资源简介

2.2直线的方程（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：直线的点斜式方程
重点题型二：直线的斜截式方程
重点题型三：直线的两点式方程
重点题型四：直线的截距式方程
重点题型五：直线方程的综合应用
重点题型六：直线一般式方程的应用
重点题型七：将其它形式的方程化为一般式方程
重点题型八：直线的位置关系的应用
重点题型九：过定点的直线系方程
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：直线的点斜式方程
已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是.
知识点二：直线的斜截式方程
已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为.
知识点三：直线的两点式方程
已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程
1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示.
2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标.
知识点四：直线的截距式方程
已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为
图示
点斜式方程形式
适用条件 ，
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
知识点五：直线的一般式方程
定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中
,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
知识点六：直线的一般式方程与其它形式方程的互化
知识点七：直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）对直线的点斜式方程也可写成．( )
（2）直线恒过定点．( )
2．（2022·全国·高二课时练习）如图，直线l的截距式方程是，则( )
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）过点的直线方程是( )
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）直线的斜率与在y轴上的截距分别是( )
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）倾斜角为，在y轴上的截距为的直线方程是( )
A． B． C． D．
重点题型一：直线的点斜式方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：
(1)过点，倾斜角为；
(2)过点，倾斜角为；
(3)过点，倾斜角为；
(4)过点，倾斜角为.
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）过点且斜率为的直线的方程为______．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是______．
2．（2022·全国·高二期末）若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的，则该直线的方程为________．
3．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线：
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，斜率不存在
4．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：
(1)经过点，斜率为3；
(2)经过点，斜率为；
(3)经过点，斜率为；
(4)经过点，斜率为0；
重点题型二：直线的斜截式方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）（1）求斜率为2，在轴上的截距为5的直线的方程.
（2）求斜率为2，与轴的交点到原点的距离为5的直线的方程.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与直线在轴上有相同的截距，且的斜率与的斜率互为相反数，则直线的斜截式方程为______．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为___________.
2．（2022·四川·高二期末）直线在轴上的截距为5，斜率为2，则该直线方程为___________.
3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件求直线的斜截式方程：
(1)斜率是，截距是；
(2)倾斜角是，截距是．
4．（2022·江苏·高二课时练习）（1）求倾斜角为，在轴上的截距为的直线的方程；
（2）求倾斜角为，与轴交点到原点的距离为的直线的方程.
重点题型三：直线的两点式方程（不推荐直接代公式用）
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）求经过下列两点的直线的方程：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）求经过下列两点的直线的方程：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程：
(1)A(3, 1), B(2, －3)；
(2)A(2, 1), B(0, －3)；
(3)A(0, 5), B(4, 0).
重点题型四：直线的截距式方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，求该直线的方程．
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：
(1)；(2)；
(3)；(4).
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）求过点(3, －4)且在坐标轴上的截距相等的直线方程.
2．（2022·江苏·高二课时练习）求过点，在x轴和y轴上的截距分别为，且满足的直线方程.
3．（2022·江苏·高二课时练习）直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程．
4．（2022·全国·高二课时练习）求经过点 ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
重点题型五：将其它形式的方程化为一般式方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）求过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求直线的方程：
(1)过点，且截距是；
(2)过点，且在两坐标轴上的截距和为5．
同类题型归类练
1．（2022·吉林·长春市第六中学高二阶段练习（理））经过点，斜率为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·高二）直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的一般式方程为___________.
3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式：
(1)经过点（0，2），且倾斜角为；
(2)经过点（－2，3）和点（－1，0）；
(3)经过点（2，1），在x，y轴上有不为0且相等的截距．
重点题型六：直线一般式方程的应用
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线在轴上的截距为3，则该直线在轴上的截距为________．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）若，，则直线不通过第______象限．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2022·全国·高二单元测试）直线方程为，若直线不过第二象限，则实数m的取值范围是______．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知直线，若 ,，则不经过第一象限的概率为________．
重点题型七：直线方程的综合应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线.
(1)若直线在y轴上的截距为1，求实数的值；
(2)若直线的倾斜角为，求实数的值；
(3)若直线的一个法向量为，求实数的值.
例题2．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（理））已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，直线恒过点(，1)，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
2．（2022·江苏·高二）设直线的方程为，若直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 ______ ．
3．（2022·重庆市巫山大昌中学校高二期末）直线的倾斜角的取值范围是______.
重点题型八：直线的位置关系的应用
典型例题
例题1．（2022·陕西西安·高一期末）已知直线，点.
(1)求过点且与平行的直线的方程；
(2)求过点且与垂直的直线的方程.
例题2．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知直线，直线过点.
(1)若，求直线的方程；
(2)若，求直线的方程.
同类题型归类练
1．（2022·四川乐山·高一期末）过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·贵州·六盘水市第五中学高二期末）直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
3．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）直线与直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直
5．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）过点且与直线平行的直线方程是______.
6．（2022·全国·高二课时练习）直线的法向量就是的法向量，则实数______．
7．（2022·全国·高二课时练习）若两直线与平行，则实数a的值为______．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知直线.
(1)若直线l在y轴上的截距为1，求实数a的值；
(2)若直线l的倾斜角为，求实数a的值；
(3)若直线l的一个法向量为，求实数a的值.
重点题型九：过定点的直线系方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试）对于任意、，直线必过定点______．
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）直线可能是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的方程是．对于任意，直线均经过定点，则此定点的坐标为___________.
同类题型归类练
1．（2022·四川达州·高一期末（理））直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）不论k为何值，直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知直线，，若，则实数的值是（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．（2022·福建福建·模拟预测）直线经过第一、二、四象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海·模拟预测）直线的单位法向量是__________
5．（2022·上海·复旦附中模拟预测）经过点且法向量为的直线l的一般式方程是______．
2.2直线的方程（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：直线的点斜式方程
重点题型二：直线的斜截式方程
重点题型三：直线的两点式方程
重点题型四：直线的截距式方程
重点题型五：直线方程的综合应用
重点题型六：直线一般式方程的应用
重点题型七：将其它形式的方程化为一般式方程
重点题型八：直线的位置关系的应用
重点题型九：过定点的直线系方程
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：直线的点斜式方程
已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是.
知识点二：直线的斜截式方程
已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为.
知识点三：直线的两点式方程
已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程
1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示.
2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标.
知识点四：直线的截距式方程
已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为
图示
点斜式方程形式
适用条件 ，
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
知识点五：直线的一般式方程
定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中
,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
知识点六：直线的一般式方程与其它形式方程的互化
知识点七：直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）对直线的点斜式方程也可写成．( )
（2）直线恒过定点．( )
【答案】 × √
（1）点斜式方程前提是斜率存在，故错误；
（2）无论k为何值，直线始终过定点( 1,3)
2．（2022·全国·高二课时练习）如图，直线l的截距式方程是，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
根据直线的截距式以及图象可知：a>0,b<0
故选：D
3．（2022·全国·高二课时练习）过点的直线方程是( )
A． B． C． D．
【答案】D
由题可知：直线方程的两点式为 ，即
故选：D
4．（2022·全国·高二课时练习）直线的斜率与在y轴上的截距分别是( )
A． B． C． D．
【答案】B
由题可知：直线方程，即，所以斜率为，纵截距为
故选：B
5．（2022·全国·高二课时练习）倾斜角为，在y轴上的截距为的直线方程是( )
A． B． C． D．
【答案】D
根据直线的倾斜角为135° 可知斜率为-1，且知纵截距为-1
所以直线的方程为：y=-x-1
故选：D
重点题型一：直线的点斜式方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：
(1)过点，倾斜角为；
(2)过点，倾斜角为；
(3)过点，倾斜角为；
(4)过点，倾斜角为.
【答案】(1)(2)(3)y=4(4)x=3
(1)斜率，点斜式直线方程为：，即；
(2)斜率，点斜式直线方程为：，即；
(3)由于，点斜式直线方程为：y=4；
(4)由于倾斜角为，斜率不存在，不能表达为点斜式直线方程，直线方程为：x=3；
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）过点且斜率为的直线的方程为______．
【答案】
由直线方程的点斜式可得：
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是______．
【答案】
由题知，直线斜率为，
则直线点斜式方程为：
故答案为：
2．（2022·全国·高二期末）若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的，则该直线的方程为________．
【答案】
设所求直线的斜率为k，依题意
又直线经过点A(1，3)，因此所求直线的方程为，即
故答案为：
3．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线：
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，斜率不存在
【答案】
(1)经过点，且斜率为的直线方程为，图象如下：
(2)经过点，且斜率为的直线方程为，图象如下：
(3)经过点，且斜率为的直线方程为，图象如下：
(4)经过点，且斜率不存在的直线方程为，图象如下：
4．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件，分别写出直线的方程：
(1)经过点，斜率为3；
(2)经过点，斜率为；
(3)经过点，斜率为；
(4)经过点，斜率为0；
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(1)因为直线过点，斜率为3，
由直线的点斜式方程可得直线方程为：，
即；
(2)因为直线过点，斜率为，
由直线的点斜式方程可得直线方程为：，
即；
(3)因为直线过点，斜率为-1，
由直线的点斜式方程可得直线方程为：，
即；
(4)因为直线过点，斜率为0，
由直线的点斜式方程可得直线方程为：，
即；
重点题型二：直线的斜截式方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）（1）求斜率为2，在轴上的截距为5的直线的方程.
（2）求斜率为2，与轴的交点到原点的距离为5的直线的方程.
【答案】（1）y＝2x＋5；（2）y＝2x±5
（1）因为直线斜率为2，在轴上的截距为5，
由直线的斜截式方程可知所求直线的方程为y＝2x＋5.
（2）因为直线与轴的交点到原点的距离为5，所以直线在轴上的截距为，
又直线的斜率为2，由直线的斜截式方程可知所求直线的方程为y＝2x±5.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与直线在轴上有相同的截距，且的斜率与的斜率互为相反数，则直线的斜截式方程为______．
【答案】
由题意知，直线在轴上的截距为，其斜率为，
所以直线在轴上的截距为，其斜率为，
故直线的斜截式方程为．
故答案为：．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为___________.
【答案】
因为直线l的倾斜角为，所以，又因为直线在y轴上的截距为，
所以直线方程为：.
故答案为：.
2．（2022·四川·高二期末）直线在轴上的截距为5，斜率为2，则该直线方程为___________.
【答案】
直线方程为即，
故答案为：.
3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件求直线的斜截式方程：
(1)斜率是，截距是；
(2)倾斜角是，截距是．
【答案】(1)或.
(2)或.
(1)由题意，直线的斜率是，截距是，
当直线在轴上的截距为时，直线的斜截式方程为；
当直线在轴上的截距为时，可得直线的方程为，
所以直线的斜截式方程为；
综上，直线的斜截式方程为或.
(2)由题意，直线倾斜角是，截距是，所以斜率为，
当直线在轴上的截距为时，直线的斜截式方程为；
当直线在轴上的截距为时，可得直线的方程为，
所以直线的斜截式方程为；
综上，直线的斜截式方程为或.
4．（2022·江苏·高二课时练习）（1）求倾斜角为，在轴上的截距为的直线的方程；
（2）求倾斜角为，与轴交点到原点的距离为的直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】
（1）直线的斜率为，故直线的方程为；
（2）直线的斜率为，由题意可知直线在轴上的截距为或，
故直线的方程为或.
重点题型三：直线的两点式方程（不推荐直接代公式用）
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）求经过下列两点的直线的方程：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)(2)(3)(4)
(1)根据直线方程的两点式有，即；
(2)根据直线方程的两点式有，即；
(3)由于点，的横坐标相同，故过这两点的直线方程为；
(4)由于点，的纵坐标相同，过这两点的直线方程为.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）求经过下列两点的直线的方程：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)(2)(3)
(1)经过点，的直线方程为，即
(2)经过点，的直线方程为，即
(3)经过点，的直线方程为，即
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程：
(1)A(3, 1), B(2, －3)；
(2)A(2, 1), B(0, －3)；
(3)A(0, 5), B(4, 0).
【答案】(1)；(2)；(3).
(1)直线的两点式方程为.
(2)直线的两点式方程为.
(3)直线的两点式方程为.
重点题型四：直线的截距式方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，求该直线的方程．
【答案】或
若直线经过原点，满足题意要求，此时直线方程为，整理得.
若直线不经过原点，不妨设直线方程为，又其过点，
故可得，解得，故此时直线方程为，整理得；
综上所述，所求直线方程为：或.
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：
(1)；(2)；
(3)；(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
(1)解：由图象知：直线过点（-2，0），（0，2），
所以直线方程为：，即，
化为一般式为：；
(2)由图象知：直线过点（1，0），（0，1），
所以直线方程为：，即，
化为一般式为：；
(3)由图象知：直线过点（3，0），（0，1），
所以直线方程为：，即；
化为一般式为：；
(4)由图象知：直线过点（-2，0），（0，-1），
所以直线方程为：，即；
化为一般式为：；
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）求过点(3, －4)且在坐标轴上的截距相等的直线方程.
【答案】x＋y＋1＝0或
① 当截距不为0时，设所求直线的方程为，
将点(3, －4)代入得, ，解得a＝－1，
此时所求直线的方程为，即 x＋y＋1＝0
② 当截距为0时，直线过原点(0, 0)，
此时所求直线的方程为，即
综上，所求直线的方程为x＋y＋1＝0或.
2．（2022·江苏·高二课时练习）求过点，在x轴和y轴上的截距分别为，且满足的直线方程.
【答案】或
① 当时，此时直线方程为；　
② 当时，因为，设所求直线方程为，
将点代入直线方程得，解得，此时，
可得直线方程为，
综上，所求直线方程为或.
3．（2022·江苏·高二课时练习）直线经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程．
【答案】，或
设所求直线方程为. ∵直线过点P(－5，－4)，
∴，得4a＋5b＝－ab，①
又由已知得|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，②
由①②解得或
∴所求方程为或.
即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.
4．（2022·全国·高二课时练习）求经过点 ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
【答案】2x-3y=0和x+y-5=0.
若所求直线截距为0,设其方程为y=kx.
依题意将点A的坐标代入可解得k=.
所以此时直线方程为2x-3y=0.
若所求直线截距不为0,则设其截距为a,
则方程的截距式为=1,将点A的坐标代入可解得a=5.
所以此时直线方程为x+y-5=0.
重点题型五：将其它形式的方程化为一般式方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）求过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程．
【答案】或或.
设直线在轴、轴上的截距分别为，．
①当，时，设直线的方程为．
∵点)在直线上，∴，
若，则，直线的方程为．
若，则，，直线的方程为．
②当时，直线过原点，且过点，
此时直线的方程为．
综上，所求直线的方程为或或．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求直线的方程：
(1)过点，且截距是；
(2)过点，且在两坐标轴上的截距和为5．
【答案】(1)或；(2).
(1)解：如果横截距是，则直线过点，
所以直线的方程为即.
所以直线的方程为.
如果是纵截距为，则直线过点，
所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
(2)解：由题得直线的纵截距为2，
所以直线的方程为，即.
所以所求的直线方程为.
同类题型归类练
1．（2022·吉林·长春市第六中学高二阶段练习（理））经过点，斜率为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由题意得，经过点，斜率为的直线方程为，
即.
故选：C.
2．（2022·江苏·高二）直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的一般式方程为___________.
【答案】，
显然直线的斜率存在且不为，设：
令，则；令，则
依题意，
解之得或
当时，：
当时，：
故答案为：，
3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式：
(1)经过点（0，2），且倾斜角为；
(2)经过点（－2，3）和点（－1，0）；
(3)经过点（2，1），在x，y轴上有不为0且相等的截距．
【答案】(1)(2)(3)
(1)解：因为直线经过点，且倾斜角为，
所以直线的斜率为，
所以直线方程为，
所以直线的一般方程为
(2)解：因为直线经过点和点，
所以直线斜率为，
所以直线方程为，
所以直线的一般式方程为
(3)解：由题设直线方程为，
因为直线过点，
所以，解得
所以直线的一般式方程为
重点题型六：直线一般式方程的应用
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
【答案】D
当时，直线，此时不符合题意，应舍去；
当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；
当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
故选：D
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线在轴上的截距为3，则该直线在轴上的截距为________．
【答案】
因为直线在轴上的截距为，即直线过点，
把点代入直线，得，解得，
所以直线的方程为，
令，解得，即直线在轴上的解距.
故答案为：
例题3．（2022·全国·高二课时练习）若，，则直线不通过第______象限．
【答案】三
直线可化为，即
因为，，所以直线的斜率为负，纵截距为正
即直线通过第一、二、四象限，不通过第三象限.
故答案为：三
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
因AB>0且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0的斜率，纵截距，
所以直线Ax＋By＋C＝0必过第一、二、四象限，不经过第三象限.
故选：C
2．（2022·全国·高二单元测试）直线方程为，若直线不过第二象限，则实数m的取值范围是______．
【答案】
不过第二象限,
，解得，
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知直线，若 ,，则不经过第一象限的概率为________．
【答案】
解：直线，若，，
包含的基本事件有，共6种，
不经过第一象限，即不经过第一象限，
，，即，故有两种基本事件，
满足不经过第一象限的有：，共2个，
不经过第一象限的概率为．
故答案为：．
重点题型七：直线方程的综合应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线.
(1)若直线在y轴上的截距为1，求实数的值；
(2)若直线的倾斜角为，求实数的值；
(3)若直线的一个法向量为，求实数的值.
【答案】(1)1(2)2(3)
(1)由题意可知若直线l在y轴上的截距为1.
则将点代入，可得，
即实数a的值为1；
(2)直线l的倾斜角为，则直线的斜率为 ，
显然 ，故 ，解得 ；
(3)直线l的一个法向量为，
则直线的一个方向向量为，则直线的斜率为 ，
显然，故，解得 .
例题2．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（理））已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
故选：C.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，直线恒过点(，1)，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
【答案】B
因直线恒过点(，1)，则有，即，
又，，则，当且仅当，即时取“=”，
由得，
所以当时，取得最小值9.
故选：B
2．（2022·江苏·高二）设直线的方程为，若直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 ______ ．
【答案】或
直线的方程为，即，
令，求得，，可得该直线经过定点．
由于直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，方程为，即．
若直线不过原点，设它的方程为，再把点代入，求得，
故直线的方程为．
综上可得，直线的方程为或．
故答案为：或
3．（2022·重庆市巫山大昌中学校高二期末）直线的倾斜角的取值范围是______.
【答案】
可化为：，所以，由于，结合函数在上的图象，可知．
故答案为：．
重点题型八：直线的位置关系的应用
典型例题
例题1．（2022·陕西西安·高一期末）已知直线，点.
(1)求过点且与平行的直线的方程；
(2)求过点且与垂直的直线的方程.
【答案】(1)(2)
(1)已知直线的斜率为，
设直线的斜率为，
∵与平行，
∴，
∴直线的方程为，
即直线的方程为，
(2)已知直线的斜率为，
设直线的斜率为，
∵与垂直，
∴，
∴，
∴直线的方程为，
即直线的方程为.
例题2．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知直线，直线过点.
(1)若，求直线的方程；
(2)若，求直线的方程.
【答案】(1)(2)
(1)因为，且，所以直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，即.
(2)因为，且，
所以直线的斜率为，又直线过点，
所以直线的方程为，即.
同类题型归类练
1．（2022·四川乐山·高一期末）过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，
故选：B．
2．（2022·贵州·六盘水市第五中学高二期末）直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【答案】C
直线可化为，
所以直线与直线的位置关系是重合.
故选：C
3．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意可知，设所求直线的方程为，
将点代入直线方程中，得，解得，
所以所求直线的方程为，即.
故选：B.
4．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）直线与直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】B
根据题意，化简得，由于和解析式完全相同，
所以直线与直线重合.
故选：B.
5．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）过点且与直线平行的直线方程是______.
【答案】
因为所求直线与直线平行，所以设所求直线方程为
由题可得，即，
所以所求直线方程为.
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）直线的法向量就是的法向量，则实数______．
【答案】
直线的法向量就是的法向量
直线与直线平行
解得：
故答案为：.
7．（2022·全国·高二课时练习）若两直线与平行，则实数a的值为______．
【答案】
由题可知两直线的斜率存在，故，
由，则它们的斜率相等且纵截距不等，
∴，解得.
故答案为：.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知直线.
(1)若直线l在y轴上的截距为1，求实数a的值；
(2)若直线l的倾斜角为，求实数a的值；
(3)若直线l的一个法向量为，求实数a的值.
【答案】(1)1(2)2(3)
(1)由题意可知若直线l在y轴上的截距为1.
则将点代入，可得，
即实数a的值为1；
(2)直线l的倾斜角为，则直线的斜率为 ，
显然 ，故 ，解得 ；
(3)直线l的一个法向量为，
则直线的一个方向向量为，则直线的斜率为 ，
显然，故，解得 .
重点题型九：过定点的直线系方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试）对于任意、，直线必过定点______．
【答案】
由原方程可得对于任意m、成立，
由，解得，
故直线必过定点.
故答案为：
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）直线可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为，所以A C错；
当时，，故B对；
故选：B
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的方程是．对于任意，直线均经过定点，则此定点的坐标为___________.
【答案】
∵．
可得，解得．
故答案为：．
同类题型归类练
1．（2022·四川达州·高一期末（理））直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
将变形为：，令且，解得，故直线恒过定点
故选：A
2．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
直线，即，
令，得，，可得它恒过一个定点.
故答案为：.
3．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意知直线过定点，且不与轴垂直，
当直线经过点时，，点到直线的距离最小为0，
当过点的直线垂直于x轴时，点到该直线的距离最大,最大值为3，如图示：
由于的斜率存在，故点到直线的距离小于3，
即点到直线的距离的取值范围是，
故选：D.
4．（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）不论k为何值，直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，可化为，则过定点
故选：B
1．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知直线，，若，则实数的值是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
由题意可知,故，
解得或，经验证，符合题意，
故选：A
2．（2022·福建福建·模拟预测）直线经过第一、二、四象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
因为直线经过第一、二、四象限，则该直线的斜率，可得，
该直线在轴上的截距，可得.
故选：C.
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
直线与直线垂直，设直线的方程为，
直线经过点，，即.
直线的方程为.
故选：C
4．（2022·上海·模拟预测）直线的单位法向量是__________
【答案】，
法向量可以为，此时，
单位法向量即，同理还有
故答案为：，
5．（2022·上海·复旦附中模拟预测）经过点且法向量为的直线l的一般式方程是______．
【答案】
设是直线上任一点，则由得直线方程为，即．
故答案为：．

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