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2.1.2两条直线平行和垂直的判断（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：两直线平行关系的判定
重点题型二：两直线平行关系的应用
重点题型三：两直线垂直的判定及应用
重点题型四：直线平行、垂直的综合应用
知识点一：两条直线平行
对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.
对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②与不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或，斜率都不存在.
知识点二：两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.
对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
1．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )
2．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )
3．若l1∥l2，则k1＝k2．( )
4．判断正误
（1）若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．( )
（2）若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．( )
5．已知直线的斜率，直线的斜率，则与( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况
重点题型一：两直线平行关系的判定
典型例题
例题1．判断下列不同的直线与是否平行.
（1）的斜率为2，经过，两点；
（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过，两点；
（3）经过，两点，经过，两点．
例题2．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是______．
同类题型归类练
1．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
2．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)，，，；
(4)，，，．
3．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行.
（1）经过点，，经过点，；
（2）的倾斜角为60°，经过点，；
（3）平行于轴，经过点，.
重点题型二：两直线平行关系的应用
典型例题
例题1．若过点，的直线与过点，的直线平行，则的值为（ ）
A．-1 B．- C．2 D．
例题2．若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则的值是______.
同类题型归类练
1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线经过两点 ，直线经过两点 ，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，，且直线与平行，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
重点题型三：两直线垂直的判定及应用
典型例题
例题1．已知的点，，．判断的形状；
例题2．判断下列各小题中的每对直线是否垂直
(1)的斜率为，经过点，
(2)的倾斜角为，经过点，
(3)经过点，，经过点，
同类题型归类练
1．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为（ ）
A．45° B．135° C．－45° D．120°
2．下列命题错误的是（ ）
A．斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直
B．互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数
C．两条平行直线的倾斜角相等
D．倾斜角相等的两条直线平行或重合
3．已知直线与过点，的直线垂直，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．判断下列各对直线平行还是垂直：
(1)经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；
(2)经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4.
重点题型四：直线平行、垂直的综合应用
典型例题
例题1．下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为
A．①②③④ B．①③ C．②④ D．以上全错
例题2．已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
2．在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
3．已知点，，，，试判定四边形ABCD的形状．
2.1.2两条直线平行和垂直的判断（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：两直线平行关系的判定
重点题型二：两直线平行关系的应用
重点题型三：两直线垂直的判定及应用
重点题型四：直线平行、垂直的综合应用
知识点一：两条直线平行
对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.
对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②与不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或，斜率都不存在.
知识点二：两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.
对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
1．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )
【答案】错误
2．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )
【答案】正确
3．若l1∥l2，则k1＝k2．( )
【答案】错误
4．判断正误
（1）若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．( )
（2）若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．( )
【答案】 √ √
（1）两条不重合的直线的倾斜角相等，可知两条直线平行，正确；
（2）两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等.
5．已知直线的斜率，直线的斜率，则与( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况
【答案】B
根据斜率乘积为-1，可知两条直线垂直
故选：B
重点题型一：两直线平行关系的判定
典型例题
例题1．判断下列不同的直线与是否平行.
（1）的斜率为2，经过，两点；
（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过，两点；
（3）经过，两点，经过，两点．
【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.
（1）经过，两点，则，
则，可得两直线平行.
（2）经过，两点，可得平行于x轴，
平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以；
（3）经过，两点，，
经过，两点，则，
所以.
例题2．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是______．
【答案】平行或重合
，，
，但直线在y轴上的截距不确定，
直线与的位置关系是平行或重合．
故答案为：平行或重合．
同类题型归类练
1．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】B
充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线与的斜率相等，则必有直线与平行，故必要性成立；
综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的必要非充分条件.
故选：B
2．分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)，，，；
(4)，，，．
【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行
(1)，，，不共线，因此与平行．
(2)，，又两直线不重合，直线与平行，
(3)直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行；
(4),，直线与不平行，
3．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行.
（1）经过点，，经过点，；
（2）的倾斜角为60°，经过点，；
（3）平行于轴，经过点，.
【答案】（1）；（2）或与重合；（3）.
（1）由题意，知直线的斜率，
直线的斜率.
因为，且，，，四点不共线，所以.
（2）由题意，知直线的斜率，
直线的斜率，所以，
所以或与重合.
（3）由题意，知是轴，所以.
重点题型二：两直线平行关系的应用
典型例题
例题1．若过点，的直线与过点，的直线平行，则的值为（ ）
A．-1 B．- C．2 D．
【答案】B
由题意知：，解得.
故选：B.
例题2．若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则的值是______.
【答案】
由kPQ＝kMN，即＝，得.
经检验知，符合题意.
故答案为：
同类题型归类练
1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设顶点D的坐标为，由题意得，则有，所以解得
所以顶点D的坐标为．
故选：A
2．已知直线经过两点 ，直线经过两点 ，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意，直线经过两点 ，可得直线的斜率为，
直线经过两点 ，可得直线的斜率为
因为，可得，解得.
故选：D.
3．已知，，，，且直线与平行，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
【答案】D
当直线与的斜率不存在，即时，直线AB的方程为：，直线CD的方程为：，显然，满足题意.
②当直线与的斜率存在，即时，直线AB的斜率，直线CD的斜率
要使直线与平行，须，即，解得：或（舍）
当时，直线AB的方程为：，直线CD的方程为：，显然，满足题意.故.
综上所述，或.
故选：D.
重点题型三：两直线垂直的判定及应用
典型例题
例题1．已知的点，，．判断的形状；
【答案】是等腰直角三角形；（2）.
，，，
，，．
设F为BC的中点，则，．
由于，，
是等腰直角三角形；
例题2．判断下列各小题中的每对直线是否垂直
(1)的斜率为，经过点，
(2)的倾斜角为，经过点，
(3)经过点，，经过点，
【答案】(1)垂直(2)不垂直(3)垂直
(1)∵l2经过点A（1，1），B（0，），∴l2的斜率为，
又∵l1的斜率为，且，∴l1与l2垂直.
(2)∵l1的倾斜角为45°，∴l1的斜率为，∵l2经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6），∴l2的斜率为，而，∴l1与l2不垂直.
(3)∵l1经过点M（1，0），N（4，﹣5），∴l1的斜率为，
∵l2经过点R（﹣6，0），S（﹣1，3），∴l2的斜率为，又∵，
∴l1与l2垂直.
同类题型归类练
1．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为（ ）
A．45° B．135° C．－45° D．120°
【答案】B
由l1⊥l2及k1＝tan 45°＝1，知l2的斜率k2＝－1，∴l2的倾斜角为135°.
故选：B.
2．下列命题错误的是（ ）
A．斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直
B．互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数
C．两条平行直线的倾斜角相等
D．倾斜角相等的两条直线平行或重合
【答案】B
对于A，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们的斜率之积为-1，故这两条直线一定互相垂直，故A正确；
对于B，若两条垂直的直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两条直线的斜率不互为负倒数，故B错误；
对于C，若两条直线平行，则它们的倾斜角一定相等，故C正确；
对于D，倾斜角相等的两条直线一定平行或重合，故D正确.
故选：B.
3．已知直线与过点，的直线垂直，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：设直线与直线的斜率分别为，
直线过点，直线的斜率，
由得，，
直线的倾斜角满足.
故选：C.
4．判断下列各对直线平行还是垂直：
(1)经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；
(2)经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4.
【答案】(1)平行(2)垂直
(1)由题意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直线l1，l2不重合，所以两直线平行；
(2)由题意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1 k2＝﹣1，故两直线垂直.
重点题型四：直线平行、垂直的综合应用
典型例题
例题1．下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为
A．①②③④ B．①③ C．②④ D．以上全错
【答案】B
当直线斜率都存在且两直线不重合时
若，则；若，则，可知①③正确
当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误
当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，两直线垂直，但与轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误本题正确选项：
例题2．已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
为的垂心 ，
又，
直线斜率存在且，
设，则，解得：
本题正确选项：
同类题型归类练
1．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
【答案】B
，，则，
所以,与不平行，
因此
故构成的图形为直角梯形.
故选：B.
2．在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
【答案】四边形是矩形，证明见解析
四边形是矩形．证明如下：
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
所以，，所以，，
所以四边形是平行四边形．
又，
所以，所以四边形是矩形．
又，，
令，即，无解，
所以与不垂直，故四边形是矩形．
3．已知点，，，，试判定四边形ABCD的形状．
【答案】直角梯形
由斜率公式可得：
，
与BC不平行
又，
，
故四边形ABCD是直角梯形．

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