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第一章 空间向量与立体几何 章末总结（精讲）
目录
第一部分：本章知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：空间向量的概念及运算
重点题型二：利用空间向量证明位置关系
重点题型三：利用空间向量计算距离
重点题型四：利用空间向量求空间角
重点题型一：空间向量的概念及运算
1．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
2．在四面体中，，，，，，用向量，，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在三棱锥中，平面，，，点在三棱锥的表面上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，若向量，则实数的取值范围为____．
7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）若三棱锥为棱长为2正四面体，求.
重点题型二：利用空间向量证明位置关系
1．在四棱锥中，，，，，M是AC的中点,若平面平面BCDE，则下列三个结论：①；②；③中，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．已知正方体是直线上一点，（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线平面
D．若，则直线平面
3．如图正方体中，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．时，平面平面
B．时，平面平面
C．面积最大时，
D．面积最小时，
4．已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
5．如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是___________.
①与异面且垂直；
②与相交且垂直；
③平面；
④，，，四点共面.
6．在平行六面体中，面面，底面为矩形，，，面为菱形，，是的中点，为的中点，问_______时，面面．
7．如图在平行六面体中，，.
(1)求证：直线平面；
8．如图，在长方体中，，，为中点，为中点.求证：平面；
9．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若M，N分别为棱，的中点，为中点.求证：平面平面
10．已知直三棱柱中，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．
证明：；
重点题型三：利用空间向量计算距离
1．如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．在三棱锥中，，，，点是的中点，底面，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在棱长为1的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（ ）
A．等于 B．和EF的长度有关
C．等于 D．和点Q的位置有关
4．如图所示的多面体，底面ABCD为长方形，DF⊥平面ABCD，DFCC1BE，AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，则点C到平面AEC1F的距离为（ ）
A． B．
C． D．
5．若正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为（　　）
A．1 B．
C． D．
6．在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A． B．
C． D．
7．如图，已知四边形是边长为4的正方形，E，F分别是的中点， 垂直于正方形所在的平面，且，则点B到平面的距离为___________.
8．如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
(1)证明：；
(2)当为的中点时，求点到面的距离．
重点题型四：利用空间向量求空间角
角度1：异面直线所成角
1．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．三棱锥中，，，则异面直线与所成的角可能是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线和分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，且，若与所成角为60°时，则与侧面ADD1A1所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则=_____________.
8．如图，在长方体中，，，在棱上是否存在一点，使得异面直线与所成角为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
角度2：线面角
1．在所有棱长都相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则直线与平面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响.在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常.某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷.将一块边长为6m的正方形材料先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图2），该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心.则直线与平面所成角的正弦值为______.
6．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AB＝2，CF＝3．若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________．
7．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．
8．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，M是棱的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)棱上是否存在一点N，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
9．在正四棱柱中，，E为的中点.（用向量的方法证明）
(1)求证：平面.（用向量的方法证明）
(2)若F为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求BF的长.
10．三棱锥中，三角形为等腰直角三角形，，侧面为等边三角形，.
(1)求证：；
(2)若侧棱上有一动点，设，当为何值时，直线与平面所成的角最大？
角度3：二面角
1．已知是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，则平面与平面所成的锐二面角为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．30°
2．如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体， ，点为的中点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为
A． B． C． D．
4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=2BC=2，D为AA1上一点.若二面角B1-DC-C1的大小为30°，则AD的长为____.
5．如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，若平面与平面所成的锐二面角的大小为，则线段的长度为__________．
6．如图，平面平面是边长为4的正三角形，分别为的中点.
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的大小.
7．如图，四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，，E为棱的中点．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)设点M在线段上，且直线AM与平面所成角的正弦值为，求线段AM的长．
8．如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为等腰梯形，且
(1)证明：平面平面；
(2)若点在棱上，且二面角的大小为，求的值.
9．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，与交点为，且，．
（1）证明：平面；
（2）若且，，则在线段上是否存在一点﹐使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
10．如图①，在等腰梯形中，，.将沿折起，使得，如图②.
（1）求证：平面平面.
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角的大小为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
第一章 空间向量与立体几何 章末总结（精讲）
目录
第一部分：本章知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：空间向量的概念及运算
重点题型二：利用空间向量证明位置关系
重点题型三：利用空间向量计算距离
重点题型四：利用空间向量求空间角
重点题型一：空间向量的概念及运算
1．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
因为，，，
选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；
选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
故选：A.
2．在四面体中，，，，，，用向量，，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵，
∴为中点，连接，如下图，
∴，而，
∴.
故选：B
3．如图，在三棱锥中，平面，，，点在三棱锥的表面上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如图，取中点，连接，，，则，又因为平面，平面，平面，所以，，
又，，由勾股定理得：，且在以O为球心，半径为的球上，故，则的取值范围是，D正确.
故选：D
4．已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，所以A中的向量不能与，构成基底；
因为，所以B中的向量不能与，构成基底；
对于，设，则，解得，，
所以，故，，为共面向量，所以C中的向量不能与，构成基底；
对于，设，则，此方程组无解，所以，，不共面，故D中的向量与，可以构成基底.
故选：D
5．（多选）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
方法一：若，，，四点共面，则存在唯一一组数，使得，
则，
整理可得，
对A，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故A错误；
对B，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故B正确；
对C，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故C正确；
对D，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故D错误.
故选：BC.
方法二：根据共面定理的推论可得，若，，，四点共面，
则对于空间中任意一点，有，且满足，
则由选项可得只有BC满足.
故选：BC.
6．已知，，若向量，则实数的取值范围为____．
【答案】或
向量，
，
解得：或.
故答案为：或.
7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）若三棱锥为棱长为2正四面体，求.
【答案】(1) ，，三个向量共面；(2)
(1) ，，，所以，所以，，三个向量共面.
(2) .
又因为三棱锥为棱长为2正四面体，所以、、之间的夹角均为.
所以.
重点题型二：利用空间向量证明位置关系
1．在四棱锥中，，，，，M是AC的中点,若平面平面BCDE，则下列三个结论：①；②；③中，正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
如图：取线段BE的中点H,连接AH,
因为，所以 ,
又平面平面BCDE，平面平面BCDE=BE，平面,
所以平面BCDE，
又，，故,
因此以B为坐标原点，以BE,BC为x,y轴，以过B作AH的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ,
故 ,所以，故，
所以，故①正确；
,则，
故，即，故②正确；
,,
故，即，故③正确，
故选：D
2．已知正方体是直线上一点，（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线平面
D．若，则直线平面
【答案】A
以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
当时，，
，
设平面的一个法向量为，则，可取，
则，从而可知直线平面，故选项A正确，B不正确.
同理可取平面的一个法向量，
若时，
，
所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
若时，
，
所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确.
故选：A,
3．如图正方体中，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．时，平面平面
B．时，平面平面
C．面积最大时，
D．面积最小时，
【答案】D
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、、、、，
，，所以，，
，线段的中点为，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，则.
对于A选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
若平面平面，则，则，解得，A对；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
若平面平面，则，即，解得，B对；
对于CD选项，，则，故，
因为.
因为，当时，取最小值，则的面积最小，D错，
当时，取最大值，则的面积最大，C对.
故选：D.
4．已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
【答案】B
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，设（，
则，，
因为，所以不可能平行，即不可能平行，
又，，因此可以垂直，即与可能垂直．
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
与不可能平行，因此与平面不可能垂直，
，因此与不可能垂直，因此与平面不可能平行，
故选：B．
5．如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是___________.
①与异面且垂直；
②与相交且垂直；
③平面；
④，，，四点共面.
【答案】①③④
建立如图所示空间直角坐标系：
设正方体棱长为3，
①因为,，所以，又矩形EFHG与矩形的中心重合，且过矩形的中心，所以与异面且垂直，故正确；
②因为,，所以，所以与不垂直，故错误；
③由，设平面的一个法向量 ，则，即，令，则,同理求得平面EFN的一个法向量，因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故正确；
④因为，则，所以，则，所以，，，四点共面，故正确，
故答案为：①③④
6．在平行六面体中，面面，底面为矩形，，，面为菱形，，是的中点，为的中点，问_______时，面面．
【答案】
因为四边形为菱形，，则，
为的中点，，，
由余弦定理可得，，
，
平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、,设点，
设平面的法向量为，，，
由，取，则，，
可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，则，，可得，
因为平面平面，则，解得.
因此，当时，平面平面.
故答案为：.
7．如图在平行六面体中，，.
(1)求证：直线平面；
【答案】(1)证明见解析；
证明：设，，，
则为空间的一个基底，且，，，
因为，，
所以，，
∴，，
∴，又，
∴平面.
8．如图，在长方体中，，，为中点，为中点.求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
解：建立以为原点，为轴，为轴，为轴的坐标系，
设，则，，，，，
所以，，
所以，
所以，，，面，
所以面
9．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若M，N分别为棱，的中点，为中点.求证：平面平面
【答案】
∵平面
∴，
∵矩形∴
故，，两两垂直
以，，所在直线为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系
，，，，
∴
设平面的法向量为，
∴
设平面的法向量为，
∴
∴∴
∴平面平面
10．已知直三棱柱中，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．
证明：；
【答案】
因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以
因为，，所以，又，所以平面．所以BA，BC，两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．
所以，，，，，，
，．由题设．
因为，，所以，所以．
重点题型三：利用空间向量计算距离
1．如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
，
，，
，
所以点P到的距离．
故选：B.
2．在三棱锥中，，，，点是的中点，底面，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
（方法一）如图，
因为，点是的中点，
所以，
又底面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
在中，，
所以，则点．
设平面的一个法向量为
则，，即，，
取，得，
所以点到平面的距离．
（方法二）由题意可知在三棱锥中，，，相互垂直，
．
在中，，
所以三角形是正三角形，
所以，
设点到平面的距离为，则，
所以．
故选：A
3．如图，在棱长为1的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（ ）
A．等于 B．和EF的长度有关
C．等于 D．和点Q的位置有关
【答案】A
取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B错．
又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D错．
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，∴，，，
设是平面的法向量，则由得
令，则，所以是平面的一个法向量．
设点Q到平面的距离为d，则，A对，C错．
故选：A．
4．如图所示的多面体，底面ABCD为长方形，DF⊥平面ABCD，DFCC1BE，AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，则点C到平面AEC1F的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.
∴=（-2，4，3），=（0，4，1）.
设为平面AEC1F的法向量，=（x，y，z），
由，得，
令z=1，∴，即=（1，-，1）.
又=（0，0，3），
∴点C到平面AEC1F的距离d=.
故选：D
5．若正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为（　　）
A．1 B．
C． D．
【答案】B
因为平面平面，所以A1C1//平面ACD1，
则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系，易知＝(0,0,1)，
由题得平面,
所以平面,所以,同理 ,
因为平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，
所以平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)，
故所求的距离为.
故选：B
6．在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，
即，解得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．
7．如图，已知四边形是边长为4的正方形，E，F分别是的中点， 垂直于正方形所在的平面，且，则点B到平面的距离为___________.
【答案】##
因为平面，平面，
所以，
因为，
所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
所以点B到平面的距离为
，
故答案为：
8．如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
(1)证明：；
(2)当为的中点时，求点到面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：以D为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图的坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，0，，
所以，设，，，
所以，，故
；
(2)解：当为的中点时，，1，，，
设平面的法向量是，
，，
由，得 ，
令x=1得，
，1，，
由点到平面的距离公式，得，
点到面的距离是．
重点题型四：利用空间向量求空间角
角度1：异面直线所成角
1．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设三棱柱的棱长为，
，为的中点，则，
平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则点、、，
所以，，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
2．三棱锥中，，，则异面直线与所成的角可能是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
设.
.
由于，将侧面沿展开到平面，
则三点 共线，
又此三棱锥可看成将沿直线翻折而成的，
故不难可得.
设异面直线与所成的角为，
则，即.
故选：B.
3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
以点为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，，
设异面直线与所成角为，则.
故选：B.
4．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则，
设，设，
则，
，
异面直线PQ与AD成的角，
，
，
，
即，解得，
，
可得.
故选：C.
5．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.
设正方体的棱长为1，
则有
∴，∴设，
∴，
，
由图知不是平角，∴为钝角等价于，
∴，
∴，
解得
∴的取值范围是
故选：C.
6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线和分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，且，若与所成角为60°时，则与侧面ADD1A1所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
以为原点，以为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，如图所示：
直线分别在上下底面内且互相垂直，设直线的方向向量为,则直线的方向向量可以为,
直线的方向向量为, 侧面ADD1A1的法向量,
与b所成角为60°,
即，,
故a与侧面ADD1A1所成角的大小为45°.
故选：B.
7．如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则=_____________.
【答案】11
取的中点G，与的交点为，以O为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设
因为二面角为60°，所以
则.
设，则
从而
整理得，解得(舍)，
故.
故答案为：
8．如图，在长方体中，，，在棱上是否存在一点，使得异面直线与所成角为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，点在棱的中点处，理由见解析.
解：存在点使得异面直线与所成角为，理由如下：
以为原点，、、的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，如下图所示，
设，则、、、，
，，
则，
因为，解得，
所以，当点为棱的中点时，异面直线与所成角为.
角度2：线面角
1．在所有棱长都相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设正三棱柱的所有边长均为，取的中点，连接，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则点、、、、，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，取，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，则.
故选：C.
2．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则直线与平面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
以点为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，则，
所以平面的一个法向量，
∵，
∴，
∴，
∴直线与平面的夹角为.
故选：B.
3．如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，
,
，
，
的最大值为.
故选：.
4．已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，，，，.
，，.
设平面的法向量，
则，令，得，，
故.
因为直线与平面所成角的正切值为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
即，解得.
所以平面的法向量，
故到平面的距离为.
故选：D
5．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响.在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常.某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷.将一块边长为6m的正方形材料先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图2），该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心.则直线与平面所成角的正弦值为______.
【答案】
设与的交点为点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
，，，.
故.
，
设平面的法向量为.
，
直线与平面的法向量的余弦值为：
则直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
6．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AB＝2，CF＝3．若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________．
【答案】2
设AE＝a，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC为正三角形，又AB=2，易得OA=1，OB=，
如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．
则，
所以，设平面BED的法向量为，则，令z=1则，，
因为直线OF与平面BED所成角的大小为45°，
所以，
易知a>0，解得：a=2，所以AE＝2．
故答案为：2.
7．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．
【答案】4
解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，故，，，
设平面的一个法向量为，则，可取，
故，
又直线与平面所成角的正弦值为，
，解得．
故答案为：4．
8．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，M是棱的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)棱上是否存在一点N，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，.
(1)因为在中，，所以，
所以．又因为底面底面，所以．
因为平面，所以平面．
(2)如图以A为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则．
因为M是棱的中点，所似．所以．
设为平面的法向量，
所以，即，所以平面的法向量．
因为N是棱上一点，所以设．
设直线与平面所成角为，因为，所以．
因为平面的法向量．
解得，即，所以．
9．在正四棱柱中，，E为的中点.（用向量的方法证明）
(1)求证：平面.（用向量的方法证明）
(2)若F为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求BF的长.
【答案】(1)证明见解析(2)1
(1)由题意可知，以为坐标原点，建立如图示的空间直角坐标系.
，,,，，，
证明：设平面的法向量，
，，
由，即
取，得，
又，
因为，所以，
所以平面.
(2)设点的坐标为，
，由（1）知，，
设直线与平面所成角为，则
，解得.
所以点F的坐标为，，，
所以的长为.
10．三棱锥中，三角形为等腰直角三角形，，侧面为等边三角形，.
(1)求证：；
(2)若侧棱上有一动点，设，当为何值时，直线与平面所成的角最大？
【答案】(1)证明见解析；(2).
(1)证明：取的中点，连接、，
由，则，由，则.
又，故面，又因为平面，故.
(2)解：平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
又，，
则，，，，
故，，由已知，
则，
，
由（2）知，设平面的法向量为，，
由，得，取，可得，
设直线与平面所成的角为，
，
由，故当时，最大，即直线与平面所成的角最大.
综上，当时，直线与平面所成的角最大.
角度3：二面角
1．已知是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，则平面与平面所成的锐二面角为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．30°
【答案】A
以为原点，以垂直的直线为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，
，0，，，，，，，，，
，，，
设平面的法向量，
，
，
又因为平面向量法
．
则平面与平面所成的锐二面角为45°
故选：．
2．如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体， ，点为的中点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设，则，
因为为的中点，所以，所以 ，
设是平面 的一个法向量，
则，即 ，取，则，
所以平面的一个法向量为，
又因为平面，所以是平面 的一个法向量，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
故选：C.
3．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
解：取BD中点O，连结AO，CO，
∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，
∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，
以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，
过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），
设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，
连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（），
∴，，
设AB、CD的夹角为α，
则cosα，
∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．
∴cos的最大值为．
故选C．
4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=2BC=2，D为AA1上一点.若二面角B1-DC-C1的大小为30°，则AD的长为____.
【答案】
如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，则C(0，0，0)，B1(0，1，2)，B(0，1，0)，∴=(0，1，2)，=(0，1，0).设AD=a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(2，0，a)，=(2，0，a).
设平面B1CD的法向量为=(x，y，z)，则 令z=-1，得=.又平面C1DC的一个法向量为=(0，1，0)，记为，则由，解得a=(负值舍去)，故AD=.
故答案为：.
5．如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，若平面与平面所成的锐二面角的大小为，则线段的长度为__________．
【答案】1
底面ABCD和侧面是矩形，，，
又，平面，
平面，；
又，且，
平面ABCD．
以E为坐标原点，过E作 交于，以 分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则0，，1，，1，，0，．
设，则0，，2，．
设平面的一个法向量为y，，
1，，0，，
由，
令，得；
设平面的一个法向量为，
0，，1，，
由，
令，得．
由平面与平面所成的锐二面角的大小为，
得，解得．
．
故答案为：1
6．如图，平面平面是边长为4的正三角形，分别为的中点.
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：是边长为4的正三角形，为的中点，
.
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又
故
(2)平面.
分别为的中点，.
又.
两两相互垂直，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示.
，
，
则，
，
易知面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则即得
令，得平面的一个法向量为.
设平面与平面所成锐二面角为，则，
又.
平面与平面的夹角的大小为.
7．如图，四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，，E为棱的中点．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)设点M在线段上，且直线AM与平面所成角的正弦值为，求线段AM的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
(1)证明：由题意，，，两两互相垂直，所以以点为原点建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，．
则，
因为．
所以；
(2)解：，设平面的法向量为，
则，即，取，则，
由（1）知，又，所以平面，
所以为平面的一个法向量，
所以，
所以，
所以二面角的正弦值为．
(3)解：，
设，则有，
取为平面的一个法向量，
设为直线与平面所成的角，
则，
所以，解得，
所以，
所以线段的长为．
8．如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为等腰梯形，且
(1)证明：平面平面；
(2)若点在棱上，且二面角的大小为，求的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)设的中点为，连接，
在等边中，可得，
在等腰梯形中，有
又因为，所以，所以，即，
又因为，所以平面
又因为在平面内，所以平面平面
(2)如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，
各点坐标依次为：，，
设，平面的一个法向量为，
因为，
由，令，得，
易知平面的法向量为，
由，解得或（舍）.
所以，故.
9．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，与交点为，且，．
（1）证明：平面；
（2）若且，，则在线段上是否存在一点﹐使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在点；为线段上靠近点的三等分点．
（1）四边形为等腰梯形，，
取的中点，连接，则，
，，
又平面，，平面，
又平面，，
，，平面，平面．
（2）平面，，
以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，；
设点，由得：，
解得：，，
设平面的法向量为，
，令，解得：，，
，
若满足题意的点存在，则，
解得：，，
在线段上，，即，
存在符合题意的点，为线段上靠近点的三等分点.
10．如图①，在等腰梯形中，，.将沿折起，使得，如图②.
（1）求证：平面平面.
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角的大小为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点在线段上靠近点的三等分点处.
（1）在等腰梯形中，，，
∴由平面几何知识易得，
∴在中，.
又，∴.
在题图②中，∵，，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）在线段上存在点，使得二面角的平面角的大小为.
以为原点，以，所在的直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，如图.
由平面平面，是顶角为的等腰三角形，知轴与底边上的中线平行，
又由（1）易得，∴，，，，
∴，.
令，则，
∴.
设平面的一个法向量为，
则，即，
∴，
令，则，∴.
由（1）知，平面的一个法向量为.
要使二面角的平面角的大小为，
则，
解得或（舍去）.
∴在线段上存在点，使得二面角的平面角的大小为，此时点在线段上靠近点的三等分点处.

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