.
【答案】
解：由圆，可得：，
可得其圆心为，半径为；
由，可得，
可得其圆心为，半径为2；
所以可得其圆心距为：，
可得：，
故两圆相交，其公切线条数为,
故答案为：2.
4．（2022·全国·高三专题练习）两圆与相交，则的取值范围是______.
【答案】
圆的圆心为，半径为3,圆的圆心为,半径为r.因为两圆与相交，所以,解得.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆与圆外切,则的值为______.
【答案】0或6
圆的圆心为,半径为1,
圆的圆心为,半径为2,
两圆外切,所以,∴、6,故的值为0或6.
故答案为0或6
6．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝________．
【答案】1
圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，
|C1C2|＝.
因为两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，
所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.
故答案为：1．
重点题型二：两圆相切问题
例题1．（2022·上海徐汇·高二期末）已知圆和圆内切，则的值为___________．
【答案】##3.5
解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又因为两圆内切，有，
解得.
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆，若圆与圆相外切，则实数＝________.
【答案】或##2或-5
由题意，圆与圆，
则且，
因为圆与圆相外切时，可得，即，
整理得，解得或.
故答案为：或.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆:与圆：
相内切， 则 的最小值为__________．
【答案】##0.5
由圆C1与圆C2内切，得，即.又由基本不等式，可知，当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程为______
【答案】或
由题意，半径为6的圆与x轴相切，设所求圆的圆心为，且，
因为圆与圆内切，可得，
解得，所以圆的方程为或.
故答案为：或.
2．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知圆与圆外切，则实数a的值为___________.
【答案】
化圆为：，
则圆心坐标为，半径为2.
由题意圆:与圆:外切，
则，
解得，
故答案为：0
3．（2022·江苏盐城·高二期末）已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________．
【答案】
由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，
即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，
当且仅当a＝b时取等号，即ab的最大值是．
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）求以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程．
【答案】
解：由题知的圆心为，，
因为以为圆心，且与圆相外切，设圆C的半径为，
所以 ，即，
所以，
所以圆C的方程为
5．（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆外切，求实数a的值．
【答案】
由已知，，标准方程是，，，
两圆外切，则，
∴．
重点题型三：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长
角度1：求公共弦方程
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）圆与圆的公共弦所在直线方程______．
【答案】
圆，即，圆，即，
作差得：，即公共弦所在直线方程为，
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高二）已知圆，圆的圆心在轴上，且与的公共弦所在直线的方程为，则圆的方程为___________.
【答案】
设圆的圆心为，半径为，
则圆的方程为，即，
因为圆，
所以与的公共弦所在直线的方程为，
即，
因为与的公共弦所在直线的方程为，
所以，解得，，
故圆的方程为，
故答案为：.
角度2：两圆公共弦长
典型例题
例题1．（2022·天津河北·二模）圆和圆的公共弦的长为___________．
【答案】
解：由圆①，即，所以圆心，半径；
又圆②，
①②得，即公共弦方程为，
圆心到直线的距离,
所以公共弦长为；
故答案为：
例题2．（2022·天津市第四十七中学高三开学考试）若圆与圆()的公共弦长为，则＝________.
【答案】1
将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.
圆的圆心为，半径为.
到直线的距离为：
，解得.
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高二期末）若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则______．
【答案】
由题设，两圆方程相减可得：，即为公共弦，
∴，可得，
∴.
故答案为：.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．
【答案】x－2y＋4＝0
两圆的方程相减得：x－2y＋4＝0．
故答案为：x－2y＋4＝0
3．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二开学考试）已知圆与相交，它们公共弦所在直线的方程是________．
【答案】
圆的一般方程为，
用圆的方程减去圆的方程得两圆公共弦所在直线的方程是，即．
故答案为：.
4．（2022·广东汕头·高二阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故选：D.
5．（2022·山东威海·三模）圆与圆的公共弦长为______．
【答案】
设圆：与圆：交于，两点
把两圆方程相减，化简得
即：
圆心到直线的距离，又
而，所以
故答案为：
6．（2022·四川省广安代市中学校高二阶段练习（理））若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2x＋2ay－6＝0( )的公共弦长为，则a＝________.
【答案】0
将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为 .
圆的圆心为，半径为.
由公共弦长为，则圆心到公共弦的距离为
到直线的距离为：解得 .
故答案为：0
7．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知圆与圆（t，m，）相交于P，Q两点（点M与点N在直线PQ两侧），且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意，得圆的圆心为、半径为；
圆的圆心为、半径为；
连接、、，则、、，
因为，所以；
则；
所以，
即关于的方程有实根，
则，
即，即，
所以的最大值为.
故选：C.
重点题型四：圆与圆的位置关系的应用
角度1：圆的公切线条数
典型例题
例题1．（2022·陕西·西安中学一模（理））在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】A
圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
，显然，即圆与圆外离，
所以两圆的公切线的条数是4.
故选：A
例题2．（2022·四川宜宾·高二期末（理））若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ）
A．－23 B．－3 C．－12 D．－13
【答案】A
因为圆，圆心为，半径为；
圆可化为，圆心为，半径，
又圆与圆有且仅有一条公切线，
所以两圆内切，
因此，即，
解得.
故选：A.
角度2：圆的公切线方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
角度3：圆的公切线长
典型例题
例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，：，及点和.
(1)求圆和圆公切线段的长度；
【答案】(1)或
圆：，即，，
圆：，即，，，
圆心距为，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同，
当两圆在公切线同侧时：.
当两圆在公切线异侧时：.
综上所述，公切线段长为或.
角度4：与圆有关的最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，
∴若与关于x轴对称，则，即，
由图易知，当三点共线时取得最小值，
∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
∴.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）点是圆上的任一点，圆是过点且半径为1的动圆，点是圆上的任一点，则长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
由题可知点的轨迹方程是，
即得点是圆上的动点，
又由题知点是圆上的动点，
如图可得则.
故选：B.
同类题型归类练
1．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.
圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.
圆心距为，由于，即，
所以，两圆相交，公切线的条数为.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为圆与圆恰有2条公切线，所以
解得
故选：B．
3．（2022·广东广州·高二期末）写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.
【答案】或或
圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，
圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，
易得切线的方程为，
因为，且，所以，设，即，
则到的距离，解得（舍去）或，所以，
可知和关于对称，联立，解得在上，
在上任取一点，设其关于的对称点为，
则，解得，
则，所以直线，即，
综上，切线方程为或或.
故答案为：或或.
4．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）已知圆，
(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；
【答案】(1)圆相交，公切线之长为；
由圆可得，半径，
由圆可得，半径，
，
所以，所以圆相交.
设直线分别与圆切于，，连接，
在直角梯形中，，
所以，即它们的公切线之长为；
5．（2022·陕西·无高一阶段练习）若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．9 D．12
【答案】C
易得圆圆心为半径为2，圆圆心为半径为1，设圆圆心半径为1，与关于直线对称，
则，解得，如图所示，要使最小，
则.
故选：C.
6．（2022·河南·模拟预测（理））过圆上的点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
分别设圆，圆的圆心为，，根据题意可知，，
所以，因为PQ与相切于点Q，
由几何关系可知，
所以当最小时，有最小值，
所以当P在线段上时，最小，此时，
所以的最小值为.
故选：B．
1．（2022·全国·模拟预测）若圆与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切线），因此圆心距，结合解得．
故选：C.
2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知直线，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线的距离最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设点P的坐标为，以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以为直径的圆的方程为.
与方程作差可得直线的方程为，整理为.
可得直线过定点M，由几何法可得点Q到直线的距离最大值为.
故选：C
3．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知点在圆上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有3个
C．过点作圆的两切线，切点分别为 ，则直线的方程为
D．的最小值是
【答案】ACD
对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为．A正确；
对B，设点，则，且，由题意，
两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个．B错误；
对C，设，则直线MB，NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为．C正确；
对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，
则有，即，∴，则，
所以，所以D正确．
故选：ACD．
4．（2022·天津二中模拟预测）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．
【答案】
由题可知：
，即
且
由两圆向外切可知，解得
所以
到直线的距离为，设圆的半径为
则直线被圆所截的弦长为
故答案为：
5．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
【答案】(1)或(2)
(1)解：联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为.
若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合乎题意；
所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，解得或.
故所求切线方程为或，即或.
(2)解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，
设点，由可得，
整理可得，
由题意可知，圆与圆有公共点，所以，，
即，解得.
所以，圆心的横坐标的取值范围是.

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