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3.2.2双曲线的简单几何性质（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：由双曲线的方程求几何性质
重点题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程
重点题型三：双曲线的渐近线问题
重点题型四：双曲线的离心率问题
重点题型五：直线与双曲线的位置关系
重点题型六：弦长
重点题型七：中点弦和点差法
重点题型八：双曲线的定点、定值、最值问题
重点题型九：双曲线中的向量问题
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：双曲线的简单几何性质
标准方程 （） （）
图形
性质 范围 或 或
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 ， ,
渐近线
离心率 ，，
a，b，c间的关系
知识点二：等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
知识点三：直线与双曲线的位置关系
1、代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
知识点四：弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则
为直线斜率
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
知识点五：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
知识点六：双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( )
（2）以为渐近线的双曲线有2条．( )
（3）双曲线的离心率（其中）．( )
2．（2022·全国·高二课时练习）中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )
A． B．或
C． D．或
3．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的顶点坐标是( )
A． B． C． D．
重点题型一：由双曲线的方程求几何性质
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率以及渐近方程．
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程．
2．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））已知双曲线
（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围．
重点题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）分别求满足下列条件的曲线方程
(1)以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；
(2)过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为6，渐近线方程为；
(2)焦距为20，渐近线方程为．
同类题型归类练
1．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；
(2)焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为．
2．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，，离心率为；
(2)焦点的坐标为，，渐近线方程为；
(3)虚轴长为12，离心率为；
(4)离心率，且经过点．
重点题型三：双曲线的渐近线问题
典型例题
例题1．（2022·广东潮州·高二期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·北京市十一学校高二期末）椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
例题3．（2022·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左右焦点，双曲线的右支上一点满足，为坐标原点，直线与该双曲线的左支交于点，且，则双曲线的渐近线方程为______．
同类题型归类练
1．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陕西渭南·高一期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______.
3．（2022·四川南充·高二期末（文））若双曲线的渐近线与圆相切，则______．
重点题型四：双曲线的离心率问题
典型例题
例题1．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
例题3．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知双曲线：的右焦点为，为右支上一点，与 轴切于点 与 轴交于点 ，，，则的离心率为_____________.
例题4．（2022·云南普洱·高二期末）已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题5．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2022·山东青岛·二模）设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．2
4．（2022·全国·高二专题练习）已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．
重点题型五：直线与双曲线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））直线与双曲线没有公共点，则斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
例题3．（2022·四川·仁寿一中高二期中（理））若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.
例题4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点，，则的取值范围为___________.
同类题型归类练
1．（2022·陕西·西安中学高二期末（文））已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（）的右焦点为，直线与双曲线只有1个交点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.
4．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若直线与双曲线仅有一个公共点，则k的取值是_________
重点题型六：弦长
典型例题
例题1．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)若直线和曲线相交于，两点，求.
例题2．（2022·甘肃兰州·高二期末（文））已知双曲线及直线．
（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．
（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．
例题3．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．
（1）求的方程；
（2）若斜率为2的直线与交于，两点．且，求．
同类题型归类练
1．（2022·四川自贡·高二期末（文））设 分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A B两点，求.
2．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.
(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；
(2)求线段的中点的坐标和.
3．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．
重点题型七：中点弦和点差法
典型例题
例题1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线交于，两点，且点恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线被直线截得的弦，弦的中点为,则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．2
例题3．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知双曲线，过作直线与双曲线交于A、两点，且为弦的中点，则直线的方程为________________.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线，过点且被点平分的弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
3．（2022·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.
重点题型八：双曲线的定点、定值、最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点在双曲线上．当和斜率存在时，求证：为定值．
例题2．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，是双曲线上异于的两点，直线，与轴分别相交于，两点，若，证明：直线过定点．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点在双曲线上．当、斜率存在时，求证：为定值．
2．（2022·云南昆明·高二期末）已知直线与双曲线C：交于A，B两点，F是C的左焦点，且，.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为，证明直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标.
重点题型九：双曲线中的向量问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁朝阳·高二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
例题2．（2022·上海普陀·二模）设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)当时，求实数的值；
(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知双曲线C的方程为，离心率为，右顶点为(2，0)
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线C的一支交于两点，求的取值范围．
2．（2022·山西·高一期中）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线两支分别交于M，N两点，设，．
(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；
(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
1．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
2．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
3．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
4．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
3.2.2双曲线的简单几何性质（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：由双曲线的方程求几何性质
重点题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程
重点题型三：双曲线的渐近线问题
重点题型四：双曲线的离心率问题
重点题型五：直线与双曲线的位置关系
重点题型六：弦长
重点题型七：中点弦和点差法
重点题型八：双曲线的定点、定值、最值问题
重点题型九：双曲线中的向量问题
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：双曲线的简单几何性质
标准方程 （） （）
图形
性质 范围 或 或
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 ， ,
渐近线
离心率 ，，
a，b，c间的关系
知识点二：等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
知识点三：直线与双曲线的位置关系
1、代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
知识点四：弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则
为直线斜率
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
知识点五：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
知识点六：双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( )
（2）以为渐近线的双曲线有2条．( )
（3）双曲线的离心率（其中）．( )
【答案】 √ × ×
（1）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔，正确；
（2）以为渐近线的双曲线方程为，故有无数条，错误；
（3）双曲线的离心率，错误.
2．（2022·全国·高二课时练习）中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )
A． B．或
C． D．或
【答案】B
由题可知：，所以双曲线的方程为 或
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
由题可知：该双曲线的方程为
故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的顶点坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】B
由题可知，该双曲线焦点在x轴上，所以顶点坐标为( 4,0),(4,0)
故选：B
重点题型一：由双曲线的方程求几何性质
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率以及渐近方程．
【答案】实轴长：18，虚轴长为6，焦点坐标，离心率：，渐近线方程为：．
解：双曲线方程是，
双曲线标准方程为：，
，，，
实轴长：18，虚轴长：6，
焦点坐标，离心率：，渐近线方程为：．
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析
(1)解：将双曲线化为标准方程，
则焦点在轴上，且，
即，
所以实轴长为，
虚轴长为，
顶点坐标为，
焦点坐标为，
离心率为，
渐近线方程为；
(2)解：将双曲线化为标准方程，
则焦点在轴上，且，
即，
所以实轴长为，
虚轴长为，
顶点坐标为，
焦点坐标为，
离心率为，
渐近线方程为；
(3)解：将双曲线化为标准方程，
则焦点在轴上，且，
即，
所以实轴长为，
虚轴长为，
顶点坐标为，
焦点坐标为，
离心率为，
渐近线方程为；
(4)解：由双曲线，
得焦点在轴上，且，
即，
所以实轴长为，
虚轴长为，
顶点坐标为，
焦点坐标为，
离心率为，
渐近线方程为
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程．
【答案】答案见解析.
由题设，，
所以实轴长，虚轴长，焦点坐标，渐近线方程为.
2．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））已知双曲线
（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围．
【答案】（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.
（1）当时，
双曲线方程化为，
所以，，，
所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，
渐近线方程为.
（2）因为，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是．
重点题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）分别求满足下列条件的曲线方程
(1)以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；
(2)过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．
【答案】(1)(2)
(1)的短轴顶点为(0，－3)，(0，3)，
∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3．
又，∴a＝6．∴．
∴所求椭圆方程为．
(2)根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程，
把代入得m＝1．所以双曲线的方程为．
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为6，渐近线方程为；
(2)焦距为20，渐近线方程为．
【答案】(1)或；(2)或.
(1)由条件可知，，，
当焦点在轴时，，解得：，，
此时双曲线的标准方程是
当焦点在轴时，，解得：，，
此时双曲线的标准方程是
综上，双曲线的标准方程是或；
(2)当焦点在 轴时，
，解得：，
此时双曲线的标准方程是，
当焦点在轴时，
，解得：，
此时双曲线的标准方程是，
综上，双曲线的标准方程是或.
同类题型归类练
1．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；
(2)焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为．
【答案】(1)(2)
（1）由题意有，解得：，则双曲线的标准方程为：．
（2）由题意有，解得：，则双曲线的标准方程为：．
2．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，，离心率为；
(2)焦点的坐标为，，渐近线方程为；
(3)虚轴长为12，离心率为；
(4)离心率，且经过点．
【答案】(1)(2)(3)或(4)
(1)由条件设所求双曲线的方程为
则，则
所以
所以双曲线的方程为
(2)由题意双曲线的焦点在x轴上，且，设所求双曲线的方程为
则双曲线的渐近线方程为：，又渐近线方程为
所以，且，解得
所以双曲线的方程为
(3)由题意则
由条件，又，即
解得
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程为
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程为
(4)由，即，所以
所以双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为
将点代入可得
所以双曲线的方程为
重点题型三：双曲线的渐近线问题
典型例题
例题1．（2022·广东潮州·高二期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由可知， ，且双曲线焦点位于x轴上
故该双曲线的渐近线方程为 ，
故选：C
例题2．（2022·北京市十一学校高二期末）椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
因为椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，
所以有，
因此双曲线的两条渐近线方程为：，
所以双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，，
故选：D
例题3．（2022·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左右焦点，双曲线的右支上一点满足，为坐标原点，直线与该双曲线的左支交于点，且，则双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
设，则，．由双曲线的定义知，，，∴，．又，∴．在中，有，∴①．在中，有，∴②，由②化简可得，将其代入①中，得，即，
∴双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
同类题型归类练
1．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由已知焦距为4，所以 ，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以双曲线方程为：
故选：C.
2．（2022·陕西渭南·高一期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______.
【答案】
由题意可知，则，解得
则它的渐近线方程为
故答案为：
3．（2022·四川南充·高二期末（文））若双曲线的渐近线与圆相切，则______．
【答案】
解：双曲线的渐近线：，
圆的圆心与半径，
双曲线的渐近线与圆相切，
，解得或（舍去）．
故答案为：．
重点题型四：双曲线的离心率问题
典型例题
例题1．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意，双曲线的一条渐近线方程为，故，即，解得，故
故选：A
例题2．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
而且,所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以，，又，所以，
故选:D．
例题3．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知双曲线：的右焦点为，为右支上一点，与 轴切于点 与 轴交于点 ，，，则的离心率为_____________.
【答案】
不妨设点 P 在 x 轴的上方，因为轴，
将代入，得，
因为，，
则有，且为等边三角形，
所以，即，
所以，又，
所以.
故答案为：.
例题4．（2022·云南普洱·高二期末）已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，
所以，即.
故选：B
例题5．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，设，，，
椭圆和双曲线的离心率分别为，，
因是它们的一个公共点，且，则由余弦定理可得：
……①
在椭圆中，由定义知，①式化简为：……②
在双曲线中，由定义知，①式化简为：……③
由②③两式消去得：，等式两边同除得，
即，
由柯西不等式得，
.
故选：
同类题型归类练
1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
由可得，所以，
故可得，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以，，又，
所以，
故选：B．
2．（2022·山东青岛·二模）设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为抛物线的焦点，
由题可知，，即抛物线方程为，
令代入抛物线方程，可得，
代入双曲线方程，可得，
可设，，，
由有
两边平方相减可得， ，
由有：，又
即，由有：
由，解得.故A，B，D错误.
故选：C.
3．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．2
【答案】C
依题意，，令，，则有，
由得：，即有，
而，所以.
故选：C
4．（2022·全国·高二专题练习）已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【答案】
，是双曲线的左右焦点，以圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，
则焦点到渐近线的距离：，
所以，
，
，
可得，
即：，可得，
所以，
所以，又，
所以双曲线的离心率的取值范围是：．
故答案为：．
重点题型五：直线与双曲线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））直线与双曲线没有公共点，则斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：联立直线和双曲线：，消去得，
当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当，此时，
解得或，所以时直线与双曲线无交点；
故选：A
例题2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】A
解：双曲线的渐近线方程为：，因为直线与双曲线的一条渐近线平行，
在轴上的截距为3，所以直线与双曲线的交点个数是：1．
故选：A．
例题3．（2022·四川·仁寿一中高二期中（理））若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.
【答案】
由，消可得，当或，解得或，
故答案为：
例题4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点，，则的取值范围为___________.
【答案】
联立消去y：，，
得到，又直线不与渐近线平行，
所以.
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·陕西·西安中学高二期末（文））已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】A
解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为.
①直线与双曲线只有一个公共点；
②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；
③设过的切线方程为与双曲线联立，
可得，
由，即，解得，直线的条数为1.
综上可得，直线的条数为4.
故选：A,.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（）的右焦点为，直线与双曲线只有1个交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
双曲线的渐近线方程为，
直线经过焦点，当时，只有直线与渐近线平行，与双曲线有1个交点，可得，同理可得，当时，，故．
故选：C．
3．（2022·全国·高二专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.
【答案】
由题意，双曲线的渐近线方程为：，
因为直线过原点且与双曲线没有交点，
故需满足，
故答案为：
4．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若直线与双曲线仅有一个公共点，则k的取值是_________
【答案】
解：由直线与双曲线联立得：
，
当时，，方程只有一个解；
当时，，
解得，
故答案为：
重点题型六：弦长
典型例题
例题1．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)若直线和曲线相交于，两点，求.
【答案】(1)，曲线是一个双曲线，除去左右顶点(2)
(1)解：设，则的斜率分别为，，
由已知得，
化简得，
即曲线C的方程为，
曲线是一个双曲线，除去左右顶点.
(2)解：联立消去整理得，
设，，则，
.
例题2．（2022·甘肃兰州·高二期末（文））已知双曲线及直线．
（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．
（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．
【答案】（1）且；（2）．
（1）联立y=2可得．
∵与有两个不同的交点，
．
且，
且．
（2）设，．
由（1）可知，．
又中点的横坐标为．
，
，
或．
又由（1）可知，为与有两个不同交点时，．
．
．
例题3．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．
（1）求的方程；
（2）若斜率为2的直线与交于，两点．且，求．
【答案】（1） ；（2）．
（1）由已知，设焦点坐标为，则，
又，解得，
故双曲线的方程为：；
（2）设直线，与双曲线的方程联立可得：
设，则，，
，
，，解得，
因此．
同类题型归类练
1．（2022·四川自贡·高二期末（文））设 分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A B两点，求.
【答案】(1)(2)
（1）解：抛物线的焦点为，所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，所以，即，又，所以，所以双曲线方程为.
（2）解：依题意设，，由消去整理得，由，所以，，所以.
2．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.
(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；
(2)求线段的中点的坐标和.
【答案】(1)证明见解析(2)，
(1)由双曲线方程知：，则，
由得：，则，
与双曲线有两个不同的交点.
(2)设，，
由（1）得：，，；
；
.
3．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知双曲线的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．
【答案】(1)；(2).
（1）由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；双曲线过点，；由得：，双曲线的方程为：；
（2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为；若直线过双曲线的左焦点，则，由得：；设，，则，；由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；综上所述：.
重点题型七：中点弦和点差法
典型例题
例题1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线交于，两点，且点恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由已知得，又，，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意
故选：C
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线被直线截得的弦，弦的中点为,则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
解：设交点坐标分别为，，，，则，，，
两式相减可得，即，所以，即直线的斜率为；
故选：A．
例题3．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知双曲线，过作直线与双曲线交于A、两点，且为弦的中点，则直线的方程为________________.
【答案】
设，则，
∵A、B在双曲线上，∴，
①－②得：，
即
即，
∴：，即，
由，∵，故与双曲线有两个交点满足题意，
故l方程为：.
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线，过点且被点平分的弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：设，故，
两式做差得：，
所以，
又因为，
所以，
故弦所在的直线方程为，即：.
联立方程得：，
，故满足条件.
故选：A.
2．（2022·全国·高二课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
【答案】(或).
设直线为，与双曲线交点为，
联立双曲线可得：，则，即或，
所以，故，则弦中点为，
所以弦的中点的轨迹方程为(或).
故答案为：(或)
3．（2022·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.
【答案】
过点的直线与该双曲线交于，两点，
设，，，，
，
两式相减可得：，
因为为的中点，
，，
，
则，
所以直线的方程为，即为．
故答案为：
重点题型八：双曲线的定点、定值、最值问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点在双曲线上．当和斜率存在时，求证：为定值．
【答案】证明见解析
设，，则，可得，，
点和点P在双曲线上，则有，
两式作差得，
可得，即．
例题2．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，是双曲线上异于的两点，直线，与轴分别相交于，两点，若，证明：直线过定点．
【答案】(1)(2)证明见解析
（1）设双曲线C的方程为（），由题意知，因为，所以解得∴双曲线C的方程为
（2）设直线AB的方程为，，由，整理得，则，，得，直线PA方程为令，则M（0，），同理N（0，）.由，可得，∴0，0，∴，∴，∴，∴∴，∴当时，此时直线AB方程为恒过定点，显然不可能∴，直线AB方程为恒过定点
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点在双曲线上．当、斜率存在时，求证：为定值．
【答案】证明见解析
设，，则，，，
点A和点P在椭圆上，则有，
作差得，
，即．
2．（2022·云南昆明·高二期末）已知直线与双曲线C：交于A，B两点，F是C的左焦点，且，.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为，证明直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)(2)证明见解析，直线PQ恒过定点（-2，0）
(1)因为，所以，，
设双曲线C的焦距为2c，由双曲线的对称性知
设双曲线C的右焦点为F'，则，得，
则，故双曲线C的方程为.
(2)由已知得，设直线MP与MQ的斜率分别为，，
①当直线PQ不垂直于x轴时：
设直线PQ的斜率为k，PQ的方程为，，，
由得，当时，
，，
那么
，得，符合题意.
所以直线PQ的方程为，恒过定点（-2，0）.
②当直线PQ垂直于x轴时：
设，因为P是C上的点，所以，
则，解得，
故直线PQ过点（-2，0）.
综上，直线PQ恒过定点（-2，0）.
重点题型九：双曲线中的向量问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁朝阳·高二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
(1)设点，由题意得，
式子左右同时平方，并化简得，.
所以曲线的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与曲线的交点坐标为.
所以与不垂直，即，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得
由和，得.
，
因为，所以.
所以，
解得
所以直线的方程为，
即或.
例题2．（2022·上海普陀·二模）设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)当时，求实数的值；
(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.
【答案】(1)；(2)；(3).
(1)由过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为，
所以，即，
则所求的双曲线的方程为.
(2)因为直线过点，所以，
由得：等腰三角形底边上的高的大小为，
又到直线的距离等于等腰三角形底边上的高，则，
即，则.
(3)设，，
由得：，
则，，又，即，
则，，即，则，
又关于坐标原点的对称点为，
则.
则所求的面积为.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知双曲线C的方程为，离心率为，右顶点为(2，0)
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线C的一支交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：根据题意，由离心率，又，所以，
又右顶点为，即，故双曲线的标准方程为．
(2)解：设直线的方程为，设、，
则由，消去整理得到，
∵直线与双曲线一支交于、两点，，解得．
因此
，
∵，故，
故．
2．（2022·山西·高一期中）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线两支分别交于M，N两点，设，．
(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；
(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)解：当时，双曲线，
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
与C联立得，
所以，，
由，
可得，所以，
所以．
(2)证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为，则．
由，得，
所以，，，．
又点M在双曲线C上，所以，
化简得，
同理．
故，是方程的两根，则，为定值．
1．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
2．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
3．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【答案】
解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
4．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足皆可）
解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）

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