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3.3.2抛物线的简单几何性质（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：抛物线的简单性质
重点题型二：直线与抛物线的位置关系
重点题型三：抛物线的中点弦和点差法
重点题型四：抛物线的弦长、焦点弦问题
重点题型五：抛物线的定值、定点、定直线问题
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：抛物线的简单几何性质
标准方程 （） （） （） （）
图形
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴 轴 轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
知识点二：直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
知识点三：直线和抛物线
1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.
2、抛物线的焦点弦
过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则
①，；②；③.
说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
1．（2022·江苏连云港·高二期末）抛物线 的焦点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陕西渭南·高一期末）设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
3．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（文））已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则_______.
5．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线上一点M到x轴的距离等于12，则点M到此抛物线的焦点的距离为______．
6．（2022·全国·高二课时练习）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为______．
重点题型一：抛物线的简单性质
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
例题2．（2022·全国·高二课时练习）在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线.
（1）；（2）；（3）．
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高二期末）下列命题中正确的是（ ）
A．抛物线 的焦点坐标为 ．
B．抛物线 的准线方程为 x = 1．
C．抛物线 的图象关于 x 轴对称．
D．抛物线 的图象关于 y 轴对称．
2．（2022·安徽蚌埠·高二期末）抛物线的准线方程是，则实数___________.
重点题型二：直线与抛物线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（ ）
A．4 B．2 C．0或4 D．8
例题2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线相切，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）过点且与抛物线只有一个公共点的直线的条数为______条．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.
例题5．（2022·全国·高二课时练习）①直线过点，②直线与抛物线只有一个公共点，③直线过抛物线的焦点，从中选择两个条件求直线的方程.
同类题型归类练
1．（2022·上海徐汇·高二期末）已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·河南·封丘一中高二期末（文））过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为______．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，若过点的直线l与抛物线恒有公共点，则p的值可以是______．（写出一个符合题意的答案即可）
4．（2022·全国·高二期末）已知抛物线，的焦点为，若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程．
重点题型三：抛物线的中点弦和点差法
典型例题
例题1．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，若点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
例题2．（2022·云南·一模（文））经过抛物线：的焦点作直线与抛物线相交于 两点.若，则线段的中点的纵坐标为（ ）
A． B．3 C． D．4
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
同类题型归类练
1．（2022·河南新乡·高二期末（文））已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A． B．3 C． D．－3
2．（2022·全国·三模（文））已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C：与直线l交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则l的倾斜角为_____.
4．（2022·全国·高二课时练习）若直线与抛物线相交所得的弦被点平分，则直线的方程为______．
重点题型四：抛物线的弦长、焦点弦问题
典型例题
例题1．（2022·甘肃·张掖市第二中学高二期末（文））已知抛物线的对称轴是轴，点在曲线上.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点的倾斜角为直线与抛物线交于、两点，求线段 的长度.
例题2．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限；
(1)若直线的斜率为，求的值；
(2)求线段的长度的最小值．
例题3．（2022·重庆八中高二期末）已知动圆过点，且与直线：相切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度．
例题4．（2022·甘肃白银·高二期末（文））已知抛物线：上一点到焦点的距离为2．
(1)求实数的值；
(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程．
同类题型归类练
1．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）已知抛物线的焦点是，斜率为的直线l经过F且与抛物线相交于A、B两点．
(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；
(2)求线段AB的长．
2．（2022·四川凉山·高二期末（理））已知抛物线，其通径为4.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点F作倾斜角为的直线l，使得直线l与抛物线交于P Q两点，且满足弦长，求直线l的倾斜角的取值范围.
3．（2022·全国·高二）已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．
4．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？
5．（2022·安徽·高二开学考试）已知直线与抛物线.
(1)若直线与抛物线相切，求实数的值；
(2)若直线与抛物线相交于、两点，且，求直线的方程.
重点题型五：抛物线的定值、定点、定直线问题
典型例题
例题1．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期末（文））已知点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
例题2．（2022·湖南·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
例题3．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））已知曲线：，点为直线上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，.
(1)若点的坐标为，求这两条切线的方程；
(2)证明：直线过定点.
例题4．（2022·河南·一模（文））如图，已知抛物线的焦点为，四点都在抛物线上，直线与直线相交于点，且直线过定点．
(1)求和的值；
(2)证明：①为定值；
②直线斜率为定值，并求出该定值．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．
2．（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.
3．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）已知抛物线的焦点为F，，过F作直线l交抛物线C于，两点.
(1)若直线l的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：是定值.
4．（2022·四川遂宁·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．
5．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为.
(1)求p的值；
(2)当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点．
(1)若直线l的斜率为-1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
(2)若点O为坐标原点，且，求证：直线l过定点．
1．（多选）（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
2．（2022·上海市光明中学模拟预测）设抛物线为的焦点，过的直线交于两点．若且，则抛物线的方程为____________．
3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点E，若，则p＝________.
4．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线，点在抛物线C上，过点M作抛物线C的切线，交x轴于点P，点O为坐标原点．
(1)求P点的坐标；
(2)点E的坐标为，经过点的直线交抛物线于A，B两点，交线段OM于点Q，记EA，EB，EQ的斜率分别为，，，是否存在常数使得．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
5．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D，当直线轴时，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求的最小值．
3.3.2抛物线的简单几何性质（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：抛物线的简单性质
重点题型二：直线与抛物线的位置关系
重点题型三：抛物线的中点弦和点差法
重点题型四：抛物线的弦长、焦点弦问题
重点题型五：抛物线的定值、定点、定直线问题
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点一：抛物线的简单几何性质
标准方程 （） （） （） （）
图形
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴 轴 轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
知识点二：直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
知识点三：直线和抛物线
1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.
2、抛物线的焦点弦
过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则
①，；②；③.
说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
1．（2022·江苏连云港·高二期末）抛物线 的焦点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
抛物线 的方程化为标准方程为： ，
故 ，则焦点坐标为 ，
故选：D.
2．（2022·陕西渭南·高一期末）设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
【答案】A
设的坐标为，圆的半径为圆的圆心为，
圆与圆外切，与直线相切
，到直线的距离
，即动点到定点的距离等于到定直线的距离
由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线.
故选：A
3．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（文））已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则_______.
【答案】10
根据抛物线的定义可得，所以.
故答案为：10.
5．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线上一点M到x轴的距离等于12，则点M到此抛物线的焦点的距离为______．
【答案】13
依题意可知点M的纵坐标，代入拋物
线方程求得，抛物线的准线为，
根据抛物线的定义可知点M与焦点F间的距离
故答案为：13
6．（2022·全国·高二课时练习）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为______．
【答案】##0.5
该抛物线标准方程为，焦点坐标为，
对称轴为y轴，过焦点且垂直于对称轴的直线为，代入方程中，
得，所以过的焦点且垂直于对称轴的弦长为
故答案为：
重点题型一：抛物线的简单性质
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线.
（1）；（2）；（3）．
通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系内做出抛物线，如图，
通过图象可以看出来，当x的系数为正数且越大时，抛物线的开口向右且开口越大.
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高二期末）下列命题中正确的是（ ）
A．抛物线 的焦点坐标为 ．
B．抛物线 的准线方程为 x = 1．
C．抛物线 的图象关于 x 轴对称．
D．抛物线 的图象关于 y 轴对称．
【答案】C
抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误；
抛物线 的准线方程为，故B错误；
抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误；
故选：C.
2．（2022·安徽蚌埠·高二期末）抛物线的准线方程是，则实数___________.
【答案】##
抛物线化为标准方程：，
其准线方程是，而
所以 ，即 ，
故答案为：
重点题型二：直线与抛物线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（ ）
A．4 B．2 C．0或4 D．8
【答案】C
联立得：，
当时，交点为，满足题意；
当时，由，解得，
综上可知： 或，
故选：C
例题2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
联立可得，由题意可得，解得.
故选：BC.
例题3．（2022·全国·高二课时练习）过点且与抛物线只有一个公共点的直线的条数为______条．
【答案】3
当过点的直线与轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点；
当过点的直线与轴垂直时，此时直线与抛物线只有一个公共点；
当过点的直线与坐标轴不平行时，设直线的方程为，
联立方程组，可得，
令，解得，即直线的方程为，
此时直线与抛物线只有一个公共点，
综上可得：与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有3条.
故答案为：3.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.
【答案】或或
当所求直线的斜率不存在时，此时直线方程为，与抛物线只有一个公共点；
当所求直线的斜率存在时，设直线方程为
由得出
，解得
故所求直线方程为或或
例题5．（2022·全国·高二课时练习）①直线过点，②直线与抛物线只有一个公共点，③直线过抛物线的焦点，从中选择两个条件求直线的方程.
【答案】见解析.
选①②
若直线无斜率，则直线方程为，此时与抛物线只有一个公共点，符合要求.
若直线有斜率，则设直线方程为，联立直线与抛物线方程得:消元得，
因为与抛物线只有一个公共点，所以，解得，
直线方程为或，
故方程有或或，
选②③
抛物线的焦点为,
若直线无斜率，则直线方程为，此时与抛物线只有一个公共点，符合要求.
若直线有斜率，则设直线方程为，联立直线与抛物线方程得:消元得，因为与抛物线只有一个公共点，所以，无解，此时不存在.
选①③
抛物线的焦点为,直线过点
直线方程为
同类题型归类练
1．（2022·上海徐汇·高二期末）已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
当直线平行于轴（即抛物线的）时，直线与抛物线只有一个公共点，
直线与抛物线的轴不平行时，由于在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的切线有两条．
综上，符合要求的直线有3条．
故选：D．
2．（2022·河南·封丘一中高二期末（文））过点作抛物线的切线，则切点的横坐标为______．
【答案】3
设切线方程为，与抛物线方程联立可得，由，解得或代入得．
故答案为：3
3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，若过点的直线l与抛物线恒有公共点，则p的值可以是______．（写出一个符合题意的答案即可）
【答案】（答案不唯一，不小于2的实数均正确）
解：若点在抛物线的内部或在抛物线上，则过点的直线l与抛物线恒有公共点，
所以当x=1时，，解得，
故答案为：（答案不唯一，不小于2的实数均正确）.
4．（2022·全国·高二期末）已知抛物线，的焦点为，若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程．
【答案】或或
由题设，则，故抛物线，
当直线斜率不存在时为，与抛物线只有一个交点；
当直线斜率存在时，若斜率为0，则直线为，与抛物线只有一个交点；
令直线为，代入抛物线整理得：，
所以，可得，故直线为.
综上，直线的方程为或或.
重点题型三：抛物线的中点弦和点差法
典型例题
例题1．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，若点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
设，，∵是AB的中点，∴，
由，相减得，
所以直线的斜率，
故选：B．
例题2．（2022·云南·一模（文））经过抛物线：的焦点作直线与抛物线相交于 两点.若，则线段的中点的纵坐标为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
由题可得抛物线标准方程为，设，因为直线过抛物线焦点，所以，所以，中点，所以中点纵坐标为3，
故选：C
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
【答案】
设点、的坐标分别是、，则，，
两式相减得，因，即有，
设直线的斜率是，弦的中点是，则，
从而的垂直平分线的方程为，
又点在直线上，所以，而，解得，
弦中点的横坐标为2.
故答案为：2
例题4．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
抛物线的焦点坐标F(1,0),准线方程,
设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，,
∵直线AB过抛物线的焦点F,∴可设直线AB的方程为：(m为常数),
代入抛物线的方程消去x并整理得：,
设A,B的纵坐标分别为,线段AB中点,
则,,
∴直线AB的方程为,,
，
故选：C.
同类题型归类练
1．（2022·河南新乡·高二期末（文））已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A． B．3 C． D．－3
【答案】C
解：设，，则，所以，整理得．
因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．
故选：C
2．（2022·全国·三模（文））已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
设点、，则，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C：与直线l交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则l的倾斜角为_____.
【答案】##
设，，则，，
两式相减可得，
则，
故的斜率为1，则的倾斜角为.
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）若直线与抛物线相交所得的弦被点平分，则直线的方程为______．
【答案】
设点、，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，由已知可得，
因为点、都在抛物线上，则，两式作差得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
重点题型四：抛物线的弦长、焦点弦问题
典型例题
例题1．（2022·甘肃·张掖市第二中学高二期末（文））已知抛物线的对称轴是轴，点在曲线上.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点的倾斜角为直线与抛物线交于、两点，求线段 的长度.
【答案】(1)(2)16
(1)由题意知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上，
所以抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为：，
代入点的坐标得：，解得
则抛物线的标准方程为：.
(2)焦点，则直线的方程是，设，，
由得，，
所以，则，故.
例题2．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限；
(1)若直线的斜率为，求的值；
(2)求线段的长度的最小值．
【答案】(1)3；(2)12.
(1)设，
抛物线的焦点为，直线l经过点F且斜率，
直线l的方程为，
将直线l方程与抛物线消去y可得，
点A是第一象限内的交点，
解方程得，∴.
(2)设，由题知直线l斜率不为0，故设直线l的方程为：，
代入抛物线C的方程化简得，，
∵＞0，∴，
∴，当且仅当m＝0时取等号，
∴AB长度最小值为12.
例题3．（2022·重庆八中高二期末）已知动圆过点，且与直线：相切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度．
【答案】（1）；（2）.
解：（1）圆过点，且与直线相切
点到直线的距离等于
由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以为准线的抛物线，
依题意，设点的轨迹方程为，则，解得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是．
（2）依题意可知直线，设
联立，得，则，
所以，线段的长度为．
例题4．（2022·甘肃白银·高二期末（文））已知抛物线：上一点到焦点的距离为2．
(1)求实数的值；
(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)2(2)或．
(1)抛物线焦点为，准线方程为，
因为点到焦点F距离为2，所以，解得．
(2)抛物线C的焦点坐标为，
当斜率不存在时，可得不满足题意，
当斜率存在时，设直线l的方程为．
联立方程，得，
显然，设，，则，
所以，解得
所以直线l的方程为或
同类题型归类练
1．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）已知抛物线的焦点是，斜率为的直线l经过F且与抛物线相交于A、B两点．
(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；
(2)求线段AB的长．
【答案】(1)抛物线的方程为，其准线方程为，(2)
(1)解：由焦点，得，解得．
所以抛物线的方程为，其准线方程为，
(2)解：设，，，．
直线的方程为．
与抛物线方程联立，得，
消去，整理得，
由抛物线的定义可知，．
所以线段的长为．
2．（2022·四川凉山·高二期末（理））已知抛物线，其通径为4.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点F作倾斜角为的直线l，使得直线l与抛物线交于P Q两点，且满足弦长，求直线l的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)解：由题意知抛物线通径为，即，
所以，抛物线的标准方程为.
(2)解：由（1）知：抛物线焦点，
①当时，显然不满足，
②当时，设直线l方程为，
联立得，
，则，.
所以，即，
故直线l的倾斜角的取值范围为.
3．（2022·全国·高二）已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且．
(1)求C的方程：
(2)P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．
【答案】(1)(2)
(1)由点在上，得，解得，
由抛物线的定义及，得，解得或，
结合，得，
故抛物线的方程为．
(2)显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，
由消去并整理，得，
，直线与一定有两个交点，
设，，则，
设中点为，则，，
即，
线段的中垂线方程为，
令，得，即，
所以，
又，
由，得，解得，
所以．
4．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？
【答案】(1)(2)
(1)由题设点到点的距离等于它到的距离，
点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所求轨迹的方程为；
(2)由题意易知直线的斜率存在，
设中点为，直线的方程为，
联立直线与抛物线，得，，
且，，
又中点为，即，，
故恒成立，
，，
所以，
当时，取最大值为.
5．（2022·安徽·高二开学考试）已知直线与抛物线.
(1)若直线与抛物线相切，求实数的值；
(2)若直线与抛物线相交于、两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)(2)
(1)解：联立，可得，则，可得.
(2)解：设点、，则，可得，
由韦达定理可得，，
由弦长公式可得，解得.
因此，直线的方程为.
重点题型五：抛物线的定值、定点、定直线问题
典型例题
例题1．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期末（文））已知点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
（1）∵点在抛物线C上，∴，解得，∴抛物线C的方程为.
（2）证明：设直线，，，联立，消去y可得，，由韦达定理有，，∴，即得证.
例题2．（2022·湖南·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)(2)是，
（1）由题意可得，则，解得.故抛物线的方程为.
（2）由（1）可知，设.因为三点共线，所以，即，即，整理得.因为，所以.由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为.联立整理得，则.因为关于轴对称，所以，则，解得.故直线的方程为，即直线恒过点.
例题3．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））已知曲线：，点为直线上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，.
(1)若点的坐标为，求这两条切线的方程；
(2)证明：直线过定点.
【答案】(1)，(2)证明见解析
(1)设切点为，
∵，∴曲线在点处的切线的斜率
∴切线的方程为：
又切线过点，∴，
解得或，故切线的方程为：或.
(2)设，则.
由于，所以切线的斜率为，故.
整理得
设，同理可得.
故直线的方程为.
所以直线过定点.
例题4．（2022·河南·一模（文））如图，已知抛物线的焦点为，四点都在抛物线上，直线与直线相交于点，且直线过定点．
(1)求和的值；
(2)证明：①为定值；
②直线斜率为定值，并求出该定值．
【答案】(1)，；(2)①证明见解析；②证明见解析，定值为1.
(1)因为焦点，显然直线的斜率不为零，故设直线方程为，
与联立可得，
又直线与抛物线交于两点，又，
故，同理可得：．
(2)①因为直线过定点，且斜率存在，故设直线方程为，
代入中得，又直线交抛物线于两点，
故当时，时，由韦达定理可得：
，所以．
②直线的斜率为，
由（1）知，．
所以．
故直线的斜率为定值，且定值为.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)(2)证明见解析，定点为
（1）点与点的距离比它到直线的距离小，点与点的距离和点到直线的距离相等，由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，即曲线的方程为：.
（2）设，，，由得：，则，即；，，，；，，即；当时，，恒过定点.
2．（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
（1）因为过焦点且与轴垂直，故，故，解得：，从而抛物线C的方程为.
（2）设线段中点为，，，由题知，直线的垂直平分线斜率存在，设为k，则：，，.若直线不与x轴垂直，由得，，即，则直线l斜率为，从而直线l的方程为，整理得：恒过点.若直线与x轴垂直，则l为直线，显然也满足恒过点.综上所述，直线l恒过点.
3．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）已知抛物线的焦点为F，，过F作直线l交抛物线C于，两点.
(1)若直线l的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：是定值.
【答案】(1)(2)详见解析.
（1）根据题意点，而直线的斜率为1，所以的方程为，联立抛物线方程，根据韦达定理有，点均在直线上，所以，所以中点坐标为即.
（2）根据题意直线与抛物线有两个交点，所以直线的斜率不可能为0，设直线方程为，联立抛物线方程有，据韦达定理有，所以为定值0.
4．（2022·四川遂宁·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．
【答案】(1)或；(2)证明见解析.
(1)设C上任意一点P的坐标为，则有：，
当时，有；
当时，有，
所以C的方程为或；
(2)由题意知直线AB的斜率存在，设AB的直线方程为，，
联立方程，整理得，
所以，且，
又由，即，
由,
解得，
故直线的方程为，
所以直线恒过定点.
5．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为.
(1)求p的值；
(2)当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值．
【答案】(1)2(2)证明见解析.
(1)设，有，而点，则，
因，因此，而圆M面积最小值为，即，则有，
所以p的值是2.
(2)由（1）知，抛物线，则有，而，即有轴，
因过M作抛物线的两条弦MA，MB，有，则直线MA，MB倾斜角互补，即直线MA，MB斜率和为0，
设点，直线的斜率，直线的斜率，
因此有，整理得：，
所以直线的斜率是定值.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l与抛物线交于A，B两点．
(1)若直线l的斜率为-1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；
(2)若点O为坐标原点，且，求证：直线l过定点．
【答案】(1)8(2)证明见解析
(1)抛物线为，
∴焦点坐标为，直线AB斜率为，则直线AB方程为：，
设，，由得：，可得，
由抛物线定义可得，
∴．
(2)设直线AB方程为：，设，，
∵，∴，∴，
由得：，
∴；；∴，解得或，
当时，直线AB过原点，不满足题意；当时，直线AB过点．
故当时，直线AB过定点．
1．（多选）（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
2．（2022·上海市光明中学模拟预测）设抛物线为的焦点，过的直线交于两点．若且，则抛物线的方程为____________．
【答案】
解：，
因为，
所以轴，
则为线段的中点，
令，则，
所以，解得，
所以抛物线的方程为.
故答案为：.
3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点E，若，则p＝________.
【答案】2
过点F且斜率为1的直线方程为，
联立抛物线C的方程，得，
所以，
又因为令中，则，又因为，
所以，又因为，所以，解得p＝2.
故答案为：2.
4．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线，点在抛物线C上，过点M作抛物线C的切线，交x轴于点P，点O为坐标原点．
(1)求P点的坐标；
(2)点E的坐标为，经过点的直线交抛物线于A，B两点，交线段OM于点Q，记EA，EB，EQ的斜率分别为，，，是否存在常数使得．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在；
(1)因为在抛物线C上，所以，所以
所以抛物线C的方程为，即，则，
所以切线的斜率为，
所以过点M的切线方程为，即
联立，解得P点的坐标为
(2)由题意可知过点的直线的斜率存在，设为，线段所在的直线为，
联立，解得Q点坐标为，
所以
设，，联立，得，
所以，．
则
所以，即存在满足条件．
5．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1)；(2).
（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；
（2）设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D，当直线轴时，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求的最小值．
【答案】(1)(2)
(1)当直线轴时，，代入解得，∴，得，∴抛物线C的标准方程为；
(2)设．联立得．∴①，
∵直线恒过点，且与抛物线有两个交点，点在抛物线上，∴，
当直线和直线斜率存在时，设直线，联立∴，，
∴，∴，同理，设直线，则，联立∴
由①可知，∴，即，∴点D在直线上．
当直线或直线斜率不存在时，即直线l过原点时，，过原点的切线方程为，易知另外一点为，
过点的切线方程设为，联立，得，
，解得，即切线方程．此时交点D的坐标为，在直线上，
故的最小值为原点到直线的距离，即．

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