资源简介

3.1.1椭圆及其标准方程（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求椭圆的标准方程
角度1：待定系数法
角度2：定义法
重点题型二：对椭圆标准方程的理解
重点题型三：椭圆中的焦点三角形问题
角度1：求焦点三角形的内角或边长
角度2：求焦点三角形的面积
角度3：几何最值问题
重点题型四：与椭圆有关的轨迹问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：椭圆的定义
1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
说明：
若，的轨迹为线段；
若，的轨迹无图形
2、定义的集合语言表述
集合.
知识点二：椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
特别说明：
1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上 标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上 标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( )
（2）到两定点和的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆．( )
2．（2022·全国·高二课时练习）到两定点和的距离之和为14的点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对
3．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）设P是椭圆上的任意一点，若是椭圆的两个焦点，则等于( )
A．10 B．8 C．5 D．4
5．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆中，焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为______．
重点题型一：求椭圆的标准方程
角度1：待定系数法
典型例题
例题1．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；
(2)一个焦点坐标为，短轴长为2．
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在原点，焦点在轴上，长轴长、短轴长分别为8和6；
(2)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4；
(3)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1．
角度2：定义法
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）若动点始终满足关系式，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知两圆：，：.动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知定点、和动点．
(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点的轨迹及其方程．
条件①：
条件②：
(2)，求：动点的轨迹及其方程．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）方程化简的结果是___________．
2．（2022·湖南·高二期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点满足条件，求点的轨迹的方程.
4．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上，且经过点和点；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为，P到距它较近的一个焦点的距离等于2.
5．（2022·全国·高二课时练习）分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)，焦点在x轴上；
(2)，经过点，焦点在y轴上．
重点题型二：对椭圆标准方程的理解
典型例题
例题1．（2022·江西吉安·高二期末（文））“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
例题2．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（文））“”是方程“表示椭圆”的（ ）．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的焦点在轴上，求实数的取值范围．
同类题型归类练
1．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知命题p：“”，命题q：“方程表示椭圆”，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·贵州·遵义航天高级中学高二阶段练习（理））已知a为实数，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·高三专题练习）若方程表示椭圆，求的取值范围．
重点题型三：椭圆中的焦点三角形问题
角度1：求焦点三角形的内角或周长
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点为短轴的一个端点，则的周长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．9
例题2．（2022·四川眉山·高二期末（理））直线过椭圆的中心，交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则周长的最小值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
例题3．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·全国·高二专题练习）设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
角度2：求焦点三角形的面积
典型例题
例题1．（2022·四川内江·高二期末（理））已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．9
例题2．（2022·山西吕梁·高二期末）已知分别是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一点，且的面积为1，则椭圆的短轴长为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
例题3．（2022·全国·高三专题练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．6
角度3：几何最值问题
典型例题
例题1．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·山东临沂·高二期末），分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知为椭圆上的一个点，点分别为圆和圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
角度4：其他问题
例题1．（2022·上海普陀·二模）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________.
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______．
同类题型归类练
1．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二）已知有相同两焦点，的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随，的变化而变化
4．（2022·上海虹口·二模）已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知、分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若，则这样的点P有______个．
6．（2022·全国·高二课时练习）设椭圆的焦点为，，点P在该椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为______．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为___________．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M是线段的中点，则的周长为______.
9．（2022·湖北·高二阶段练习）已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为______.
10．（2022·全国·高二专题练习）已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形的面积为_________
11．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积为，且，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二开学考试）已知 是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高二专题练习）已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
重点题型四：与椭圆有关的轨迹问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设圆的圆心为，点是圆内一定点，点为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·全国·高二）动点在圆上移动，过点作轴的垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程是.
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知定点，动点在圆O：上，的垂直平分线交直线OQ于点，若动点的轨迹是椭圆，则m的值可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二专题练习）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．（y≠0）
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别在轴和轴上运动，为原点，,点的轨迹方程为
A． B． C． D．
1．（2022·北京市十一学校高二期末）在椭圆C：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该图由法国数学家G-Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆C的离心率为e，左 右焦点分别为 ，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与蒙日圆相交于M，N，则（ ）
A． B．1 C． D．以上答案均不正确
2．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）阿基米德（公元前287年公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·安徽·高二阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切.设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二专题练习）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
2．（2022·江西萍乡·三模（文））设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．
4．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆C上一点，满足，的面积为，直线交椭圆C于另一点Q，且，则椭圆C的标准方程为________．
9．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，若A B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________.
3.1.1椭圆及其标准方程（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求椭圆的标准方程
角度1：待定系数法
角度2：定义法
重点题型二：对椭圆标准方程的理解
重点题型三：椭圆中的焦点三角形问题
角度1：求焦点三角形的内角或边长
角度2：求焦点三角形的面积
角度3：几何最值问题
重点题型四：与椭圆有关的轨迹问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：椭圆的定义
1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
说明：
若，的轨迹为线段；
若，的轨迹无图形
2、定义的集合语言表述
集合.
知识点二：椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
特别说明：
1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上 标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上 标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( )
（2）到两定点和的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆．( )
【答案】 × ×
（1）根据椭圆的定义可知，错误；
（2）由于两定点之间距离为4>3,故点M的轨迹不存在，错误.
2．（2022·全国·高二课时练习）到两定点和的距离之和为14的点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对
【答案】B
由题可知：两定点之间的距离是14，所以点P的轨迹为线段
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
由题可知：焦点在y轴上，a=13,b=5,由a2=b2+c2,所以c=12
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）设P是椭圆上的任意一点，若是椭圆的两个焦点，则等于( )
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】A
根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10
故选：A
5．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆中，焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为______．
【答案】
由题可知：，所以椭圆的标准方程为
故答案为：
重点题型一：求椭圆的标准方程
角度1：待定系数法
典型例题
例题1．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；
(2)一个焦点坐标为，短轴长为2．
【答案】(1)；
(2)．
(1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的方程为（），
∵长轴长为4，焦距为2，
∴，，
∴，，
∴，
∴椭圆的方程为；
(2)焦点坐标为，短轴长为2，
设椭圆的方程为（），
∴，，
∴，
∴椭圆的方程为．
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在原点，焦点在轴上，长轴长、短轴长分别为8和6；
(2)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4；
(3)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
(1)由题意得：，所以，结合焦点在x轴上，故椭圆方程为；
(2)由题意得：，故，因为焦点在y轴上，故椭圆方程为
(3)由题意得：，，所以，，结合焦点在x轴上，故椭圆方程为：.
角度2：定义法
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）若动点始终满足关系式，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因动点满足关系式，
则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而，
即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有，
所以动点M的轨迹方程为.
故选：B
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知两圆：，：.动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
设动圆的圆心，半径为
圆与圆:内切，与C2：外切.
所以.
由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.
则，所以
动圆的圆心的轨迹方程为：
故选：D
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知定点、和动点．
(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点的轨迹及其方程．
条件①：
条件②：
(2)，求：动点的轨迹及其方程．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
(1)选择条件①：，因为，
故点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，
则，，故其方程为：.
即选择条件①，点的轨迹是椭圆，其方程为；
选择条件②：，因为，
故点的轨迹是线段，其方程为.
(2)因为，
当时，此时动点不存在，没有轨迹和方程；
当时，此时，
由（1）可知，此时动点的轨迹是线段，其方程为；
当时，此时，
此时点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.
综上所述：当时，动点没有轨迹和方程；
当时，动点的轨迹是线段，其方程为；
当时，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）方程化简的结果是___________．
【答案】
解：∵，
故令，，
∴，
∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，
即，，，
∴方程为.
故答案为：.
2．（2022·湖南·高二期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.
【答案】
圆x2+y2+6x+5＝0的圆心为A（﹣3，0），半径为2；
圆x2+y2﹣6x﹣91＝0的圆心为B（3，0），半径为10；
设动圆圆心为M（x，y），半径为x；
则MA＝2+r，MB＝10﹣r；
于是MA+MB＝12＞AB＝6
所以，动圆圆心M的轨迹是以A（﹣3，0），B（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．
a＝6，c＝3，b2＝a2﹣c2＝27；
所以M的轨迹方程为
故答案为
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点满足条件，求点的轨迹的方程.
【答案】.
满足条件，
∴点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
，，
∴所求点P的轨迹C的方程为.
4．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上，且经过点和点；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为，P到距它较近的一个焦点的距离等于2.
【答案】(1)
(2)
(1)由题意得：，，因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为：；
(2)由题意得：，，所以，，所以椭圆方程为：.
5．（2022·全国·高二课时练习）分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)，焦点在x轴上；
(2)，经过点，焦点在y轴上．
【答案】(1)
(2)
(1)若，焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为
(2)因为，焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为
又因为椭圆经过点，则，得
所以椭圆的标准方程为
重点题型二：对椭圆标准方程的理解
典型例题
例题1．（2022·江西吉安·高二期末（文））“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【答案】A
若方程表示椭圆，则，，
“”是“方程表示椭圆”的必要条件；
反过来，当时，如，或，方程表示圆，
“”不是方程“表示椭圆”的充分条件．
综上，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：A．
例题2．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（文））“”是方程“表示椭圆”的（ ）．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
当方程表示椭圆时，必有，所以且；
当时，该方程不一定表示椭圆，例如当时，方程变为，它表示一个圆．
即“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：A．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的焦点在轴上，求实数的取值范围．
【答案】.
当时，显然方程不表示椭圆，
当时，由，
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以由，即实数m的取值范围为.
同类题型归类练
1．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知命题p：“”，命题q：“方程表示椭圆”，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
若方程表示椭圆，则，解得或，
所以p是q的必要不充分条件，
故选：C
2．（2022·贵州·遵义航天高级中学高二阶段练习（理））已知a为实数，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
由方程表示的曲线为椭圆，则
，解得且，
所以“”是“且”的充分不必要条件，即
“”是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）若方程表示椭圆，求的取值范围．
【答案】且
解：因为方程表示椭圆，则，解得且．
重点题型三：椭圆中的焦点三角形问题
角度1：求焦点三角形的内角或周长
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点为短轴的一个端点，则的周长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．9
【答案】B
由椭圆方程知，所以，
．
故选：B．
例题2．（2022·四川眉山·高二期末（理））直线过椭圆的中心，交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则周长的最小值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
如图，E，F是椭圆的两个焦点，则四边形AEBF是平行四边形，结合椭圆的对称性
周长为：
又有：
则有：周长的最小值为16
故选：B
例题3．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
例题4．（2022·全国·高二专题练习）设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
在椭圆中，，，，
由椭圆定义可得，，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
角度2：求焦点三角形的面积
典型例题
例题1．（2022·四川内江·高二期末（理））已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故选：A
例题2．（2022·山西吕梁·高二期末）已知分别是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一点，且的面积为1，则椭圆的短轴长为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
设，，
所以，即，
即，得，短轴长为.
故选：B
例题3．（2022·全国·高三专题练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
易知，，所以，，即，
由椭圆的定义，知，又因为，
所以，又，
所以为直角三角形，所以.
故选：D.
角度3：几何最值问题
典型例题
例题1．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设是椭圆的右焦点，则
又因为，，
所以，则
故选：A
例题2．（2022·山东临沂·高二期末），分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：由椭圆方程得，
如图，连接，由于，
所以，
所以，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
所以
所以
故选：A
例题3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知为椭圆上的一个点，点分别为圆和圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
【答案】B
解：依题意可知，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，
根据定义，两圆半径为，
故椭圆上动点与焦点连线时与圆相交于M，N时， 最小，
最小值为.
故选：B.
角度4：其他问题
例题1．（2022·上海普陀·二模）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________.
【答案】6
由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，，
所以，故焦点三角形中最大为，故有2个；
又、对应的直角三角形各有2个；
综上，使得是直角三角形的点的个数为6个.
故答案为：6
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______．
【答案】
在椭圆中，，，则，，
由椭圆的定义可得，
因为，则，
所以，.
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由已知可得，则，，则，
由余弦定理可得.
故选：D.
2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设椭圆方程为，
则，解得，
则椭圆方程为，
当点为椭圆短轴端点时角最大，
此时，
因为，
故选：D.
3．（2022·全国·高二）已知有相同两焦点，的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随，的变化而变化
【答案】B
根据椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，是左焦点，是右焦点，
则由椭圆与双曲线的定义有：，
可得，，即，
因为两者有公共焦点，设半焦距为，则，，
所以，所以，
所以，即，
所以为直角三角形.
故选：B.
4．（2022·上海虹口·二模）已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.
【答案】
因为是等边三角形，故，故关于轴对称，故轴.故，，故，又，故，故，即，所以，
故答案为：
5．（2022·全国·高二课时练习）已知、分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若，则这样的点P有______个．
【答案】2
由题设，最大时P在椭圆的上下顶点上，
此时，又，
所以，故这样的点P有2个，恰好为上下顶点.
故答案为：2
6．（2022·全国·高二课时练习）设椭圆的焦点为，，点P在该椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为______．
【答案】7
由＝1可知，，
所以，
所以F1(－3，0)，F2(3，0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(3，t)，
把P(3，t)代入椭圆＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故答案为：7.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为___________．
【答案】14
设椭圆的右焦点为，连接，，
根据椭圆的对称性可得, 即四边形为矩形
所以,
由椭圆的定义可得，所以
所以的周长为：
故答案为：14
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点M是线段的中点，则的周长为______.
【答案】8
由椭圆，得，
由题意可知如图：
连结，点M是线段的中点，
可得OM为的中位线，
所以，
由椭圆的定义可知，得，
所以的周长为：.
故答案为：8
9．（2022·湖北·高二阶段练习）已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为______.
【答案】
设为椭圆右焦点，由椭圆的定义可知，，
所以.
要求的最小值，也就是求的最大值.如图示：
而当，，共线(A在中间)时，最大，此时
，所以.
所以的最小值为.
故答案为：
10．（2022·全国·高二专题练习）已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形的面积为_________
【答案】
由椭圆方程知：，，则；
由椭圆定义知：，
由余弦定理得：，
，解得：，
.
故答案为：.
11．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积为，且，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题意可得，且，，
解得，，，所以椭圆的方程为，
故选：D．
12．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二开学考试）已知 是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意有，所以
又，，所以，
又，可得，
即，则，
故选：B.
13．（2022·全国·高二专题练习）已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，
则由椭圆定义，
于是.
当不在直线与椭圆交点上时， 三点构成三角形，于是，
而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，
在第三象限交点时有.
显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为
.
故选：A.
重点题型四：与椭圆有关的轨迹问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由已知可得，，且、、三点不共线，
故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，
由已知可得，得，，则，
因此，点的轨迹方程为.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）设圆的圆心为，点是圆内一定点，点为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
为垂直平分线上的一点
点的轨迹是以为焦点的椭圆 ，
的轨迹方程为
故选：
例题3．（2022·全国·高二）动点在圆上移动，过点作轴的垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程是.
A． B． C． D．
【答案】B
解：设线段中点为P
设M（x0，y0），D（x0，0），
∵P是的中点，
∴，
又M在圆上，
∴x02+y02＝25，即x2+4y2＝25， ．
∴线段的中点P的轨迹方程是： ．
故选B．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知定点，动点在圆O：上，的垂直平分线交直线OQ于点，若动点的轨迹是椭圆，则m的值可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
要使动点M的轨迹是椭圆，
则必须在圆内，即，
故选：D.
2．（2022·全国·高二专题练习）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．（y≠0）
C． D．
【答案】D
因为，所以，
所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，
所以顶点C的轨迹方程是 ，
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别在轴和轴上运动，为原点，,点的轨迹方程为
A． B． C． D．
【答案】A
设动点 坐标为 由得：
即
故选A．
1．（2022·北京市十一学校高二期末）在椭圆C：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该图由法国数学家G-Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆C的离心率为e，左 右焦点分别为 ，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与蒙日圆相交于M，N，则（ ）
A． B．1 C． D．以上答案均不正确
【答案】B
解：令，
因为，则，
所以，
由，
所以①，②
则①②可得，解得，
所以，
故，
故选：B
2．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）阿基米德（公元前287年公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
可设椭圆的方程为，
由题意可得：，解得：，
所以椭圆的方程为.
故选：A
3．（2022·安徽·高二阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切.设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：矩形的四边与椭圆相切，则矩形的面积为，所以.
只有选项A符合.
故选：A
4．（2022·全国·高二专题练习）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由椭圆的定义可知，又，所以，.又，，所以，所以，.又椭圆的面积为12π，所以，解得，，.
故选：C.
1．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
2．（2022·江西萍乡·三模（文））设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大，
∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时，
此时，，即，
又，
∴，解得，又，
∴.
故选：A.
3．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．
【答案】9
根据题意可得：
则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点
∴，即
∵，即点A在椭圆内
，
当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.
故答案为：9．
4．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆C上一点，满足，的面积为，直线交椭圆C于另一点Q，且，则椭圆C的标准方程为________．
【答案】
设椭圆半焦距为，由已知可得为直角三角形，易知，
，整理得①，
设点P在第一象限，则，而，
由，可得在椭圆上，
代入椭圆的方程得②．又③，
由①②③可得，所以椭圆的标准方程为．
故答案为：.
9．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，若A B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________.
【答案】12
如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，
连接，
所以周长为
故的周长的最大值为12，
故答案为：12.

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