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第二章 直线和圆的方程 章末总结（精讲）
目录
第一部分：知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：直线方程
重点题型二：两直线的平行与垂直
重点题型三：两直线的交点与距离问题
重点题型四：圆的方程
重点题型五：直线与圆的位置关系
重点题型六：切线和切线长问题
重点题型七：弦长问题
重点题型八：圆与圆的位置关系
重点题型九：两圆公共线方程和公共弦长
重点题型十：与圆有关的最值问题
重点题型十一：轨迹方程
第三部分：数学思想与方法
方程思想
函数思想
数形结合思想
分类讨论思想
转化与化归思想
重点题型一：直线方程
1．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知三个顶点是.
(1)求边中线所在直线方程；
(2)求边上的高线所在方程；
(3)求的重心的坐标.
2．（2022·四川达州·高一期末（理））已知直线l经过点．
(1)若点在直线l上，求直线l的方程；
(2)若直线l与直线垂直，求直线l的方程．
3．（2022·江苏·高二）已知的三个顶点的坐标为、、，试求：
(1)边上的高所在的直线方程；
(2)的面积．
4．（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）根据下列条件，分别写出直线的方程：
(1)过点，且在y轴上的截距为6；
(2)过点，且在x轴上的截距为3．
重点题型二：两直线的平行与垂直
1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，分别求实数的值，使得：
(1)；(2)．
2．（2022·江苏·高二）已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值．
(1)；(2)；(3)．
3．（2022·江苏·高二课时练习）设m为实数，已知两条直线，.当m为何值时，与：
(1)相交？(2)平行？
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，直线，且，求m的值．
重点题型三：两直线的交点与距离问题
1．（2022·江苏·高二）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．
2．（2022·全国·高二期中）直线：上的一点到和两点的距离相等，试求点坐标．
3．（2022·全国·高二课时练习）求过与的交点且与直线平行的直线方程．
4．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
5．（2022·江苏·高二）两平行直线，分别过，.
(1)，之间的距离为5，求两直线方程；
(2)若，之间的距离为d，求d的取值范围.
重点题型四：圆的方程
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点，.
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)求圆的标准方程.
2．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的圆的方程，并画出图形：
(1)经过点和，圆心在x轴上；
(2)经过直线与的交点，圆心为点；
(3)经过，两点，且圆心在直线上；
(4)经过，，三点．
3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求圆的方程：
(1)圆经过，两点，且圆心在直线上；
(2)圆经过，，三点.
4．（2022·吉林·抚松县第一中学高二阶段练习）已知三个顶点分别为，，．
(1)求经过两边AB和AC的中点的直线的方程；
(2)求的外接圆方程．
重点题型五：直线与圆的位置关系
1．（2022·浙江·温州中学高二期末）已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏盐城·高二期末）已知直线与圆相切，则实数a的值为_________．
3．（2022·贵州·遵义四中高二期末）已知直线l：x -y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．
(1)求该圆的方程；
(2)若直线x+ my -1=0与圆C交于 A、B两点，且|AB|=，求m的值．
4．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆C：的半径为1．
(1)求实数a的值；
(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．
5．（2022·重庆复旦中学高二开学考试）已知圆经过，，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：与圆无公共点，求实数的取值范围.
重点题型六：切线和切线长问题
1．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·天津河北·高二期末）过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2022·江苏泰州·模拟预测）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．
5．（2022·全国·高二课时练习）从点引圆的切线，则切线长是__________．
6．（2022·全国·高二课时练习）求通过圆上的一点所作该圆的切线方程．
7．（2022·山西·怀仁市第一中学校云东校区高二阶段练习（理））已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)若点，求过点的圆的切线方程.
重点题型七：弦长问题
1．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知圆：，直线：.
(1)求圆的圆心及半径；
(2)求直线被圆截得的弦的长度.
2．（2022·江苏·高二）已知三点在圆C上，直线，
(1)求圆C的方程;
(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．
3．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆C：，其中．
(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；
(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．
4．（2022·辽宁·高三期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点．
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)求圆的标准方程；
(3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
5．（2022·江苏南通·高二期末）已知圆，点.
(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；
(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.
重点题型八：圆与圆的位置关系
1．（2022·福建福州·高二期末）圆与圆的位置关系为 （ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
2．（2022·四川雅安·高二期末（理））圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
3．（2022·江苏·高二）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为______．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：和：恰好有三条公切线，则的取值范围是___________.
5．（2022·全国·高二课时练习）若点在圆上，则圆与圆的位置关系是______．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝________．
重点题型九：两圆公共线方程和公共弦长
1．（2022·重庆复旦中学高二开学考试）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知圆：和圆：，则（ ）
A．公共弦长为 B．公共弦长为
C．公切线长 D．公切线长
3．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）若圆与圆相交，且公共弦长为，则__________.
5．（2022·天津·静海一中高二期末）若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.
6．（2022·天津河西·二模）设与相交于两点，则________．
7．（2022·天津河东·二模）圆与圆的公共弦长为________．
重点题型十：与圆有关的最值问题
1．（2021·全国·高二课时练习）已知点，，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2021·全国·高二专题练习）已知圆过点，点在圆上，则面积的最大值为（ ）
A．100 B．25 C．50 D．
3．（2021·安徽滁州·高二期中）已知，点P在直线上，点Q在圆C：上，则的最小值是______．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点Р在直线上（，），则mn的最大值是__________.
5．（2022·江苏·高二）已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
6．（2022·江苏·高二）已知圆，点分别在轴和圆上.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求的最小值.
7．（2022·广东揭阳·高二期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．
重点题型十一：轨迹方程
1．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知点，动点满足，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.
3．（2022·全国·高二课时练习）等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，求另一个顶点C的轨迹方程，试说明它的轨迹是什么？
4．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知圆的圆心在直线上，且过和两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程.
方程思想
1．（2022·全国·高三专题练习）已知一直线经过点，并且与点和的距离相等，求此直线的方程．
2．（2022·湖北·高二期末）已知圆C：，直线l恒过点
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
3．（2022·江苏·高二）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．
4．（2022·全国·高二期中）直线：上的一点到和两点的距离相等，试求点坐标．
函数思想
1．（2022·广东韶关·高二期末）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为______，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为______．
数形结合思想
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·全国·高一课时练习）已知是圆上任意一点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
分类讨论思想
1．（2022·江苏·高二）已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．
(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．
2．（2021·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）已知过点且斜率为的直线与圆交于、两点.
(1)求斜率的取值范围；
(2)过作圆的切线，求切线方程.
3．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（理））已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程
转化与化归思想
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二）已知实数a，b满足4a-2b+3=0，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2022·全国·高二）设实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
4．（2022·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．
第二章 直线和圆的方程 章末总结（精讲）
目录
第一部分：知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：直线方程
重点题型二：两直线的平行与垂直
重点题型三：两直线的交点与距离问题
重点题型四：圆的方程
重点题型五：直线与圆的位置关系
重点题型六：切线和切线长问题
重点题型七：弦长问题
重点题型八：圆与圆的位置关系
重点题型九：两圆公共线方程和公共弦长
重点题型十：与圆有关的最值问题
重点题型十一：轨迹方程
第三部分：数学思想与方法
方程思想
函数思想
数形结合思想
分类讨论思想
转化与化归思想
重点题型一：直线方程
1．（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知三个顶点是.
(1)求边中线所在直线方程；
(2)求边上的高线所在方程；
(3)求的重心的坐标.
【答案】(1)(2)(3)
(1)线段的中点，即,
因此直线的横纵截距均为2，其方程为：，
即.
所以边中线所在直线方程为.
(2)直线的斜率：，所以所求直线的斜率：，
又该直线过点，
所以边上的高线所在方程为：，即.
(3)方法一：由重心坐标公式，的重心，
即.
方法二：线段的中点，即.
因此，直线的方程为：，
即，
故边中线所在直线方程为.
由方程组，解得，
所以的重心坐标.
2．（2022·四川达州·高一期末（理））已知直线l经过点．
(1)若点在直线l上，求直线l的方程；
(2)若直线l与直线垂直，求直线l的方程．
【答案】(1)(2)
(1)直线l经过点和点，直线l的斜率k＝3，
直线l的方程为（或）；
(2)因为直线l与直线垂直，设直线l的方程为，
因为直线l过点，所以，解得．
所以直线l的方程为
3．（2022·江苏·高二）已知的三个顶点的坐标为、、，试求：
(1)边上的高所在的直线方程；
(2)的面积．
【答案】(1)(2)24
(1)因为，则边上的高的斜率为3，又经过A点，故方程为，化简得．
(2)，直线方程为，整理得，
则到的距离为，则的面积为.
4．（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）根据下列条件，分别写出直线的方程：
(1)过点，且在y轴上的截距为6；
(2)过点，且在x轴上的截距为3．
【答案】(1)(2)
(1)由题意可知，直线的斜率存在且过点，则设直线的方程为：，
又因为直线过点，即，解得，则直线的方程为：，
故所求直线方程为：.
(2)由题意可知，直线的斜不为且过点，则设直线的方程为：，
又因为直线过点，即，解得，则直线的方程为：，
故所求直线方程为：.
重点题型二：两直线的平行与垂直
1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，分别求实数的值，使得：
(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)
(1)由得：，解得：或.
(2)由得：，解得：.
2．（2022·江苏·高二）已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值．
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)选(1)和(2)，；
(2)选(1)和(3)，或；
(3)选(2)和(3)，a、b无解.
(1)若选条件(1)和(2)，和，
由，得，即，
当时，，，与不垂直，
当时，，，与不垂直；
故且，得，
又，，
所以，解得，则；
(2)若选条件(1)和(3)，和，
由，得，
当时，，，与不平行；
当时，，，与不平行；
故且，则，解得或，
故或，
即或；
(3)若选条件(2)和(3)，和，
根据两条直线的位置关系，
可得和不可能同时成立，
此时无解.
3．（2022·江苏·高二课时练习）设m为实数，已知两条直线，.当m为何值时，与：
(1)相交？(2)平行？
【答案】(1)且；(2).
(1)若两直线相交，则，即且.
(2)若两直线平行，则，即或.
当时，，，满足题设；
当时，，，即两线重合，不合题设；
所以.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，直线，且，求m的值．
【答案】6或-1
因为直线与直线垂直，
所以，
即，解得或.
重点题型三：两直线的交点与距离问题
1．（2022·江苏·高二）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．
【答案】证明见解析，
证明：原方程整理为，则由得
所以点坐标为．
2．（2022·全国·高二期中）直线：上的一点到和两点的距离相等，试求点坐标．
【答案】
易得在的垂直平分线上，的中点坐标为，又，则的垂直平分线斜率为，
则方程为，即，由解得所以点坐标为．
3．（2022·全国·高二课时练习）求过与的交点且与直线平行的直线方程．
【答案】.
由，即交点坐标为，
设所求直线为，把代入所设方程中，得
，故而所求直线方程为．
4．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
【答案】或
解法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由题意知，即，∴，
∴直线l的方程为，即．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也符合题意．
解法2：当时，，直线l的方程为，即．
当l过AB中点时，AB的中点为，∴直线l的方程为．
故所求直线l的方程为或．
5．（2022·江苏·高二）两平行直线，分别过，.
(1)，之间的距离为5，求两直线方程；
(2)若，之间的距离为d，求d的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
(1)当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意；
当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得，
解得或，当时，；当时，.
故两直线方程为或.
(2)
如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0，
又两平行直线，不重合，故.
重点题型四：圆的方程
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知圆的圆心在轴上，且经过点，.
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)求圆的标准方程.
【答案】(1)(2)
(1)解：由点，，可得的中点为，且，
由圆的性质得，所以，可得，
所以线段的垂直平分线的方程是，即.
(2)解：设圆的标准方程为，其中，半径为，
由圆的性质，可得圆心在直线上，所以，即圆心，
又由，所以圆的标准方程为.
2．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的圆的方程，并画出图形：
(1)经过点和，圆心在x轴上；
(2)经过直线与的交点，圆心为点；
(3)经过，两点，且圆心在直线上；
(4)经过，，三点．
【答案】(1)，图形见解析；
(2)，图形见解析；
(3)，图形见解析；
(4)，图形见解析.
(1)圆心在x轴上，设圆的方程为：，
将点代入圆的方程，
得，解得，
所以圆的方程为：，其图形如下：
(2)圆心为点，设圆的方程为：，
由，解得，
即直线与直线的交点坐标为，
因为圆过交点，所以，解得，
所以圆的方程为：，其图形如下：
(3)设圆的方程为：，
圆心坐标为，在直线上，所以①，
又圆过点，
所以②，③，
联立①②③，得，
所以圆的方程为：，其图形如下：
(4)设圆的方程为：，
因为圆经过点，
则，解得，
所以圆的方程为：，
即，其图形如下：
3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求圆的方程：
(1)圆经过，两点，且圆心在直线上；
(2)圆经过，，三点.
【答案】(1)(2)
(1)的中点为，直线的斜率为，
线段的中垂线方程为，即．
联立方程组，解得，，即所求圆的圆心，
圆的半径，
圆的方程为．
(2)设圆的方程为，
圆过点，，，
解得，，，
圆的方程为．
4．（2022·吉林·抚松县第一中学高二阶段练习）已知三个顶点分别为，，．
(1)求经过两边AB和AC的中点的直线的方程；
(2)求的外接圆方程．
【答案】(1)(2)
(1)AB的中点坐标为，AC的中点坐标为，所以直线的斜率，将代入得直线方程为：，即
(2)设圆的一般方程为，将三点代入得：
解得： ，所以圆方程为：，化为标准方程为：
重点题型五：直线与圆的位置关系
1．（2022·浙江·温州中学高二期末）已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为直线与圆有两个不同的交点，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：B.
2．（2022·江苏盐城·高二期末）已知直线与圆相切，则实数a的值为_________．
【答案】
解：由题可得圆的圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，解得.
故答案为：.
3．（2022·贵州·遵义四中高二期末）已知直线l：x -y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．
(1)求该圆的方程；
(2)若直线x+ my -1=0与圆C交于 A、B两点，且|AB|=，求m的值．
【答案】(1)(2)0
(1)设圆心为，，
则由题意得：，
解得：或（舍去），
故该圆的方程为
(2)圆心到直线的距离为，
由垂径定理得：，
解得：
4．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆C：的半径为1．
(1)求实数a的值；
(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．
【答案】(1)；(2)直线l与圆C相交，.
(1)将化为标准方程得：
．
因为圆C的半径为1，所以，得．
(2)由（1）知圆C的圆心为，半径为1．
设圆心C到直线l的距离为d，则，
所以直线l与圆C相交，设其交点为A，B，则，即．
5．（2022·重庆复旦中学高二开学考试）已知圆经过，，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：与圆无公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)∵圆心C在直线，
∴可设圆心坐标为，
∵圆C经过，，
∴即，解得
∴圆心坐标为，半径
故圆C的标准方程为；
(2)∵圆心C到直线l的距离且直线l圆C无公共点，
∴即，解得，
故实数k的取值范围为；
综上，圆C的标准方程为，.
重点题型六：切线和切线长问题
1．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
由圆心为，半径为，
斜率存在时，设切线为，则，可得，
所以，即，
斜率不存在时，显然不与圆相切；
综上，切线方程为.
故选：C
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数.
当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，
故选：C
3．（2022·天津河北·高二期末）过点作圆的切线，则切线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
圆的圆心为原点，半径为1，
当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即
所以，解得或
所以切线的方程为或
故选：C
4．（2022·江苏泰州·模拟预测）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．
【答案】2
将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，
如图，设，，切线长．
故答案为：2
5．（2022·全国·高二课时练习）从点引圆的切线，则切线长是__________．
【答案】
因为圆的方程为，所以圆心，半径，
所以，所以切线长，故答案为．
6．（2022·全国·高二课时练习）求通过圆上的一点所作该圆的切线方程．
【答案】
因为圆的圆心为，
所以，则过点的切线斜率为，
所以在点处圆的切线方程为，
即.
7．（2022·山西·怀仁市第一中学校云东校区高二阶段练习（理））已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)若点，求过点的圆的切线方程.
【答案】(1)(2)或
(1)由题意，设圆的标准方程为：，
圆关于直线对称，
圆与轴相切：…①
点到的距离为：，
圆被直线截得的弦长为，，
结合①有：，，
又，，，
圆的标准方程为：.
(2)当直线的斜率不存在时，满足题意
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为.
又圆C的圆心为，半径，
由 ，
解得.
所以直线方程为，即
即 直线的方程为或.
重点题型七：弦长问题
1．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知圆：，直线：.
(1)求圆的圆心及半径；
(2)求直线被圆截得的弦的长度.
【答案】(1)， (2)
(1)解：圆：整理得，
圆心，半径为；
(2)解：圆心到直线：的距离，
所以弦的长度.
2．（2022·江苏·高二）已知三点在圆C上，直线，
(1)求圆C的方程;
(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．
【答案】(1)
(2)直线与圆C相交，弦长为
(1)设圆C的方程为:，
由题意得:，
消去F得: ，解得: ，
∴ F=-4，
∴圆C的方程为:.
(2)由（1）知: 圆C的标准方程为:，圆心，半径;
点到直线的距离，故直线与圆C相交，
故直线被圆C截得的弦长为
3．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆C：，其中．
(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；
(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．
【答案】(1)；(2).
(1)解：由圆，可得，
则圆心，半径，
由圆，可得圆心，半径，
因为两圆外切，
则，
解得．
(2)解：圆的圆心坐标为，半径为．
圆心到直线的距离，
又直线与圆相交所得的弦长为，
，解得．
的值为．
4．（2022·辽宁·高三期中）已知圆的圆心在轴上，且经过点．
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)求圆的标准方程；
(3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)(2)(3)或
(1)设的中点为，则．
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
(2)设圆的标准方程为，其中，半径为，
由（1）得直线的方程为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆的标准方程为.
(3)由（1）设为中点，则，得，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意得，解得；
故直线的方程为，
即；
综上直线的方程为或.
5．（2022·江苏南通·高二期末）已知圆，点.
(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；
(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.
【答案】(1)或(2)
(1)解：设圆心，圆的圆心为，
由题意可得，解得或，
因此，圆的方程为或.
(2)解：若过点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，
圆心到直线的距离为，不合乎题意.
设过点且斜率存在的直线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，
设直线、的斜率分别为、，
则、为关于的二次方程的两根，
，
由韦达定理可得，，
在直线的方程中，令，可得，即点
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，，解得.
重点题型八：圆与圆的位置关系
1．（2022·福建福州·高二期末）圆与圆的位置关系为 （ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】C
圆的标准方程为 ，
圆的标准方程为，
两圆的圆心距为 ，即圆心距等于两圆半径之和，
故两圆外切，
故选：C.
2．（2022·四川雅安·高二期末（理））圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
【答案】A
圆：的圆心，，
圆：的圆心，，
则，
所以圆与圆内切.
故选：A
3．（2022·江苏·高二）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为______．
【答案】相交
由圆的方程知其圆心，半径；
由圆的方程知其圆心，半径；
圆关于直线对称，
直线过圆心，即，解得：，
圆心，；
两圆圆心距，则，
又，，，即，
圆与圆相交.
故答案为：相交.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：和：恰好有三条公切线，则的取值范围是___________.
【答案】
由题意，：的方程可化为，
故是以圆心为，半径为2的圆；
因为圆和圆恰好有三条公切线，所以圆和圆相外切，
又因为圆：，所以圆的圆心为，半径为1，
从而，化简得，，
即为上一点，
不妨令
由两点间距离公式可知，可表示为上一点到的距离，
因为是以圆心为，半径为3的圆，
所以圆心到的距离为，
故的最大值为，最小值为，
从而，
因为，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
5．（2022·全国·高二课时练习）若点在圆上，则圆与圆的位置关系是______．
【答案】外切
因为点在圆上，
所以．
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
则圆心距，所以两圆外切．
故答案为：外切
6．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则4a2＋b2＝________．
【答案】1
圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，
|C1C2|＝.
因为两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，
所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.
故答案为：1．
重点题型九：两圆公共线方程和公共弦长
1．（2022·重庆复旦中学高二开学考试）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
因为，则，
所以，圆与圆相交，
将两圆方程作差得，即.
因此，两圆的相交弦所在直线的方程为.
故选：A.
2．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知圆：和圆：，则（ ）
A．公共弦长为 B．公共弦长为
C．公切线长 D．公切线长
【答案】B
因为圆的圆心为，半径；对圆，其圆心为，半径，
圆心距，又，故两圆相交，设交于两点.
故所在直线方程为：，
整理得：，故到直线的距离，
故.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
将两圆的方程相减得到两个圆公共弦所在直线方程为
故选：D.
4．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）若圆与圆相交，且公共弦长为，则__________.
【答案】
圆与圆的方程相减即为公共弦所在直线方程：
，
圆圆心(0，0)到公共弦距离d＝，
则公共弦长度为，解得a＝．
故答案为：．
5．（2022·天津·静海一中高二期末）若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.
【答案】
根据得公共弦方程为：.
因为公共弦长为，所以直线过圆的圆心.
所以，解得.
故答案为：
6．（2022·天津河西·二模）设与相交于两点，则________．
【答案】
将和两式相减：
得过两点的直线方程： ，
则圆心到的距离为，
所以 ，
故答案为：
7．（2022·天津河东·二模）圆与圆的公共弦长为________．
【答案】
两圆方程相减得，即，
原点到此直线距离为，圆半径为，
所以所求公共弦长为．
故答案为：．
重点题型十：与圆有关的最值问题
1．（2021·全国·高二课时练习）已知点，，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
圆即为：，
其圆心为（3，4），半径为1，
设AB的中点为M，
因为点，，
所以M（0，0），
以AB为直径的圆的方程为：，
，
若圆上存在点，使得，
则圆C与圆M有公共点，即，
解得，
所以实数的最大值是6.
故选：C
2．（2021·全国·高二专题练习）已知圆过点，点在圆上，则面积的最大值为（ ）
A．100 B．25 C．50 D．
【答案】D
设圆的方程为，将代入可得，
，解得.
故圆的一般方程为，即，
故的面积.
面积的最大值为.
故选：.
3．（2021·安徽滁州·高二期中）已知，点P在直线上，点Q在圆C：上，则的最小值是______．
【答案】8
因为圆C：，故圆C是以为圆心，半径的圆，
则圆心到直线的距离 ，故直线和圆相离，
点A坐标满足，A在圆外，
设点关于直线的对称点为，
故，解得，故，
则 ,
连接交圆C于Q，交直线于P,
由对称性可知:,
当且仅当共线时，取等号，
故答案为：8
4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点Р在直线上（，），则mn的最大值是__________.
【答案】##0.25
由圆与圆，
将两圆的方程相减可得，
即公共弦所在的直线方程为，
又可变形为，
令，即，
则公共弦所在的直线恒过定点，即，
又点P在直线上，则，
则，
即mn的最大值为.
故答案为：.
5．（2022·江苏·高二）已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
【答案】(1)x－2y＋4＝0
(2)
(3)
(1)将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
(2)设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），
则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，
解得，故所求方程为．
(3)由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．
故面积最小的圆的方程为．
6．（2022·江苏·高二）已知圆，点分别在轴和圆上.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求的最小值.
【答案】(1)外离；(2)﹒
(1)圆的圆心为(1，2)，半径为1，圆的圆心为(3，4)，半径为，
∵，∴两圆外离；
(2)，
作(1，2)关于x轴的对称点，
则当、P、三点共线时，所求最小值为．
7．（2022·广东揭阳·高二期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；
(1)求直线AB的方程；
(2)若M为圆上的一点，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)圆的圆心坐标为，半径为1，
则的中点坐标为，，
以为圆心，为直径的圆的方程为，
由，得①，
由，得②，
①②得：．
直线的方程为；
(2)圆心 到直线的距离为
故圆上的点M到直线的距离的最大值为 ，
而 ,
故面积的最大值为 .
重点题型十一：轨迹方程
1．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知点，动点满足，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
【答案】(1)曲线的方程为，是以点为圆心，半径为2的圆
设，
，
因为，
所以，
化简得：．
所以曲线的方程为，
是以点为圆心，半径为2的圆．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.
【答案】条件选择见解析，答案见解析.
选择条件①，设点，令定点为P，
因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C(0,0)时，则，有，
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立，
因此有，而，于是得，即，
由解得，，而直线与圆相切的切点在圆C内，
由点M在圆C内，得且，
所以AB中点M的轨迹方程是：(且).
选择条件②，设点，
因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则，
则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），
当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，
因此，M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为，
由解得或，而点M在圆C内，则有，
所以AB中点M的轨迹方程是：.
3．（2022·全国·高二课时练习）等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，求另一个顶点C的轨迹方程，试说明它的轨迹是什么？
【答案】（点和除外）；
点C的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆除去和两点．
设另一端点C的坐标为，依题意，得，
由两点间距离公式，得,
化简，得，
因为A、B、C三点不共线，而的方程为，
联立或，
故点C的轨迹方程为（点和除外）,
点C的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆除去和两点．
4．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知圆的圆心在直线上，且过和两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
(1)设圆心，则，
即，解得：，
，又圆心，圆的标准方程为；
(2)为弦中点，，即，
设，则，，
，
即点的轨迹方程为：.
方程思想
1．（2022·全国·高三专题练习）已知一直线经过点，并且与点和的距离相等，求此直线的方程．
【答案】或
假设所求直线的斜率存在，则可设其方程为，即．
由题设有：，即，解得，则直线方程．
又所求直线的斜率不存在时，方程为，适合题意．∴所求直线的方程为或．
2．（2022·湖北·高二期末）已知圆C：，直线l恒过点
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
【答案】(1)或
(2)或
(1)由题意可知，圆C的圆心为，半径，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，
化为一般式：，若直线l与圆相切，
则，即，解得，
：，即l：，
综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或；
(2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
直线l的方程为，即，
设圆心到直线l的距离为d，则，
由垂径定理可得，，即，
整理得，，解得或，
则直线l的方程为或
3．（2022·江苏·高二）已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．
【答案】证明见解析，
证明：原方程整理为，则由得
所以点坐标为．
4．（2022·全国·高二期中）直线：上的一点到和两点的距离相等，试求点坐标．
【答案】
易得在的垂直平分线上，的中点坐标为，又，则的垂直平分线斜率为，
则方程为，即，由解得所以点坐标为．
函数思想
1．（2022·广东韶关·高二期末）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以.
故选：B
2．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为______，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为______．
【答案】
设，由题意得，
化简得的方程为，；
直线的方程可化为，由
解得， 所以直线过定点，
又 ，所以点在圆的内部；
作直线，垂足为，
设，易求，所以，
所以，
所以，
所以当，即时，；
故答案为：， .
数形结合思想
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数.
当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，
故选：C
2．（2021·河北省盐山中学高二期中）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
∵圆的方程为，
过点作圆的切线方程，设切线方程为，即.
则，解得：.
则的取值范围为.
故选：C.
3．（2019·全国·高一课时练习）已知是圆上任意一点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
表示圆上一点与点连线的斜率.
由图可知，当过的直线与圆相切时，目标函数取得最值；
设过且与圆相切的直线方程为，即，
因此，根据点到直线距离公式可得：
，解得.
所以.
故选A
分类讨论思想
1．（2022·江苏·高二）已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．
(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)(2)，或(3)或
(1)圆心到直线的距离，
所以圆的半径为，
所以；
(2)当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切．
直线斜率存在，设直线，
由，得所以切线方程为，或．
(3)当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
由，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或
2．（2021·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）已知过点且斜率为的直线与圆交于、两点.
(1)求斜率的取值范围；
(2)过作圆的切线，求切线方程.
【答案】(1)(2)或
(1)直线的方程为：即，
由得圆心，半径．直线与圆相交得，
即，解得，所以斜率的取值范围为.
(2)当切线斜率不存在时，此时切线为，圆心，
圆心到直线距离，因为，所以此时直线与圆相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为：，直线与圆相切，
则圆心到直线距离，所以，解得，
所以切线方程为，
综上所述满足条件的切线方程为：或.
3．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（理））已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程
【答案】(1)；(2)x=0 或 3x+4y=0.
(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则＝.
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
所以C点坐标为(1，－2)，
半径r＝|AC|＝＝.
故圆C的方程为.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx，
由题意得，解得，
∴直线l的方程为，即3x+4y=0.
综上所述，直线l的方程为 x=0 或 3x+4y = 0.
转化与化归思想
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数.
当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，
故选：C
2．（2022·全国·高二）已知实数a，b满足4a-2b+3=0，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
实数a，b满足4a-2b+3=0，则的几何意义是直线上的点到A（2，-2）与B（1，1）距离之和的最小值，
设B（1，1）关于4a-2b+3=0的对称点为B′（x，y），
可得，解得x=-1，y=2，B′（-1，2）
所以的最小值为：．
故选：B．
3．（2022·全国·高二）设实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
，
所以表示直线上的点与点的距离，
所以最小值为.
故选：C.
4．（2022·上海虹口·高二期末）已知点在直线上，则的最小值为________．
【答案】2
可以理解为点到点的距离，
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且.
故答案为：.

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