资源简介

2.4.1圆的标准方程（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求圆的标准方程
重点题型二：点与圆的位置关系
重点题型三：与圆有关的最值问题
重点题型四：与圆有关的对称问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：
知识点二：圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
知识点三：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
知识点四：圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）方程一定表示圆．( )
（2）圆的圆心坐标是，半径是4．( )
（3）若圆的标准方程为，则圆的半径一定是a．( )
2．（2022·全国·高二课时练习）圆的半径为( )
A．1 B． C．2 D．4
3．（2022·全国·高二课时练习）以为圆心，4为半径的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的方程是，则点满足( )
A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外
重点题型一：求圆的标准方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）分别根据下列条件，求出圆的方程：
(1)圆心在原点，半径为6；
(2)圆心为点，半径为；
(3)过点，圆心为；
(4)过原点，圆心为点．
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；
(2)经过点、，且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；
(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．
2．（2022·江苏·高二课时练习）（1）已知点，，求以线段AB为直径的圆的方程；
（2）求圆心在直线上，且过两点，的圆的方程．
重点题型二：点与圆的位置关系
典型例题
例题1．已知点)在圆的外部，则实数的取值范围是_____.
例题2．已知点在的内部，则实数的取值范围为___________.
同类题型归类练
1．点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关
2．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）．
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
3．点在圆上，则实数的值是___________.
4．点是圆上的动点，则的最大值是________.
重点题型三：与圆有关的最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，分别为圆：，：上的动点，为轴上一点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（ ）
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川·成都外国语学校高二开学考试（理））已知圆的方程为，直线恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值为______.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知C为圆：上一动点，点坐标为，点坐标为，则的最小值为_________．
重点题型四：与圆有关的对称问题
典型例题
例题1．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
例题2．（2022·江苏·高二）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
例题3．（2022·全国·模拟预测）已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）圆：关于直线对称的圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏·高二）已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏·高二）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
2．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，，且满足，则点的运动轨迹方程为____________，点到直线的最小距离为__________.
1．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·福建福州·模拟预测）已知，则外接圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·重庆·三模）设圆的方程是，其中，，下列说法中正确的是（ ）
A．该圆的圆心为 B．该圆过原点
C．该圆与x轴相交于两个不同点 D．该圆的半径为
4．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
5．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知实数满足，，，则的最大值为___________.
2.4.1圆的标准方程（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求圆的标准方程
重点题型二：点与圆的位置关系
重点题型三：与圆有关的最值问题
重点题型四：与圆有关的对称问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：
知识点二：圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
知识点三：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
知识点四：圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）方程一定表示圆．( )
（2）圆的圆心坐标是，半径是4．( )
（3）若圆的标准方程为，则圆的半径一定是a．( )
【答案】 × × ×
（1）当时，表示的是点，错误；
（2）该圆的圆心坐标是，半径是2，错误；
（3）半径为，错误.
2．（2022·全国·高二课时练习）圆的半径为( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
由题可知：该圆的半径为
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）以为圆心，4为半径的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
由题可知：该圆的方程为(x 2)2+(y+1)2=16
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的方程是，则点满足( )
A．是圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外
【答案】C
由题可知：，所以点在圆内
故选：C
重点题型一：求圆的标准方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）分别根据下列条件，求出圆的方程：
(1)圆心在原点，半径为6；
(2)圆心为点，半径为；
(3)过点，圆心为；
(4)过原点，圆心为点．
【答案】(1)(2)
(3)(4)
(1)
(2)
(3)由题意得：圆的半径，故圆的方程为：
(4)由题意得：半径，所以圆的方程为：
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程．
【答案】.
由得，由得，
，，
以为直径的圆的圆心是，半径，
以为直径的圆的方程是．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；
(2)经过点、，且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；
(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)
(1)设圆的标准方程为．
因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圆的标准方程为或．
(2)设圆的标准方程为，由题意得，；
又因为点在圆上，所以．
所以所求圆的标准方程为．
(3)设圆心为．
因为圆与直线y=1-x相切于点，所以，
解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径．
所以所求圆的方程为．
(4)设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为．
又该圆经过A、B两点，所以．
所以，解得a=-2，
所以圆心坐标为，半径．
故所求圆的标准方程为．
2．（2022·江苏·高二课时练习）（1）已知点，，求以线段AB为直径的圆的方程；
（2）求圆心在直线上，且过两点，的圆的方程．
【答案】（1）；（2）.
（1）由题设，中点坐标为，且，
所以以线段AB为直径的圆的方程为.
（2）由题设，令圆心为，圆的方程为，
又，在圆上，所以，解得，
故圆的方程为.
重点题型二：点与圆的位置关系
典型例题
例题1．已知点)在圆的外部，则实数的取值范围是_____.
【答案】
由题意，得(1+2)2+(-1)2>m，即m<10.又m>0，故m的取值范围是(0，10).
故答案为: .
例题2．已知点在的内部，则实数的取值范围为___________.
【答案】
解：由题意圆心到点的距离小于半径
即
解得
故答案为：
同类题型归类练
1．点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关
【答案】A
将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，
有： 恒成立，故点P在圆外，
故选：A.
2．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）．
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B
点在圆外，，
圆心到直线距离，
直线与圆相交.
故选B.
3．点在圆上，则实数的值是___________.
【答案】或
因为点在圆上，
所以，故或，
故答案为：或，
4．点是圆上的动点，则的最大值是________.
【答案】
由，则，当且仅当时等号成立，
∴的最大值是.
故答案为：.
重点题型三：与圆有关的最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
由圆过点，，可知圆心在线段的垂直平分线上
又，则
又的中点为，则直线的方程为
圆心到原点距离的最小值即为原点到直线的距离为
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，分别为圆：，：上的动点，为轴上一点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
根据题意，易知，
因为关于x轴的对称点为，
所以，
因此的最小值为，当且仅当为直线与x的交点时取等号．
故选：B．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由圆的方程可得：圆心坐标，半径，
设点关于轴对称点为，则，
连接交轴于点，交圆于点，则为所求的最短距离，
证明如下：任取轴上一点，则（当且仅当三点共线时取等号），
，
即最短路径的长度为.
故选：A.
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
解：由题意可得直线l的方程为，
圆C的圆心，半径为1，
如图：
，
又，当取最小值时，取最小值，
此时，可得，，
则，解得，
则直线l的方程为，
则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为．
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
整理直线方程得：，
由得：，，
由圆的方程知圆心，半径，
.
故选：D.
3．（2022·四川·成都外国语学校高二开学考试（理））已知圆的方程为，直线恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值为______.
【答案】6
取，得，得，
设点A关于直线的对称点为，则
，解得，即
由图知，当、M、N、C四点共线时取“=”号.
故答案为：6
4．（2022·全国·高三专题练习）已知C为圆：上一动点，点坐标为，点坐标为，则的最小值为_________．
【答案】
设圆：的圆心为，则，半径，取，
，，，，
（当且仅当三点共线且在线段上时取等号），
，，
即的最小值为.
故答案为：.
重点题型四：与圆有关的对称问题
典型例题
例题1．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【答案】B
圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9.
故选：B.
例题2．（2022·江苏·高二）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
例题3．（2022·全国·模拟预测）已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
由题意，圆，可得圆心坐标为，
以原点为圆心的圆的圆心坐标为，
可得直线的斜率为，且的中点坐标为，
因为圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，
所以，即，
将点代入直线，可得.
故选：A.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）圆：关于直线对称的圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
解：表示以为圆心，以1为半径的圆．
设关于直线对称的点为，则有，解得：，，
所以：关于直线对称的圆的方程为．
故选：A．
2．（2022·江苏·高二）已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
设点的坐标为，圆的圆心坐标为，
设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，
所以反射光线经过点，
由反射的性质可知：，
于是，所以反射光线所在的直线方程为：
，
故选：A
3．（2022·江苏·高二）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
圆的圆心，半径为1，
设，则由题意得
，解得即，
所以圆的方程为，
故选：A
4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A
1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．
若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，
连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，
所以．
因为∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，则，
所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为B(1，1)，K(－2，0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min
＝|BK|＝．
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．
故选：C
2．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，，且满足，则点的运动轨迹方程为____________，点到直线的最小距离为__________.
【答案】
（1），
化简为；
（2）点到直线的距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，
即.
故答案为：；.
1．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
2．（2022·福建福州·模拟预测）已知，则外接圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设外接圆的方程为
则有，解之得
则外接圆的方程为
故选：D
3．（多选）（2022·重庆·三模）设圆的方程是，其中，，下列说法中正确的是（ ）
A．该圆的圆心为 B．该圆过原点
C．该圆与x轴相交于两个不同点 D．该圆的半径为
【答案】BC
由圆的标准方程可知：该圆的圆心坐标为，半径为，所以选项A、D不正确；
因为，所以该圆过原点，因此选项B正确；
在圆的方程中，令，有
，或，因为，
所以该圆与x轴相交于两个不同点，因此选项C正确，
故选：BC
4．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
5．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知实数满足，，，则的最大值为___________.
【答案】
解：设，为坐标原点，则，
由，
可得两点在圆上，且，则，
所以三角形为等边三角形，，
的几何意义为两点到直线的距离与之和，
记线段的中点分别是，到直线的距离为，
则有，且，
所以，
所以的最大值为，
故答案为：.

展开更多......

收起↑