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题型二　反比例函数综合题
类型一　反比例函数与几何图形结合
1.如图，在平面直角坐标系中， OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点A(3，4)和点M.
(1)求反比例函数的表达式和点M的坐标；
(2)求 OABC的周长．
第1题图
2. 如图，反比例函数y＝(x＞0)的图象过四边形ABOC的顶点C，AC∥x轴交y轴于点D，S△OCD＝6，延长BA与y轴交于点E，∠AED＝∠COD，连接AO，CE.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若AD＝2，＝，求点E的坐标；
(3)若点A是BE的中点，求证：四边形AOCE是菱形．
第2题图
3.如图，点A是反比例函数y1＝(x＞0)图象上的一点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与x轴、y轴分别交于点B，C，与反比例函数y2＝(k≠0，x＞0)的图象交于点D，E，连接DE并双向延长，分别与x轴、y轴交于点M，N，连接OD，已知△OBD的面积为5.
(1)求反比例函数y2＝的解析式；
(2)若∠ODM＝90°，求证：△OBD∽△DBM；
(3)求证：DN＝EM.
第3题图
类型二　反比例函数与一次函数结合
1. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(－1，6)，B(，a－3)，与x轴交于点C，与y轴交于点D.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标．
　
第1题图
2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于点A(a，4)，与x轴、y轴分别交于点B、C.过点A作AD⊥x轴，垂足为D.
(1)求反比例函数y＝的表达式；
(2)点P为反比例函数y＝(x＞0)图象上的一点，且位于点A的右侧．从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求点P的坐标．
条件①：PA＝PD；
条件②：△ABD面积是△PBD面积的2倍．
第2题图
3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝－的图象交于点A(m，3)，B(6，－2).
(1)求一次函数的解析式及m的值；
(2)点C是y轴上一点，当∠ACB＝90°时，求的值．
第3题图
题型二　反比例函数综合题
类型一　反比例函数与几何图形结合
1. 解：(1)将点A(3，4)代入y＝中，得k＝12，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝MC，
由中点坐标公式得点M的纵坐标为＝2，
∵点M在反比例函数y＝的图象上，
∴当y＝2时，x＝6，
∴M(6，2)；
(2)∵AM＝MC，A(3，4)，M(6，2)，
∴C(9，0)，
∴OC＝9，OA＝＝5，
∴ OABC的周长为2×(5＋9)＝28.
2. (1)解：∵AC∥x轴，
∴AC⊥y轴．
∵S△OCD＝6，
∴＝6，
∴|k|＝12.
∵反比例函数y＝(x>0)的图象在第一象限，
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝(x＞0)；
(2)解：∵S△OCD＝6，
∴CD·OD＝12，
∵＝，
∴CD＝3，OD＝4(负值已舍去)，
∵∠AED＝∠COD，∠ADE＝∠CDO＝90° ，
∴△ADE∽△CDO，
∴＝，即＝，
解得DE＝，
∴OE＝OD＋DE＝，
∴E(0，)；
(3)证明：∵∠AED＝∠COD，
∴BE∥OC，
∵AC∥x轴，
∴四边形ABOC是平行四边形，
∴AB＝OC，
∵点A是BE的中点，
∴AB＝AE，
∴AE＝OC，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∵AC∥x轴，
∴AC⊥OE，
∴四边形AOCE是菱形．
3. (1)解：∵△OBD的面积为5，
∴＝5，
∴|k|＝10，
∵反比例函数y2＝的图象在第一象限，
∴k＝10，
∴反比例函数y2的解析式为y2＝(x＞0)；
(2)证明：∵∠ODM＝90°，
∴∠ODB＋∠BDM＝90°.
∵BD⊥x轴，
∴∠OBD＝90°，
∴∠ODB＋∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠BDM.
∵∠OBD＝∠DBM，
∴△OBD∽△DBM；
(3)证明：如解图，过点D作DD′⊥y轴于点D′，过点E作EE′⊥x轴于点E′，
设点A(m，)，则点E(5m，)，D(m，)，
∴DD′＝m，BD＝，OE′＝5m，EE′＝，
设DE所在直线的解析式为y＝k′x＋b(k′≠0)，
将D，E两点坐标代入y＝k′x＋b中，得，
解得，
∴DE所在直线的解析式为y＝－x＋，
令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝6m，
∴M(6m，0)，N(0，)，
∴OM＝6m，ON＝.
∴ND′＝ON－OD′＝ON－BD＝－＝，ME′＝OM－OE′＝6m－5m＝m，
∴ND′＝EE′＝，DD′＝ME′＝m，
∵∠ND′D＝∠EE′M＝90°，
∴△ND′D≌△EE′M(SAS)，
∴DN＝ME，即DN＝EM.
第3题解图
类型二　反比例函数与一次函数结合
1. 解：(1)设反比例函数、一次函数解析式分别为y＝(n≠0)，y＝kx＋b(k≠0)，
将点A(－1，6)代入y＝中，得n＝－6，
∴反比例函数的解析式为y＝－.
∵点B在反比例函数y＝－的图象上，
∴(a－3)＝－6，解得a＝1，
∴B(3，－2).
将点A(－1，6)，B(3，－2)代入y＝kx＋b中，
得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝－2x＋4；
(2)设点M(m，0)，
∵一次函数y＝－2x＋4的图象交x轴于点C(2，0)，
∴S△OAB＝S△OAC＋S△OCB＝×2×6＋×2×2＝8，
∵S△OAM＝S△OAB，
∴S△OAM＝×|m|×6＝8，
解得m＝±，
∴点M的坐标为(，0)或(－，0).
2. 解：(1)将点A(a，4)代入y＝x＋2中，得4＝a＋2，
∴a＝2，
∴点A(2，4)，
将点A(2，4)代入y＝(x＞0)中，得k＝8，
∴反比例函数y＝的表达式为y＝(x＞0)；
(2)选择条件①，如解图①，连接PA，PD，
第2题解图①
设点P坐标为(x，y)，由(1)知点A(2，4)，
∴点D(2，0)，
∵PA＝PD，
∴PA2＝PD2，
∴(x－2)2＋(y－4)2＝(x－2)2＋(y－0)2，
解得y＝2，
∵点P在y＝的图象上，
∴x＝4，
∴点P的坐标为(4，2).
解法二　选择条件②，如解图②，连接PB，PD，设点P坐标为(x，y)，由(1)知点A(2，4)，
∴点D(2，0)，
∴AD＝4，
∵△ABD面积是△PBD面积的2倍，
BD·AD＝2×BD·y，
∴4＝2y，
解得y＝2，
∵点P在y＝的图象上，
∴x＝4，
∴点P的坐标为(4，2).
第2题解图②
3. 解：(1)将点A(m，3)代入y＝－中，得3＝－，
解得m＝－4，
∴点A(－4，3)，
将点A(－4，3)，B(6，－2)代入y＝kx＋b(k≠0)中，
得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝－x＋1；
(2)如解图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，
设点C(0，n)，则CD＝|n－3|，AD＝4，BE＝6，CE＝|n＋2|，
∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＋∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE.
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ACD∽△CBE，
∴＝，即＝，
解得n＝6或n＝－5，
∴点C的坐标为(0，6)或(0，－5).
当点C的坐标为(0，6)时，如解图①，∵AD＝4，CD＝n－3＝3，
∴AC＝＝5.
∵BE＝6，CE＝n＋2＝8，
∴BC＝＝10，
∴＝＝；
当点C的坐标为(0，－5)时，如解图②，∵AD＝4，CD＝3＋5＝8，
∴AC＝＝4.
∵BE＝6，CE＝5－2＝3，
∴BC＝＝3，
∴＝＝.
综上所述，当∠ACB＝90°时，的值为或.
第3题解图题型六　二次函数综合题
类型一　二次函数与线段有关的问题
1. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A(－1，0)，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，OB＝OC.
(1)求a，b的值；
(2)点P是第一象限抛物线上一动点，过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D，作PE∥y轴，交x轴于点E，连接ED交直线BC于点F，当DF＝EF时，求点P的坐标．
　
第1题图
2. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于点A(4，0)，交y轴于点B(0，－4).
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AB，在抛物线上是否存在一点M，使得∠MAO＝∠BAO？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点C为AB下方抛物线上一点，过点C作CD⊥AB于点D，求CD＋AD的最大值．
第2题图
3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，且OB＝OC.点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当DE＝PD时，求此时点P的坐标；
(3)在第一象限抛物线上是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第3题图
类型二　二次函数与面积有关的问题
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是x轴上方抛物线上一点，当△ABP的面积为2时，求点P的坐标；
(3)连接AC，BC，N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′，若△ABC的面积被直线NN′分为1∶2的两部分，求点N的坐标．
　
第1题图
2. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
　
第2题图
3. 如图，抛物线y＝ax2＋3ax－4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，OC＝4OB，点P是第三象限抛物线上的动点，连接AP.
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点O作OD⊥AP于点D，若OD＝2AD，求点P的坐标；
(3)连接BP交AC于点E，是否存在点P，使得的值最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第3题图
类型三　二次函数与特殊图形存在性问题
典例精讲
方法解读
二次函数中平行四边形的存在性问题(以(1)为例)：
1．找点：分情况讨论：①当BC为平行四边形的边；②当BC为平行四边形的对角线，根据平行四边形一组对边平行且相等确定点的位置．
2．求点：①通过点的平移，构造全等三角形求点坐标；②由中点坐标公式求顶点坐标．
例1　一题多设问 如图，已知抛物线y＝x2－x－4与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)如图①，连接BC，若D，E分别为抛物线和x轴上的动点，是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
例1题图①
方法解读
二次函数中等腰三角形的存在性问题(以(2)为例)：
1．找点：两圆一线
①若AF＝AC，以点A为圆心，AC长为半径画圆；②若FC＝AC，以点C为圆心，AC长为半径画圆；③若AF＝FC，作AC的垂直平分线．
2．求点：设出点F的坐标，根据点A，C，F的坐标，表示出线段AC，FC，AF的长度，由等量关系分别列方程求解即可．
(2)如图②，若点F为x轴上的动点，是否存在点F，使以点A，C，F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
例1题图②
方法解读
二次函数中菱形的存在性问题：
要使以A，C，G，H为顶点的四边形是菱形，则根据AC为已知边，分情况讨论：①当AC为菱形的边；②当AC为菱形的对角线，同等腰三角形的存在性的计算方法，利用两邻边相等求得第三个顶点的坐标，再由平移或中点坐标公式可得菱形的第四个顶点的坐标．
(3)如图③，连接AC，若G为直线BC上的动点，H为平面内一点，是否存在点H，使以点A，C，G，H为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
例1题图③
方法解读
二次函数中直角三角形的存在性问题(以(4)①为例)：
1．找点：两线一圆
①若∠MBC＝90°，过点B作BC的垂线；②若∠MCB＝90°，过点C作BC的垂线；③若∠BMC＝90°，以BC为直径作圆．
2．求点
方法一：代数法：设出点M的坐标，根据点B，C，M的坐标，表示出线段BC，BM，CM的长度，再根据对应情况，由勾股定理分别列方程求解即可；
方法二：几何法：作垂线，构造一线三垂直模型，表示出线段长用勾股定理或相似建立等量关系．
(4)连接BC，若点M为抛物线的对称轴上的动点
①如图④，是否存在点M，使以点B，C，M为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
例1题图④
方法解读
二次函数中矩形的存在性问题：
要使以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，则根据BC为已知边，分情况讨论：①当BC为矩形的边；②当BC为矩形的对角线，同直角三角形的存在性的计算方法，利用代数法或几何法求得第三个顶点的坐标，再由平移或中点坐标公式可得矩形的第四个顶点的坐标．
②如图⑤，若N为平面内一点，是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
例1题图⑤
方法解读
二次函数中的角度问题：
1．角度相等：常与线段的平行或特殊三角形结合，最终将角度问题转化为线段问题；
2．角度固定值：常见的角度有15°，30°，45°，60°，90°，常放在特殊三角形中，利用三角形三边关系或三角函数求解；
3．角度的倍数关系：利用三角形的内外角关系和等腰三角形的性质求解．
(5)如图⑥，连接BC，若点P为抛物线上的动点，是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
例1题图⑥
方法解读
二次函数中相似三角形的存在性问题：
(1)找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在隐含的等角；
(2)表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线段长；
(3)建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算求解．
如图⑦，连接AC，BC，BC交抛物线的对称轴于点M，若点N为x轴上的动点，是否存在点N，使△BMN与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
　例1题图⑦
针对训练
1. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是BC的中点，点E是抛物线上一点，当DE∥AC时，求点E的坐标；
(3)点F在抛物线的对称轴上，点G在抛物线上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，请求出所有满足条件的点G的坐标．
　
第1题图
2. 如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.
(1)求m的值；
(2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式；
(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
　
第2题图
3. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD.
(1)求b，c的值；
(2)求直线BD的函数解析式；
(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
　
第3题图
拓展类型　 二次函数性质综合题
(全国视野2023年北京、云南、舟山等地考查)
1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a>0)的对称轴为直线x＝1，且与x轴只有一个公共点．
(1)试用含a的式子表示b和c；
(2)已知(x1，y1)，(3，y2)是该抛物线上的两点，若y2(3)若将该抛物线向上平移2个单位长度所得的新抛物线经过点(3，6)，且当p≤x≤q(p≤1＜q)时，新抛物线对应的函数有最小值2p，最大值2q，求p－q的值．
2.定义：若两个二次函数y1，y2的图象关于x轴对称，则称y1，y2互为“对称二次函数”．
(1)已知二次函数y＝x2－3x＋1，则它的“对称二次函数”的顶点坐标为________；
(2)已知关于x的二次函数y1＝－2x2＋4mx＋3m－2和y2＝ax2＋bx＋c，其中y1的图象经过点(2，1).若y1＋y2与y1互为“对称二次函数”，求函数y2的解析式；
(3)在(2)的条件下，当m≤x≤m＋1时，y2的最小值为－2，请直接写出m的值．
3. 已知直线l：y＝kx＋b经过点(0，7)和点(1，6).
(1)求直线l的解析式；
(2)若点P(m，n)在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点(0，－3)，且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤＋1的图象的最高点的坐标．
题型六　二次函数综合题
类型一　二次函数与线段有关的问题
1. 解：(1)令x＝0，得y＝4，
∴点C(0，4)，
∵OB＝OC，∴点B(4，0)，
将点A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4中，得，
解得；
(2)由(1)可知抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4，
∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
设点P(m，－m2＋3m＋4)，
则点D(3－m，－m2＋3m＋4)，E(m，0)，
∵DF＝EF，
∴点F是DE的中点，
∴点F(，)，即F(，)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，
将点B(4，0)，C(0，4)代入y＝kx＋n中，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，
∵点F在直线BC上，当x＝时，y＝，
∴＝，
解得m＝或m＝，此时－m2＋3m＋4＝5，
∴点P的坐标为(，5)或(，5).
2. 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(4，0)，B(0，－4)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－4；
(2)存在．
①当点M与点B重合时，∠MAO＝∠BAO，
∴点M的坐标为(0，－4)；
②当点M不与点B重合时，如解图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长，交抛物线于点M，则∠MAO＝∠BAO，
∵点B的坐标为(0，－4)，
∴点B′的坐标为(0，4)，
设直线AB′的解析式为y＝k1x＋d1(k1≠0)，
将A(4，0)，B′(0，4)代入，
得，解得，
∴直线AB′的解析式为y＝－x＋4，
令－x＋4＝x2－x－4，解得x＝4(舍去)或x＝－4，
当x＝－4时，y＝8，
∴点M的坐标为(－4，8)，
综上所述，点M的坐标为(0，－4)或(－4，8)；
(3)如解图，过点C作CE⊥x轴于点E，交AB于点F，
∵A(4，0)，B(0，－4)，
∴OA＝OB＝4，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∴∠EFA＝∠CFD＝45°，
∴AF＝EF，CD＝DF＝CF.
设直线AB的解析式为y＝k2x＋d2(k2≠0)，
将A(4，0)，B(0，－4)代入，
得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x－4，
设点C(m，m2－m－4)(0∴CE＝－m2＋m＋4，
∴CD＋AD＝CD＋DF＋AF＝CF＋CF＋EF＝(CF＋EF)＝CE＝－(m－1)2＋.
∵－＜0，0＜m＜4，
∴当m＝1时，CD＋AD取得最大值，最大值为.
第2题解图
3. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)分别与坐标轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，C，且OB＝OC，
∴C(0，－3)，
∴抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－3，
∴将点A，B的坐标代入抛物线的解析式，
得，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
(2)∵B(3，0)，C(0，－3)，
∴直线BC的解析式为y＝x－3，
设点P(t，t2－2t－3)，则E(t，t－3)，D(t，0)，
当点P在AB下方的抛物线上时，－1＜t＜3，
则DE＝0－(t－3)＝3－t，PD＝0－(t2－2t－3)＝－t2＋2t＋3，
∵DE＝PD，
∴3－t＝(－t2＋2t＋3)，
解得t＝2或t＝3(舍去)，
∴P(2，－3)；
当点P在点B右侧的抛物线上时，t＞3，
则DE＝t－3，PD＝t2－2t－3，
∵DE＝PD，
∴t－3＝(t2－2t－3)，
解得t＝2(舍去)或t＝3(舍去)，
∴此时点P不存在；
当点P在点A左侧的抛物线上时，t＜－1，
则DE＝0－(t－3)＝3－t，PD＝t2－2t－3，
∵DE＝PD，
∴3－t＝(t2－2t－3)，
解得t＝－4或t＝3(舍去)，
∴P(－4，21).
综上所述，点P的坐标为(2，－3)或(－4，21)；
(3)存在．
如解图，过点P作PH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，则PH＝5DG，
设P(m，m2－2m－3)(m＞3)，则E(m，m－3)，D(m，0)，
∴PE＝m2－2m－3－(m－3)＝m2－3m，DE＝m－3，
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，
∠PEH＝∠DEG，
∴△PEH∽△DEG，
∴＝＝5，即＝5，
解得m＝3(舍去)或m＝5，
∴P(5，12).
故存在点P，点P的坐标为(5，12).
第3题解图
类型二　二次函数与面积有关的问题
1. 解：(1)将点B(1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c中，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；
(2)在抛物线y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，解得x1＝1，x2＝－3，
∴A(－3，0)，B(1，0)，
∴AB＝4，
设P(t，－t2－2t＋3)(－3＜t＜1)，
∴S△ABP＝AB·yP＝×4×(－t2－2t＋3)＝2，
解得yp＝1，t1＝－1－，t2＝－1，
∴点P的坐标为(－1－，1)或(－1，1)；
(3)∵C(0，3)，
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6，
由坐标A，C可得直线AC的解析式为y＝x＋3，
设N(n，n＋3)(－3≤n≤0)，
①当S△ANN′＝S△ABC＝2时，即S△ANN′＝[n－(－3)](n＋3)＝2，
解得n1＝－1，n2＝－5(舍去)，
∴N(－1，2)；
②当S△ANN′＝S△ABC＝4时，即S△ANN′＝[n－(－3)](n＋3)＝4，
解得n1＝2－3，n2＝－2－3(舍去)，
∴N(2－3，2)，
综上所述，点N的坐标为(－1，2)或(2－3，2).
2. 解：(1)∵A(1，0)，AB＝4，
∴B(－3，0).
将点A(1，0)，B(－3，0)代入y＝x2＋bx＋c中，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3；
(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴C(－1，－4).
设直线BC的解析式为y＝k1x＋m1(k1≠0)，
将点B(－3，0)，C(－1，－4)代入y＝k1x＋m1中，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝－2x－6，
设直线AC的解析式为y＝k2x＋m2(k2≠0)，
将点A(1，0)，C(－1，－4)代入y＝k2x＋m2中，得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝2x－2.
∵PQ∥BC，
∴设直线PQ的解析式为y＝－2x＋n，
令y＝0，得x＝，
∴P(，0)，
联立直线AC与直线PQ的解析式，得，
解得，
∴Q(，)，
∵点P在线段AB上，
∴－3≤≤1，
即－6≤n≤2，
∴S△CPQ＝S△CPA－S△QPA＝×(1－)×4－×(1－)×(－)＝－(n＋2)2＋2，
∵－＜0，－6≤n≤2，
∴当n＝－2时，S△CPQ取得最大值，最大值为2.此时点P的坐标为(－1，0).
3. 解：(1)令x＝0，得y＝－4，
∴点C的坐标为(0，－4)，
∴OC＝4.
∵OC＝4OB，∴OB＝1，
∴点B的坐标为(1，0)，
将(1，0)代入y＝ax2＋3ax－4中，
得0＝a＋3a－4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2＋3x－4；
(2)如解图①，过点P作PQ⊥x轴，交x轴于点Q，
在y＝x2＋3x－4中，令y＝0，即x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，
∵点B的坐标为(1，0)，
∴点A的坐标为(－4，0)，
设点P的坐标为(m，m2＋3m－4)，
∵OD⊥AP，OD＝2AD，
∴tan ∠OAD＝＝＝2.
∵PQ⊥x轴，∠PAQ＝∠OAD，
∴tan ∠PAQ＝tan ∠OAD，
即＝＝2，
解得m1＝－4(舍去)，m2＝－1.
当m＝－1时，m2＋3m－4＝－6，
∴点P的坐标为(－1，－6)；
第3题解图①
(3)存在．
由题意知，＝，
设点P的坐标为(n，n2＋3n－4)，
如解图②，过点P作PF∥AB交直线AC于点F，则△FEP∽△AEB，
∴＝.
∵直线AC的解析式为y＝－x－4，
令－x－4＝n2＋3n－4，得x＝－n2－3n，
∴F(－n2－3n，n2＋3n－4)，
∴FP＝－n2－3n－n＝－n2－4n.
由(2)可得AB＝5，
∴＝＝＝－(n＋2)2＋.
∵点P是第三象限抛物线上的动点，
∴－4∵－<0，
∴当n＝－2时，取得最大值，
∴此时点P的坐标为(－2，－6).
第3题解图②
类型三　二次函数与特殊图形存在性问题
典例精讲
例1　解：(1)存在．
∵抛物线的解析式为y＝x2－x－4，
∴当y＝0时，x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝4，
∵点A在点B的左侧，
∴A(－2，0)，B(4，0)，
当x＝0时，y＝－4，
∴C(0，－4).
分以下两种情况：①当BC为平行四边形的边时，如解图①，点D位于点D1或D2或D3处，点E相应的位于点E1或E2或E3处，
∵四边形BCE1D1为平行四边形，
∴BC∥D1E1，BC＝D1E1，
∵C(0，－4)，
∴OC＝4，
∵点E1在x轴上，
∴点D1到x轴的距离为4，
令y＝4，即x2－x－4＝4，
解得x1＝1＋(舍去)，x2＝1－，
∴点D1的坐标为(1－，4)，
同理可得点D2的坐标为(1＋，4)，
∵B(4，0)，C(0，－4)，
∴由平移的性质得点E1的坐标为(－3－，0)，点E2的坐标为(－3，0)；
∵四边形BCD3E3为平行四边形，
∴BE3∥CD3，BE3＝CD3，
∴点D3与点C关于对称轴x＝－＝1对称，
∴＝1，解得x＝2，
∴点D3的坐标为(2，－4)，
∴CD3＝2，
∴OE3＝OB＋CD3＝6，
∴点E3的坐标为(6，0)；
②当BC为平行四边形的对角线时，如解图①，点D位于点D4处，点E相应的位于点E4处，连接D4E4交BC于点Q，
∵四边形BD4CE4为平行四边形，
∴点Q为BC，D4E4的中点，
∴＝2，＝－2，
∴点Q的坐标为 (2，－2)，
∵BE4∥CD4，
∴点D4与点D3重合，
∴由上可知D4(2，－4)，
∴＝2，
解得x＝2，
∵点E在x轴上，
∴点E4的坐标为(2，0).
综上所述，点E的坐标为(－3－，0)或(－3，0)或(6，0)或(2，0)；
例1题解图①
(2)存在．
由(1)得A(－2，0)，C(0，－4)，
∴由勾股定理得AC＝2.
分以下三种情况：①当AF＝AC时，如解图②，点F位于点F1或F2处，AF＝AC＝2，
∴点F1的坐标为(－2－2，0)，点F2的坐标为(2－2，0)；
②当FC＝AC时，如解图②，点F位于点F3处，FC＝AC＝2，
∵OC⊥AF3，
∴OA＝OF3＝2，
∴点F3的坐标为(2，0)；
③当AF＝FC时，如解图②，点F位于点F4处，AF＝FC，
设点F4的坐标为(a，0)，
则AF4＝a＋2，F4C＝，
∴a＋2＝，解得a＝3，
∴点F4的坐标为(3，0).
综上所述，点F的坐标为(－2－2，0)或(2－2，0)或(2，0)或(3，0)；
例1题解图②
(3)存在．由(1)得A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－4)，
∴由勾股定理得AC＝2，
设BC所在直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将B(4，0)，C(0，－4)代入，
得，解得，
∴BC所在直线的解析式为y＝x－4，
分以下两种情况：①当AC为菱形的边时，如解图③，点G位于点G1或G2或G3处，点H相应的位于点H1或H2或H3处，过点G1作G1J⊥y轴于点J，
设点G1的坐标为(c，c－4)，
则CJ＝－c，G1J＝－c，
∵四边形ACG1H1为菱形，
∴AC＝CG1，
∴由勾股定理得CG＝CJ2＋G1J2，
即(2)2＝(－c)2＋(－c)2，
解得c＝(舍去)或c＝－，
∴点G1的坐标为(－，－－4)，
由平移的性质得点H1的坐标为(－－2，－)；
同理可得点G2的坐标为(，－4)，点H2的坐标为(－2，)，点G3的坐标为(2，－2)，点H3的坐标为(4，－6)；
②当AC为菱形的对角线时，如解图③，点G位于点G4处，点H相应的位于点H4处，连接G4H4交AC于点K，
设点G4的坐标为(m，m－4)，
则AG＝(m＋2)2＋(m－4)2，CG＝m2＋m2，
∵四边形AG4CH4为菱形，
∴AG4＝CG4，
∴(m＋2)2＋(m－4)2＝m2＋m2，
解得m＝5，
∴点G4的坐标为(5，1)，
∵点K为AC，G4H4的中点，
∴＝，＝，
解得x＝－7，y＝－5，
∴点H4的坐标为(－7，－5).
综上所述，点H的坐标为(－－2，－)或(－2，)或(4，－6)或(－7，－5)；
例1题解图③
(4)①存在．
∵抛物线的解析式为y＝x2－x－4＝(x－1)2－，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
设点M(1，t)，则BM2＝(1－4)2＋(t－0)2＝t2＋9，
CM2＝(1－0)2＋(t＋4)2＝t2＋8t＋17，
BC2＝(4－0)2＋(0－4)2＝32，
分以下三种情况：(i)当∠MBC＝90°时，如解图④，点M位于点M1处，
由勾股定理得BC2＋BM2＝CM2，
即32＋t2＋9＝t2＋8t＋17，
解得t＝3，
∴点M1的坐标为(1，3)；
(ii)当∠MCB＝90°时，如解图④，点M位于点M2处，
由勾股定理得BC2＋CM2＝BM2，
即32＋t2＋8t＋17＝t2＋9，
解得t＝－5，
∴点M2的坐标为(1，－5)；
例1题解图④
(iii)当∠BMC＝90°时，如解图⑤，点M位于点M3或点M4处，
由勾股定理得BM2＋CM2＝BC2，
即t2＋9＋t2＋8t＋17＝32，
解得t1＝－2－，t2＝－2，
∴点M3的坐标为(1，－2)，点M4的坐标为(1，－2－)，.
综上所述，点M的坐标为(1，3)或(1，－5)或(1，－2)或(1，－2－)；
例1题解图⑤
②存在．分以下两种情况：(i)当BC为矩形的边时，如解图⑥，点M位于点M1或M2处，点N相应的位于点N1或N2处，
例1题解图⑥
由①可知点M1，M2的坐标分别为(1，3)，(1，－5)，
∴由矩形和平移的性质得点N1，N2的坐标分别为(－3，－1)，(5，－1)；
(ii)当BC为矩形的对角线时，如解图⑦，点M位于点M3或点M4处，点N相应的位于点N3或点N4处，
由①可知点M3，M4的坐标为(1，－2)，(1，－2－)，
∴由矩形和平移的性质得点N3，N4的坐标分别为(3，－2－)，(3，－2).
综上所述，点N的坐标为(－3，－1)或(5，－1)或(3，－2－)或(3，－2)；
例1题解图⑦
(5)存在．由(1)得A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－4)，
∴OA＝2，OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝45°，
设点P的坐标为(n，n2－n－4)，
分以下两种情况：①当点P在x轴上方时，如解图⑧，过点A作AP1∥BC交抛物线于点P1，过点P1作P1Q1⊥x轴于点Q1，
∴∠P1AB＝∠ABC＝45°，此时点P位于点P1处，
∴P1Q1＝AQ1，
∵AQ1＝OA＋OQ1＝2＋n，P1Q1＝n2－n－4，
∴n2－n－4＝2＋n，
解得n＝－2(舍去)或n＝6，
当n＝6时，n2－n－4＝8，
∴点P1的坐标为(6，8)；
②当点P在x轴下方时，如解图⑧，此时点P位于点P2处，过点P2作P2Q2⊥x轴于点Q2，
同理可得AQ2＝2＋n，
P2Q2＝－(n2－n－4)，
∵AQ2＝P2Q2，
∴2＋n＝－(n2－n－4)，
解得n＝－2(舍去)或n＝2，
当n＝2时，n2－n－4＝－4，
∴点P2的坐标为(2，－4).
综上所述，点P的坐标为(6，8)或(2，－4)；
例1题解图⑧
(6)由(3)可知，BC所在直线的解析式为y＝x－4，
当x＝1时，y＝－3，
∴点M的坐标为(1，－3)，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
同理易得BM＝3，
分以下两种情况：①当△BMN∽△BCA时，如解图⑨，点N位于点N1处，
∴＝，
∵BA＝OA＋OB＝6，
∴＝，解得BN1＝，
∴ON1＝BN1－OB＝，
∴点N1的坐标为(－，0)；
②当△BMN∽△BAC时，如解图⑨，点N位于点N2处，
∴＝，
∴＝，解得BN2＝4，
∴BN2＝OB，此时点N2与点O重合，
∴点N2的坐标为(0，0).
综上所述，点N的坐标为(－，0)或(0，0).
例1题解图⑨
针对训练
1. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，与y轴交于点C(0，3)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)令－x2＋2x＋3＝0，
解得x＝3或x＝－1，
∴B(3，0).
∵点D是BC的中点，
∴D(，).
由点A(－1，0)，C(0，3)可知，AC所在直线的解析式为y＝3x＋3，
∵DE∥AC，
∴设DE所在直线的解析式为y＝3x＋q，
将点D(，)代入y＝3x＋q中，得q＝－3，
∴DE所在直线的解析式为y＝3x－3.
联立，
解得或，
∴点E的坐标为(－3，－12)或(2，3)；
(3)抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝－＝1，
设点F(1，s)，G(r，－r2＋2r＋3)，
①当BC为平行四边形的边时，点C向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，同样点G(F)向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点F(G)，
∴r＋3＝1或r－3＝1，解得r＝－2或r＝4.
当r＝－2时，－r2＋2r＋3＝－5，
当r＝4时，－r2＋2r＋3＝－5，
∴点G的坐标为(－2，－5)或(4，－5)；
②当BC为平行四边形的对角线时，BC与FG互相平分，
∴×(3＋0)＝(r＋1)，
解得r＝2.
当r＝2时，－r2＋2r＋3＝3，
∴点G的坐标为(2，3).
综上所述，所有满足条件的点G的坐标为(－2，－5)或(4，－5)或(2，3).
2. 解：(1)将点C(0，－3)代入直线y＝x＋m中，得m＝－3；
(2)由(1)知直线y＝x－3，
∵点B在直线y＝x－3上，
∴将y＝0代入y＝x－3，得x＝3，
∴B(3，0).
将B(3，0)，C(0，－3)代入y＝ax2＋b中，
得，解得，
∴函数的解析式为y＝x2－3；
(3)存在．
如解图，∵B(3，0)，C(0，－3)，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，即∠OCB＝45°.
①点M在BC的上方时，点M记为M1，设M1C交x轴于点D，则∠BCD＝15°，
∴∠OCD＝∠OCB－∠BCD＝45°－15°＝30°，
∴OD＝OC·tan 30°＝，
∴点D的坐标为(，0).
设直线CD的解析式为y＝kx－3(k≠0)，将D(，0)代入，得k＝，
∴直线CD的解析式为y＝x－3.
联立，
解得或(舍去)，
∴点M1的坐标为(3，6)；
②点M在BC的下方时，点M记为M2，设M2C交x轴于点E，则∠BCE＝15°，
∴∠OCE＝∠OCB＋∠BCE＝60°，
∴OE＝OC·tan 60°＝3，
∴点E的坐标为(3，0).
设直线CE的解析式为y＝k′x－3(k′≠0)，将(3，0)代入，得k′＝，
∴直线CE的解析式为y＝x－3.
联立，
解得或(舍去)，
∴点M2的坐标为(，－2).
综上所述，点M的坐标为(3，6)或(，－2).
第2题解图
3. 解：(1)∵点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，
∴B(3，0)，A(－1，0)，
∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，
∴y＝(x＋1)(x－3)＝x2－x－，
∴b＝－，c＝－；
(2)如解图①，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵OC⊥x轴，
∴OC∥DF，
∵BC＝CD，OB＝3，
∴＝＝＝，
∴OF＝＝＝，
当xD＝－时，yD＝×(－＋1)×(－－3)＝＋1，
∴D(－，＋1)，
设直线BD的函数解析式为y＝kx＋n(k≠0)，
将B(3，0)，D(－，＋1)代入，
得，
解得，
∴直线BD的函数解析式为y＝－x＋；
第3题解图①
(3)点Q的坐标为(1－2，0)或(1－，0)或(－1，0)或(5－2，0).
【解法提示】如解图②，连接AC，AD，∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，)，D(－，＋1)，∴OA＝1，OB＝3，OC＝，∴AC＝＝2，BC＝＝2，CD＝＝2，AD＝＝2，AB＝4，∴AC2＋BC2＝AB2，AC2＋CD2＝AD2，AC＝CD，∴△ABC是直角三角形，△ACD是等腰直角三角形，∴∠ADC＝45°，∠ACB＝90°，∵tan B＝＝，∴∠B＝30°.∴BD＝2yD＝2(＋1)，如解图②，当△P1Q1B∽△ABD时，＝，∵∠P1BH＝45°，∴P1B＝BH＝2，∴＝，∴Q1B＝2(＋1)，∴Q1(1－2，0)；当△P2BQ2∽△ABD时，＝，∵∠P2BH＝30°，∴P2B＝＝，∴＝＝，∴Q2B＝2＋，∴Q2(1－，0)；如解图③，当△Q3BP3∽△ABD时，＝＝，∴Q3B＝4－，∴Q3(－1，0)；当△Q4P4B∽△ABD时，＝＝，∴Q4B＝2－2，∴Q4(5－2，0).
综上所述，点Q的坐标为(1－2，0)或(1－，0)或(－1，0)或(5－2，0).
图② 图③
第3题解图
拓展类型　二次函数性质综合题
1. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a>0)的对称轴为直线x＝1，
∴－＝1，
∴b＝－2a，
∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴b2－4ac＝0，即(－2a)2－4ac＝0，
解得c＝a；
(2)∵(x1，y1)，(3，y2)是该抛物线上的两点，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点(3，y2)关于抛物线对称轴的对称点为(－1，y2)，
∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∴当y23或x1<－1；
(3)由(1)知，抛物线y＝ax2－2ax＋a＝a(x－1)2(a>0)，
∴将该抛物线向上平移2个单位长度所得的新抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋2，
∵新抛物线经过点(3，6)，
∴6＝4a＋2，解得a＝1，
∴新抛物线的解析式为y＝(x－1)2＋2，
当x＝1时，抛物线有最小值，最小值为2，
∴2p＝2，解得p＝1，
∴1≤x≤q，
∵新抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝q时，在1≤x≤q(q>1)范围内有最大值2q，
∴2q＝(q－1)2＋2，
解得q＝3或q＝1(舍去)，
∴p－q＝1－3＝－2.
2. 解：(1)(3，)；
【解法提示】∵y＝x2－3x＋1＝(x－3)2－，∴顶点坐标为(3，－)，∴它的“对称二次函数”的顶点坐标为(3，).
(2)∵y1的图象经过点(2，1)，
∴－2×22＋4m·2＋3m－2＝1，
解得m＝1，
∴y1＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，
∴y1＋y2＝－2x2＋4x＋1＋ax2＋bx＋c＝(a－2)x2＋(b＋4)x＋c＋1.
∵y1＋y2与y1互为“对称二次函数”，
∴y1＋y2＝2(x－1)2－3＝2x2－4x－1，
∴a－2＝2，b＋4＝－4，c＋1＝－1，
∴a＝4，b＝－8，c＝－2，
∴函数y2的解析式为y2＝4x2－8x－2；
(3)m的值为2或－1.
【解法提示】∵y2＝4x2－8x－2＝4(x－1)2－6，∴该二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，当m≤1≤m＋1，即0≤m≤1时，y2＝4(x－1)2－6的最小值为－6≠－2；当m＋1＜1，即m＜0时，y最小值＝4(m＋1－1)2－6＝－2，解得m＝－1(m＝1舍去)；当m＞1时，y最小值＝4(m－1)2－6＝－2，解得m＝2(m＝0舍去)，综上所述，m的值为2或－1.
3. 解：(1)将点(0，7)和点(1，6)代入y＝kx＋b中，得
，解得，
∴直线l的解析式为y＝－x＋7；
(2)①设点P的坐标为(m，－m＋7)，则抛物线的解析式为y＝a(x－m)2－m＋7，
将点(0，－3)代入，得－3＝am2－m＋7，
∴a＝，其中m≠0，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，即<0，
∴m<10且m≠0；
②联立抛物线G与直线l，得
，
解得x1＝m，x2＝，
∴点Q的横坐标为，
由题意知，m＋＝，
解得m1＝2，m2＝－，
当m＝2时，抛物线G为y＝－2(x－2)2＋5，
∵－2<0，≤x≤＋1，即≤x≤，
∴当x＝2时，y的最大值为5，
当m＝－时，抛物线G为y＝－2(x＋)2＋，
∵－2<0，≤x≤＋1，即－2≤x≤－1，
∴当x＝－2时，y的最大值为9，
综上所述，最高点的坐标为(2，5)或(－2，9) .题型七　代数与几何综合题
类型一　动点型探究题
1. 已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图①，连接BC.
(1)填空：∠OBC＝________°；
(2)如图①，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
(3)如图②，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒．设运动时间为x秒， △OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？
第1题图
2. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A、C的坐标分别是A(0，2)和C(2，0)，点D是对角线AC上一动点(不与A、C重合)，连接BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.
(1)填空：点B的坐标为________；
(2)是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
(3)①求证：＝；
②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式(可利用①的结论)，并求出y的最小值．
第2题图
　　
类型二　动线型探究题
1. 如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2.边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
第1题图
2. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝CD＝6，BE⊥AD于点E，线段BE沿BC以每秒1个单位的速度向点C运动，得到线段NP，点M从点D出发沿DA以每秒2个单位的速度向点A运动．连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒(0≤t≤4).
(1)连接AN，CP，当t为何值时，四边形ANCP为平行四边形？
(2)设四边形CQMD面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一个时刻t，使QC平分∠MQN？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
类型三　动图型探究题
1. 在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A(，0)，B(0，1)，D(2，1)，矩形EFGH的顶点E(0，)，F(－，)，H(0，).
(Ⅰ)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；
(Ⅱ)将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′F′G′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′.设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S.
①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤t≤时，求S的取值范围(直接写出结果即可).
第1题图
2. 综合运用
如图①，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图②，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜45°)，AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F.
(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；(直接写出结果，不要求写解答过程)
(2)若点A(4，3)，求FC的长；
(3)如图③，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN.将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2.设S＝S1－S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．
第2题图
题型七　代数与几何综合题
类型一　动点型探究题
1. 解：(1)60；
【解法提示】由旋转的性质可知，OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°.
(2)在Rt△OAB中，OB＝4，∠ABO＝30°，
∴OA＝OB＝2，AB＝OB·cos 30°＝2，
由旋转的性质可知，OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，BC＝OB＝4，
∴OA∥BC，AB即为△AOC的高，
∴S△AOC＝AO·AB＝×2×2＝2，
∵∠ABC＝∠ABO＋∠OBC ＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵OP⊥AC，
∴S△AOC＝AC·OP，即×2·OP＝2，
解得OP＝；
一题多解
由旋转的性质可知，OB＝OC，
∠BOC＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴BC＝4，∠OBC＝60°，
∵∠ABO＝30°，
∴OA＝OB＝2，AB＝OB＝2，∠ABC＝90°，
∴BC∥OA，AC＝＝2，
∴∠PAO＝∠ACB，
∵sin ∠ACB＝＝，
∴sin ∠PAO＝sin ∠ACB＝，
∴＝，
∴OP＝OA＝；
(3)根据题意得，M运动到点C时，所需时间为＝(秒)，N运动到点B时，所需时间为＝4(秒)，当M，N相遇时，所需时间为＝(秒)；
∴分三种情况：
①当0＜x≤时，点M在OC上，点N在OB上，如解图①，过点N作NE⊥OC于点E，
则NE＝ON·sin 60°＝x，
∴y＝OM·NE＝×1.5x×x＝x2，
∵＞0，
∴当x＝时，y最大＝×()2＝；
②当≤x≤4时，点M在BC上，点N在OB上，如解图②，
BM＝8－x，过点M作MF⊥OB于点F，
∴MF＝BM·sin 60°＝(8－x)，
∴y＝ON·MF＝x·(8－x)＝2x－x2，
∵－＜0，
∴当x＝－＝－＝时，
y最大＝2×－×()2＝；
③当4≤x＜时，点M，N都在BC上，如解图③，
MN＝12－x，
过点O作OG⊥BC于点G，
则OG＝AB＝2，
∴y＝MN·OG＝(12－x)·2＝－x＋12，
∵－＜0，
∴当x＝4时，y最大＝2；
综上所述，当x＝时，y取得最大值，最大值为.
第1题解图
2. (1)解：(2，2)；
【解法提示】∵在矩形ABCO中，点A(0，2)，C(2，0)，∴B(2，2).
(2)解：存在．
①如解图①， DE＝CE，点E在线段OC上．
第2题解图①
∵在矩形ABCO中，点A(0，2)，C(2，0)，
∴OA＝2，OC＝2，
∴在Rt△OAC中，tan ∠ACO＝＝，
∴∠CDE ＝∠DCE ＝30°.
∵DE⊥BD，
∴∠BDC＝60°.
∵∠BCD＝90°－∠DCE＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BD＝BC＝2，
∵AC＝＝4，
∴AD＝AC－CD＝4－2＝2；
②如解图②，CD＝CE，点E在OC的延长线上．
第2题解图②
∵∠ACO＝30°，
∴∠ACE＝150°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝(180°－∠ACE)＝15°.
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADB＝180°－∠BDE－∠CDE＝75°.
∵∠BAC＝∠OCA＝30°，
∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠BAC＝75°，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB＝OC＝2；
③若CD＝DE，则∠DEC＝∠DCE＝30°或∠DEC＝∠DCE＝150°(舍去)，
∴∠CDE＝120°，此时，点D在AC的延长线上，不符合题意，舍去．
综上所述，当△DEC为等腰三角形时，AD的长为2或2；
(3)①证明：如解图③，过点D分别作DG⊥OC于点G，DH⊥BC于点H，则∠DGE＝∠DHB＝90°，
第2题解图③
∵∠EDG＋∠EDH＝∠BDH＋∠EDH＝90°，
∴∠EDG ＝∠BDH，
∴△EDG∽△BDH,
∴＝.
∵DH＝CG，
∴＝tan ∠ACO＝tan 30°＝，
∴＝；
②解：如解图④，过点D作DI⊥AB于点I，
第2题解图④
∵AD＝x,
∴DI＝，AI＝，
∵AB＝2，
∴BD2＝BI2＋DI2＝(2－)2＋＝x2－6x＋12，
∵＝，∴DE＝DB，
∴y＝BD·DE＝BD2＝(x2－6x＋12)＝(x－3)2＋，
∵＞0，
∴当x＝3时，y有最小值，最小值为.
类型二　动线型探究题
1. 解：(1)四边形APQD是平行四边形；
【解法提示】由平移的性质知，PQ＝BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴PQ∥AD，且PQ＝AD，∴四边形APQD是平行四边形．
(2)OA＝OP且OA⊥OP.
证明：①当PQ向右移动时，如题图①，由题意得∠ABO＝∠OBC＝45°，OQ⊥BD，
∴△BOQ为等腰直角三角形，
∴BO＝OQ，∠OQB＝45°，
在△ABO和△PQO中，
，
∴△ABO≌△PQO(SAS)，
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∴∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝∠POQ＋∠BOP＝90°，
∴OA⊥OP且OA＝OP；
②当PQ向左移动时，如题图②，由题意得∠ABO＝∠OBC＝45°，OQ⊥BD，
∴△BOQ为等腰直角三角形，
∴BO＝OQ，∠OQB＝45°，
在△ABO和△PQO中，
，
∴△ABO≌△PQO(SAS)，
∴OA＝OP，∠OAB＝∠OPQ，
∴∠AOP＝180°－∠OAB－∠BAP－∠APO＝180°－∠OPB－∠BAP－∠APO＝90°，
∴OA⊥OP且OA＝OP.
综上所述，OA⊥OP且OA＝OP；
(3)①当PQ向右移动时，如题图①，
BQ＝BP＋PQ＝BP＋BC＝x＋2，
在等腰Rt△OBQ中，设高为h，
∴h＝BQ＝，
∴y＝x·＝(x＋1)2－(0≤x≤2)，
∵＞0，
∴当x＝2时，y最大＝×(2＋1)2－＝2；
②当PQ向左移动时，如题图②，BQ＝PQ－BP＝2－x，同理，h＝，
∴y＝x·＝－(x－1)2＋(0≤x≤2)，
∵－<0，
∴当x＝1时，y最大＝－×(1－1)2＋＝.
综上所述，当PQ向右移动，且BP＝2时，y的最大值是2.
2. 解：(1)当t＝2时，四边形ANCP为平行四边形，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠BCD＋∠D＝180°，
∵∠D＝90°，
∴∠BCD＝90°.
∵BE⊥AD，
∴四边形BEDC为矩形，
∴ED＝BC＝6，BE＝CD＝6，
∴AE＝AD－DE＝2.
由题意得BN＝EP＝t，则NC＝BC－BN＝6－t，AP＝AE＋EP＝2＋t，
若四边形ANCP为平行四边形，
则NC＝AP，
∴6－t＝2＋t，
∴t＝2.
∴当t＝2时，四边形ANCP为平行四边形；
(2)由题意得DM＝2t，则AM＝8－2t，
由(1)知AP＝2＋t，CD＝6，
由平移的性质可知，NP∥CD，
∴△APQ∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
∴PQ＝，
∵S＝S△ADC－S△AQM，
∴S＝AD·CD－AM·PQ
＝×8×6－×(8－2t)×
＝t2－t＋18，
∴S与t之间的函数关系式为S＝t2－t＋18(0≤t≤4)；
(3)存在，
如解图，过点M作MH⊥AC于点H，
∵AD＝8，CD＝6，
∴AC＝＝10，
∵∠AHM＝∠D＝90°，∠MAH＝∠CAD，
∴△AHM∽△ADC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AH＝，MH＝，
由(2)可知PQ＝，
∵sin ∠CAD＝＝＝，
∴AQ＝，
∴QH＝AH－AQ＝.
∵QC平分∠MQN，
∴∠NQC＝∠MQC，
∵∠NQC＝∠AQP，
∴∠AQP＝∠CQM，
∵NP∥CD，
∴∠AQP＝∠ACD，
∴∠CQM＝∠ACD，
∵∠QHM＝∠D＝90°，
∴△QHM∽△CDA，
∴＝，
∴＝，
解得t＝，
∴存在某一个时刻t，使QC平分∠MQN，此时t的值为.
第2题解图
类型三　动图型探究题
1. 解：(Ⅰ)(，2)，(－，)；
【解法提示】如解图①，连接AC，BD交于点J，∵B(0，1)，D(2，1)，∴BD⊥y轴，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且AC＝2AJ，∴AC∥y轴，∴AC＝2AJ＝2BO＝2，∴C(，2).∵E(0，)，F(－，)，H(0，)，∴FE＝，HO＝，∵四边形EFGH是矩形，∴G(－，).
第1题解图①
(Ⅱ)①∵点E(0，)，F(－，)，H(0，)，
∴EF∥x轴，EH⊥x轴，EF＝，EH＝1，
∴E′F′∥x轴，E′H′⊥x轴，E′F′＝，E′H′＝1.
∵点A(，0)，B(0，1)，
∴OA＝，OB＝1.
∴tan ∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝60°.
∵EM＝EB·tan 60°，EB＝1－＝，
∴EM＝，
∴S△BME＝EB·EM＝，
同理可得S△BNH＝，
∵EE′＝t，
∴S矩形EE′H′H＝EE′·EH＝t.
∵S＝S矩形EE′H′H－S△BME－S△BNH，
∴S＝t－，
当EE′＝EM＝时，矩形E′F′G′H′和菱形ABCD重叠部分为△BE′H′，
∴t的取值范围是＜t≤；
②≤S≤.
【解法提示】当t＝时，矩形移动至如解图②所示位置，此时S为矩形的面积，且取得最大值，最大值为×1＝；当t＝时，矩形移动至如解图③所示位置，设矩形与菱形交于点P，Q，过点D作DK⊥PQ，此时S取得最小值，为△DPQ的面积，∵DK＝BD－BK＝2－(－)＝，＝，∴PQ＝AC＝，∴S＝××＝，∴S的取值范围为≤S≤.
第1题解图
2. 解：(1)22.5°；
【解法提示】∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∠OAB＝∠OCB＝90°，若OE＝OF，则Rt△OAE≌Rt△OCF(HL)，∴∠AOE＝∠COF，∵∠COF＝α，∠AOE＝45°－α，∴α＝45°－α，解得α＝22.5°.
(2)如解图①，过点A作AP⊥x轴于点P，
∵A(4，3)，
∴AP＝3，OP＝4，
∴OA＝5，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝5，∠C＝90°，
∴∠C＝∠APO＝90°，
∵∠FOC＝∠AOP，
∴△OCF∽△OPA，
∴＝，即＝，
∴FC＝；
第2题解图①
(3)如解图②，∵四边形OABC是正方形，
∴∠BCA＝∠OCA＝45°，
∵直线的表达式为y＝x，
∴易得∠FON＝45°，
∴∠BCA＝∠FON＝45°，
∴O，C，F，N四点共圆，
∴∠OCN＝∠OFN＝45°，
∴∠OFN＝∠FON＝45°，
∴△FON为等腰直角三角形，
∴FN＝ON，∠FNO＝90°，
过点N作NG⊥BC于点G，延长GN交OA于点Q，
∵BC∥OA，
∴GQ⊥OA，
∵∠FNO＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
∵∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
∴△FGN≌△NQO(AAS)，
∴GN＝QO，FG＝NQ.
∵GQ⊥BC，∠FCO＝∠COQ＝90°，
∴四边形COQG为矩形，
∴CG＝OQ，CO＝GQ，
∴S1＝S△OFN＝ON2＝(OQ2＋NQ2)＝(GN2＋NQ2)＝GN2＋NQ2，
S2＝S△OCF＝CF·CO＝(GC－FG)(GN＋NQ)＝(GN－NQ)·(GN＋NQ)＝(GN2－NQ2)＝GN2－NQ2，
∴S＝S1－S2＝NQ2，
∵∠OAC＝45°，
∴△AQN为等腰直角三角形，
∴NQ＝AN＝n，
∴S＝NQ2＝n2.
第2题解图②题型三　圆的综合题
类型一　与锐角三角函数结合
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过点O作OF∥AB交AC于点F，连接FD并延长交CB的延长线于点G.
(1)求证：FD为⊙O的切线；
(2)若sin G＝，BD＝6，求AB的长．
第1题图
2. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，＝2，过点D作DE∥BC交BA的延长线于点E，连接AD，CD，CD交AB于点F.
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若tan ∠EDA＝，AD＝2，求⊙O的直径．
第2题图
3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF.
(1)求证：CF⊥FB；
(2)求证：以AD为直径的圆与BC相切；
(3)若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．
第3题图
4. 如图①，在 ABCD中，AB＝5，tan A＝，点M在BC边上，BM＝2，半圆O与边AD交于点P(靠近A的交点)，直径MQ＝8.
(1)如图②，QM⊥AD.
①求证：圆心O在边AD上；
②求证：半圆O与AB相切；
(2)当sin ∠PQM＝时，求点Q到直线BC的距离．
第4题图
类型二　与全等三角形结合
如图，AB是⊙O的直径，点C平分，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，E为OB的中点，连接CE并延长，交DB的延长线于点F，连接AF交⊙O于点H，连接BH.
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若OB＝2，求BH的长．
第1题图
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，BC是⊙O的直径，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，交BC的延长线于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)当AE＝3，DE＝4时，求⊙O的直径．
第2题图
3.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，直线AB与CE交于点F.
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)若OB＝BF，AB＝4，求点C到AF的距离；
(3)连接AD，FD，当∠CAB＝30°时，求证：四边形ACFD是菱形．
第3题图
4. 综合探究
如图①，在矩形ABCD中(AB＞AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′.连接AA′交BD于点E，连接CA′.
(1)求证：AA′⊥CA′；
(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图②，⊙O与CD相切，求证： AA′＝CA′；
②如图③，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．
第4题图
类型三　与相似三角形结合
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O交BC于点G，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D.
(1)求证：AO是△ABC的角平分线；
(2)若＝，求tan D的值．
第1题图
2. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E.
(1)求证：△DBE∽△ABC；
(2)若AF＝2，求ED的长．
第2题图
3. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，点D在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线交DC的延长线于点F，交BC于点G，且∠F＝2∠B.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)求证：FC＝FG；
(3)若AO＝2AD＝10，点E为OB的中点，求GE的长．
第3题图
4. 如图①，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连接AC，FH交于点E，已知CF＝CH.
(1)线段AC与FH垂直吗？请说明理由；
(2)如图②，过点A，H，F的圆交CF于点P，连接PH交AC于点K.求证：＝；
(3)如图③，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求的值．
第4题图
题型三　圆的综合题
类型一　与锐角三角函数结合
1. (1)证明：如解图，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB.
∵OF∥AB，
∴∠COF＝∠OBD，∠DOF＝∠ODB，
∴∠COF＝∠DOF.
在△COF和△DOF中，
，
∴△COF≌△DOF(SAS)，
∴∠FDO＝∠ACB＝90°.
∵OD为⊙O的半径，
∴FD为⊙O的切线；
第1题解图
(2)解：在Rt△GDO中，sin G＝＝，
∴OG＝3OD.
∵OB＝OD，OG＝OB＋BG，
∴＝.
∵OF∥AB，
∴△GBD∽△GOF，
∴＝＝.
∵BD＝6，
∴OF＝9.
∵OB＝OC，OF∥AB，
∴OF为△ABC的中位线，
∴AB＝2OF＝18.
2. (1)证明：如解图，连接OD，
∵＝2，
∴∠BAC＝2∠DCA.
∵∠DOA＝2∠DCA，
∴∠BAC＝∠DOA，
∴AC∥DO.
∵DE∥BC，
∴∠E＝∠B.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DOA＋∠E＝∠BAC＋∠B＝90°，
∴∠ODE＝∠ACB＝90°.
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
(2)解：如解图，延长DO交⊙O于点G，连接AG，
∵DG为⊙O的直径，
∴∠DAG＝90°，
∴∠ADG＋∠AGD＝90°.
由(1)知∠EDO＝90°，
∴∠EDA＋∠ADO＝90°，
∴∠AGD＝∠EDA，
∴tan ∠AGD＝tan ∠EDA＝＝.
∵AD＝2，
∴AG＝3，
在Rt△DAG中，由勾股定理得DG＝＝，
∴⊙O的直径为.
第2题解图
3. (1)证明：∵CD＝DF，设∠DCF＝∠DFC＝α，
∴∠FDC＝180°－2α，
∵CD∥AB，
∴∠BAF＝180°－(180°－2α)＝2α，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB＝＝90°－α，
∴∠CFB＝180°－∠DFC－∠AFB＝180°－α－(90°－α)＝90°，
∴CF⊥FB；
(2)证明：如解图①，取AD的中点O，过点O作OM⊥BC于点M，
∵AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠DCB＝90°，
∵OM⊥BC，
∴OM∥AB，
∴点M为BC的中点，
∴OM＝(AB＋CD)，
∵AD＝AF＋DF，AF＝AB，DF＝DC，
∴AD＝AB＋CD＝2OM，
∴OM＝AD＝OD，
∴OM是以AD为直径的圆的半径，
∵OM⊥BC，
∴以AD为直径的圆与BC相切；
(3)解：∵∠DFE＝120°，∠ABC＝90°，EF∥CD，AB∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠CDF＝60°，∠BAF＝120°，∠AFE＝60°，∠CEF＝∠BEF＝∠EBA＝90°，
∵DC＝DF，
∴△DCF为等边三角形，∠DFC＝60°，
∴∠CFE＝60°，
∵EF＝2，
∴CE＝EF·tan 60°＝2，
由(1)得∠CFB＝90°，
∴∠EFB＝∠CFB－∠CFE＝30°，
∴BE＝EF·tan 30°＝.
如解图②，过点D，A分别向EF作垂线，分别交直线EF于点H，N，
则四边形CEHD，四边形EBAN均为矩形，
∴CE＝DH＝2，BE＝AN＝，
∴S△ADE＝S△EFD＋S△EFA＝EF·DH＋EF·AN＝EF·(DH＋AN)＝×2×(2＋)＝.
第3题解图
4. (1)①证明：如解图①，过点B作BE⊥AD于点E，令QM与AD相交于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵MQ⊥AD，BE⊥AD，
∴∠MFE＝∠FMB＝∠FEB＝90°，
∴四边形FEBM是矩形，
∴FM＝BE，
∵tan A＝＝，
∴设AE＝3x，则BE＝4x，
在Rt△AEB中，由勾股定理得(3x)2＋(4x)2＝52，
解得x＝1(负值已舍去)，
∴BE＝4，
∴FM＝BE＝4，
∴FM＝QM＝OM，
∴点O与点F重合，
∴圆心O在边AD上；
第4题解图①
②证明：如解图①，过点O作OG⊥AB于点G，
由①知四边形OEBM是矩形，
BE＝OM＝4，AE＝3，
∴OE＝BM＝2，sin A＝＝，
∴OA＝AE＋OE＝3＋2＝5，
∴OG＝OA·sin A＝4，
∵半圆O的半径为4，
∴半圆O与AB相切；
(2)解：如解图②，连接PM，过点M作MN⊥AD于点N，作QH⊥AD于点H，并延长QH交BC于点K，
∵MQ是半圆O的直径，
∴∠MPQ＝90°，
∵MQ＝8，sin ∠PQM＝，
∴MP＝5，
由勾股定理得PQ＝＝，
由①可得MN＝4，
∴由勾股定理得NP＝＝3，
∴sin ∠PMN＝，
∵AD∥BC，
∴QK⊥BC，
∴HK＝MN＝4，
∵∠QPH＋∠MPN＝90°，∠PMN＋∠MPN＝90°，
∴∠QPH＝∠PMN，
∴sin ∠QPH＝sin ∠PMN＝＝，
∴QH＝，
∴QK＝QH＋HK＝＋4＝，
即点Q到直线BC的距离为.
第4题解图②
类型二　与全等三角形结合
1. (1)证明：如解图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，点C平分，
∴∠ACB＝90°，∠BAC＝∠ABC＝45°.
∵DC＝CA，
∴AB＝DB，
∴∠D＝∠BAC＝45°，
∴∠ABD＝90°，即DF⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴DF为⊙O的切线；
(2)解：如解图，连接OC，则OC⊥AB，
∴∠COE＝∠FBE＝90°.
∵E是OB的中点，
∴OE＝BE.
在△OCE和△BFE中，
，
∴△OCE≌△BFE(ASA)，
∴OC＝BF＝OB＝2，
∵∠ABF＝90°，AB＝2OB＝4，
∴在Rt△ABF中，AF＝＝2.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AHB＝90°，
∴S△ABF＝AB·BF＝AF·BH，
∴BH＝＝＝.
第1题解图
2. (1)证明：如解图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC.
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴BE∥OD.
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD.
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
第2题解图
(2)解：如解图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝DH＝4，∠E＝∠DHC.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAE＝∠DCH，
∴△ADE≌△CDH，
∴AE＝CH＝3，
在Rt△CDH中，由勾股定理得CD＝＝5.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴cos ∠DCH＝＝＝，
即＝，
∴BC＝，
∴⊙O的直径为.
3. (1)证明：如解图，连接OC，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴CE⊥OC，
∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
(2)解：∵AB＝4，
∴OB＝BF＝OC＝2，
∴OF＝4，
∵OC⊥CE，
∴CF＝＝2.
设点C到AF的距离为h，
∴S△OCF＝OC·CF＝OF·h，
∴h＝＝＝，
∴点C到AF的距离为；
(3)证明：如解图，∵∠CAB＝30°，
∴∠COF＝60°，
∴∠CFO＝30°，
∴∠CAB＝∠CFO，
∴AC＝CF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，即AD⊥BD，
∴AD∥CF，
∴∠DAF＝∠CFO＝30°，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB(AAS)，
∴AC＝AD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∵AC＝CF，
∴四边形ACFD是菱形．
第3题解图
4. (1)证明：∵点A关于BD的对称点为A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OE是△ACA′的中位线，
∴OA＝OC，
∴OE∥CA′，
∴AA′⊥CA′；(3分)
(2)①证明：如解图①，设CD与⊙O相切于点F，连接FO并延长，交AB于点G，
∴FG⊥CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝OA＝BD，AB∥CD，FG⊥AB，
∴∠FDO＝∠GBO，∠GAO＝∠GBO，
∵∠DOF＝∠BOG，
∴△DOF≌△BOG(ASA)，(5分)
∴OG＝OF＝OE，
由(1)知AA′⊥BD，
∵OG⊥AB，
∴∠EAO＝∠GAO，
∴∠GBO＝∠EAO，
∵∠EAB＋∠GBO＝90°，
∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°，
∴3∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝30°，
由(1)知AA′⊥CA′，
∴tan ∠EAO＝＝，
∴AA′＝CA′；(7分)
第4题解图①
②解：如解图②，设CA′与⊙O相切于点H，连接OH，
∵⊙O与CA′相切，
∴OH⊥CA′，
由(1)知，AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA＝OC，
∴四边形OHA′E为矩形，
∵OE＝OH，
∴四边形OHA′E为正方形，
∴AA′＝2A′E＝2OH，CA′＝2A′H＝2OE，
∴AA′＝CA′，
∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，
∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，
∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，
设AE＝x，则OD＝OA＝x，
∴DE＝OD－OE＝(－1)x，
在Rt△ADE中，x2＋[(－1)x]2＝12，
∴x2＝，即AE2＝OE2＝，
∴S⊙O＝π·OE2＝.(12分)
第4题解图②
类型三　与相似三角形结合
1. (1)证明：如解图，连接OF，
∵AB与⊙O相切于点F，OF是⊙O的半径，
∴OF⊥AB，
∵∠ACB＝90°，OC＝OF，AO＝AO，
∴Rt△AOC≌Rt△AOF(HL)，
∴∠OAC＝∠OAF，
即AO是△ABC的角平分线；
(2)解：如解图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ECO＋∠OCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠ECO＝90°，
∴∠ACE＝∠OCD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠D，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠CAE＝∠DAC，
∴△ACE∽△ADC，
∴＝＝，
∴tan D＝＝.
第1题解图
2. (1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠BCA，
∵＝，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴△DBE∽△ABC；
(2)解：如解图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，
∴AB＝5，∴cos A＝＝.
∵CG⊥AB，
∴AG＝AC·cos A＝1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
∴AC＝FC，
∴∠CFA＝∠CAF＝∠BFD＝∠BDF.
∴BD＝BF＝AB－AF＝3.
∵△DBE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴ED＝.
第2题解图
3. (1)证明：如解图，连接OC，
∵∠COA＝2∠B，∠F＝2∠B，
∴∠COA＝∠F.
∵FE⊥AB，
∴∠FED＝90°，
∴∠D＋∠F＝90°，
∴∠D＋∠COD＝90°，
∴∠OCD＝90°.
∵OC为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
第3题解图
(2)证明：由(1)知∠OCD＝90°，
∴∠OCF＝90°，即∠OCB＋∠FCG＝90°.
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵EF⊥BD，
∴∠B＋∠EGB＝90°.
∵∠FGC＝∠EGB，
∴∠B＋∠FGC＝90°，即∠FGC＋∠OCB＝90°，
∴∠FGC＝∠FCG，
∴FC＝FG；
(3)解：∵AO＝2AD＝10，
∴AD＝5，OC＝OB＝10，
∴OD＝15，
由勾股定理得CD＝＝5，
∵点E为OB的中点，
∴OE＝BE＝5，
∴DE＝20.
由(1)知∠COD＝∠F，
∵∠D＝∠D，
∴△OCD∽△FED，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FD＝12，FE＝8，
∴FC＝FD－CD＝7，
由(2)知FG＝FC，
∴FG＝7，
∴GE＝FE－FG＝.
4. (1)解：AC⊥FH.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B＝90°，
∵CF＝CH，
∴Rt△CDF≌Rt△CBH(HL)，
∴∠DCF＝∠BCH.
∵∠DCA＝∠BCA＝45°，
∴∠FCA＝∠HCA，
∵CF＝CH，
∴△CFH为等腰三角形，
∴AC⊥FH；
(2)证明：如解图①，过点K作KG⊥AB于点G，
∵CB⊥AB，
∴KG∥CB，
∴△AKG∽△ACB，
∴＝.
∵∠AFP＋∠PHA＝180°，∠AFP＋∠DFC＝180°，
∴∠PHA＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠CHB，
∴∠KHG＝∠CHB，
∴△KHG∽△CHB，
∴＝，
∴＝；
第4题解图①
(3)解：如解图②，过点K作KM⊥AB于点M，
∵点K为AC的中点，
∴由(2)得＝＝，
∴＝.
设MH＝a，则BH＝2a，KM＝AM＝MB＝3a，
∴CB＝AB＝6a，AH＝4a，
由勾股定理得CH＝CF＝2a，
由(1)可得DF＝BH，
∴AF＝AH＝4a，
∴FH＝4a，
∴EH＝2a，
∵∠FPH＋∠FAH＝180°，
∴∠FPH＝90°＝∠HEC，
∵∠PFH＝∠EHC，
∴△FPH∽△HEC，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝a，
∴CP＝a，
∴＝.
第4题解图②题型四　几何最值问题
类型一　利用“垂线段最短”解决最值问题
1. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8，点D在AC边上，连接BD，以AD，BD为邻边作 ADBE，连接DE，则DE的最小值为________．
第1题图
2. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB的中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM＋MN的最小值是________．
第2题图
3. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，点P是BD上一动点，点E是BC上一动点，若AC＝6，BD＝6，则PC＋PE的最小值为________．
第3题图
4. 如图，在△OAB中，已知∠AOB＝35°，点P是边AB上一点，点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，连接PO，PM，MN，若∠BOP＝10°，OP＝6，则PM＋MN的最小值为________．
第4题图
类型二　利用“两点之间线段最短”解决最值问题
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是矩形ABCD内一点，记a＝S△APB＋S△CPD，b＝PA＋PB＋PC＋PD，则a＋b的最小值为________．
第1题图
2. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，M，N分别为BC，CD边上的动点，则△AMN周长的最小值为________．
第2题图
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝4，点D为边BC上的动点，点E为边AB的中点，连接DE，DA，则线段DE＋DA的最小值为________．
第3题图
4. 如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，点P是△ABC内部一点，且满足S△BCP＝S△ABC，则PB＋PC的最小值为________．
第4题图
5. 如图，二次函数y＝－x2－x＋2的图象与x轴分别交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一点，连接PB，PC，BC，则△PBC的周长最小为________．
第5题图
类型三　利用“二次函数性质”解决最值问题
1. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c, 记p＝，则其面积S＝.这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为(　　)
A. 　　　　　　　　B. 4　　　　　　　　C. 2　　　　　　　　D. 5
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点(P与B，C不重合)，过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E，连接AE，在点P的运动过程中，线段CE的最大值为________．
第2题图
3. 如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝120°，点P是AC上一动点，PD∥AB，交BC于点D，连接AD，则点P在运动过程中，△APD的面积的最大值为________．
第3题图
4. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E，F分别为边AB，CD上的动点，且AE＝CF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，连接DG.
(1)当点E为AB的中点时，线段DG的长是________；
(2)当点E在边AB上运动时，线段DG的最小值是________．
第4题图
类型四　利用“辅助圆”解决最值问题
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG长的最大值为________．
第1题图
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的动点(不与正方形的顶点重合)，且AE＝BF，CE，DF交于点M，连接BM，若AB＝2，则BM的最小值为________．
第2题图
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，E，F分别是AC，BC边上的动点，且EF＝AC，P是EF的中点，连接AP，BP，则△APB面积的最小值为________．
第3题图
4. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a(0°＜a＜120°)，得到线段AD，连接CD，点E为CD上一点，且DE＝2CE.连接BE，则BE的最小值为________．
第4题图
5. 如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC＝＋1，P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，连接DE，则DE的最小值为________．
第5题图
题型四　几何最值问题
类型一　利用“垂线段最短”解决最值问题
1. 　【解析】如解图，设DE与AB交于点O，∵四边形ADBE是平行四边形，∴OB＝OA，DE＝2OD，∴当OD⊥AC时，DO的值最小，即DE的值最小，过点B作BH⊥AC于点H，则∠BHD＝∠EDH＝90°，易知AD∥BE，即AC∥BE，∴∠EBH＝90°，∴四边形BHDE是矩形，∴DE＝BH，∵AC＝BC＝6，AB＝8，∴设CH＝x，则AH＝6－x，∵BA2－AH2＝BH2＝BC2－CH2，即82－(6－x)2＝62－x2，解得x＝，∴CH＝，∴DE＝BH＝＝.∴DE的最小值为.
第1题解图
2. 4　【解析】如解图，作点N关于DC的对称点N′.∵AC＝BC，点D为AB的中点，∴点N′在AC上，连接MN′，BN′，∴BM＋MN＝BM＋MN′≥BN′，∴当B，M，N′三点共线，且BN′⊥AC时，BM＋MN取得最小值．∵AC＝6，S△ABC＝12，∴△ABC中AC边上的高为4，∴BM＋MN的最小值是4.
第2题解图
3. 3　【解析】如解图，作点E关于BD的对称点E′，连接PE′，∵四边形ABCD是菱形，∴BA与BC关于BD对称，∴点E′位于BA上，由对称的性质可知，PE＝PE′，∴当C，P，E′三点重合，且CE′⊥BA时，PC＋PE的值最小，即为CE′的长，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝3，AC⊥BD，AB＝BC，∴在Rt△BOC中，BC＝＝6，tan ∠BCO＝＝，∴∠BCO＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CE′＝BC·sin 60°＝3，∴PC＋PE的最小值为3.
第3题解图
4. 3　【解析】如解图，作点P关于OA的对称点P′，连接OP′，过点P′作OB的垂线交OA于点M，交OB于点N，此时PM＋MN的值最小，最小值为线段P′N的长．∵∠AOB＝35°，∠BOP＝10°，点P′与点P关于OA对称，∴∠POA＝∠P′OA＝25°，∴∠BOP′＝60°，OP′＝OP＝6，在Rt△P′ON中，P′N＝OP′·sin 60°＝6×＝3，∴PM＋MN的最小值为3.
第4题解图
类型二　利用“两点之间线段最短”解决最值问题
1. 44　【解析】如解图，过点P作EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F，连接AC，BD，则EF＝AD＝8，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴AC＝＝＝10，∴BD＝AC＝10，∵S△APB＋S△CPD＝AB·PE＋CD·PF＝AB·EF＝×6×8＝24，PA＋PC≥AC，PB＋PD≥BD，∴当A，P，C三点共线，B，P，D三点也共线时，PA＋PB＋PC＋PD有最小值，最小值为AC＋BD＝20，∴a＋b的最小值为24＋20＝44.
第1题解图
2. 2　【解析】如解图，分别作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，作A′H⊥DA交DA的延长线于点H，∴AA′＝2AB＝2，AA″＝2AD＝4，∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴在Rt△A′HA中，AH＝AA′＝1，∴A′H＝＝，A″H＝AH＋AA″＝1＋4＝5，∴A′A″＝＝2，∴△AMN的周长最小值为2.
第2题解图
3. 4　【解析】如解图，作点E关于BC的对称点E′，连接EE′，交BC于点F，连接DE′，AE′，过点E′作E′G⊥AC交AC的延长线于点G，则DE＝DE′，EF＝E′F，DE＋DA＝DE′＋DA≥AE′，∴当A，D，E′在同一直线上时，DE＋DA的值最小，最小值为AE′的长，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝4，∴AC＝BC＝×4＝4，∵点E为边AB的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC＝2，CF＝BC＝2，∴E′F＝EF＝2＝CG，E′G＝CF＝2，∴AG＝AC＋CG＝4＋2＝6，∴AE′＝＝＝4，∴DE＋DA的最小值为4.
第3题解图
4. 2　【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴AD＝2，BC＝4，∵S△BCP＝S△ABC，∴点P到BC的距离为1，即点P在AD的垂直平分线l上运动，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P′，连接BP′，B′P，则BB′⊥BC，BP′＝B′P′，BP＝B′P，∴BP＋PC＝B′P＋PC≥B′C，当B′，P，C三点共线，即点P与点P′重合时，BP＋PC的值最小，为B′C的长．在Rt△B′BC中，BB′＝2，BC＝4，∴B′C＝＝2，∴PB＋PC的最小值为2.
第4题解图
5. ＋　【解析】如解图，连接AC，AP，令y＝0，得x＝－3或1，∴点A(－3，0)，点B(1，0)，∴抛物线的对称轴是直线x＝－1，OA＝3，OB＝1，令x＝0，得y＝2，∴点C(0，2)，∴OC＝2，∴BC＝＝，AC＝＝，∵△PBC的周长为PB＋PC＋BC，BC为定值，∴要使△PBC的周长最小，则PB＋PC最小即可，∵点A与点B关于对称轴对称，∴PA＝PB，∴PB＋PC＝PA＋PC≥AC，∴PB＋PC的最小值为AC的长，∴△PBC的周长最小值＝AC＋BC＝＋.
第5题解图
类型三　利用“二次函数性质”解决最值问题
1. C　【解析】∵p＝5，c＝4，∴S＝＝，∵p＝，∴a＋b＝2p－c＝6，∴b＝6－a，∴S＝＝＝，∵－5＜0，∴当a＝3时，S有最大值为＝2.
2. 　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵AP⊥PE，∴∠APB＋∠CPE＝∠CPE＋∠PEC＝90°，∴∠APB＝∠PEC，∴△ABP∽△PCE，∴＝，设BP＝x，CE＝y，则PC＝3－x，即＝，∴y＝－x2＋x＝－(x－)2＋，∵－＜0，∴当x＝时，y有最大值，最大值是，∴线段CE的最大值为.
3. 　【解析】如解图，过点C作CE⊥AB于点E，过点P作PF⊥AB于点F，设AP＝x，则CP＝4－x，∵AC＝BC，∠C＝120°，∴∠BAC＝∠B＝30°，AE＝BE，∴CE＝AC＝2，PF＝AP＝x，在Rt△AEC中，由勾股定理得AE＝＝2，∴AB＝2AE＝4，∵PD∥AB，∴△PCD∽△ACB，∴＝，∴＝，解得PD＝(4－x)，∴S△APD＝PD·PF＝×(4－x)×x＝－(x－2)2＋，∵－<0，∴当x＝2时，S△APD有最大值，最大值为.
第3题解图
4. (1)1　【解析】∵点E为AB的中点，AE＝CF，∴点F为CD的中点，∴EF＝FG＝4，此时F，D，G三点共线，∴DG＝FG－FD＝1；
(2)　【解析】如解图，过点F作FH⊥AB于点H，过点G作IG⊥CD于点I，则∠EHF＝∠GIF＝90°，由题意可知∠EFG＝90°，EF＝GF，∴∠EFH＋∠EFI＝∠EFI＋∠GFI＝90°，∴∠EFH＝∠GFI，∴△EFH≌△GFI(AAS)，∴EH＝GI，设AE＝a，①当0＜a＜3时，如解图①，GI＝EH＝6－2a，ID＝FD－FI＝FD－FH＝6－a－4＝2－a，∴DG2＝ID2＋IG2＝(2－a)2＋(6－2a)2＝5a2－28a＋40＝5(a－)2＋，∵5＞0，∴当a＝时，DG2取最小值，∴DG＝；②当3≤a＜6时，如解图②，GI＝EH＝2a－6，ID＝FI－FD＝FH－AE＋EH＝4－a＋2a－6＝a－2，∴DG2＝ID2＋IG2＝(a－2)2＋(2a－6)2＝5a2－28a＋40＝5(a－)2＋，∵5＞0，3≤a＜6，∴当a＝3时，DG2取最小值1，∴DG＝1，∵1＞，∴DG的最小值为.
第4题解图
类型四　利用“辅助圆”解决最值问题
1. 2　【解析】如解图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，AB＝CD＝6，由折叠的性质可知，DE＝EF，AF＝AD＝2，设DE＝EF＝x，则CE＝CD－DE＝6－x，在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝＝4，则BE＝BF＋EF＝4＋x，在Rt△BEC中，由勾股定理得BE2＝CE2＋BC2，即(4＋x)2＝(6－x)2＋(2)2 ，解得x＝2，即DG的最大值为2.
第1题解图
2. －1　【解析】如解图，取CD的中点O，连接BO，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠EBC＝∠FCD＝90°，∵AE＝BF，∴AE＋BE＝BF＋CF，∴BE＝CF，∴△EBC≌△FCD(SAS)，∴∠BCE＝∠CDF，∵∠BCE＋∠DCE＝∠BCD＝90°，∴∠CDF＋∠ECD＝90°，∴∠CMD＝90°，当点E，F分别在AB和BC上移动时，点M在以CD的中点O为圆心，OC长为半径的半圆上运动，要使BM取得最小值，则需点B，M，O在同一条直线上．∵AB＝2，∴CO＝1，∴BO＝，∴此时BM＝－1，即BM的最小值为－1.
第2题解图
3. 9　【解析】如解图，过点P作PH⊥AB于点H，则S△ABP＝AB·PH＝5PH，∴当PH最小时，△ABP的面积最小．∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.∴EF＝AC＝6.连接CP，则CP＝EF＝3.∴点P在以点C为圆心，3为半径的圆弧上，过点C作CH′⊥AB于点H′，交⊙C于点P′，∵P′H′＝CH′－CP′＝CH′－CP≤CP＋PH－CP＝PH，∴当点P与点P′重合，点H与点H′重合时，PH最小，最小值为P′H′的长．∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CH′，∴CH′＝＝，∴P′H′＝CH′－CP′＝－3＝，∴PH的最小值是，此时S△ABP＝5PH＝9，即△ABP面积的最小值为9.
第3题解图
4. 2－2　【解析】如解图，过点E作EH∥AD，交AC于点H，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝6，由旋转的性质得AD＝AB，∴AD＝AC，∴∠D＝∠ACD，∵DE＝2CE，∴＝＝，∠CEH＝∠D＝∠ACD，∴CH＝EH，∵AC＝6，∴CH＝EH＝2，取AH的中点P，连接EP，则PH＝EH，∴∠EPH＝∠PEH，∵∠EPH＋∠CEP＋∠ACD＝180°，∴2∠PEH＋2∠CEH＝180°，∴∠CEP＝90°，∴点E在以点H为圆心，CP为直径的圆弧上运动，连接BH，∵EH为定值2，∴当B，E，H三点共线时，BE的长最小，过点B作BQ⊥AC于点Q，则CQ＝AC＝3，∴QH＝CQ－CH＝1，BQ＝＝＝3，∴BH＝＝＝2，∴BE的最小值为2－2.
第4题解图
5. 　【解析】如解图，连接CP，∵∠PDC＝∠PEC＝90°，∴∠PDC＋∠PEC＝180°，∴C，D，P，E四点共圆，圆心为点O，且直径为CP，∵BC＝＋1，∠ACB＝45°，∠B＝60°是定值，∴直径CP最小时，∠DCE所对的弦DE最小，即CP⊥AB时，DE的值最小，连接OD，OE，∵∠B＝60°，CP⊥AB，BC＝＋1，∴∠BCP＝30°，∴BP＝BC＝，CP＝BP＝，∴OD＝OE＝CP＝，∵∠ACB＝45°，∴∠DOE＝2∠ACB＝90°，∴△ODE是等腰直角三角形，∴DE＝OD＝，即DE的最小值为.
第5题解图题型五　综合与实践
1. 综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图①，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
(2)证明(1)中你发现的结论．
第1题图
2. 【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
第2题图
【知识背景】
如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m0＋m)·l＝M·(a＋y).其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1 000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据(1)和(2)所列方程，求出l和 a的值；
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
3. 【问题背景】
如图①，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q.
【问题提出】
在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长；
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图②.经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图③.经过推理、计算可求出线段CQ的长．
请你任选其中一种方案求线段CQ的长．
　
第3题图
4. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵　　　　　　　　　综合实践活动报告　　　　　 　　　时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．第4题图①
【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示．准备皮尺．第4题图②
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α.α＝________．测出眼睛到地面的距离AB.　　　　　　　AB＝1.54 m．测出所站地方到古树底部的距离BD. BD＝10 m．第4题图
【步骤四】计算古树高度CD.(结果精确到0.1 m)(参考数据：sin 40°＝0.643，cos 40°＝0.766，tan 40°＝0.839)
请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】．
题型五　综合与实践
1. (1)解：∠ABC＝∠A1B1C1；
(2)证明：如解图，连接AC，
设小正方形边长为1，则AC＝BC＝＝，AB＝＝，
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
由题意知，△A1B1C1为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠A1B1C1.
第1题解图
2. 解：(1)根据题意得m＝0，y＝0，
将m＝0，y＝0，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，
得10l＝50a ，∴l＝5a；
(2)根据题意得m＝1 000，y＝50，
将m＝1 000，y＝50，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，得(10＋1 000)l＝50(a＋50)，
∴101l＝5a＋250；
(3)联立(1)，(2)中的两个方程，
得，解得；
(4)将l＝2.5，a＝0.5 代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，
得2.5(10＋m)＝50(0.5＋y)，
化简，得y＝，
∴y关于m的函数解析式为y＝；
相邻刻线间的距离为5厘米．
【解法提示】由(4)知y＝，将m＝100代入解析式y＝ ，得y＝5，将m＝200代入解析式y＝，得y＝10，∵10－5＝5(厘米)，∴从零刻度线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻度线，相邻两刻度线的距离为5厘米．
3. 解：由尺规作图可知，EF垂直平分BC，即点O为BC的中点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5，
∴OB＝OC＝，
方案一：由折叠的性质得AP＝AB＝3，OP＝OB＝OC＝，∠APO＝∠ABO＝90°，
∴∠OPQ＝∠OCQ＝90°，
在Rt△POQ和Rt△COQ中，
，
∴Rt△POQ≌Rt△COQ(HL)，
∴PQ＝CQ，
在Rt△ADQ中，AQ＝AP＋PQ＝3＋CQ，DQ＝3－CQ，
由勾股定理得AQ2＝AD2＋DQ2，
即(3＋CQ)2＝52＋(3－CQ)2，
解得CQ＝.
方案二：由旋转的性质得AB＝RC＝3，∠BAO＝∠CRO，
由折叠的性质得∠BAO＝∠PAO，∴∠PAO＝∠CRO，
∴AQ＝RQ＝3＋CQ.
在Rt△ADQ中，AQ＝3＋CQ，DQ＝3－CQ，
由勾股定理得AQ2＝AD2＋DQ2，
即(3＋CQ)2＝52＋(3－CQ)2，
解得CQ＝.(两种方案任选其一即可)
4. 解：∵∠ACE＝50°，
∴α＝90°－∠ACE＝90°－50°＝40°.
∵AE⊥CD，BD⊥AB，BD⊥CD，
∴四边形ABDE是矩形，
∵AB＝1.54 m，BD＝10 m，
∴DE＝AB＝1.54 m，AE＝BD＝10 m.
在Rt△ACE中，CE＝AE·tan α＝10×tan 40°＝8.39 (m)，
∴CD＝CE＋DE＝8.39＋1.54≈9.9 (m)，
答：古树高度CD约为9.9 m.题型一　函数实际应用题
类型一　利润(费用)最值问题
1.剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，也是世界级非物质文化遗产之一．某店购进一种剪纸，每盒进价为50元，该剪纸月销售量y(盒)与售价x(元/盒)变化情况部分数据如下表：
售价x(元/盒) … 55 60 65 70 …
销售量y(盒) … 1 500 1 400 1 300 1 200 …
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识直接判断y是关于x的哪种函数，并求出关系式；
(2)若该种剪纸的每盒利润不超过进价的30%，设这种剪纸每月的总利润为w(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少元？
2.某园林公司销售某品种树苗，该品种树苗的销售单价y(元)与一次性销售量x(棵)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系．
(1)当0＜x≤200时，求y与x的函数关系式；
(2)若培养每棵该品种树苗需要8元，某零售商一次性批发该品种树苗x(100＜x≤380)棵，园林公司获得的利润为w元，当x为何值时，园林公司获得的利润最大？最大利润是多少元？
第2题图
3.某校组织学生研学旅游，部分学生欲购买书签和拼图两种纪念品．已知购买2套书签和3套拼图共需130元，购买5套书签和4套拼图共需220元．
(1)求购买一套书签和一套拼图各多少元？
(2)在购买时，恰逢纪念品商店推出了优惠活动，活动方案如下(仅可选择一种方案进行结算)：
方案一：购买拼图不超过50套时，拼图和书签均按原价付款；超过50套时，超过的部分每套拼图赠送1套书签；
方案二：按购买金额的八折付款．
该校学生计划购买拼图和书签共120套．其中拼图不超过书签的2倍，且不少于50套．如何购买可使学生的花费最少，最少需花费多少元？
4. 综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
第4题图
数据整理
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价(元/盆)
日销售量(盆)
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
类型二　跨学科问题
1. 如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的相关数据如下表所示：
桌面所受压强p(Pa) 400 500 800 1 000 1 250
受力面积S(m2) 0.5 0.4 a 0.2 0.16
(1)根据表中数据，求出压强p(Pa)关于受力面积S(m2)的函数表达式及a的值；
(2)如图②，将另一长、宽、高分别为60 cm，20 cm，10 cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2 000 Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
第1题图
2. 如图①，小明在测浮力的实验中，将一边长为4 cm的正方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入到水里，研究发现石块浸入到水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力是石块下降的高度x的一次函数．通过记录弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度x得到下表：
x/cm 0 2 6 7 8 10 12 …
F拉力/N 4 4 4 3.5 3.25 2.5 2.5 …
(1)小明在上表的数据中，发现有一组数据记录错误．请在图②中，通过描点的方法画出函数图象，观察判断哪一组是错误的，并求出正确的值；
(2)若某一时刻该石块所受的浮力为0.75 N，求此时石块下降的高度．(温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力－F浮力)
第2题图
拓展类型　抛物线型问题
1. 一次足球训练中，小明从球门正前方 8 m的 A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为 6 m时，球达到最高点，此时球离地面 3 m．已知球门高 OB为 2.44 m，现以 O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点 O正上方 2.25 m处？
第1题图
2. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3 m，BC＝4 m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图②，抛物线AED的顶点E(0，4)，求抛物线的解析式；
(2)如图③，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75 m，求两个正方形装置的间距GM的长；
(3)如图④，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．
第2题图
题型一　函数实际应用题
类型一　利润(费用)最值问题
1. 解：(1)由表中数据可知，y是关于x的一次函数关系．
设月销售量y(盒)与售价x(元/盒)之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题意得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－20x＋2 600(x≥50)；
(2)由题意得w＝(x－50)(－20x＋2 600)＝－20x2＋3 600x－130 000＝－20(x－90)2＋32 000，
∵该种剪纸的每盒利润不超过进价的30%，且售价不低于进价，
∴50≤x≤50×30%＋50，
解得50≤x≤65，
∵－20＜0，
∴当50≤x≤65时，w随x的增大而增大，
∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19 500，
答：该种剪纸售价定为65元/盒时可获得最大利润，最大利润是19 500元．
2. 解：(1)由图象可得，当0＜x≤100时，y＝15；
当100＜x≤200时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵x＝100时，y＝15，x＝200时，y＝10，
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为
y＝；
(2)当100＜x≤200时，
w＝x·(－x＋20－8)＝－(x－120)2＋720，
∵－＜0，
∴当x＝120时，w有最大值，w最大＝720；
当200＜x≤380时，w＝(10－8)x＝2x，
∵2＞0，∴w随x的增大而增大，
∴当x＝380时，w有最大值，w最大＝2×380＝760.
∵720<760，
∴当x＝380时，园林公司获得的利润最大．
答：当x＝380时，园林公司获得的利润最大，最大利润为760元．
3. 解：(1)设购买一套书签为a元，购买一套拼图为b元，
由题意得，
解得，
答：购买一套书签20元，购买一套拼图30元；
(2)设该校学生购买拼图x套，则购买书签(120－x)套，
由题意得50≤x≤2(120－x)，
解得50≤x≤80.
设选择方案一所需的费用为y1元，由题意可得赠送的书签为(x－50)套，
则需花钱购买的书签为120－x－(x－50)＝(170－2x)套，
由题意得y1＝30x＋20(170－2x)＝－10x＋3 400，
∵－10＜0，
∴当x＝80时，y1取得最小值，最小值为2 600；
设选择方案二所需的费用为y2元，
由题意得y2＝[30x＋20(120－x)]×0.8＝8x＋1 920，
∵8＞0，
∴当x＝50时，y2取得最小值，最小值为2 320，
∵2 320＜2 600，
∴当x＝50时，所需费用最少，
∴120－50＝70(套)，
答：当购买拼图50套，书签70套时，花费最少，为2 320元．
4. 解：(1)按照售价从低到高排列列表如下(答案不唯一)：
售价(元/盆) 18 20 22 26 30
日销售量(盆) 54 50 46 38 30
(2)由(1)可知，售价每涨价2元，日销售量减少4盆；
(3)①设应定价为x元，
由题意得(x－15)(54－×4)＝400，
整理得x2－60x＋875＝0，
解得x1＝25，x2＝35，
答：要想每天获得400元的利润，应定价为25元/盆或35元/盆；
②设每天的利润为w元，定价为x元，
由题意得w＝(x－15)(54－×4)＝－2x2＋120x－1 350＝－2(x－30)2＋450，
∵－2<0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为450，
答：售价定为30元/盆时，每天能够获得最大利润．
类型二　跨学科问题
1. 解：(1)由表格可知，压强p与受力面积S的乘积不变，故压强p是受力面积S的反比例函数，
设p＝(k≠0)，
将(400，0.5)代入得0.5＝，
解得k＝200，
∴压强p关于受力面积S的函数表达式为p＝，
当p＝800时，800＝，
∴a＝0.25；
(2)这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S＝0.1×0.2＝0.02 (m2)，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，p＝＝10 000(Pa)，
∵10 000>2 000，
∴这种摆放方式不安全．
2. 解：(1)画出函数图象如解图．
由解图可知，当x＝7时，点不在直线上，
∴x＝7时的数据是错误的．
由题意可知，当6≤x≤10时，记录弹簧测力计的示数F拉力是石块下降的高度x的一次函数，
设F拉力与x的函数解析式为F拉力＝kx＋b(k≠0)，
将点(6，4)，(10，2.5)代入得，解得，
∴F拉力＝－x＋(6≤x≤10)，
∴当x＝7时，F拉力＝3.625 N；
第2题解图
(2)由题意知，此时石块已入水，且弹簧测力计的示数是石块下降的高度的一次函数，
∵石块所受浮力为0.75 N，G重力＝4 N，
∴F拉力＝G重力－F浮力＝4－0.75＝3.25 N，
由表格可知，当F拉力＝3.25 N时，x＝8 cm，
答：该石块下降的高度为8 cm.
拓展类型　抛物线型问题
1. 解：(1)由题意知，抛物线的顶点坐标为(2，3)，设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2＋3(a≠0)，
将点A(8，0)代入，得36a＋3＝0，
解得a＝－，
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋3，
当x＝0时，y＝－(0－2)2＋3≈2.67＞2.44，
∴球不能射进球门；
(2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后抛物线的表达式为y＝－(x－2－m)2＋3，
将点(0，2.25)代入，
得2.25＝－(0－2－m)2＋3，
解得m1＝－5(舍去)，m2＝1，
答：当时他应该带球向正后方移动1米射门．
2. 解：(1)∵AB＝3，BC＝4，四边形ABCD是矩形，E(0，4)，
∴A(－2，3)，B(－2，0)，C(2，0)，
设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，
将A、E两点坐标代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4；
(2)设G(－t，3)，则L(－t－，3＋)，
∴3＋＝－(－t－)2＋4，
解得t＝(负值舍去)，
∴GM＝2t＝.
答：两个正方形装置的间距GM的长为 m；
(3)如解图，取最右侧光线与抛物线的切点为F，
第2题解图
设直线AC的解析式为y＝kx＋n，
将A(－2，3)，C(2，0)代入y＝kx＋n中，得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝－x＋，
∵FK∥AC，
∴设直线FK的解析式为y＝－x＋m，
联立，
得－x2＋x＋4－m＝0，
∴Δ＝()2－4×(－)(4－m)＝0，
解得m＝，
∴直线FK的解析式为y＝－x＋，
令y＝0，得x＝，
∴CK＝－2＝.
答：CK的长为 m.

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