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8.6空间直线、平面的垂直
本节课知识点目录：
异面直线所成的角；
直线与直线垂直。
直线和平面垂直的判定定理
直线和平面垂直的性质定理
线面垂直的计算：线面角与距离
二面角及二面角的平面角求法
平面与平面垂直的判定定理。
平面与平面垂直的性质定理
联考、模考题选
一、异面直线所成的角
1.定义：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
2范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
3.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
4.两条异面直线所成角α的取值范围：0°<α≤90°.
【典型例题】
【例1】已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有_______条．
【例2】如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【例3】如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
【例4】如图，在矩形中，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【例5】在正方体各个表面的对角线中，与所成角为的有
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
【例6】如图所示，空间四边形中，两条对边，分别是另外两条对边上的点，且，则异面直线和所成角的大小为___________.
【例7】如图所示，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点.将沿折成三棱锥以后，与所成角的度数为
A． B． C． D．
【对点实战】
1.若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定
2.已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)
A． B． C． D．
5.设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线(　　)
A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条
二、直线与直线垂直
【典型例题】
【例1】在正方体中，与垂直的直线是（ ）
A．AB B．CD C． D．
【例2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
【例3】平行四边形中，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【例4】如图所示，在正方体中，下列直线与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【例5】如图，正方体中，
①与平行；
②与垂直；
③与垂直．
以上三个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．①②③
【例6】如图所示，在正方形中，点，分别为边，的中点，将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，
①点与点在某一位置可能重合；②点与点的最大距离为；
③直线与直线可能垂直； ④直线与直线可能垂直.
以上说法正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【例7】空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是　(　　)
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【例8】如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是
A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
【对点实战】
1.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（　　）条．
A．2 B．4
C．6 D．8
2.如图，在长方体中，，M、N分别是、的中点.则直线与是（ ）
A．相互垂直的相交直线
B．相互垂直的异面直线
C．相互不垂直的异面直线
D．夹角为60°的异面直线
3.．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（ ）
A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MNCD
4.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
第11课时 课后 直线与直线垂直
5.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______．
三、直线和平面垂直判定定理
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言
【典型例题】
【例1】在长方体的各条棱所在直线中与直线垂直的直线有（ ）条．
A．2 B．4条 C．6条 D．8条
【例2】．已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（ ）
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
【例3】如图，在矩形中，，，为边的中点，沿将折起，在折起的过程中，下列结论能成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【例4】．已知平面、和直线m、l，要使“若，，，则”正确，则须添加条件（ ）
A． B．
C．l与相交但不垂直 D．l与m为异面直线
【例5】一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.
其中能保证该直线与平面垂直的是
A．①③ B．② C．②④ D．①②③
【对点实战】
1.以下哪个条件能判断直线l与平面垂直（ ）
A．直线l与平面内无数条直线垂直
B．直线l与平面内两条平行直线垂直
C．直线l与平面内两条直线垂直
D．直线1与平面内两条相交直线垂直
2.如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
3.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列条件中能得出直线平面的是
A．，其中 B．
C． D．
四、直线和平面垂直性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
【典型例题】
【例1】已知正方体中，点分别是线段上的动点，观察直线与，与，得出下列结论：
①对于任意给定的点，存在点，使得；
②对于任意给定的点，存在点，使得；
③对于任意给定的点，存在点，使得；
④对于任意给定的点，存在点，使得；
其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【例2】在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．垂直于同一平面的两个平面平行
B．垂直于同一平面的两条直线平行
C．平行于同一直线的两个平面平行
D．平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行
广西玉林市育才中学2020-2021学年高二3月月考数学（文）试题
【例3】在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【例4】直三棱柱中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，交于点E．要使，则线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【例5】知平面，直线m，n满足，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例6】如图，在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
【例7】正方体棱长为3，点E在边BC上，且满足BE＝2EC，动点M在正方体表面上运动，并且总保持，则动点M的轨迹的周长为__.
【对点实战】
1.若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面
2.在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则（ ）
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
3.如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
4.已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列一定能得到的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，，
5.如图，是的斜边，平面，连接，，作于D，连接，则图中共有直角三角形（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
6.已知是空间中的三条直线，其中直线在平面上，则“且”是“平面”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
五、线面垂直计算：线面角与距离
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点，如图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°
求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角．
【典型例题】
【例1】如图，已知正方形和正方形所在平面成60°的二面角，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）．
A． B． C． D．
【例2】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，点E为PA的中点，，，，则点B到平面PCD的距离为（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知是球的球面上的四点，为球的直径，球的表面积为，且，，则直线与平面所成角的正弦值是___________.
【例4】如图，四面体中，，，两两垂直， ，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为
A． B． C． D．
【例5】如图，在正方体中，，点P在平面内，，则点P到距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【例6】在四棱锥中，AD＝2，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例7】已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
【对点实战】
1.三棱柱，侧棱底面，底面是边长为2的等边三角形，点E是的中点，则E到平面的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
2.在正方体中，与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
3.已知长方体的一条对角线与平面和平面所成的角都是，则直线与平面ABCD所成的角是__________．
4.已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，则截面图形的周长为______.
5.在长方体中，，，，点到平面的距离为_______．
6.PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，其中，，则PC与平面PAB所成角的余弦值为____________．
六、二面角及二面角的平面角求法
1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2．相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的棱；
(2)两个半平面叫做二面角的面．
3．画法：
　　　　
4．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
5．二面角的平面角：
(1)若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
求二面角的平面角的大小的步骤
【典型例题】
【例1】．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【例3】如图，已知梯形，．，沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，此时二面角的平面角为（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【例5】如图，在正四棱台中，记直线与CD所成角为，直线与平面ABCD所成角为，二面角所成角为，则下列关系正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例6】如图所示，已知△，是的中点，沿直线将△翻折成△，所成二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
【例7】正方体中，点，分别为棱，上的点（不包含端点），设二面角的平面角为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【对点实战】
1.已知三棱锥D -ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D-BC-A的余弦值为（ ）
A． B． C．0 D．－
2.如图，锐二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，则锐二面角α-l-β的平面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3.已知三棱锥的体积为3，且满足，，两两垂直，二面角为，则面积的最小值为（ ）
A．6 B． C．9 D．
4.已知四面体ABCD中，△ABD和△BDC是等边三角形，二面角A﹣BD﹣C为直二面角.若AB＝，则四面体ABCD外接球的表面积为 __________________.
5.在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是______.
上海市宝山中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题
七、平面与平面垂直的判定定理
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：
(3)记作：α⊥β.
2．平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
图形语言
【典型例题】
【例1】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若m∥n，n⊥β，m α，则α⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
【例2】．如图，在正方体的六个面中，与底面垂直的面有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB
【例4】经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（ ）
A．0个 B．1个 C．无数个 D．1个或无数个
【例5】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件可以是
A． B． C． D．是棱的中点
【例6】一个三棱锥的四个面中最多有______对面面垂直.
【例7】已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有______对
【对点实战】
1.若平面平面，平面平面，则（ ）
A． B． C．与相交但不垂直 D．以上都有可能
2.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
3.如图，是一个四棱锥，平面BCDE，且四边形BCDE为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
4.如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的有___________(写出全部正确命题的序号).
①平面平面；
②平面平面；
③平面平面，且平面平面；
④平面平面，且平面平面.
5.在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD.
八、平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
【典型例题】
【例1】已知，，是三个不同的平面，是一条直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【例2】如图所示，在斜三棱柱中，，且，过作平面，垂足为，则点在（ ）
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部
【例3】设，，为三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法错误的是（ ）．
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
【例4】已知梯形，，，为中点，将沿折起，使点移至点，若平面平面，则（ ）
A． B． C． D．
【例5】在中，是斜边的高线，现将沿折起，使平面平面，则折叠后的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
【例6】在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例7】如图，棱长为2的正方体，是四边形内异于，的动点，平面平面.则点的轨迹的长度为______.
【对点实战】
1.已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2.如图，在斜三棱柱中中，，，点为上的一个动点，则点在底面ABC上的射影必在（ ）
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部
3.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAD⊥平面PDC
C．AB⊥PD
D．平面PAD⊥平面PBC
4.三棱锥中，为边长为3的等边三角形，，，且面面，则三棱锥的外接球的体积为___________.
5.如图，在三棱锥P ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=3，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为___________．
九、联赛、联考与自主招生题选
【例1】如图，将矩形纸片折起一角落得到，记二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【例2】如图，等腰直角中，，点为平面外一动点，满足，，给出下列四个结论：
①存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平面平面；
③设的面积为，则的取值范围是；
④设二面角的大小为，则的取值范围是.
其中正确结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【例3】已知正三棱柱的各棱长都是4，点是棱的中点，动点在侧棱上，且不与点重合，设二面角的大小为，则的最小值为_________.
8.6空间直线、平面的垂直
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异面直线所成的角；
直线与直线垂直。
直线和平面垂直的判定定理
直线和平面垂直的性质定理
线面垂直的计算：线面角与距离
二面角及二面角的平面角求法
平面与平面垂直的判定定理。
平面与平面垂直的性质定理
联考、模考题选
一、异面直线所成的角
1.定义：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
2范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
3.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
4.两条异面直线所成角α的取值范围：0°<α≤90°.
【典型例题】
【例1】已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有_______条．
【答案】2
【分析】结合异面直线成角作出图形分析即可求出结果.
【详解】可将a，b通过平移相交于点P，如图所示，
则，则的角平分线与直线a，b所成的角均为，的角平分线与直线a，b所成的角均为，因为，所以与直线a，b所成的角均为9°的直线l有且只有2条（直线），
故答案为：2.
【例2】如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【分析】先平移线段，再解三角形即可.
【详解】取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN或其补角即异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5．故选：C.
【例3】如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
【答案】D
【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案.
【详解】解：设G为AD的中点，连接GF，GE.则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.
∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数.又EF⊥ AB，∴ EF⊥ GF.则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°
∴ 在直角△GEF中，∴ ∠GEF=30°.故选：D.
【例4】如图，在矩形中，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
取的中点，利用中位线可证且，利用矩形，可知且，从而证得，则异面直线与所成角可转化为直线与所成角 (或其补角)，在直角可求得所成角的正切值.
【详解】如图，取的中点，连接为线段的中点，，且.又矩形中，为边的中点，，且.
，且，四边形为平行四边形，，
(或其补角)是异面直线与所成角．
在直角中，，异面直线与所成角的正切值为.故选：A.
【例5】在正方体各个表面的对角线中，与所成角为的有
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
【答案】C
【分析】首先确定与共面的面对角线中成角的共有条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有条，共条.
【详解】
以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和
可知与夹角为的面对角线有：
根据平行关系可知也与成角
可知满足题意的面对角线共有条.本题正确选项：
【例6】如图所示，空间四边形中，两条对边，分别是另外两条对边上的点，且，则异面直线和所成角的大小为___________.
【答案】
作，由平行线分线段成比例可确定，则所求角为或其补角；根据长度关系可求得，由此可得结果.
【详解】如图，过点作，交于点，连接
则 异面直线和所成角即为或其补角
在中，，，又
异面直线和所成角的大小为故答案为：
【例7】如图所示，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点.将沿折成三棱锥以后，与所成角的度数为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，I、J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱AD，故GH与IJ所成角与侧棱AD与GH所成的角相等；AD为折成三棱锥的侧棱，因为∠AHG=60°，故GH与IJ所成角的度数为60°，
故选:B．
【对点实战】
1.若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定
【答案】D
【分析】在长方体中举例说明，可能的位置关系，由排除法可得正确选项.
【详解】
如图：在长方体中，记为，为，为，满足题中条件，，
若为，满足，此时；
若为，满足，此时与相交；
若为，满足，此时与异面垂直；
若为，满足，此时与相交垂直；
因此，的位置关系不确定，所以选项ABC都不正确，
故选：D.
2.已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点，连接，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，设，在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，因为点为的中点，可得，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，
在正中，由，可得，在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，由余弦定理可得.
故选：A.
3.如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解．
【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．，F分别是CD，AB的中点，
，，且，．为EF与AC所成的角．
又，．又，，，
为等腰直角三角形，，即EF与AC所成的角为45°．故选：B．
4.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．
【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．
平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，
在△A2BM中，
．故选A．
5.设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线(　　)
A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条
【答案】A
【分析】利用模型圆锥即可得到答案.
【详解】过点P且与成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.
故选A
二、直线与直线垂直
【典型例题】
【例1】在正方体中，与垂直的直线是（ ）
A．AB B．CD C． D．
【答案】C
【分析】证明平面,从而得到，可得答案.
【详解】连结, 则为直线与所成角,
在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直，选项D不正确.
为直线与所成角,在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直
由，所以与不垂直，故选项A,B不正确.在正方体中,
平面，且平面,所以由,所以平面’
平面,所以故选: C.
【例2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
【答案】D
【分析】根据线线之间的垂直关系判断即可.
【详解】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．
故选：D.
【例3】平行四边形中，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】AB
【分析】结合特殊的平行四边形对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，若，如下图所示，
当平面与平面垂直时，两个平面的交线为，且，
则平面，所以，A选项正确.
B选项，当时，在翻折过程中，可以取从到的范围，
而，即直线与直线所成角为，所以存在，B选项正确.
C选项，由于，所以为锐角，为锐角，所以C选项错误.
D选项，由于，则，所以为锐角，所以D选项错误.
故选：AB
【例4】如图所示，在正方体中，下列直线与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行关系可确定的垂线即为的垂线，由此可确定结果.
【详解】四边形为正方形 故选：
【例5】如图，正方体中，
①与平行；
②与垂直；
③与垂直．
以上三个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案．
【详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确．
对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确．
对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确．
故选：C．
【例6】如图所示，在正方形中，点，分别为边，的中点，将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，
①点与点在某一位置可能重合；②点与点的最大距离为；
③直线与直线可能垂直； ④直线与直线可能垂直.
以上说法正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，A,C的运动轨迹分别是圆；AB,AF是以BF为旋转轴的圆锥型侧面；CE,CD是以DE为旋转轴的圆锥型侧面.
【详解】由题意，在翻折的过程中，A,C的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以不能重合，故①不正确；
点与点的最大距离为正方形的对角线,故②正确；
由于△ABF和△CDE全等，把△CDE平移使得DC和AB重合，如图，
△ABF绕BF旋转形成两个公用底面的圆锥，AB,CD是稍大的圆锥的母线，由于∠ABF小于45°，所以AB,CD的最大夹角为锐角，所以不可能垂直，故③不正确；
同理可知，由于∠AFB大于45°，所以AF,BE的最大夹角为钝角，所以可能垂直，故④正确.
故选:C.
【例7】空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是　(　　)
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【答案】B
【详解】如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别AB,BC,CD,DA的中点，则有且．同理且,所以且．所以四边形EFGH为平行四边形，
又，所以．所以四边形EFGH为矩形．选B．
【例8】如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是
A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
【答案】C
【分析】由题意结合线面垂直的判定定理和线面垂直的定义即可确定MA与BD的位置关系.
【详解】∵BD是菱形ABCD的一条对角线，菱形对角线互相垂直，∴AC⊥BD.∵MC⊥平面ABCD，
∴MC⊥BD，∵MC和AC相交于点C，∴BD⊥平面ACM，∵MA 平面AMC，
∴MA⊥BD.又∵MA与BD是异面直线，∴MA与BD的位置关系是垂直但不相交.故选C.
【对点实战】
1.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（　　）条．
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】D
【分析】由正方体ABCD -A1B1C1D1的图象结合线线垂直的定义即可求解结果．
【详解】在正方体ABCD -A1B1C1D1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选：D．
2.如图，在长方体中，，M、N分别是、的中点.则直线与是（ ）
A．相互垂直的相交直线
B．相互垂直的异面直线
C．相互不垂直的异面直线
D．夹角为60°的异面直线
【答案】B
【分析】连接，可证直线与为异面直线，并可求其所成的角.
【详解】设，连接，
因为平面，平面，，
故直线与异面直线.
在矩形中，因为为所在棱的中点，故，
而，故，
故四边形为平行四边形，故，
所以或其补角为异面直线与所成的角，在中，，
故，故，故选：B
3.．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（ ）
A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MNCD
【答案】AC
【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.
【详解】还原正方体,以正方形为底面有
对选项A,因为∥,且有,故A正确.
对选项B,因为∥,所以B错误.
对选项C,由图可得显然正确.
对选项D,,故D错误.
故选：AC
4.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
【答案】D
【分析】【详解】如下图，若，则和相交；
若，则和异面；
若，则和平行；
所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面．
故选：D.
5.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______．
【答案】AB，A1B1
【分析】根据线线垂直的定义或判定来判断即可.
【详解】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1．
故答案为：AB，A1B1.
三、直线和平面垂直判定定理
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言
【典型例题】
【例1】在长方体的各条棱所在直线中与直线垂直的直线有（ ）条．
A．2 B．4条 C．6条 D．8条
【答案】D
【分析】根据线线之间的垂直关系判断即可.
【详解】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选：D.
【例2】．已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（ ）
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
【答案】D
【分析】根据线面垂直的性质定理及判定定理一一判断可得；
【详解】解：对于A：m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则与可能平行或，故A错误；
对于B：m⊥b，b∥α，则与可能平行或相交或，故B错误；
对于C：m∩b＝A，b⊥α，则与可能平行或相交或，故C错误；
对于D：由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．
故选：D
【例3】如图，在矩形中，，，为边的中点，沿将折起，在折起的过程中，下列结论能成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】B
【分析】用线面垂直的判定定理对四个选项逐一结合条件分析即可.
【详解】因为在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为DC边的中点，
则在折起过程中，D点在平面BCE上的射影的轨迹为为O1O2(如图)．
因为折起过程中，DE与AC所成角不能为直角，所以DE不垂直于平面ACD，故A错；
因为AD⊥ED，并且在折起过程中，当点D的射影位于O点时，有AD⊥BD，所以在折起过程中AD⊥平面BED能成立，故B正确；
折起过程中，BD与AC所成的角不能为直角，所以BD不垂直于平面ACD，故C错；
只有D点射影位于O2位置，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，所以折起过程中CD不垂直于平面BED，故D错.
故选：B.
【例4】．已知平面、和直线m、l，要使“若，，，则”正确，则须添加条件（ ）
A． B．
C．l与相交但不垂直 D．l与m为异面直线
【答案】B
【分析】由面面垂直的性质证明线面垂直，即可知所需添加的条件.
【详解】根据面面垂直的性质，知：，，，，则有.故选：B.
【例5】一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.
其中能保证该直线与平面垂直的是
A．①③ B．② C．②④ D．①②③
【答案】A
【分析】根据线面垂直的判定定理，只要能证明和两条交线垂直，即可证明线面垂直．
【详解】解：因为三角形的任意两边是相交的，所以①可以证明线面垂直．
因为梯形的上下两边是平行的，此时不相交，所以②不一定能保证线面垂直．
因为圆的任意两条直径必相交，所以③可以证明线面垂直．
若直线垂直于正六边形的两个对边，此时两个对边是平行的，所以④不一定能保证线面垂直．
综上所述，正确的条件是：①③．
故选：A．
【对点实战】
1.以下哪个条件能判断直线l与平面垂直（ ）
A．直线l与平面内无数条直线垂直
B．直线l与平面内两条平行直线垂直
C．直线l与平面内两条直线垂直
D．直线1与平面内两条相交直线垂直
【答案】D
由直线与平面垂直的判定定理可得答案.
【详解】对于A、 B、 C，直线l与平面内无数条直线垂直、l与平面内两条平行直线垂直、直线l与平面内两条直线垂直，都不符合条件，
如下图
平面，且，，不垂直平面，
如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直，那么平面，故D正确.
故选：D.
2.如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】A
根据正方形的特点，可得，，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果.
【详解】由题意：，，，平面
所以平面正确，D不正确；.又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；
同理平面不正确；故选：A
3.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列条件中能得出直线平面的是
A．，其中 B．
C． D．
【答案】D
对四个选项逐一分析，排除错误选项，由此得出正确选项.
【详解】A中缺少条件“与相交”；B中，当时，与可能平行，可能相交，也可能；C中，与可能平行，可能相交，也可能.对于D选项，两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，D选项正确.故选D.
四、直线和平面垂直性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
【典型例题】
【例1】已知正方体中，点分别是线段上的动点，观察直线与，与，得出下列结论：
①对于任意给定的点，存在点，使得；
②对于任意给定的点，存在点，使得；
③对于任意给定的点，存在点，使得；
④对于任意给定的点，存在点，使得；
其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】A
【分析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别分析选项，利用排除法可得结论.
【详解】对于①，当点与重合时，,，且，
∴平面，
∵对于任意给定的点，都有平面，
所以对于任意给定的点，存在点，使得，故①正确．
对于②，只有平面，即平面时，才能满足对于任意给定的点，存在点，使得，∵过点与平面垂直的直线只有一条，而，故②错误．
对于③，只有垂直于在平面中的射影时，，故③正确．
对于④，只有平面时，④才正确，因为过点的平面的垂线与无交点，故④错误．
综上，正确的结论是①③，
故选：A．
【例2】在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．垂直于同一平面的两个平面平行
B．垂直于同一平面的两条直线平行
C．平行于同一直线的两个平面平行
D．平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行
广西玉林市育才中学2020-2021学年高二3月月考数学（文）试题
【答案】B
【分析】利用空间线线、线面、面面位置关系判定与性质定理即可判断出正误．
【详解】A.垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，因此不正确；
B.垂直于同一平面的两条直线平行，正确；
C.平行于同一直线的两个平面平行，不正确，两个平面可能相交；
D.平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行，不正确，直线可能在平面内．
故选：B．
【例3】在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】根据题意，结合勾股定理，求得，即可求得答案.
【详解】如图所示，分别连接，
因为平面，可得
又因为，利用勾股定理，可得，
所以点一定是的外心.故选: B.
【例4】直三棱柱中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，交于点E．要使，则线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】先证明，再求出，中, 勾股定理求出，再利用面积相等求出的长.
【详解】 ，平面， ，
由已知可得 ，设 斜边上的高为,则，
对三角形使用等面积法得 ，,
所以由中位线定理知，在中, ，
对使用等面积法得 ，解得 ，故选：B.
【例5】知平面，直线m，n满足，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
根据线面垂直的性质定理，即可得答案.
【详解】由直线m，n满足，，则时，m与可垂直，可不垂直，
当，且，根据线面垂直的性质定理，可以得到，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【例6】如图，在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】易得平面，得到，作交于点，得到平面，通过计算确定的位置即可得到答案.
【详解】∵，，∴平面，故，
作交于点，此时平面，在矩形中，，
所以四边形是正方形，所以，所以，又为的中点，
所以为的中点，即，所以.故选：D.
【例7】正方体棱长为3，点E在边BC上，且满足BE＝2EC，动点M在正方体表面上运动，并且总保持，则动点M的轨迹的周长为__.
【答案】
【分析】根据题意，需找到一个与直线垂直的面，然后作平面∥平面，则直线垂直面上任意一条直线，即可确定动点的轨迹即为的三条边，最终可得出结果．
【详解】如图：
连接，四边形为正方形，．又正方体中，面，面．，又因为BD∩=D，BD，平面，
面，．同理可证平面，即得．，．
面．过点作∥交于点，再过点作交于点．
很明显，平面∥平面．平面．只在平面上运动才能保持，
又动点在正方体表面，动点的轨迹即为的三条边．在中，，
．动点的轨迹的周长为．
故答案为：．
【对点实战】
1.若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面
【答案】C
利用线面垂直的性质定理进行判断.
【详解】由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行.
故选：C.
2.在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则（ ）
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
【答案】B
【分析】根据两条直线同时垂直于同一平面，则两直线平行的定理，直接选择正确选项即可
【详解】
因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以，l∥B1B．故选：B
3.如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可.
【详解】因为，，所以，，
因此，因为D是的中点，
所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面，
而平面，所以，因为，
平面，所以平面，而平面，
因此，在直角三角形中，，
当时，即，
此时，而，即，
即，而，平面，
因此平面，此时，故选：C
4.已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列一定能得到的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，，
【答案】A
【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A正确，举反例可判定BCD错误.
【详解】A. 若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又，∴与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故A正确；
B.若，设过的平面与交于，则根据线面平行的性质定理可得，在平面内，作直线,则，而此时在平面内，故B错误；
C. 若，设，在平面内作直线，则，由线面平行的判定定理可得，而此时在平面内，故C错误；
D.若，，，，当平行时，与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故D错误.
故选：A.
5.如图，是的斜边，平面，连接，，作于D，连接，则图中共有直角三角形（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直，通过证明平面，得，这样可得直角三角形的总个数．
【详解】平面，则与平面内所有直线都垂直，其中有三个直角三角形，
，中有两个直角三角形，
又，平面，所以平面，平面，所以，直角三角形中有三个直角三角形，
共8个直角三角形．
故选：C．
6.已知是空间中的三条直线，其中直线在平面上，则“且”是“平面”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】“且”与“平面”中，一个做题设，一个做结论构建互逆的两个命题，再判断其真假即得.
【详解】命题p：若“且”，则“平面”， 命题q：若“平面”，则，“且”，
命题p的条件真时，若a//b，l可能与平面平行、斜交、垂直相交、还有可能在面内，即结论不一定成立，即p是假命题；
命题q的条件真时，由线面垂直的定义知，其结论必真，即q是真命题，
所以“且”是“平面”的必要非充分条件.
故选：B
五、线面垂直计算：线面角与距离
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点，如图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°
求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角．
【典型例题】
【例1】如图，已知正方形和正方形所在平面成60°的二面角，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
由题意得，，可知为平面和平面所成的二面角，即，利用线面垂直判定定理得平面，取中点M，连接DM，利用线面垂直判定定理知平面，即为直线与平面所成角，在直角中，利用正弦可求得结果.
【详解】由题意得，平面平面，且，
为平面和平面所成的二面角，即，则为等边三角形，设
又，可知平面
取中点M，连接DM，则，又平面，则
又，可知平面，为直线与平面所成角，
在直角中，，
故选：C
【例2】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，点E为PA的中点，，，，则点B到平面PCD的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】为中点，连接，易得为平行四边形，进而可知B到平面PCD的距离即为到平面PCD的距离，再由线面垂直的性质确定线线垂直，在直角三角形中应用勾股定理求相关线段长，即可得△为直角三角形，最后应用等体积法求点面距即可.
【详解】若为中点，连接，又E为PA的中点，
所以，，又，，则且，
所以为平行四边形，即，又面，面，
所以面，故B到平面PCD的距离，即为到平面PCD的距离，
由底面ABCD，面ABCD，即，，，
又，即，，则面，面，即，
而，，，，易知：，
在△中；在△中；在△中；
综上，，故，
又， 则.
所以B到平面PCD的距离为.。故选：D
【例3】已知是球的球面上的四点，为球的直径，球的表面积为，且，，则直线与平面所成角的正弦值是___________.
【答案】##
【分析】取AC中点，延长至E，使，根据给定条件证明平面ABC，经推理计算作答.
【详解】依题意，是中点，取AC中点，延长至E，使，连接，如图，
则有，且四边形是平行四边形，，
因，则是平面截球O所得截面小圆的圆心，于是得平面，平面，
因此，是直线与平面所成角，
由球的表面积为得球半径，而，则，而，
从而得，，中，，，
所以直线与平面所成角的正弦值是.故答案为：
【例4】如图，四面体中，，，两两垂直， ，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，面ABE,过B作BF，证明BF 面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离，利用三角形等面积即可求解.
【详解】由题知AB面BCD, ABCD,又BC=BD，点是的中点， BECD,
且BE= 又，CD面ABE,
过B作BF于E，则CDBF,又AECD=E, BF 面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离.
,解得BA=4 , ,利用 等面积知 .故选D.
【例5】如图，在正方体中，，点P在平面内，，则点P到距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
可求出的轨迹为的内切圆，再将的轨迹投影到面上，恰好为的内切圆，上的切点与对应的点即为到距离最短的点.
【详解】
①先简要说明：面如下。因为四边形为正方形，故
又面，有。故面，故。同理有，故面
②再简要说明：面面如下。，故面。，故面
故面面。
③设面。面。。，三棱锥为正三棱锥，为的内心。由等体积法可知
故。。。的内切圆的半径
的轨迹是面上以为圆心，为半径的圆，记为。恰好为的内切圆.
又面面，全等于， 面。故也为正的内心
将圆投影到平面上，且圆心为，记为圆，故是的内切三角形
上的切点与上对应的点即为到距离最短的点.
故则点P到距离的最小值等于
【例6】在四棱锥中，AD＝2，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取AD中点O，可得平面PCO，设PO=t，过O作交PF于H，说明A到平面PBD的距离；设直线PA与平面PBD所成角的大小为，可得
，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】取AD中点O，连接PO、BO、CO，设CO与BD交于F，连接PF，在等腰梯形ABCD中，由且BO=BC=CD=OD，故四边形DOCB为菱形，所以，又PB=PD，且F为BD的中点，
所以，又，所以平面PCO，过O作交PF于H，由平面PCO，
故，又，所以平面PBD，设PO=t，，故，又AD=2OD，
故点A到平面PBD的距离，设直线PA与平面PBD所成角的大小为，则
当且仅当即时取等号，
故直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值为，故选：C
【例7】已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三棱锥外接球的表面积以及三棱锥的几何特点，求得的长，再根据线面角的定义，求得其正切值的表达式，求其最大值即可.
【详解】根据题意，将三棱锥放入直三棱柱，则两者外接球相同，
且取底面的外心为，连接，且取其中点为，连接如下所示：
因为三棱锥外接球的表面积为，设外接球半径为，则，解得；
对直三棱柱，其外接球球心在的中点处，也即，
故在中，因为，设外接圆半径为，
则，解得；
在中，因为，且，故可得，即，
再由正弦定理可得，则，又为锐角，故；
则，即是以为顶角的等腰三角形；
因为平面，故与平面的夹角即为，则，
又的最小值即为边上的高线，设其长度为，则.
故当最大时，为，即直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为.故选：B.
【对点实战】
1.三棱柱，侧棱底面，底面是边长为2的等边三角形，点E是的中点，则E到平面的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】先根据等边三角形求出，再根据几何性质求出EH可得解.
【详解】解：由题意得：取中点平面，故E到平面的距离
故选：A
2.在正方体中，与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面ABCD，得到是与平面所成的角求解,
【详解】如图所示：因为平面ABCD，所以AC为在平面上的射影，
所以是与平面所成的角设棱长，则，
所以，故选：C
3.已知长方体的一条对角线与平面和平面所成的角都是，则直线与平面ABCD所成的角是__________．
【答案】##
【分析】由线面角的定义知，进而求得，进而得解.
【详解】由长方体的性质知，
分别为在平面，平面，平面ABCD内的射影，
则，，分别为与平面，平面，平面ABCD所成的角,
即，则又因为
所以，又，所以故答案为：
4.已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，则截面图形的周长为______.
【答案】
【分析】由题可得平面，故截面与平面平行或在平面内，然后分类讨论，作出截面计算周长即得.
【详解】由正方体的性质可得，AC⊥BD，AC⊥，，
∴AC⊥平面，平面，∴AC⊥，同理，又，
∴平面，故截面与平面平行或在平面内，
当点E与或重合时，截面为正或正，周长为；
一般地，设，则，∴，，
∴，同理可得：，，
故截面图形的周长为定值.故答案为：.
5.在长方体中，，，，点到平面的距离为_______．
【答案】
【分析】利用等体积法由即可求解.
【详解】如图， 设点到平面的距离为，，
．．,
，，
，．故答案为：．
6.PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，其中，，则PC与平面PAB所成角的余弦值为____________．
【答案】
【分析】过上一点作平面，则就是直线与平面所成的角，说明点在的平分线上，通过直角三角形、，求出直线与平面所成角的余弦值．
【详解】过上一点作平面，如图，则就是直线与平面所成的角．因为，所以点在的平分线上，即．过点作，，
因为平面，则，．设，．
在直角中，，，则．
在直角中，，．则．
即直线与平面所成角的余弦值是．故答案为：
六、二面角及二面角的平面角求法
1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2．相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的棱；
(2)两个半平面叫做二面角的面．
3．画法：
　　　　
4．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
5．二面角的平面角：
(1)若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
求二面角的平面角的大小的步骤
【典型例题】
【例1】．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到面，即，结合二面角定义可确定二面角的平面角.
【详解】∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，
∴，，，即面，而面，
∴，又面面，，
∴由二面角的定义：为二面角的平面角.
故选：C
【例2】如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】首先取的中点，连接，，根据题意得到为二面角平面角，再计算其大小即可.
【详解】取的中点，连接，，如图所示：
由题知： ，又因为为的中点，
所以，且。又因为，所以为二面角平面角.
因为，为锐角，所以.故选：B
【例3】如图，已知梯形，．，沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，此时二面角的平面角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先分别过作，垂直，交于，根据梯形为等腰梯形得到，从而得到，即可用勾股逆定理证明，根据，即可得到，从而得到平面，即平面平面，从而得到二面角的平面角为.
【详解】分别过作，垂直，交于，如图所示：
因为，，所以梯形为等腰梯形，
则，.在中，，，则.所以，
则，即.沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，如图所示：
在中，，，则，即.
所以平面.又因为平面，所以平面平面，
即二面角的平面角为.故选：D
【例4】已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若为中点，连接，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面面，结合已知条件有△为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，若为中点，连接，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值.
【详解】若为中点，连接，由为等边三角形，则，又，且，
∴面，又面，即，
由题设，，，而，
∴，即，又，面，
∴面，而面，则面面，
由上可得：，则，故△为等腰直角三角形，
∴综上，四面体的球心为△的中心，即靠近的三等分点，
若为中点，连接，易知：即为二面角的平面角，
由上、且，面，可得面，
又面，则，即，∴，而，
∴.故选：A.
【例5】如图，在正四棱台中，记直线与CD所成角为，直线与平面ABCD所成角为，二面角所成角为，则下列关系正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】连接AC，过作，垂足为O，可得平面ABCD，则，在平面ABCD中，过O作，连接，可得为二面角的平面角，等于，，求解直角三角形结合正弦函数与正切函数的单调性得答案.
【详解】如图，连接AC，过作，垂足为O，则由正四棱台的结构特征，可得平面ABCD，则，在平面ABCD中，过O作，连接，
由三垂线定理可得，，则为二面角的平面角，等于，
又，在与中，，，
∵，∴，而，均为锐角，∴；
在与中，，，∵，∴，而，均为锐角，∴.
又，，且，，∴，
而，均为锐角，∴.结合选项可得：，.故选：C.
【例6】如图所示，已知△，是的中点，沿直线将△翻折成△，所成二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过作垂足为，过作垂足为，将平移到处，连接、，易知为二面角的平面角，，设，，，进而求、、，在中应用余弦定理并结合三角函数的性质判断与的大小关系.
【详解】过作垂足为，过作垂足为，将平移到处，连接、，则为二面角的平面角，即，
又，即，故，易知，则，
设，，，则，
在△中，，
在中，，，
在中，，，
∵平面，则平面，则，，，
在中：，∴（当且仅当时等号成立），∴.。故选：B.
【例7】正方体中，点，分别为棱，上的点（不包含端点），设二面角的平面角为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件结合二面角的相关计算探求得，再利用列式计算即得.
【详解】在正方体中，平面，平面，则，过A作，连A1O，有平面AOA1，如图，
于是得，则为二面角的平面角，即，，而，
因此，，又AO是点A到直线EF距离最小值，则有点O与点E重合，即，
因点，分别为正方形ABCD的边，上除端点外的点，从而得，
则有，令正方体棱长为1，则，
因，于是得，当且仅当，即E为BC中点时取“=”，此时有，
所以的取值范围为.故选：C
【对点实战】
1.已知三棱锥D -ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D-BC-A的余弦值为（ ）
A． B． C．0 D．－
【答案】C
【分析】取BC的中点E，连接AE，DE，由AB＝AC＝BD＝DC＝，则DE⊥BC，AE⊥BC，从而∠AED为二面角A -BC -D的平面角求解．
【详解】如图，由题可知AB＝AC＝BD＝DC＝，AD＝BC＝2，取BC的中点E，连接AE，DE，则DE⊥BC，AE⊥BC，∴∠AED为二面角A -BC -D的平面角．在DAE中，AD＝2，AE＝DE＝，
由于AE2＋DE2＝2＋2＝4＝AD2，∴∠AED＝90°，∴其余弦值为0．故选：C
2.如图，锐二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，则锐二面角α-l-β的平面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接DE，CE，由BE⊥AB，BD⊥AB，可得∠DBE是二面角α-l-β的平面角，AB⊥平面DBE，则CE⊥DE，即可求得DE的长度，从而可得答案.
【详解】解：过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接DE，CE，因为AC⊥AB，所以BE⊥AB，
因为BD⊥AB，BD∩BE＝B，所以∠DBE是二面角α-l-β的平面角，且AB⊥平面DBE，所以AB⊥DE，所以CE⊥DE，因为AB＝4，CD＝8，所以DE＝＝＝4，
所以cos∠DBE＝＝＝.故选：B.
3.已知三棱锥的体积为3，且满足，，两两垂直，二面角为，则面积的最小值为（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】令PA=a，PB=b，PC=c，借助二面角大小把a用b，c表示出，再结合体积可得b，c的关系式，最后用等体积法将面积用b，c表示即可得解.
【详解】令PA=a，PB=b，PC=c，因，，两两垂直，则平面，，过P作PD⊥BC于D，于是平面，连PD，AD⊥BC，如图：
从而有平面APD⊥平面ABC，且是二面角的平面角，即，，
过P作PO⊥AD于O，平面APD平面ABC=AD，则PO⊥平面ABC，且，
中，，得，即，
三棱锥的体积，
即，有，当且仅当b=c时取“=”，
又三棱锥的体积，
从而有，由且得，，
所以当，时，面积取最小值6故选：A
4.已知四面体ABCD中，△ABD和△BDC是等边三角形，二面角A﹣BD﹣C为直二面角.若AB＝，则四面体ABCD外接球的表面积为 __________________.
【答案】
【分析】设为的中心，O为四面体的外接球的球心，过O作，然后在中，由求解.
【详解】如图所示：设为的中心，O为四面体的外接球的球心，
则平面．设M为线段的中点，外接球的半径为R，
连接，过O作于点G，易知G为的中心，则，
因为，故，在中，，
故，则．所以外接球的表面积为，故答案为：.
5.在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是______.
上海市宝山中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题
【答案】
【分析】画出图形，是它到另一个面的距离，它到棱的距离，得出为二面角的平面角，在中求解即可 .
【详解】 如图所示，为二面角的一个面内有一点，
是它到另一个面的距离，是它到棱的距离为10， 又 ∴ 面 得出 所以 为二面角 的平面角，
在中， 故答案为：
七、平面与平面垂直的判定定理
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：
(3)记作：α⊥β.
2．平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
图形语言
【典型例题】
【例1】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若m∥n，n⊥β，m α，则α⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
【答案】C
【分析】分别根据面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理判断选项即可.
【详解】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
对于,若m⊥α，n β，m⊥n，则与平行或相交，故错误；
对于,若m∥α，m∥n，则n∥α 或，故错误；
对于,若m∥n，n⊥β，m α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确；
对于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则或与相交或∥，故错误.
故选：.
【例2】．如图，在正方体的六个面中，与底面垂直的面有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
根据正方体的结构特征，可直接得出结果.
【详解】因为正方体中，侧棱都和底面垂直，因此侧面都垂直于底面；
故在正方体的六个面中，与底面垂直的面有个，分别为四个侧面.
故选：D.
【例3】已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB
【答案】B
【分析】由于，所以平面，故平面平面.
【详解】画出图象如下图所示，由于，所以平面，而平面，所以平面平面.故选B.
【例4】经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（ ）
A．0个 B．1个 C．无数个 D．1个或无数个
【答案】D
【分析】讨论平面外一点和平面内一点连线，与平面垂直和不垂直两种情况.
【详解】（1）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，
此时，直线垂直底面，过直线的平面有无数多个与底面垂直；
（2）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，
此时，直线与底面不垂直，过直线的平面，只有平面垂直底面.
综上，过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有1个或无数个故选：D.
【例5】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件可以是
A． B． C． D．是棱的中点
【答案】B
【详解】
因为四边形是菱形，，又平面，，又平面，即有，故要使平面平面，只需或.
故选：B
【例6】一个三棱锥的四个面中最多有______对面面垂直.
【答案】3
【分析】如图，证明一个三棱锥的四个面中最多有3对面面垂直即可.
【详解】
如图，，
因为平面,
所以平面,又因为平面,
所以平面平面；
同理平面平面；平面平面.
假设平面平面, 又平面平面，平面平面,
所以平面,,显然不成立，故答案为：3
【例7】已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有______对
【答案】5
【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列出互相垂直的平面即可
【详解】因为是边长为的正方形，，，所以，
所以，所以，因为，所以平面，
因为平面,平面，所以平面平面，平面平面，
因为，平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，同理可得平面，则平面平面，
平面，则平面平面，所以互相垂直的面有5对，
故答案为：5
【对点实战】
1.若平面平面，平面平面，则（ ）
A． B． C．与相交但不垂直 D．以上都有可能
【答案】D
【分析】以正方体为模型可得D正确.
【详解】在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
2.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
【答案】C
【分析】由面面垂直的判定定理可得答案.
【详解】已知l⊥α，由面面垂直的判定定理可得过l与α垂直的平面有无数个.故选C.
3.如图，是一个四棱锥，平面BCDE，且四边形BCDE为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
【答案】C
【分析】由平面BCDE，结合面面垂直的判定定理可得平面平面，平面平面，平面平面，而由四边形BCDE为矩形，平面BCDE，结合面面垂直的判定可得平面平面，平面平面，平面平面，从而可得结论
【详解】因为平面，平面，平面，平面，
所以平面平面，平面平面，平面平面，
又因为四边形为矩形，所以平面平面平面，
同理可得平面平面.平面平面
故图中互相垂直的平面共有6组.
故选：C.
4.如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的有___________(写出全部正确命题的序号).
①平面平面；
②平面平面；
③平面平面，且平面平面；
④平面平面，且平面平面.
【答案】③
【分析】由等腰三角形三线合一的性质可得，，再由线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面，平面平面
【详解】因为，且是的中点，所以，
同理有，
因为，平面.
所以平面.
因为在平面内，所以平面平面.
又由于平面，所以平面平面，
故答案为：③.
5.在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD.
【答案】BM⊥PC(或DM⊥PC)
【分析】由题设易证△PDC≌△PBC，利用面面垂直的性质，要使平面MBD⊥平面PCD，只需PC⊥平面MBD，即可确定M满足的条件.
【详解】∵△PAB≌△PAD，∴PB=PD，易知△PDC≌△PBC，
当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM =M，故，此时PC⊥平面MBD，PC平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.故答案为：BM⊥PC(或DM⊥PC).
八、平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
【典型例题】
【例1】已知，，是三个不同的平面，是一条直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】A
【分析】利用面面垂直的性质，线面的位置关系，面面的位置关系，结合几何模型即可判断.
【详解】对于A，在平面内取一点P，在平面内过P分别作平面与，与的交线的垂线a,b，
则由面面垂直的性质定理可得，又，
∴，由线面垂直的判定定理可得，故A正确；
对于B，若，，则与位置关系不确定，可能与平行、相交或在内，故B错误；
对于C，若，，则与相交或平行，故C错误；
对于D，如图平面，且，，，
显然与不垂直，故D错误.故选：A.
【例2】如图所示，在斜三棱柱中，，且，过作平面，垂足为，则点在（ ）
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部
【答案】B
【分析】先通过线线垂直证明面，进而可得面面，由面面垂直的性质定理可得要过作平面，只需过作即可，则答案可求.
【详解】连接，，，且，面，又面ABC
面面，面面，要过作平面，则只需过作即可，
故点在直线上。故选：B.
【例3】设，，为三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法错误的是（ ）．
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
【答案】B
【分析】利用线面垂直、面面垂直的性质可判定选项A；根据面面的位置关系可判断选项B；利用面面垂直的判定定理科判断选项C；利用面面垂直的性质定理可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】对于选项A：若，，，可得，证明如下：
如图，过点作，与分别交于点，直线确定的平面与的交线交于点，连接，
因为，，所以，因为，所以，即，
同理可得，又因为，所以，即，
所以四边形是矩形，所以，所以，又因为，所以，
故选项A正确；
对于选项B：若，，则与相交或平行，故选项B不正确，
对于选项C：若，，由面面垂直的判定定理可得，故选项C正确；
对于选项D：若，，，，由面面垂直的性质定理可得，故选项D正确，
故选：B.
【例4】已知梯形，，，为中点，将沿折起，使点移至点，若平面平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
先利用题中条件得到，， 为边长均为1的全等的正三角形，再根据平面平面，得出为等腰直角三角形，即可求出.
【详解】解：由，，
可知：，， 为边长均为1的全等的正三角形，如图所示
中点，连， ，又平面平面，
平面平面，平面，又平面，，
即为等腰直角三角形，，.故选：D.
【例5】在中，是斜边的高线，现将沿折起，使平面平面，则折叠后的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】由题意画出平面图及其翻折后的立体图，利用面面垂直的性质可得面，由线面垂直的性质有，进而在直角三角形中应用勾股定理求.
【详解】由题设，可得如下平面图及其翻折后的立体图，，
∴，，又面面，面面，，面，
∴面，而面，故，
∴在中，.
故选：C.
【例6】在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据其到其他顶点的距离也是半径，列出方程求解即可.
【详解】如图，设外接圆的圆心为，连接，，，连接.
由题意可得，且，.因为平面平面，且，所以平面，且.设为三棱锥外接球的球心，连接，，，过作，垂足为，则外接球的半径满足，即，解得，
从而，故三棱锥外接球的表面积为.故选：B.
【例7】如图，棱长为2的正方体，是四边形内异于，的动点，平面平面.则点的轨迹的长度为______.
【答案】
【分析】根据已知条件，求得点的轨迹对应的曲线类型，再求其长度即可.
【详解】因为平面，面，故，
又因为平面平面，故要满足题意，只需即可.
又点在平面内，故点的轨迹是平面内，以为直径的半圆（不包含）.
又正方体棱长为2，故该半圆的半径为1，故其轨迹长度为.故答案为：.
【对点实战】
1.已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项A,C,D，由平面与平面垂直的判定定理判定选项D.
【详解】选项A. 由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.
选项B. 由，，则，故正确.
选项C. 由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.
选项D. 由,,则可能相交，可能平行，故不正确.
故选：B
2.如图，在斜三棱柱中中，，，点为上的一个动点，则点在底面ABC上的射影必在（ ）
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部
【答案】A
【分析】由题意易得平面，再由平面，证得平面平面即可.
【详解】，；又，且，
平面；又平面，平面平面，在平面上的射影必在两平面的交线上．又，所以点在底面ABC上的射影必在两平面的交线上．故选：A．
3.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAD⊥平面PDC
C．AB⊥PD
D．平面PAD⊥平面PBC
【答案】D
【分析】根据平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，易得AB⊥平面PAD．然后逐项判断.
【详解】∵平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．
∴AB⊥PD．又AB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．故A，C正确．
同理可证平面PAD⊥平面PDC．故B正确．D显然不正确．故选：D
4.三棱锥中，为边长为3的等边三角形，，，且面面，则三棱锥的外接球的体积为___________.
【答案】
【分析】根据面面垂直的性质定理得出DC⊥平面ABC，进而找到三角形ABC的外心O1与三角形BCD的外心O2，然后过O1作平面ABC的垂线，过O2作平面BCD的垂线，两条垂线的交点即为外接球心，最后解出答案.
【详解】如图，因为平面ACD⊥平面ABC，且交于BC，而DC⊥BC，所以DC⊥平面ABC，
取正三角形ABC的外心（也为重心）O1，过O1引平面ABC的垂线，
取直角三角形BCD的外心O1，则O1为BD中点，过O2引平面BCD的垂线，设两条垂线交于O，则O为三棱锥的A-BCD的外接球心.
取BC中点D，连接AO1,OO2,O2D,O1D，因为分别为的中点，所以∥DC，且，所以平面ABC，因为平面ABC，所以∥.
易知三点共线，且AD⊥BC，又因为平面ACD⊥平面ABC，且交于BC，所以AD⊥平面BCD，而OO2⊥平面BCD，所以O1D∥OO2，于是四边形是矩形，且.
连接，在正三角形ABC中，其边长为3，所以，
由勾股定理：外接球半径，所以外接球体积.
故答案为：.
5.如图，在三棱锥P ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=3，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为___________．
【答案】
【分析】根据面面垂直的性质定理得出PC⊥平面ABC，进而得到PC⊥CM，然后运用勾股定理得到答案.
【详解】∵平面PAC⊥平面ABC且交于AC，又PC⊥AC，∴PC⊥平面ABC，而CM平面ABC，
∴PC⊥CM，∴，∴当CM最小时，PM最小.
如图，∵△ABC是边长为4的正三角形，∴当CM⊥AB时CM最小，此时M为AB中点，易得.
∴PM的最小值为.故答案为：.
九、联赛、联考与自主招生题选
【例1】如图，将矩形纸片折起一角落得到，记二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】如图，过作平面，垂足为，过作，垂足为，可证，利用三角变换公式可证，从而可得正确的选项.
【详解】
如图，过作平面，垂足为，过作，垂足为，
设，因为平面，平面，故，
而，故平面，而平面，
所以，故，又，.
在直角三角形中，，同理，故，同理，故，故，整理得到，
故，
整理得到即，
若，由 可得即，
但，故，即，矛盾，
故.故A正确，B错误.
由可得，
而均为锐角，故，，故CD错误.
故选：A.
【例2】如图，等腰直角中，，点为平面外一动点，满足，，给出下列四个结论：
①存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平面平面；
③设的面积为，则的取值范围是；
④设二面角的大小为，则的取值范围是.
其中正确结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
①当时，结合条件，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判断；②取AP的中点M，根据，得到，利用反证法判断；③由AP=4，AC=2，得到，由点P在平面上的极限位置判断；④根据，由点在平面内时 ，当点运动时，设点A到平面的距离为h，根据，由判断.
【详解】如图所示：
①当时，又，所以平面ABC，所以，又，所以平面PBC，又平面PAC，所以平面平面，故正确；
②取AP的中点M，连接BM，CM，因为，所以，假设平面平面，则平面PAC，则，而BM=BC=2，，不成立，故错误；
③因为AP=4，AC=2，所以，当点P在平面上，且C，P在A，B的异侧 ，当C，P在A，B的同侧时，A，C，P共线， ，因为点为平面外，则的取值范围是，故错误；
④因为，当点在平面内时 ，当点运动时，设点A到平面的距离为h，因为，则，所以，所以的取值范围是，故正确.
故选：B
【例3】已知正三棱柱的各棱长都是4，点是棱的中点，动点在侧棱上，且不与点重合，设二面角的大小为，则的最小值为_________.
【答案】
【分析】过作于，利用直棱柱性质知⊥侧面， 连接，过作于，连接，根据三垂线定理得，且，设，在直角中，求出；在直角中，求出，进而可得的最小值．
【详解】（Ⅰ）过作于，连接，由直棱柱的性质可知，底面⊥侧面，∴⊥侧面
连接，过作于，连接，根据三垂线定理得
∴是二面角的平面角即
设，则，在直角中，，在直角中，
故，又，∴故当时，达到最小值，此时与重合
故答案为：

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